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不定积分换元法公式设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0，又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))。
定理（1）设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))；定理（2）设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))。
注意：第二类与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。
关键是：如何选择变量替换。
把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类：第一类换元法：设f(u)具有原函数F(U)，即。
F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。
如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。
从而根据不定积分的定义就得：∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
于是有下述定理：定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。
将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。
而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。
不定积分的换元法不定积分是微积分的重要内容，其中换元法是计算不定积分的一种常用方法。
换元法是指将被积函数中的变量通过代换，转化为新的自变量的函数形式进行积分求解。
一、基本概念在介绍换元法之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 不定积分：指对一个函数进行求导的逆运算，即对于函数f(x)，若F(x)是其导数，则F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记为∫f(x)dx。
不定积分中的积分符号∫表示对变量的积分，dx表示被积函数中的自变量。
2. 原函数：指函数f(x)的一个不定积分F(x)，即F(x)是f(x)的原函数。
3. 积分变量：指被积函数中的自变量。
4. 积分限：指积分区间的起点和终点。
5. 积分常数：表示积分时所得到的结果中的常数项，因为不定积分中存在无限个解，所以需要添加积分常数来求得特定的解。
二、换元法的原理假设对于被积函数f(x)，想要将其变为一个与变量t有关的函数g(t)，即f(x) = g(t)，则可通过以下步骤进行换元：1. 选取一个可导函数u(x)，并令t = u(x)，则有t' = u'(x)。
2. 则原式∫f(x)dx = ∫g(t)dt。
3. 将自变量x换成新的自变量t，被积函数中的自变量x的所有出现均用对应的t代替。
4. 将x关于t求导，将t'代入被积函数中dt中，并将dx用du 表示。
5. 对新的函数∫g(t)dt进行求解。
6. 最后将所得解中的t用x表示，并加上积分常数C。
三、实例分析以求解∫2x/(1+x^2)dx为例，借助于换元法进行求解。
1. 令t = 1 + x^2，则有dt/dx = 2x，可以得出dx = dt/2x。
2. 将原式转化为∫2x/(1+x^2)dx = 2∫(1+x^2)/(1+x^2) * 1/(1+x^2) dt = 2∫(1/(t/2))dt。
3. 对新的函数2∫(1/(t/2))dt进行求解，解得结果为2ln|t| + C，其中|t|表示t的绝对值。
不定积分换元法1. 引言在微积分中，不定积分是求函数的原函数，也就是求导函数的逆运算。
不定积分换元法是一种求解复杂函数的不定积分的方法，通过引入一个新的变量来替代原函数中的一个或多个变量，从而简化不定积分的求解过程。
2. 换元法的基本思想换元法是一种利用代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量来代替原不定积分中的一个或多个变量，使得不定积分式子变得更加简单，从而更容易求解。
3. 换元法的步骤换元法的求解步骤如下：步骤1：选择合适的换元变量首先需要选择一个合适的变量来替代原不定积分中的一个或多个变量。
选择合适的换元变量是换元法的关键。
步骤2：计算新的不定积分将原不定积分中的变量用选定的换元变量表示，并计算出新的不定积分。
步骤3：替换回原变量将新的不定积分表达式中的换元变量替换回原变量，得到最终的不定积分表达式。
步骤4：确定积分常数在求得最终的不定积分表达式后，需要确定积分常数。
4. 换元法的应用举例以下举例说明换元法在不定积分中的应用：例1：求解∫(2x + 1)³ dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x + 1。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u 表示，得到∫u³ du。
步骤3：替换回原变量，将u³替换成(2x + 1)³，得到最终的不定积分表达式∫(2x + 1)³ dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/4 + C，其中C为积分常数。
例2：求解∫(sin 2x) dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u表示，得到∫sin u du。
步骤3：替换回原变量，将sin u替换成sin 2x，得到最终的不定积分表达式∫(sin 2x) dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(sin 2x) dx = -1/2 cos 2x + C，其中C为积分常数。
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
第四节 不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量arcsin x 、()nax b +等），则可以考虑使用换元积分法.一、换元积分法例6．4．1 求不定积分.解 这里主要障碍是 t = 此时2x t =t ”则211dt t=+⎰ 21t dt t=+⎰ 1121t dt t+-=+⎰ 12(1)1dt t =-+⎰ 22ln 1t t C =-++(2ln 1C =+. 例6．4．2 求不定积分11x dx e+⎰. 解 同样令主要障碍x e t =，此时ln x t = 则11x dx e +⎰1ln 1d t t =+⎰()11dt t t=+⎰ 11()1dt t t=-+⎰ ln ln 1t t C =-++ln(1)x x e C =-++.例6．4．3 求不定积分arcsin xdx ⎰.解 令arcsin x t =，此时sin x t =，则 arcsin xdx ⎰sin td t =⎰sin sin t t tdt =-⎰sin cos t t t C =++arcsin x x C =.例6．4．4 求不定积分()2101x dx x +⎰.