不定积分第2换元法

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高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法

解令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )

不定积分的换元积分法

类似地，有

csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a

n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na

这类求不定积分的方法，称为第二换元法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．

设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．

dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2

1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2

再将 t 2 x 代入，得

1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)

x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ，可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法．

不定积分的第二类换元积分法

回代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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铃
（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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铃
一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式

不定积分的算法

不定积分的算法
不定积分的算法：
一、积分公式法
直接利用积分公式求出不定积分。

二、换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

1、第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。

进而求得原不定积分。

2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。

当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

常用的换元手段有两种：
（1）根式代换法。

（2）三角代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。

三、分部积分法
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。

移项得到udv=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式：∫udv=uv-∫vdu ⑴。

称公式⑴为分部积分公式。

如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u，v。

25-不定积分换元法

万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1) dx d(4x) (2)
4 x 4x
(3)
x 4x2
(2)0 a2 1x2dx1aarctaaxnC
(2)1
1 x2a2
dx1 lnxa 2a xa
C
(2)2
1 dxarcsinx C
a2x2
a
(2)3
1 dxlnx ( x2a2)C
ln xex ln1xex C xlnxln 1xexC
分析:
1 xex(1 xex)
1xexx(e1xxxeexx)
1 xex
11xex
(x1)exdxxexdxexdxd(xex)
例15. 求 ff((xx))f(fx)3(fx2)(x)dx.
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
x2a2
a2 C
x2 a2
例12 . 求 co4sxdx.
解: c4 ox s(c2x o )2s(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C

不定积分的换元积分法4.2

f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x

2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解那么
当 x> a 时，设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2

2
t
)，
sec
2
a
t 1

a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ，于是

dx x a
2 2

2

a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3

第二类换元法

第四章
不定积分不定积分的第二类换元法
定理设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1

第2讲不定积分的换元积分法

∫
arctan x d x = ∫ 2v d v x (1 + x)
= v2 + C
换元法可以连续使用
= (arctan u ) 2 + C = (arctan x ) 2 + C .
二、不定积分的第二换元法
第一换元法中
∫
f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u 是被积表达式
ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C.
证明过程请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
例1 解
求 ∫ sin 3 x cos x d x .
2
π
π
∫
dx a sec 2 t d t =∫ 2 2 a sec t x +a
= ∫ sec t d t
x2 + a2
t
x a
= ln | sec t + tan t | +C1
= ln | x + x 2 + a 2 | + C .
( C = C1 − ln a )
一般说来，含有
a 2 − x 2、 x 2 ± a 2 的表达式的积分，
=∫
(tan x + sec x)′ dx tan x + sec x
= ln | tan x + sec x | +C .
此题若按下面方式做，则有 cos x d x cos x d x du ∫ sec x d x = ∫ cos 2 x = ∫ 1 − sin 2 x = ∫ 1 − u 2 1 u +1 1 sin x + 1 = L = ln + C = ln +C 2 u −1 2 sin x − 1

不定积分第二种换元法

通过简单的积分问题，如 $int x^2 dx$，展示如何使用第二种换元法进行求解。解析过程中强调变量代换和积分区间的调整。
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支，其中许多问题可以通过第二种换元法得到解决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。

不定积分的第二类换元法

不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法，也称为变换型积分法，是求解某些复杂不定积分问题的一种重要方法。

