高考数学总复习教案：简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

全称量词、存在量词与逻辑联结词复习教案一、教学目标1. 理解全称量词的概念及其在数学和逻辑中的应用。

2. 掌握存在量词的定义及其在数学和逻辑中的运用。

3. 了解逻辑联结词的种类及其在逻辑表达式中的作用。

4. 能够运用全称量词、存在量词和逻辑联结词分析实际问题。

二、教学内容1. 全称量词：介绍全称量词的定义，举例说明全称量词在数学和逻辑中的应用。

2. 存在量词：讲解存在量词的定义，展示存在量词在数学和逻辑中的实际应用。

3. 逻辑联结词：介绍逻辑联结词的种类，如且、或、非等，解释它们在逻辑表达式中的作用。

4. 综合练习：通过举例和练习题，巩固全称量词、存在量词和逻辑联结词的应用。

三、教学方法1. 采用讲授法讲解全称量词、存在量词和逻辑联结词的概念及其应用。

2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子理解全称量词、存在量词和逻辑联结词的实际应用。

3. 开展小组讨论，让学生互动交流，共同探讨全称量词、存在量词和逻辑联结词的使用。

4. 提供练习题，让学生在实践中巩固全称量词、存在量词和逻辑联结词的知识。

四、教学评估1. 课堂问答：检查学生对全称量词、存在量词和逻辑联结词概念的理解。

2. 练习题：评估学生运用全称量词、存在量词和逻辑联结词分析问题的能力。

3. 小组讨论报告：评价学生在小组讨论中的参与程度和对全称量词、存在量词、逻辑联结词的理解。

五、教学资源1. 教案、PPT课件：提供全称量词、存在量词和逻辑联结词的讲解和案例分析。

2. 练习题：供学生课后巩固全称量词、存在量词和逻辑联结词的知识。

3. 小组讨论案例：用于学生分组讨论，培养学生的合作能力。

教学计划：1. 第1-2课时：讲解全称量词的概念及其应用。

2. 第3-4课时：讲解存在量词的定义及其应用。

3. 第5-6课时：介绍逻辑联结词的种类及其作用。

4. 第7-8课时：进行全称量词、存在量词和逻辑联结词的综合练习。

5. 第9-10课时：学生分组讨论，分享讨论成果。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案 2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件． 5．下列命题中的假命题是________．(填序号) ①∃x ∈R ，lg x ＝1； ②∃x ∈R ，sin x ＝0； ③∀x ∈R ，x 3＞0； ④∀x ∈R ，2x ＞0. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则④为真命题．6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]解析 由已知条件，知p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．(2017·山东改编)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式． (2)判断其中命题p ，q 的真假．(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 典例 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x； ②∃x ∈(0,1)，log 12x ＞13log x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎫12x＞12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1＝121log 2＝131log 3＞131log 2成立，故②是真命题；对于③，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝12log x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断③是假命题；对于④，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎫0，13上的图象，可以判断④是真命题．命题点2 含有一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”． (2)(2017·苏州暑假测试)命题“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是________． 答案 ∀x ＞1，x 2＜2解析 根据存在性命题的否定规则得“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是“∀x ＞1，x 2＜2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x ，使p (x )成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是________．(填序号) ①∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ②∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；③∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)； ④∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点．答案 ②解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，①正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，②错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0，③正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，④正确．(2)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>0解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”． 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上单调递增， 故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故当p 为真时，m >45； 函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1， 若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得m <1， 故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的________条件． 答案 必要不充分解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题． 二、充要条件的判断典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的________条件． 答案 必要不充分解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件． 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意，知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )． 答案 ④解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假． 3．下列命题中为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x ； ②∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ③∀x ∈R,3x ＞0； ④∃x ∈R ，lg x ＝0. 答案 ②解析 对于①，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故①正确；对于②，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝2，故②错误；对于③，易知3x ＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确． 4．下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12； ④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号) ①p ∧q;②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q ); ④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q ); ②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q );④p ∧q .答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质可知，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立， 当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．7．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．(2017·江苏南通中学月考)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞) 解析 若命题p ：函数y ＝c x 为减函数为真命题，则0<c <1.当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 若命题q 为真命题，则1c <2，结合c >0可得c >12. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假．当p 真q 假时，0<c ≤12； 当p 假q 真时，c ≥1.故c 的取值范围是为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，0)解析 f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．14．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为a >1，所以g (x )在[2，＋∞)上单调递，即g (x )≥a 2.又当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。