解 令()1x t +=，此时1x t =-，则()2101x dx x +⎰ ()()21011t d t t -=-⎰21021t t dt t-+=⎰ 8910(2)t t t dt ---=-+⎰789111749C t t t=-+-+ ()()()789111714191C x x x =-+-++++.从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换.二、换元积分举例例6．4．5 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）⎰； （3）；（4）⎰； （5）；（6）. 解（1）21t dt t +221t dt t =+⎰21121t dt t -+=+⎰1211t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =222ln 1t t t C -+++=(2ln 1x C -++；（2）⎰2t e dt2t te dt =⎰22t t te e dt =-⎰()21t e t C =-+=)21C +；（3） ()2111t d t t --+ 221t t dt t -=+⎰ 22221t t dt t --+=+⎰ 2221t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ ()244ln 1t t t C =-+++=)14ln1x C +-+；（4）⎰ 2222()55t t td -- 422425t t dt -=⎰ 532412575t t C =-+=532412575C -+；（5）⎰()63211dt t t + 226t 661dt t+-=+⎰ 66arctan t t C =-+=C ；（6）21ln(1)d t t- 2121dt t =-⎰ 1111dt t t ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎰ 1ln 1t C t -=++ln C =+.t =”也就行了.“2x ”项，问题就不是那么简单了.例6．4．6cos t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解sin cos sin x t td t =⎰2cos tdt =⎰1cos 22t dt +=⎰ 11cos 2224dt td t =+⎰⎰ 11sin 224t t C =++ 11sin cos 22t t t C =++ ()11arcsin cos arcsin 22x x x C =++. 例6．4．7sec t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分.解12tan 2tan 2sec x t d t t=⎰sec tdt =⎰ ln sec tan t t C =++ln sec arctan 22x x C ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.例6．4．8 tan t =（0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解33sec 3sec 27sec 3tan d t x t t t =⋅⎰ 21127sec dt t=⎰ 21cos 27tdt =⎰ 1(1cos 2)54t dt =+⎰ 11sin 254108t t C =++ 11sin cos 5454t t t C =++ 1313arccos sin arccos 5418C x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 例6．4．9 求下列不定积分：（1）sin sin cos x dx x x +⎰；（2）；（3）⎰. 解（1）sin sin cos x dx x x +⎰11cot dx x=+⎰cot x t =1cot 1darc t t +⎰21111dt t t =-++⎰ 2111211t dt t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭⎰ 211112121t dt dt t t-=-+++⎰⎰ 2211111212121t dt dt dt t t t =-+-+++⎰⎰⎰ ()2111ln 1ln 1cot 242t t arc t C =-+++++ =()2111ln 1cot ln 1cot 242x x x C -+++++；（2）dx222= 222dt =+22=-+ 查《积分表》（见文献文献×）12arcsin 2arcsin 2t t C ⎛=-++ ⎝arcsin t C =-+=(C -；（3）⎰t22sec tan t tdt =2tan tan td t =3t C =+3arc s co C x ⎛=+ ⎝⎭； 此题还可以用另一个很简单的解法：⎰212= ()()12221332x d x =--⎰ ()322133x C =-+； 可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考虑用它. 思考题6.41．本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么？应注意什么问题？2．总结一下利用三角公式换元积分法（三角代换法）的三种类型.3．思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用？ 练习题6.41. 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）； （3）()31x dx x -⎰. 2. 利用三角代换求下列不定积分：（1）()0a >； （2）； （3）()0a >．练习题6.4答案1.解（1）()2211t d t t-- ()221t dt =-⎰3223t t C =-+C -； （2）()3121d t t -+ 231t dt t=+⎰ 21131t dt t-+=+⎰ 1311t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =2333ln 12t t t C -+++=233ln 12C -+； （3）()31xdx x -⎰()3111t d t t--⎰-x=t 31t dt t-=⎰ 2311dt t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 212C t t=-++=()21211C x x ++--.2. 解（1）()0a > sin cos (sin )x a t a td a t =⎰ 22cos a tdt =⎰()21cos 22a t dt =+⎰22sin 224a a t t C =++=2arcsin 2a x C a ； （2）21x 2tan 2tan 4tan 2sec t d t t t =⎰ 21cos 4sin t dt t=⎰ 211sin 4sin d t t=⎰ 14sin C t =-+ 1csc arctan 42x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； （3）()0a >1x sec sec sec tan a t da t a ta t =⎰ 1dt a =⎰ 1t C a=+ 1arccos a C a x =+．。