它的核心思想是通过引入新的变量替换原积分式中的自变量，从而将原积分转化为形式更简单的积分式。

通过适当的变换可以简化积分的计算过程，使得原本难以求解的积分问题变得可行。

第二类换元法的基本步骤如下：1.首先，观察被积函数的形式，尝试找到适合的新的变量来代替原积分中的自变量。

通常可以根据被积函数的特点，选择适当的变换方法。

比如，当被积函数中出现平方根、指数函数、三角函数等形式时，可以考虑使用适当的换元方法。

2.其次，根据选择的新变量进行变换。

这里需要根据换元法的不同种类进行具体分析。

变换后的积分式可能比原式更简单，也可能更加复杂。

但是通过适当的变换，可以使得原本难以求解的积分问题变得可行。

3.然后，对于变换后的积分式，进行必要的代数运算。

这可能包括合并分式、分配开来等操作，以达到简化积分的目的。

4.最后，根据变换后的积分式求解不定积分。

这里需要利用基本的不定积分公式，以及特定函数的积分性质进行计算。

在具体计算过程中，需要注意变换后的新变量与原变量之间的关系，并进行适当的替换。

需要注意的是，不定积分的第二类换元法并非适用于所有问题，它仅仅是求解一部分特殊问题的方法之一。

对于一些特殊的积分问题，可能需要结合其他方法（如分部积分法、换元积分法等）进行求解。

举个例子来说明第二类换元法的具体应用：考虑求解不定积分∫(2x+1)√(2x+1)dx。

这里，我们可以选择新的变量u=2x+1来代替原式中的自变量x。

进行变换后，积分式变为∫√u du。

根据换元后的积分式，我们可以轻松求解得到积分的结果：(2/3)u^(3/2) + C，其中C为常数。

再将u=2x+1代回原始变量x，最终得到不定积分的结果：(2/3)(2x+1)^(3/2) + C。

通过上述例子可以看出，第二类换元法使原先较为复杂的积分问题变得简单易解。

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2011-3-30
不定积分的计算
例12
化分母为一个变量 x +1= t , x = t −1
解： I 2
分项
=
∫
( t − 1) 3 dt 100 t
− 99
x3 , 求 I2 = ∫ dx 100 (x +1)
=
∫ (t
− 97
− 3t
− 98
+ 3t
−t
− 100
) dt
积分
1 − 96 3 − 97 3 − 98 1 − 99 = − t + t − t + t +C 96 97 98 99 代回 1 3 3 − 96 − 97 − 98 = − ( x + 1) + ( x + 1) − ( x + 1) 96 97 98 1 + 2011-3-30+ 1) − 99 + C (x 99
a + x , x − a 的某些不定积分，可以分别作三角换元： x = a sin t , x = a tan t , x = a sec t 函数或指数函数后积出。
(或 x = a sinh t , 或 x = a cosh t ), 将它们化成有理
2011-3-30
2 不定积分的计算 + c )可配方成结论5：对于被积函数为 f ( ax + bx
类似可得，当 x ∈ ( −∞ , − a ) 时： 1 a I2 = arccos + C ( x ∈ ( a , +∞ )) a x 2011-3-30
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
不定积分的计算
计算：I3 = ∫ a + x dx
2 2
例9
解：I3 ====== a ∫ cosh 2 ttdt e Sh = 2 2
∫
a2 − x2 dx , 4 x
计算： I 1 =
a
x
解：当 0 < x < a ,
t
I 1 ======== 2 2 1 = 2 a
x = a sin t , dx = a cos tdt a − x = a cos t
∫
a 2 cos 2 t dt 4 4 a sin t
a2 − x2
2 2 cost = a − x / a tan t = x / a 2 − x 2
2011-3-30
− 代回t =arcsin x21
不定积分的计算
例11
求积分
I =
∫
dx x x
2
− a
2
(a > 0)
1 1 解：当 a < x < +∞ 时，令 x = , t ∈ ( 0 , ) t a 凑微分 dt 1 d ( at ) I = −∫ = − ∫ 2 2 a 1 − ( at ) 1 − ( at )
不定积分的计算
பைடு நூலகம்例12
解法 1
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ 1 + e x = t t ( t − 1) t −1 t = ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x 回代
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x−∫ = x − ln( e + 1) + C x e +1