第二讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教学目标：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、知识回顾课前热身知识点1、命题p∧q、p∨q、非p的真假判定p q p∧q p∨q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真知识点2．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．知识点3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)例题辨析推陈出新例1已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．[答案] D变式练习1．(2013·长春名校联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．非p 为假命题D ．非q 为假命题 解析：选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题.例2(1)下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x(2)已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (m )C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m )[自主解答] (1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．(2)∵a >0，∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝－b2a处取得最小值．∴f (m )是函数f (x )的最小值．故C 错误． [答案] (1)B (2)C变式练习2．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数解析：选D 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题.例3写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.[自主解答] (1)非p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题． (2)非q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)非s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．变式练习3．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0. 答案：有些可以被5整除的数，末位不是0例4已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)[自主解答] 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案] C4．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴非p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1， ∴非q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.三、归纳总结 方法在握归纳1个规律——含逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真全真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即一假即假； (3)非p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2种方法——含量词的命题的否定及真假判断方法 (1)全称命题真假的判断方法(见例2)； (2)特称命题真假的判断方法(见例2)；(3)含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．2个易错点——命题否定中的两个易错点 (1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非p 或非q . 3．常见词语的否定形式正面词语 是 都是> 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定词语 不是 不都是 ≤一个也没有 至少有两个存在x 0∈A ，使p (x 0)假四、拓展延伸 能力升华例1、(2012·辽宁高考)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则非p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0[解析] 题目中命题的意思是“对任意的x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x 1，x 2，使得(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0即可，故命题“∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0”的否定是“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”．[答案] C变式练习1．命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1<0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1≥0B ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0解析：选C 因为特称命题p ：∃x 0∈A ，P (x 0)，它的否定是非p ：∀x ∈A ，非P (x )，所以命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”．2．若命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题非p ：( ) A ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－∞，－π2∪⎝⎛⎭⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：选C ∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题非p 为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 五、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·长沙模拟)设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( ) A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假解析：选C ∵p 或q 为真⇒p 、q 中至少有一个为真；p 且q 为假⇒p 、q 中至少有一个为假， ∴“命题p 或q 为真，p 且q 为假”⇒p 与q 一真一假． 而由C 选项⇒“命题p 或q 为真，p 且q 为假”． 2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：选D 1<4x 0<3，14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 错误；5x 0＋1＝0，x 0＝－15∉Z ，故B 错误；x 2－1＝0，x ＝±1，故C 错误；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74>0. 3．(2013·揭阳模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧非q 是真命题C ．命题非p ∧q 是真命题D ．命题非p ∨非q 是假命题解析：选C 命题p 是假命题，命题q 是真命题， ∴p ∧q 是假命题，p ∧非q 是假命题，非p ∧q 是真命题，非q ∨非p 是真命题．4．已知命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0＝12，则非p 为( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ＝12 B ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0≠12D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0>12解析：选B 依题意得，命题非p 应为：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12. 5．已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∧(非q )D ．p ∨q解析：选D 抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－18；当函数f (x ＋1)为偶函数时，函数f (x ＋1)的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称(注：将函数f (x )的图象向左平移一个单位长度可得到函数f (x ＋1)的图象)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q 、p ∨(非q )、(非p )∧(非q )都是假命题，p ∨q 是真命题．6．(2013·南昌模拟)下列命题正确的是( )A ．已知p ：1x ＋1>0，则非p ：1x ＋1≤0B ．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件C ．命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则非p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0D ．