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§4。
2 换元积分法（第二类)Ⅰ授课题目（章节)：§4。
2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ教学目的与要求:1。
了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时,如果函数g (x ）可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式,那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想。
把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来。
对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰，然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx=证明 )(t x ψ= 单调、可导,∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法,常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -(0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-)则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-,则t a x a cos 22=-tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解 令t x sin 2=,(,)22t ππ∈-,则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰222sin cos 2arcsin 422x xt t t C x C =-+=--+类型2:被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec =；可将原积分化为三角有理函数的积分。
§4.2 换元积分法（第二类）Ⅰ 授课题目（章节）：§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dtdx= 证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求 ⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos =cos cos a ta tdt ∴=⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰222sin cos arcsin 222a a a x t t t C C a =++=+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2求⎰-dx xx22 4解令tx sin2=，(,)22tππ∈-，则tx cos242=-，tdtdx cos2=2224sin1cos22cos=42cos24t tdx tdt dttx-∴=⋅-⎰⎰⎰=(22cos2)2sin2t dt t t C-=-+⎰222sin cos2arcsin422x xt t t C x C=-+=--+类型2：被积函数中含有)0(22>+axa可令tax tan=并约定(,)22tππ∈-，则taxa sec22=+；tdtadx2sec=；可将原积分化为三角有理函数的积分.例3求⎰+22axdx)0(>a解令tax tan=，)2,2(ππ-∈t，则22secx a a t+=，2secdx a tdt=22sec tdtx a∴=+⎰⎰ln sec tant t C=++22221ln lnx a xC x x a Ca a+=++=+++.例4求⎰+224xxdx解 令t x tan 2=，)2,2(ππ-∈t ，则242sec x t +=，tdt dx 2sec 2=22222sec 4tan 2sec 4t dt t t xx ∴=⋅+⎰⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t tt dt dt t ==⎰⎰2221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t +===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求⎰+22)9(x dx（分母是二次质因式的平方） 解 令t x tan 3=，则t x 22sec 99=+， tdt dx 2sec 3=222243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos 2)cos 2cos 2254545454254t t t dt tdt td t =+=+=+⨯⎰⎰⎰ 11sin 2sin cos 542545454t t t t t C =+=++⨯ 2113arctan 543549x x C x =+⋅++练习： 求221(25)dx x x -+⎰（第二换元积分法分）解 22222])1(2[)52(-+=+-x x x ，令t x tan 21=- )2,2(ππ-∈t 则222442sec 11(1cos 2)sin cos (25)2sec 161616dx t t dt t dt t t C x x t ==+=++-+⎰⎰⎰21111arctan 162825x x C x x --=+⋅+-+ 类型3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。
例6 求⎰-22ax dx)0(>a解 被积函数的定义域为),(),(+∞--∞a a ， 当(,)x a ∈+∞时，令t a x sec =，)2,0(π∈t ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =有22sec tan sec tan a t tdt tdt a tx a==-⎰⎰⎰22ln(sec tan )ln(x x a t t C C a -=++=++221ln(x x a C =-+.当(,)x a ∈-∞-时，令x u =-，则),(+∞∈a u 有2222112222ln()ln(u u a C x x a C x au a=-=--+=--+-+--2211222222()()x a C C x x ax x a x x a -=+=-+--+----2222211ln()(ln )x x a C x x a C a ---=+=--+- 222ln()x x a C =--+),(),(+∞--∞∈∴a a x 时，C a x x a x dx +-+=-⎰2222ln例7 求⎰-122x xdx解 ),1(+∞∈x 时，令t x sec =,)2,0(π∈t 则t x tan 12=-,tdt t dx tan sec =，有C xx C t tdt dt t t t t x xdx+-=+===-⎰⎰⎰1sin cos tan sec tan sec 12222，)1,(-∞∈x 时，令x u -=，则),1(+∞∈u 有C xx C u u u u du x xdx+-=+--=--=-⎰⎰1111222222∴无论1-<x 或1>x 均有C xx x xdx +-=-⎰11222注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x 的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.例8 求⎰-22ax x dx)0(>a解法一（用第一换元法）a x >时C x a a xax a d a xa xdx a x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰arccos 1)(1)(11222222， a x -<时，令x u -=则a u >C xa a C u a a a u u du a x xdx +-=+=----⎰⎰arccos 1arccos 1)(2222＝ 两式合并C xaa a x x dx+=-⎰arccos 122解法二 （第二换元法）（1）当a x >时，sec x a t =,)2,0(π∈ttan a t =,sec tan dx a t tdt =sec tan sec tan a t t dt a ta t =⎰111arccos t adt C C a a a x==+=+⎰.（2）当a x -<时，令x u -===11arccos arccos a aC C a u a x =+=+- 由(1)(2)两种情况可得C xaa a x x dx +=-⎰arccos 122 Ⅴ 归纳总结1、第二类换元积分法的思想若()f x dx ⎰中的被积函数()f x 为无理函数，可以选择适当的变量代换)(t x ψ=，将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰.1()()[()]()()[()]x t f x dx f t t dt t C x C ψψψψ-='=Φ+=Φ+⎰⎰2、第二类换元积分法适用的被积函数类型类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-；tdx a dx cos =可将原积分化作三角有理函数的积分.类型2：被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。