例9
dx 不定积分的计算, 计算：I 2 = ∫ x x2 − a2
a < x < +∞ , 代换 x = aSect x 2 − a 2 = atgt
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
解： I 2 ==========
整理
∫
a sec t ⋅ tan tdt a sec t ⋅ a tan t
2 2
代换x=a sinht
x +a =a cosht
整理
a 2t −2t x x +a = (e + e + 2)dt =2 ⋅ ∫ a a 4 2 积分 a 2 e2t − e−2t a = + 2t + C = sinh2t + 2t + C 4 4 2
2 2
2
− e −2 t (e t ) 2 − (e − t ) 2 = 2 2 et − e−t et + e−t =2 ⋅ = 2 Sht ⋅ Cht 2 2
计算： I =
整理
∫
ax + b；
k为 n , m 的最小公倍数。
x=t 6 3
x−
x
dx
1 t 5 解： I 3 = ∫ 3 6t dt = 6 ∫ dt 2 t =6 x t −t t −1 积分 t3 − 1 + 1 dt 2 = 6∫ dt = 6 ∫ (t + t + 1) dt + 6 ∫ t −1 t −1 3 2 = 2t + 3t + 6t + 6 ln | t − 1 | + C
2t
代回 t = ln( x + x 2 + a 2 )
2011-3-30
x 2 2 a2 2 2 ========= x + a + ln(x + x + a ) + C sinh 2 t = ( 见右图 ) 2 2
不定积分的计算
结论 4：对于含有根式
2 2 2 2
a −x ,
2 2
去根号。
对于√￣￣可以对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：勾股弦关系代换：
( 3) 积分
= G (t ) + C
=1 G[ϕ ′( x)] + C −
( x)
2011-3-30
第二换元法例
不定积分的计算
x +1 sin x 计算： = ∫ 3 I1 dx, I2 = ∫ dx, 3x +1 x
例8
积分 1 1 1 4 5 2 解： 1 = I 3 ∫ (t + 2t)dt = 3 (5 t + t ) + C x=(t −1) / 3 3 t =3 3x+1 1 5 2 1 = (3x +1) 3 + (3x +1) 3 + C 15 3
当∫ g (t ) dt比 ∫ f ( x ) dx较难计算时，用第一换元法： ∵ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ g (t ) dt = F [ϕ ( x )] + C
当∫ f ( x ) dx比 ∫ g (t ) dt较难计算时，用第二换元法： ∵ ∫ g (t ) dt = G (t ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ f ( x ) dx = G[ϕ −1 ( x )] + C , (其中， ϕ −1 ( x )是x = ϕ (t )的反函数 ) 2011-3-30
不定积分的计算
第二节
不定积分的
计算方法
2011-3-30
不定积分的计算
2. 第二换元法：令x=x(t),将x换为t,结果再换回x 将结果再换回
当∫ f ( x)dx的原函数难以计算而 ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
定理
的原函数易求时，我们有下面定理：
x = ϕ (t )
I
，
不为
代回 1 1 a = − arcsin at + C = − arcsin + C t =1 / x a a x 2011-3-30 积分
不定积分的计算
1 a 注1：这一结果与例 9中 I 2的结果 ( arccos + C )不同， a x 请同学们想一想，为什么？注2 注 2：以上代换叫做倒代换。
代回 t= x
= 2 x + 33 x + 6 6 x + 6 ln | 6 x − 1 | + C 6
2011-3-30
第二换元法例( ：在含有无理式的积分中，基本的解题思路第二换元法例(续1) 在含有无理式的积分中，基本的解题思路是：有理化无理式，分析：解题思路是：分析
例9
不定积分的计算即：去根号。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
sin t = x / a
积分 sec 2 t 1 1 ∫ tan 4 t dt = − a 2 3 tan 3 t + C 2 2 3/2 代回 (a − x ) ====== 2 − + C ( 见上图 ) 2 3 tan t = x / a 2 − x 3a x 2 2 3/2 (a − x ) 类似可得： I 1 = − + C (− a < x < 0) 2 3 2011-3-30 3a x
2011-3-30
不定积分的计算