2017届新人教B版 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 课时作业

课时作业3　简单逻辑联结词、全称量词与存在量词时间：45分钟　分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有实数x，都有f(x)≥f(x0)．因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C..答案：C2．已知命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p为( )A．∃x0∈R，x＋2x0＋2>0B．∃x0∈R，x＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0D．∀x∈R，x2＋2x＋2>0解析：根据含有量词的命题的否定形式，所以该题中綈p为：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，∴D成立．答案：D3．已知p，q为两个命题，则“p是真命题”是“p∨q是真命题”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：p是真命题，无论q是真是假，“p∨q”必为真命题，但“p∨q”为真命题，有可能p假q真，故为充分不必要条件．答案：A4．对于下述两个命题：p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：由题可得p假q假，∴p∧q，p∨q均为假命题，綈p为真命题，选B.答案：B5．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是( )A．①④ B．②③C．③④ D．②④解析：由题意知p假q真，故②④正确，选D.答案：D6．下列说法正确的是( )A．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．“∀x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是：“∃x∈R，x2＋x＋1<0”D．“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题解析：A命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A错；B中，x＝－1⇒x2－5x－6＝0，但x2－5x－6＝0/⇒x＝－1，B错；C中命题的否定为“∃x∈R，x2＋x＋1≥0”，C错；D正确．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)7．命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是________．解析：全称命题的否定为特称命题，故命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是“∃x0∈R，x－x0<0”．答案：∃x0∈R，x－x0<08．若命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为“∃x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.答案：－2≤a≤29．已知命题p：“对于任意的实数x，存在实数m，使得4x－2x＋1＋m＝0”，且命题p是假命题，则实数m的取值范围为________．解析：设t＝2x>0，则f(t)＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t在区间(0,1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数，则对于任意的实数x，有－4x＋2x＋1≤1，则命题p是真命题时，有m＝－4x＋2x＋1≤1.从而命题p是假命题时，实数m的取值范围为m>1.答案：m>1三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：∃x∈R，|x|>0.解：(1)綈q：∃x∈R，x是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．11．(20分)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.若∃x0∈R使f(x0)<b·g(x0)，求实数b的取值范围．解：∵∃x0∈R，f(x0)<b·g(x0)，∴∃x0∈R，x－bx0＋b<0，因此实数b的取值范围是b<0或b>4.——创新应用——12．(20分)设命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．解：命题p：Δ＝16－4a2<0⇒a>2或a<－2.命题q：∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．∵对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，∴只须满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p与q一真一假．①若p真q假，则⇒2<a<6；②若p假q真，则⇒－2≤a≤－1，综合①②，实数a的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．。

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．2．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．綈p ∨q B ．p ∧q C ．綈p ∧綈q D ．綈p ∨綈q 答案 D解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．3．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＝52B ．∃x ∈R ，log 2x ＝1C ．∀x ∈R ，(12)x >0D ．∀x ∈R ，x 2≥0 答案 A解析 因为∀x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，∃x ＝2，log 2x ＝1；对于C ，根据指数函数图象可知，∀x ∈R ，(12)x >0；对于D ，根据二次函数图象可知，∀x ∈R ，x 2≥0.4．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数D ．存在一个单调函数，它不是指数函数 答案 C解析 命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数，故选C.5．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.6．下列结论正确的个数是( )①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限； ②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”；③命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”；A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 C解析 ①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为z ＝1＋i ，对应点在第一象限；②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”是错误的，因为“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 且x ≠－y ”；③命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”是正确的，特称命题的否定是全称命题． 7．若命题p ：对于任意x ∈[－1,1]，有f (x )≥0，则对命题p 的否定是________． 答案 存在x 0∈[－1,1]，使f (x 0)<08．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3， 所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 9．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③.10．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． 解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1. 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真． ①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．p ∨q 是假命题 B ．p ∧q 是真命题 C ．p ∧(綈q )是真命题 D ．p ∨(綈q )是假命题答案 C解析 ∵x ＝10时，x －2＝8，lg 10＝1，x －2>lg x 成立，∴命题p 为真命题，又x 2≥0，命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )是真命题． 12．下列结论正确的是( )A ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0B ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题C ．“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的充分不必要条件D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题为真命题 答案 D解析 ∵x 2＋x ＋1<0的否定是x 2＋x ＋1≥0，∴A 错；若p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，∴B 错；f (x )为奇函数，但f (0)不一定有意义，∴C 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的否命题为“若x 2－3x －2≠0，则x ≠1”是真命题，D 对． 13．下列结论正确的个数是( )(1)命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；(2)函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件； (3)x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； (4)“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (1)中命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”为真命题；(2)中如果函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax 的最小正周期为π，那么由2π|2a |＝π得a ＝±1；由a ＝1得f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x ，其最小正周期为π，所以(2)是真命题； (3)是假命题，由x ∈[1,2]，可将x 2＋2x ≥ax 化为a ≤x ＋2，所以原命题等价于a ≤(x ＋2)min ； (4)是假命题，因为a ·b <0，有可能a 与b 的夹角是π.故选B.14．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(14，4)解析 若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤14.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p ，q 中有且仅有一个为真命题． 若p 真q 假，则14<a <4；若p 假q 真，则a <0.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．15．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2， 即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈q綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .∴0<a ≤2且3a >3， ∴1<a ≤2，∴实数a 的取值范围是(1,2].。