存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立解析：选B 对于A ，非p 应是x ＋1≤0，因此A 不正确；对于B ，在△ABC 中，a >b ⇔A >B ⇔cos A <cos B ，因此B 正确；对于C ，命题非p 应是∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0，因此C 不正确；对于D ，注意到sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]，且π2∉[－2， 2 ]，因此不存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立，D 不正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________．解析：全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3. 答案：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤38．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”中是真命题的有________．解析：依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，非p 为真．答案：p ∨q ，非p9．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0.答案：[－8,0]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些素数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解：(1)非q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)非r ：每一个素数都不是奇数，假命题．(3)非s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．11．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题． p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1， 所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0， 只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2， 所以命题q ：a ≥1或a ≤－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2 故实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.12．已知命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围．解：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即m >2时，p 真．存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3，即1<m <3时，q 真．因“p ∨q ”为真，所以命题p 、q 至少有一个为真， 又“p ∧q ”为假，所以命题p 、q 至少有一个为假，因此，命题p 、q 应为一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真． 故⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[最新考纲] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，pp2.p，p(1)p∨q：有真则真．(2)p∧q：有假则假．(3)p与p：真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题． ()(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]3．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1＞0B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2B [对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 项是假命题．] 4．命题：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． [－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a ≤0.]定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧q A [p ：甲没有降落在指定范围，q ：乙没有降落在指定范围．则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p )∨(q )，故选A.] 2．若命题“p ∨q ”是真命题，“p ”为真命题，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假 D ．p 假，q 假B [命题“p ∨q ”是真命题，则p 或q 至少有一个真命题，又“p ”是真命题，则p 是假命题，从而q 一定是真命题，故选B.]3．(2019·泰安模拟)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(q )C ．(p )∧qD ．(p )∧(q ) B [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2<b 2， ∴命题q 为假命题，∴q 为真命题．p p【例1】 (1)(2019·武汉模拟)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1＞0C ．∃x 0∈N ，sin π2x 0＝1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.(2)当x ∈R 时，x 2≥0且2x －1＞0，故A 、B 是真命题．当x 0＝1时，sin π2x 0＝1，故C 是真命题．由sin x ＋cos x ＝2sin ⎛⎭⎫x ＋π4≤2，故D 是假命题．]000A ．∀x ＞0，使2x (x －a )＞1 B ．∀x ＞0，使2x (x －a )≤1 C ．∀x ≤0，使2x (x －a )≤1 D ．∀x ≤0，使2x (x －a )＞1 (2)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x ＞0，使2x (x －a )≤1，故选B.(2)因为x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.]【例2】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3，故选B.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋4＝0；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)[－12，－4]∪[4，＋∞) [(1)p 是假命题，则p 是真命题，当x ∈[1,2]时，e ≤e x ≤e 2，由题意知a ≤(e x )min ，x ∈[1,2]，因此a ≤e ，故选B.(2)若p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，解得a ≤－4或a ≥4.若q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.由p ∧q 是真命题知，命题p 、q 均是真命题． 因此a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]课后限时集训(三) (建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题 1．(2019·石家庄模拟)已知命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝1－x 0，则命题p 的真假及p 依次为( )A ．真；∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠1－x 0B ．真；∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－xC ．假；∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－xD ．假；∃x 0∈(0，＋∞)，ln x ≠1－x 0B [当x 0＝1时，ln x 0＝1－x 0＝0，故命题p 为真命题．∵命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝1－x 0，∴p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－x ，故选B.]2．(2019·广州模拟)设命题p ：∀x ＜1，x 2＜1，命题q ：∃x 0＞0,2x 0＞1x 0，则下列命题中是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．(p )∧(q )B [当x ＝－2时，x 2＝4＞1，显然命题p 为假命题；当x 0＝1时，2x 0＝2＞1＝1x 0，显然命题q 为真命题；∴p 为真命题，q 为假命题，∴(p )∧q 为真命题，故选B.] 3．(2019·衡水模拟)设命题p ：“∀x 2＜1，x ＜1”，则p 为( ) A ．∀x 2≥1，x ＜1 B ．∃x 20＜1，x 0≥1 C ．∀x 2＜1，x ≥1 D ．∃x 20≥1，x 0≥1 B [因为全称命题的否定是特称命题，所以p 为∃x 20＜1，x 0≥1，故选B.]4．(2019·沈阳模拟)已知命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)D [因为命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选D.]5．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧qC ．p ∧qD ．p ∧qD [由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p 是假命题，q 是真命题；所以，p ∧q 是假命题，p ∧q 是假命题，p ∧q 是假命题，p ∧q 是真命题．故选D.]6．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0D [命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0”，故选D.]7．