换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

第六章 定积分第一节 定积分的概念思考题：1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A AA A A x x .( 2)( 1 )( 3 )(4)（4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）x x g x x f ba b a d )(d )(⎰≤⎰, （2）x x g x x f d )(d )(⎰≤⎰.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(⎰与x x g d )(⎰不能比较大小，故（2）式不成立.3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是∑=ni i a n 11,后者计算公式是⎰-b a x x f a b d )(1.习作题：1. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为∆i=i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.2. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 3. 求函数21)(x x f -=在闭[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ.4. 利用定积分的定义证明⎰-=b aa b x d .证明：令1)(=x f ,则⎰⎰=b ab a x x f x d )(d ，任取分点10x x a <=…b x n =<,把[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，并记小区间长度为),2,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅⋅=-=∆-，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ，作乘积⋅)(i f ξi x ∆的和式a b x x f n i ni i i i -=∆=∆⋅∑∑==11)(ξ,记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ, 则 a b a b x f x x ni i i ba -=-=∆⋅=→=→∑⎰)(lim )(lim d 01ξλ.第二节 微积分基本公式思考题：1. ='⎰)d sin (d d 1xt t t ?答：因为⎰x t t 1d sin 是以x 为自变量的函数，故⎰xt t t1d sin d d =0. 2. ?)d )((21='⎰x x f答：因为⎰21d )(x x f 是常数，故0)d )((21='⎰x x f .3.=⎰ba x x f xd )(d d ？ 答：因为⎰b ax x f d )(的结果中不含x ，故=⎰ba x x f xd )(d d 0. 4. =⎰xax t x d cos d d 2？ 答：由变上限定积分求导公式，知=⎰x ax t x d cos d d 22cos x .5.=⎰1d e d d 2xt t x ？ 答：=⎰1d e d d 2x t t x 22e )d e (d d 1x x t t x-=-⎰. 6. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？答：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.7. 当)(x f 为积分区间],[b a 上的分段函数时，问如何计算定积分⎰b ax x f d )(？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将⎰b ax x f d )(分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若⎩⎨⎧<≤-≤≤=,01,,10,)(2x x x x x f 则x x f d )(11⎰-=x x d 01⎰-+x x f d )(11⎰-=1301232x x +-=61-.8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1. 计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-1d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (xx +-=2+2=4.2. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x3. 计算下列各题： （1）⎰10100d x x ， （2）⎰41d x x ， （3）⎰1d e x x , （4）x xd 10010⎰,（5）x x d sin 2π0⎰, （6）x x x d e 210⎰, （7）x x d )π2sin(2π0+⎰,（8）x x d )4π4cos(π+⎰, （9）x x x d 2ln e 1⎰, （10）⎰+102100d x x , （11）⎰4π02d cos tan x xx, （12）⎰10d sh x x , （13）⎰10d ch x x .解：（1）⎰10100d x x =101110110101=x .（2）⎰41d x x =314324123=x. （3）1e ed e 1010-==⎰xx x .（4）x xd 10010⎰=100ln 99100ln 10010=x .（5）1cos d sin 2π02π0=-=⎰x x x .（6）21e 2e )(d e 21d e 121010222-==⎰=⎰x x x x x x . （7）x x d )π2sin(2π0+⎰=)π2(d )π2sin(212π++⎰x x =2π0)π2cos(21+-x =1-. （8）x x d )4π4cos(π+⎰=)4π4d()4π4cos(4π0++⎰x x =π0)4π4sin(4+x =224-.(9)x x x d 2ln e 1⎰=)d(ln ln 21e 1x x ⎰=41ln 41e12=x .(10) ⎰+102100d x x=⎰+102)10(1d 1001x x =1010arctan 101x =101arctan 101.（11）⎰4π02d cos tan x x x =⎰4π0)tan d(tan x x =4π022)(tan x =21. （12）⎰⎰--=1010d 2e e d sh x x x x x =12e e xx -+=11ch 12e e 1-=-+-. （13）⎰10d ch x x =⎰-+10d 2e e x x x =12e e xx --=1sh 2e e 1=--.第三节 定积分的积分方法思考题：1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）x x x d cos cos 2π2π3⎰--=x x x d sin )(cos 2π2π21⎰-=)cos d()(cos 2π2π21x x ⎰--=0cos 322π2π23=--x .（2）⎰⎰---=-111122)sin d()(sin 1d 1t t x x=⎰-⋅11d cos cos t t t=⎰-112d )(cos t t =2⎰12d )(cos t t=22sin 211)2sin 21(d 22cos 11010+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π3⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .（2）不正确，应该为：⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元)(t x ϕ=单调可导，且选择变元)(t x ϕ=的规律相同.3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设)(x f 在[]a ,0上满足)(x f ≥0，则⎰a x x f 0d )(表示由曲线)(x f y =，直线0=x ，a x =及x 轴所围图形的面积，不妨记为A ，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰==-aaa x x f A x x f 0d )(22d )((如下图(1)所示)，当)(x f 为奇函数时，0)(d )(=+-=⎰-A A x x f aa(如下图(2)所示).（1）习作题:1. 计算下列定积分:(1)x x d 16402⎰-, (2)⎰+12d 41x x .解：（1）令x =t sin 4, 则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0 ; 当x = 4 时，2π=t ， 于是 x x d 16402⎰-=π4)2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π02π020=+=+=⋅⎰⎰t t t t t t t π.（2）⎰+102d 41x x =⎰+12)2d()2(1121x x =21arctan 212arctan 2110=x . 2. 计算下列定积分： （1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x xd πcos e10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(1033⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5ed )15(540xx ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x=5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ xx x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-= =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ ⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x .第四节 广义积分思考题:1. 下列解法是否正确？为什么？2ln 1ln 2ln ||ln d 12121=-==--⎰x x x .答：不正确.因为x1在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ，⎰-21d 1x x 不能直接应用Leibniz Newton -公式计算，事实上，⎰-21d 1x x =⎰-01d 1x x +⎰20d 1x x =⎰--→+1110d 1lim εεx x +⎰+→2022d 1lim εεx x=[]1110)ln(lim εε--→-+x +[]222ln lim εεx +→=10ln lim 1εε+→+-2ln 202lim εε+→不存在,故⎰-21d 1x x 发散.2. 指出下面广义积分的计算错误:101)e 1(lim elim d e lim d e 0=-=-=-==-∞→-∞→-∞→∞⎰⎰b b bx b bxb xx x .答：本题计算错误在于0e lim =-∞→bb ，因为0e lim =-+∞→b b ，而-∞=--∞→b b e lim ，故bb -∞→elim 不存在，从而⎰∞0d e x x 发散.习作题：1. 研究广义积分⎰∞+02d 1x x 的敛散性. 解：⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. 2. 计算广义积分x x d )4(6032⎰--.解：x x d )4(6032⎰-- =x x d )4(6432⎰--+x x d )4(4032⎰--=)42(3430023)4(3)4(3333340316431+=--+-⋅=-+-x x .3. 计算广义积分x x d e 1100⎰∞+-.解：x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .4. 计算广义积分⎰∞++02100d xx. 解： ⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x .。