第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1.命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( ) A.∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12 B.∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12 C.∃x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12 D.∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12 解析 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12”. 答案 D2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )A.∀n ∈N ，n 2>2nB.∃n ∈N ，n 2≤2nC.∀n ∈N ，n 2≤2nD.∃n ∈N ，n 2＝2n解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .答案 C3.(2016·江西师大附中模拟)若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( )A.p ∨(綈q )B.p ∧qC.(綈p )∧qD.p ∨q解析 命题p 和命题q 都是假命题，则命题綈p 和命题綈q 都是真命题，故选A.答案 A4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )A.(綈p )∨(綈q )B.p ∨(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.p ∨q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )∨(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定选A.答案 A5.(2018·成都调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p ∧(綈q )B.(綈p )∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q 解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题.答案 A6.命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.(0，4]B.[0，4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 答案 D7.以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4解析 ∵Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题； 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.答案 A8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞). 答案 D二、填空题9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定是________.答案 ∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>210.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)11.(2018·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题.其中为真命题的是________(填序号).解析 显然①③正确；②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确；④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误.答案 ①②③12.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________.解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1<x ≤2或x <－3}.答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析 改变量词，否定结论.∴綈p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.答案 D14.(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.答案 B15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________. 解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)16.(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A2．下列命题中，是真命题的全称命题为( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数答案 D3．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x 0＝0时，x 20＝0，满足x 20≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题． 4．下列命题的否定是真命题的是( )A ．有些实数的绝对值是正数B ．所有平行四边形都不是菱形C ．任意两个等边三角形都是相似的D ．3是方程x 2－9＝0的一个根答案 B5．(2019·大庆铁人中学期末)命题p ：0<m <2，则方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆，命题q ：函数y ＝log a (x ＋2)＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点(－1,1)，则( )A ．p ∨q 为假B ．p ∧q 为真C ．p 为真，q 为假D ．p 为假，q 为真答案 D解析 命题p ：0<m <2，则方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆，当m ＝1时，方程表示圆，假命题；命题q ：函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)，将(－1,1)代入函数，成立，真命题，故p 假，q 真．6．(2019·保定模拟)命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0B ．∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0答案 D解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0”．故选D.7．已知命题“∃x 0∈R ,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D. 8．已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x |y ＝lg x －3}，则下列命题中真命题的个数是( ) ①∃m 0∈A ，m 0∉B ；②∃m 0∈B ，m 0∉A ；③∀m ∈A ，m ∈B ；④∀m ∈B ，m ∈A .A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析 因为A ＝{y |y ＝x 2＋2}，所以A ＝{y |y ≥2}，因为B ＝{x |y ＝lg x －3}，所以B ＝{x |x >3}，所以B 是A 的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.9．(2019·邯郸一中测试)若命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 是________． 答案 ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________．答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．11．已知下列命题：①“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，03x ≤x 30”；②若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；③若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1. 其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)答案 ①②解析 对于①，命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，03x≤x 30”，故①为真命题；对于②，若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，故②为真命题；对于③，对于函数f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2－1＝1，x >－1，当且仅当x ＝0时，f (x )＝1，故③为假命题．