给出下列命题：①∀α∈R ，sin α＋cos α＞－1；②∃α0∈R ，sin α0＋cos α0＝32；③∀α∈R ，sin αcos α≤12；④∃α0∈R ，sin α0cos α0＝34. 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②④C [由sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤2知①②是假命题，由sin αcos α＝12sin 2α≤12知③④是真命题，故选C.] 二、填空题8．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，由“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，得m ≥1.故实数m 的最小值为1.]9．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(q )”是假命题； ③命题“(p )∨q ”是真命题；④命题“(p )∨(q )”是假命题． 其中正确的是________(填序号)．①②③④ [命题p ，q 均为真命题，则p ，q 为假命题．从而结论①②③④均正确．] 10．已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[e,4] [由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4，综上知e ≤a ≤4.]B 组 能力提升1．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 D [∀的否定是∃，∃的否定是∀，n ≥x 2的否定是n ＜x 2.故命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．]2．(2019·合肥模拟)设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)B [由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x 2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p ，q 一真一假，当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2＜a ＜2}＝∅，当p 假q 真时，可得{a |a ＜3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a ＜3}．综上可得实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2,3)，故选B.]3．已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件； ③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则p ：对任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中为真命题的是________．(填序号) ①②③ [①正确．②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确． 由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]4．已知下列命题：①∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；②∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1； ③∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x ＞sin x .其中真命题为________．(填序号)①② [对于①，当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以此命题为真命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2＞0，所以此命题为真命题；对于③，∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0，所以此命题为假命题；对于④，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x ＜0＜sin x ，所以此命题为假命题．]第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，pp2.p，p(1)p∨q：有真则真．(2)p∧q：有假则假．(3)p与p：真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题． ()(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．43．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1D．∃x∈R，tan x＝24．命题：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧q2．若命题“p ∨q ”是真命题，“p ”为真命题，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假 D ．p 假，q 假3．(2019·泰安模拟)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(q )C ．(p )∧qD ．(p )∧(q ) p p【例1】 (1)(2019·武汉模拟)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1＞0C ．∃x 0∈N ，sin π2x 0＝1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2000A．∀x＞0，使2x(x－a)＞1 B．∀x＞0，使2x(x－a)≤1 C．∀x≤0，使2x(x－a)≤1 D．∀x≤0，使2x(x－a)＞1 (2)下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x2－x－1＞0B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC．∃x∈R，x2－x＋1＝0D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β【例2】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1,3)C．(－3，＋∞) D．(－3,1)(2)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2()A．(－∞，e2] B．(－∞，e]C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)(2)已知命题p：∃x0∈R，x20－ax0＋4＝0；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．课后限时集训(三)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·石家庄模拟)已知命题p：∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝1－x0，则命题p的真假及p依次为()A．真；∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠1－x0B．真；∀x∈(0，＋∞)，ln x≠1－xC．假；∀x∈(0，＋∞)，ln x≠1－xD．假；∃x0∈(0，＋∞)，ln x≠1－x02．(2019·广州模拟)设命题p ：∀x ＜1，x 2＜1，命题q ：∃x 0＞0,2x 0＞1x 0，则下列命题中是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．(p )∧(q )3．(2019·衡水模拟)设命题p ：“∀x 2＜1，x ＜1”，则p 为( )A ．∀x 2≥1，x ＜1B ．∃x 20＜1，x 0≥1C ．∀x 2＜1，x ≥1D ．∃x 20≥1，x 0≥14．(2019·沈阳模拟)已知命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)5．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧qC ．p ∧qD ．p ∧q6．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 07．给出下列命题：①∀α∈R ，sin α＋cos α＞－1；②∃α0∈R ，sin α0＋cos α0＝32；③∀α∈R ，sin αcos α≤12；④∃α0∈R ，sin α0cos α0＝34.其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④二、填空题8．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．9．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(q )”是假命题；③命题“(p )∨q ”是真命题；④命题“(p )∨(q )”是假命题．其中正确的是________(填序号)．10．已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．B 组 能力提升1．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 22．(2019·合肥模拟)设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)3．已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”；②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则p ：对任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中为真命题的是________．(填序号)4．已知下列命题：①∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2； ②∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1；③∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x ＞sin x . 其中真命题为________．(填序号)。