疑难问题解析问题1 下列两个命题是否正确（1） 如果在)(x f [a ，b]上有原函数，那么在)(x f [a ，b]上可积； （2） 如果在)(x f [a ，b]上有可积，那么在)(x f [a ，b]上有原函数。

答： 这两个命题都不正确（1） 在[a ，b]上有原函数存在的函数)(x f 未必是可积的。

例如 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(22x x xx x F 在[-1,1]上处处有导数，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=='.0,0,0,1cos 21sin 2)()(22x x xx x x x f x F 因此)(x f 在[-1,1]上有原函数)(x F ，但)(x f 在[-1,1]上无界，故)(x f 在[-1,1]上不可积。

（2） 在[a ，b]上可积的函数不一定存在的原函数例如符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x在区间[-1,1]上可积，因为它只有一个第一类间断点0=x ，但在某区间上具有第一类间断点的函数不存在原函数，从而sgnx 在[-1,1]上不可积。

问题2 在什么条件下，牛顿-莱布尼兹公式()()()baf x dx F b F a =-⎰成立？答：如果函数[]()f x 在a,b 上连续，则牛顿-莱布尼兹公式()()()baf x dx F b F a =-⎰成立，此公式也成为微积分基本定理，它把函数[]()f x 在a,b 上的定积分的计算转化为求()f x 的原函数在区间[]a,b 上的增量，使定积分的计算十分方便。

当连续条件不满足时，慎用该公式，比如函数1()[11]f x x=-在区间，上不连续，就不能用该公式。

当然，牛顿-莱布尼兹公式成立的条件还可以适当放宽，常见的有以下两个结论： 定理 设[]()f x 在a,b 上可积，且原函数()F x 存在，则()()()baf x dx F b F a =-⎰。

定积分的换元法与分部积分法摘要：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。

在计算定积分时，换元法和分部积分法是常用的两种方法。

本文将对定积分的换元法和分部积分法进行介绍，并通过案例演示其具体应用。

1. 定积分简介定积分是微积分中的基本概念之一，它用于计算函数在某个区间上的累积效应。

定积分的符号表示为∫，其中∫f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。

它的几何意义是函数f(x)与x轴所夹的面积。

2. 换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式。

换元法的基本思想是对函数进行代换，将原函数转化为一个新的函数，并对新函数进行积分。

换元法的公式可以表示为：∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du其中，g(x)是一个可导函数，u=g(x)是其反函数，g’(x)是g(x)的导数。

换元法的具体步骤如下：1.选择适当的换元变量，使得被积函数的形式变得简单；2.计算变量的微分，求出关于新变量的微分表达式；3.将被积函数中原变量用新变量表示，得到新的被积函数；4.计算新的被积函数的积分。

3. 分部积分法分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法，它将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题。