故答案为①②.12．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ0∈R ，12sin θ0＋32cos θ0＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________．答案 q 1，q 4解析 因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x 在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命题；12sin θ＋32cos θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题．13．已知f (x )＝e x －x ，g (x )＝ln x ＋x ＋1，命题p ：∀x ∈R ，f (x )>0，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，g (x 0)＝0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0C ．q 是真命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0D ．q 是假命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0答案 C解析 f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0得x >0，由f ′(x )<0得x <0，故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值，f (0)＝e 0－0＝1－0＝1>0，∴∀x ∈R ，f (x )>0成立，即p 是真命题．g (x )＝ln x ＋x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，且g (e －2)＝－2＋e －2＋1＝e －2－1<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0， 綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0.综上，只有选项C 正确．14．下列命题中真命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； ②∃x 0>0，ln x 0＋1ln x 0≤2； ③若命题p ∨q 是真命题，则綈p 是真命题；④命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“∀x 0∈R ,02x ≤0”．A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 对于①，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立，所以①正确．对于②，当x ＝12>0时，ln x <0，1ln x <0，所以∃x 0>0，ln x 0＋1ln x 0≤2成立，所以②正确．对于③，若命题p ∨q 是真命题，则p ，q 至少有一个为真命题，所以綈p 真假不能判断，所以③错误．对于④，命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“∃x 0∈R ,02x ≤0”，所以④错误．故真命题的个数是2.15．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，因为a >0，所以函数g (x )的值域是[2－a ,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 16．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x －mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 级·全员必做题1．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( ) A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 B ．∃a <0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 C ．∀a >0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )22．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．q 为真 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真3．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )4．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )`都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数 5．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件6．已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(¬p 1)∧(¬p 2)B ．p 1∨(¬p 2)C ．(¬p 1)∧p 2D ．p 1∧p 27．下列说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 0＋1x 0>2，则¬p ：∀x ∈R ，均有x ＋1x≤2B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题8．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤19．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋5＝0”的否定是________．10．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．11．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．12．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 13．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(¬q )”是真命题；③命题“(¬p )∨q ”是真命题；④命题“(¬p )∨(¬q )”是真命题．其中正确的是________．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(¬q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”． 其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)B 级·重点选做题1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，ln(x 20＋1)<0，则¬p ：∀x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件2．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是() A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．¬p为假命题D．¬q为假命题3．已知命题p：“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是________．4．下列四个命题：①∃x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2；②对∀x∈R，sin x＋1sin x≥2；③对∀x∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x＋1tan x≥2；④∃x0∈R，使sin x0＋cos x0＝ 2.其中正确命题的序号为________．5．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足⎩⎪⎨⎪⎧x2－x－6≤0，x2＋2x－8>0.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．6．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．教师备选题1．有下列四个命题：p 1：若a ·b ＝0，则一定有a ⊥b ； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； p 3：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝a 1－2x＋1都恒过定点⎝⎛⎭⎫12，2；p 4：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ≥0.其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 3C ．p 1，p 3D ．p 2，p 42．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”“p ∨q ”“¬p ”“¬q ”中，是真命题的有________．3．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．参考答案 A 级·全员必做题1．D【解析】全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.2．C【解析】命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题． 3．D【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以¬p 为假命题，¬q 为真命题，所以(¬p )∨(¬q )为真命题．4．A【解析】由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．5．D【解析】因为∀x ∈R ，e x ＞0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出ab＝－1，故排除C.6．C【解析】∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，¬p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，¬p 2为假命题．∵¬p 1为真命题，p 2为真命题，∴(¬p 1)∧p 2为真命题．