p p p q q 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、知识梳理：（阅读教材选修2-1第14页—第27页）1、 简单的逻辑联结词：常用的简单的逻辑联结词有 ，用符号 来表法；其含义是：“且”是若干个简单命题都成立；“或”是若干个简单命题中至少有一个成立；“非”是对一个简单命题的否定。

（只否定结论）2、 由“或”，“且”，“非”联结的命题及真假“p 且q ”即 ，含义是p ，q 两个命题 成立；“p 或q ”即 ，含义是p ，q 两个命题 成立；“非p ”即 ，含义是对p 命题的 。

由“或”，“且”，“非”联结的命题的真值表3、 量词（1）、短语“对所有的”或“对任意一个”，在陈述句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示，含有全称量词的命题叫做全称命题．．．．。

（2）、短语“存在一个”或“至少有一个”，在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑学中通常叫做存在量词，并用符号“”来表示，含有存在量词的命题叫做特称命题．．．．，或叫存在性命题。

（3）、全称命题p ：x ，p(x)：它的否定 ： ， ();特称命题q ：，q()：它的否定 ：x ， (X)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。

二、题型探究【探究一】：由“或”，“且”，“非”联结的命题及真假 例1：分别写出下列各组命题的构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题，并判断它们的真假（1）p ：1不是质数 q ：1不是合数（2）p ：四条边都相等的四边形是正方形 p ：四个角相等的四边形是正方形探究二：由“或”，“且”，“非”联结的命题的真假为背景，求解参数例2：已知命题p ：关于方程实根；命题q ：函数y=在[3，+是上增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围。