分部积分法的基本思想是使用差乘法则，将定积分的求解转化为导数和乘积的关系。

分部积分法的公式可以表示为：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。

分部积分法的具体步骤如下：1.选择一对函数作为u(x)和v’(x)；2.计算u’(x)和v(x)的导数；3.将u(x)v’(x)代入分部积分公式中，并进行计算。

4. 换元法与分部积分法的比较换元法和分部积分法都是计算定积分的有效方法，它们在不同的情况下有不同的应用。

换元法适用于被积函数可以通过代换变量为简单形式的情况。

通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式，从而简化计算过程。

不定积分与定积分一、不定积分概念原函数：如果()()I ,f F ∈='x x x ，那么()x F 就称为()x f 在区间I 上的一个原函数。

注意：①如果()()I f F 在是x x 上的一个原函数，那么()()I f F 在也是x c x +上的原函数；②如果()()()I f G ,F 在都是x x x 上的一个原函数，那么()()I ,G F ∈=-x c x x 。

不定积分：把区间I 上的原函数全部称为()I f 在区间x 上的不定积分，记为()dx x ⎰f 。

()()()()c x x d dx x dx x d +==⎰⎰F F ,f f ，()()dx x k dx x k ⎰⎰=f f ，()()[]()()⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x g f g f 。

二、不定积分法⑴第一换元法（凑微分法）定理1设()x f 具有原函数，()x u ϕ=可导，则()()()()()⎰⎰=='du u dx x x x u f f ϕϕϕ。

常见凑微分形式： ①()()()b ax d b ax a dx xb ax ++=+-αααααf 1f 1，特别有 ()()()()()()B ax d b ax axdx b ax b ax d b ax a dx b ax ++=+++=+222f 21f ,f 1f ， ()()x d x xdx f 2x f=。

②()()xxxx d dx e e f e e f = ③()()()();1ln 111ln 1;ln ln 1;ln ln f ln f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x d x d x x x d dx x x d x x dx xxx d dx x x ln ln 12=-。

④;cot csc ;tan sec ;sin cos ;cos sin 22x d xdx x d xdx x d xdx x d xdx -===-=().1ln 1;arctan 1;srcsin 12222±+=±=+=-x x d x dx x d x dx x d xdx 可见，任何微分公式及积分公式都可用来凑微分。

不定积分和定积分的区别与联系在我们的数学课本中，总是说：“不定积分和定积分有什么区别与联系呢？”不过，在现实生活中，这些问题并不好回答。

通过学习，我了解到，两者之间有以下几个方面的区别与联系。

1。

定义的区别定积分的概念是：把函数的某个函数值分成n份，这n等份的乘积相等，其和为定积分，且称这样的积分为该函数的定积分，记作dx^n；而不定积分的概念是：函数的某个函数值分成若干份，取其中的任意一份所得到的函数值都不等于原来函数的值，故把这样的函数值叫做这个函数的不定积分，记作dy。

2。

运算的区别定积分是可以化简的，即：积分上限=积分下限时，原函数的值与新的函数值相等。

而不定积分则无法进行化简。

也就是说：定积分是个代数式，它只要代入原函数的变量中，通过计算求出它的值就可以了；而不定积分则不然，它无法把那些烦琐的运算过程进行化简，使之最终变为一个代数式，最终才能被我们所求得。

3。

结果的形式区别4。

适用范围的区别定积分可以进行计算，但在一定条件下还需要注意应用定积分，而不定积分则不能进行计算。

例如，在证明有界性和微积分基本定理的时候就会用到不定积分，而在计算原函数无界和原函数可导以及原函数的连续性等方面却很少用到定积分。

此外，不定积分只能应用在闭区间上，而定积分既可以在闭区间内又可以在开区间内。

在具体问题的研究中，经常会遇到涉及的是区间端点的情况，因此就必须把不定积分转换为定积分。

如果涉及区间的长度问题时，则往往采用分段函数的方法来处理，这时也要先转换为定积分，再求不定积分的近似值。

5。

分子的不同定积分的分子不管怎么变，都是x，而不定积分的分子则不同。

定积分的分子是自变量，而不定积分的分子则是常数。

6。

结果的形式区别定积分结果的形式是代数式，可以直接读写，而不定积分的结果的形式则是一种计算的结果，只有借助计算器才能够表达出来，比较麻烦。

7。

计算的顺序不同4。

定积分的含义是：把函数的某个函数值分成n份，这n等份的乘积相等，其和为定积分，且称这样的积分为该函数的定积分，记作dx^n；而不定积分的含义是：函数的某个函数值分成若干份，取其中的任意一份所得到的函数值都不等于原来函数的值，故把这样的函数值叫做这个函数的不定积分，记作dy。

不定积分与定积分的区别与联系
定积分和不定积分的区别：
1、定积分和不定积分计算的内容不同：不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子），定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）。

2、定积分和不定积分计算的运算内容不同：不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减积分。

积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。

象各种电子邮箱，qq等。

在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

3、定积分和不定积分计算的应用不同：在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

定积分和不定积分的联系：定积分与不定积分的运算法则相同，并且积分公式，计算方法也相同。

从牛顿-莱布尼茨公式看出，定积分与不定积分联系紧密，相互转换共用。