7．D【解析】显然选项A 正确；对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确；对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故选项D 错误．8．A【解析】若命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1.若命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0真，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2，又p且q 为真命题所以a ＝1或a ≤－2.9．对任何x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 10．∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真【解析】q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．11．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.12．12【解析】由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12. 13．②④【解析】因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(¬q )”是真命题，命题“(¬p )∨q ”是假命题，命题“(¬p )∨(¬q )”是真命题．14．①③【解析】在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(¬q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．B 级·重点选做题1．D【解析】 sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.2．B【解析】∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题．3．(－∞，1]【解析】若¬p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.4．③④【解析】∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]； 故①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2错误； ④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2错误；③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x≥2正确．5． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}， 因为¬p 是¬q 的充分不必要条件， 所以AB .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．6．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{ a |}a >2，或a <－2.教师备选题1．A【解析】对于p 1：∵a ·b ＝0⇔a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，当a ＝0，则a 方向任意，a ，b 不一定垂直，故p 1假，否定B 、D ，又p 3显然为真，否定C.2．¬p ，¬q【解析】依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“¬p ”为真、“¬q ”为真．3．解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根x 1，x 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0. 解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0. 解得1<m <3，即q ：1<m <3. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.∴m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．下列存在性命题中真命题的个数是（ ）①x R ∃∈，x≤0②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③x ∃∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数A ．0B ．1C ．2D ．32．下列全称命题中假命题的个数是（ ）①2x+1是整数（x ∈R ） ②对所有x ∈R ，x ＞3 ③对任意一个x ∈Z ，2x 2+1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．33．下列命题为存在性命题的是（ ）A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在实数大于等于34．命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（ ）A ．原函数与反函数的图象关于y=－x 对称B ．原函数不与反函数的图象关于y=x 对称C ．存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D ．存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称5．设语句:1p x =，2:890q x x ⌝+-=，则下列各选项为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．若q 则p ⌝D ．若p ⌝则q二、填空题6．若命题“p 或q”和“非p”都是真命题，则命题q 的真假是________．如果命题“p 且q”和“非p”都是假命题，则命题q 的真假是________．7．命题p: 0不是自然数，命题q: 2是无理数，则在命题“p 且q”，“p 或q”,"非p"，“非q”中真命题是________，假命题是_________．8．下列命题：①若xy=1，则x 、y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ，其中真命题的序号是________。

9．命题：x N ∀∈，x 3＞x 2的否定是____________。

10．命题：存在一个三角形没有外接圆的否定是____________。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是 ( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【解析】选A.由题意知命题p是真命题,命题q是假命题,故p是假命题,q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧q是真命题.2.(2018·湖州模拟)命题“x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为( )A.?x∈R,x2-2x+4≥0B.?x0∈R,-2x0+4>0C.?x?R,x2-2x+4≤0D.?x0?R,-2x0+4>0【解析】选B.因为命题“x∈R,x2-2x+4≤0”,所以命题的否定是“?x0∈R,-2x0+4>0”.3.已知命题p:?x0∈R,x0-2>lg x0,命题q:?x∈R,x2>0,则 ( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(q)是真命题D.命题p∨(q)是假命题【解析】选C.当x=12时,x-2>lg x显然成立,所以p真;当x=0时,x2=0,所以q假,q真.由此可知C正确.【变式备选】已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“a2>b2”是“a>b”的充要条件,则( )A.p∨q为真B.p∧q为真C.p真q假D.p∨q为假【解析】选D.由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由a2>b2可得|a|>|b|,但a不一定大于b,反之也不一定成立,故命题q 是假命题.所以p∨q为假.4.(2018·临川模拟)命题“存在x0∈R,使+ax0-4a<0为假命题”是命题“-16≤a≤0”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.依题意,知x2+ax-4a≥0恒成立,则Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.5.若命题“?x0∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞，-1]∪[3,+∞）D.(-∞，-1)∪(3,+∞）【解析】选 D.因为命题“?x0∈R,+(a-1)x0+1<0”等价于+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.6.下列命题中,真命题是( )A.?x0∈R,sin2+cos2=B.?x∈(0,π),sin x>cos xC.?x∈(0,+∞),x2+1>xD.?x0∈R,+x0=-1【解析】选C.对于A选项:?x∈R,sin2+cos2=1,故A为假命题;对于B选项:当x=时,sin x=,cos x=,sin x<cos x,故B为假命题;对于C选项:x2+1-x=+>0恒成立,C为真命题;对于D选项:x2+x+1=+>0恒成立,不存在x0∈R,使+x0=-1成立,故D 为假命题.7.(2018·枣庄模拟)命题p:x∈R,ax2+ax+1≥0,若p是真命题,则实数a的取值范围是( )A.(0,4]B.[0,4]C.(-∞,0]∪[4,+∞）D.(-∞,0)∪(4,+∞）。