pq pq pq 真真 真 真 假 真假 假 真 假 假真 假 真 真 假 假 假 假 真探究三：含有量词的命题的否定例3：（1）、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是(B )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3（2）、命题“R ，”的否定是 (A)A ． xB ．xC ．R ，D ．不存在(3)、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是 （ C ）A ．所有被5整除的整数都不是奇数；B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数；D ．存在一个奇数，不能被5整除三、方法提升1、复合命题是简单命题与逻辑联结词构成，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断，对于“p 或q ”都假或为假，对于p 且q 都真且为真。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词‖知识梳理‖1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断(1)全称量词和存在量词(2)| 微点提醒|1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”．因此，可以借助集合的“并、交、补”的意义来求解“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q见真即真，p∧q见假即假，p与綈p真假相反．3．全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题)．其真假性与原命题相反．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．4．“p ∨q ”的否定是“(綈p )∧(綈q )”；“p ∧q ”的否定是“(綈p )∨(綈q )”．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．(×) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．(√)(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．(√) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．(√)‖自主测评‖1．若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0，则綈p 为( ) A ．不存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1<0B ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1<0C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0 解析：选D 命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0的否定綈p ：存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0.故选D. 2．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧(綈q ) B ．(綈p )∧q C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∧q解析：选A 因为命题p 为真命题，q 为假命题，故綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题． 3．(教材改编题)下列命题是真命题的是( ) A ．所有的素数都是奇数 B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z解析：选B 对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B.4．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是________．解析：依题意得，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”．答案：∀x ∈R ，x 2－x －1≤05．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：因为0≤x ≤π4，所以0≤tan x ≤1，又因为∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ，故m ≥1， 即m 的最小值为1. 答案：1…………考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断………|讲练互动型|…………|互动探究|【典例】 (1)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )(2)已知命题p ：对于任意的非零向量a ，b 都有a·b ≤|a|·|b|；命题q ：对于任意的非零实数x ，都有x ＋1x ≥2.则下列命题：①p ∧q ，②p ∨q ，③p ∧(綈q )，④(綈p )∨q ，⑤(綈p )∧(綈q )，⑥(綈p )∨(綈q )中正确的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] (1)当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．易知B 为真命题．(2)对于任意的非零向量a ，b ，都有a·b ≤|a·b|＝|a|·|b||cos 〈a ，b 〉|≤|a|·|b|，即命题p 为真命题，故綈p 为假命题；当x <0时，x ＋1x ≤－2，即命题q 为假命题，故綈q 为真命题．从而p ∨q 、p ∧(綈q )、(綈p )∨(綈q )为真命题，故选B. [答案] (1)B (2)B『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式； (2)判断命题p ，q 的真假；(3)根据真值表确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假． 2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(綈p )∧(綈q )假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(綈p )∧(綈q )真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(綈p )∨(綈q )假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(綈p )∨(綈q )真． (5)綈p 真⇔p 假；綈p 假⇔p 真．|变式训练|1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：选A 由题意知命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A. 2．已知命题p ：∀x ≥4，log 2x ≥2；命题q ：在△ABC 中，若A >π3，则sin A >32.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨q解析：选B ∀x ≥4，log 2x ≥log 24＝2，所以命题p 为真命题；A ＝2π3>π3，sin A ＝32，所以命题q 为假命题．故p ∧(綈q )为真命题．故选B.………………考点二 全称量词与特称量词………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 全称命题与特称命题的否定【例1】 (1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[]f (x 2)－f (x 1)(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0(2)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1[解析] (1)根据“全称命题q ：∀x ∈M ，q (x )的否定是綈q ：∃x 0∈M ，綈q (x 0)”可知“綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0”．(2)特称命题的否定为全称命题，所以“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，故选A. [答案] (1)C (2)A角度二 全称命题与特称命题的真假判断 【例2】 (1)下列命题中的假命题为( ) A ．∀x ∈R ，e x >0 B ．∀x ∈N ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1D ．∃x 0∈N *，sinπx 02＝1 (2)(2018届长沙模拟)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)[解析] (1)对于选项A ，由函数y ＝e x 的图象可知，∀x ∈R ，e x >0，故选项A 为真命题；对于选项B ，当x ＝0时，x 2＝0，故选项B 为假命题；对于选项C ，当x 0＝1e 时，ln 1e ＝－1<1，故选项C 为真命题；对于选项D ，当x 0＝1时，sin π2＝1，故选项D 为真命题．综上知选B.(2)幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 、C 错误，B 正确；D选项中当x 1＝0时，结论不成立，故选B. [答案] (1)B (2)B『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词． (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．|变式训练|1．(2019届河南商丘模拟)已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C 易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0，故选C. 2．下列命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2>0； ②∀x ∈N ，x 4≥1； ③∃x ∈Z ，x 3<1； ④∃x ∈Q ，x 2＝3； ⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0； ⑥∃x ∈R ，x 2＋1＝0.其中真命题的序号为________．解析：①由于∀x ∈R ，都有x 2≥0， 因而有x 2＋2≥2，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题．②由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 4≥1”是假命题． ③由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 3<1，所以命题“∃x ∈Z ，x 3<1”是真命题．④由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x ∈Q ，x 2＝3”是假命题．⑤由于只有当x ＝2或x ＝1时，满足x 2－3x ＋2＝0，所以命题“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0”是假命题．⑥由于不存在一个实数x 使x 2＋1＝0成立，所以命题“∃x ∈R ，x 2＋1＝0”是假命题． 答案：①③………考点三 由命题的真假确定参数的取值范围…………|典例迁移型|……………|研透母题|【典例】 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．[迁移探究1] (变设问)本典例条件不变，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． [解] 依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以实数m 的取值范围是(－2,0)．[迁移探究2] (变设问)本典例条件不变，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围． [解] 若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．[迁移探究3] (变条件)本典例中的条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他不变，求实数m 的取值范围．[解] 依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0,2].『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题：可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解|变式训练|1．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.2．已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________． 解析：由关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ， 知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0或a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞) 核心素养系列 易错辨析——混淆“命题的否定”与“否命题的概念”【典例】 (1)已知p ：若a ∈A ，则b ∈B ，那么命题綈p 是( ) A ．若a ∈A ，则b ∉B B ．若a ∉A ，则b ∉B C ．若a ∈A ，则b ∈BD ．若b ∈B ，则a ∈A(2)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是奇函数，则f (－x )不是奇函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数[解析] (1)“若p ，则q ”命题的否定是条件不变，只否定结论，故原命题的否定为“若a ∈A ，则b ∉B ”，故选A.(2)命题“若p ，则q ”的否命题为“若綈p ，则綈q ”，而“是”的否定是“不是”．故选B.[答案] (1)A (2)B[点评] “否命题”与“命题的否定”不是同一概念．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即非p ，只是否定命题p 的结论．。