课时作业4 函数及其表示1．下列各组函数中,表示同一函数的是( D ) A ．f(x)＝e lnx,g(x)＝x B ．f(x)＝x 2－4x ＋2,g(x)＝x －2C ．f(x)＝sin2x2cosx ,g(x)＝sinxD ．f(x)＝|x|,g(x)＝x 2解析：A,B,C 的定义域不同,所以答案为D.2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R,则实数m 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R,∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时,mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m≠0时,Δ＝16m 2－12m<0,解得0<m<34.综上,m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.3．(2019·广东珠海模拟)已知f(x 5)＝lgx,则f(2)＝( A ) A.15lg2 B.12lg5 C.13lg2 D.12lg3 解析：解法一：由题意知x ＞0,令t ＝x 5,则t ＞0,x ＝t 15,∴f(t)＝lgt 15＝15lgt,即f(x)＝15lgx(x ＞0),∴f(2)＝15lg2,故选A.解法二：令x 5＝2,则x ＝215,∴f(2)＝lg215＝15lg2,故选A.4．已知函数f(x)＝1－log 2x 的定义域为[1,4],则函数y ＝f(x)·f(x 2)的值域是( C ) A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f(x)·f(x 2),由函数f(x)的定义域是[1,4],得1≤x≤4,且1≤x 2≤4,解得1≤x≤2,故函数y ＝f(x)·f(x 2)的定义域是[1,2],易得y ＝f(x)·f(x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x,令t ＝log 2x,则t ∈[0,1],y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18,故t ＝34时,y 取最小值－18；t ＝0时,y 取最大值1,故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1,故选C.5．(2019·河南濮阳模拟)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g x ，x ＜0是奇函数,则f(g(－2))的值为( C )A.52 B ．－52C ．1D ．－1 解析：∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g x ，x ＜0是奇函数,∴x ＜0时,g(x)＝－12x ＋3,∴g(－2)＝－12－2＋3＝－1,f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝－12－1＋3＝1,故选C.6．(2019·福建福州模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f(x 2－2)＞f(x)的x 的取值范围是( C )A ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)B ．(－∞,－2)∪(2,＋∞)C ．(－∞,－2)∪(2,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)解析：由题意,x ＞0时,f(x)递增,故f(x)＞f(0)＝0,又x≤0时,x ＝0,故若f(x 2－2)＞f(x),则x 2－2＞x,且x 2－2＞0,解得x ＞2或x ＜－2,故选C.7．(2019·河北成安模拟)定义新运算⊕：当a≥b 时,a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时,a ⊕b ＝b 2,则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x),x ∈[－2,2]的最大值等于( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知,当－2≤x≤1时,f(x)＝x －2；当1＜x≤2时,f(x)＝x 3－2,又∵y ＝x －2,y ＝x 3－2在R 上都为增函数,且f(x)在x ＝1处连续, ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.8．(2019·江西南昌一模)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a|，x≤1，x ＋1，x ＞1，若f(1)是f(x)的最小值,则实数a 的取值范围为( C )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1,＋∞)解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a|，x≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1,则f(x)＝x ＋1＞2,易知y ＝2|x －a|在(a,＋∞)上递增,在(－∞,a)上递减,若a ＜1,则f(x)在x ＝a 处取得最小值,不符合题意； 若a≥1,则要使f(x)在x ＝1处取得最小值, 只需2a －1≤2,解得a≤2,∴1≤a≤2.综上可得a 的取值范围是[1,2],故选C.9．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．解析：要使函数f(x)有意义,需有⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4＞0，解得－4＜x≤1,即函数f(x)的定义域为(－4,1]．10．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≤0，|log 2x|，x ＞0，则使f(x)＝12的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 .解析：由题意知,若x≤0,则2x＝12,解得x ＝－1；若x ＞0,则|log 2x|＝12,解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 11．记函数f(x)＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A,g(x)＝lg[(x －a －1)(2a －x)](a ＜1)的定义域为B.若B ⊆A,则实数a 的取值范围为(－∞,－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 . 解析：由已知得A ＝{x|x ＜－1或x≥1}, B ＝{x|(x －a －1)·(x－2a)＜0},由a ＜1得a ＋1＞2a,∴B ＝{x|2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A,∴a ＋1≤－1或2a≥1,∴a≤－2或12≤a＜ 1.∴a 的取值范围为a≤－2或12≤a＜1.12．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0, f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时,f(x)＝x 2； 当x ∈(1,2]时,x －1∈(0,1], f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋22，x ∈[－2，－1，－2x ＋12，x ∈[－1，0，x 2，x ∈[0，1]，－12x －12，x ∈1，2].13．如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( A )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：设所求函数解析式为f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0),则f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c(a≠0),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝0，f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f′0＝c ＝－1，f′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f(x)＝12x 3－12x 2－x.14．(2019·江西南昌一模)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a|，x ＜a ＋1，－|x ＋1|－a ，x≥a＋1，若f(x)的最大值不超过1,则实数a 的取值范围为( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－54解析：当x ＜a ＋1时,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a|在(－∞,a)上递增,在[a,a ＋1)上递减,可得此时f(x)在x ＝a 处取得最大值,且为1；当x≥a＋1时,f(x)＝－a －|x ＋1|,当a ＋1≥－1,即a≥－2时,f(x)递减,由题意得－a －|a ＋2|≤1,解得a≥－32；当a ＋1＜－1,即a ＜－2时,f(x)在x ＝－1处取得最大值,且为－a,由题意得－a≤1,则a ∈∅.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞,故选A.。

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真． (2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假． (3)綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，否命题是“若綈p ，则綈q ”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)若命题p ，q 中至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )(5)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) 题组二 教材改编2．[P18B 组]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是_______________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由綈p 为真知，p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题中， 为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0 D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．綈q 答案 B 解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x >0，得0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题．故选B.2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题． ∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号)答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交． 思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＞0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ≤0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R,1＜f (x )≤2B ．∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D 解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32 B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B. (2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ， －x 0－1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ， －x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ， －x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞) 解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1) 答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D D ．[－2,2] 答案 A 解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时， 则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断0e x 0e x 0e x典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立． 答案 B(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题，∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．二、充要条件的判断：典例2 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( )A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析 x 2＋xx －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－12<x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (－∞，0]课时达标 第3讲一、选择题1．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2D 解析 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．故选D.2．(2019·北京朝阳期中)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞0；命题q ：在曲线y ＝cos x 上存在斜率为2的切线，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题解析 易知命题p 是真命题，对于命题q ，y ′＝－sin x ，设切点坐标为(x 0，cos x 0)，则切线斜率k ＝－sin x 0≠2，即不存在x 0∈R ，使得－sin x 0＝2，所以命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )是真命题，故C 项正确．3．(2019·忻州二中期末)已知命题p ：x ＞2是x 2＞4的充要条件，命题q ：若a c 2＞b c2，则a ＞b ，那么( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假 A 解析 由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，根据真值表可知A 项正确． 4．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(綈q )是假命题C ．命题(綈p )∨q 是真命题D ．命题(綈p )∧(綈q )是假命题D 解析 取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知D 项正确．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D 解析 命题p 的否定是綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0成立，即不等式ax 2＋ax ＋1<0有解．当a ＝0时，1<0，不等式无解；当a ＞0时，要使不等式有解，则a 2－4a >0，解得a >4；当a ＜0时，不等式显然有解．综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D.6．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅B 解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,2]． 二、填空题7．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0.答案 08．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由题可知“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2. 答案 [－22，22]9．(2019·黄冈中学期中)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，sin x ＝－1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0；则命题p ∧(綈q )是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③ 三、解答题10．(2019·岳阳一中月考)已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．(1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．解析 (1)设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≥5，1－m ≤－1，解得m ≥4.故实数m 的取值范围为[4，＋∞)．(2)根据条件可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x >6或x <－4，无解．当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧x >5或x <－1，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.故实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5,6]．11．(2019·忻州二中期中)已知命题p ：存在a ＞0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减；命题q ：存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0.若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解析 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，所以0＜a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根．所以Δ＝[－16(a －1)]2－4×16＜0，所以12＜a ＜32.因为命题p ∧q 为真命题，所以命题p ，q 都为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，12＜a ＜32，所以12＜a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 12．已知命题p ：∃x ∈[0,2]，log 2(x ＋2)＜2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解析 令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )最小值为f (0)＝1，故若p 为真，则2m ＞1，m ＞12；对于q ：Δ＝4－12m 2＞0，即m 2＜13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，所以－33＜m ＜33. (1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，故－33＜m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m ＞12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33； 若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，即－33＜m ≤12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.13．[选做题]命题p ：f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q ：正数x ，y 满足x ＋2y ＝8，且a ≤2x ＋1y恒成立，若p ∨(綈q )为假命题，求实数a 的取值范围．解析 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ≤2，解得－1≤a ≤0； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1≤2，解得0<a <1； 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ≤2，解得1≤a ≤2. 所以使命题p 为真的a 的取值范围是[－1,2]． 由x ＋2y ＝8得x 8＋y4＝1，又x ，y 都是正数，所以2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 8＋y 4＝12＋⎝⎛⎭⎫x 8y ＋y 2x ≥12＋2x 8y ·y2x＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 8y ＝y 2x ，x ＋2y ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，等号成立，故⎝⎛⎭⎫2x ＋1y min ＝1.因为a ≤2x ＋1y 恒成立，所以a ≤1，所以使命题q 为真的a 的取值范围是(－∞，1]．因为p ∨(綈q )为假命题，所以p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，a ≤1，则a <－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．。