03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词【知识网络】【考点梳理】一、复合命题的真假ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。

二、全称命题与特称命题1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“∀”表示。

2、全称命题：含有全称量词的命题。

其结构一般为：,()x M p x ∀∈3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“∃”表示。

4、特称命题：含有存在量词的命题。

其结构一般为：,()x M p x ∃∈ 三、全称命题与特称命题的否定1、命题的否定和命题的否命题的区别命题p 的否定 ，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定。

命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定。

2、全称命题的否定 全称命题p ：,()x M p x ∀∈ 全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题:p ,()x M p x ∃∈ 特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

四、常见结论的否定形式原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个简易逻辑逻辑联结词简单命题与复合命题全称量词、存在量词或、且、非小于不小于至多有n个至少有（1n+）个对所有x，成立存在某x，不成立p或q p⌝且q⌝对任何x，不成立存在某x，成立p且q p⌝或q⌝【典型例题】类型一：判定复合命题的真假【高清课堂：逻辑例2】例1.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．解析：(1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．【变式1】已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【答案】B ．【解析】命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=-1，b=-2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【变式2】满足“p或q”为真，“非p”为真的是（填序号）（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数（2）p：；q: 不等式的解集为（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.【答案】(2)；【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A解析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行、异面,故选A.点评：1. 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题p 和q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“x N ∈或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：【变式1】（2016 四川高考）设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A ；解析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选 A.类型二：全称命题与特称命题真假的判断例3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.（1）:p 2,20x R x ∀∈+>； （2）:p 200,10x R x ∃∈+=； （3）:p 2,320x R x x ∀∈-+=； （4）:p 200,4x Q x ∃∈=.解析：(1)由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题(2) 因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.(3)因为只有2x =或1x =满足方程，p 为假命题；p ⌝：2000,320x R x x ∃∈-+≠，p ⌝为真命题.(4) 由于使24x =成立的数有2±，且它们是有理数，p 为真命题；p ⌝：2,4x Q x ∀∈≠，p ⌝为假命题.点评：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【高清课堂：逻辑 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若a>b 且c>d ，则a ＋c>b ＋d(2)若a<0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根． 【答案】(1)逆命题：若a ＋c>b ＋d ，则a>b 且c>d(假命题) 否命题：若a ≤b 或c ≤d ，则a ＋c ≤b ＋d(假命题) 逆否命题：若a ＋c ≤b ＋d ，则a ≤b 或c ≤d(真命题)(2)逆命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根，则a<0否命题：若a ≥0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根逆否命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根，则a ≥0因为若a<0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为两根之积为1a <0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题为假命题．事实上，方程ax 2＋2x ＋1＝0，有两个负数根时1a >0此时a>0，所以逆命题不成立．因此否命题也是假命题. 类型三：在证明题中的应用例 4.若,,a b c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+．求证：,,a b c 中至少有一个大于0．解析：假设,,a b c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，则0a b c ++≤ 而222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z ππππ++=-++-++-+=-+-+-+-∵222(1)(1)(1)0x y z -+-+-≥，30π->．∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤相矛盾．因此,,a b c 中至少有一个大于0．点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 举一反三：【变式】求证:关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为1的充分必要条件是0a b c ++=. 证明：(1）必要性，即 证“1x =是方程20ax bx c ++=的根⇒0a b c ++=”.∵1x =是方程的根，将1x =代入方程，得2110a b c ⋅+⋅+=,即0a b c ++=成立. (2）充分性，即证“0a b c ++=⇒1x =是方程20ax bx c ++=的根”. 把1x =代入方程的左边，得211a b c a b c ⋅+⋅+=++∵0a b c ++=, ∴2110a b c ⋅+⋅+= ，∴1x =是方程的根成立. 综合(1)(2)知命题成立.。