高三理科数学第一轮复习§1.3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

专题1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【核心素养分析】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

2.理解全称量词和存在量词的意义。

3.能正确地对含一个量词的命题进行否定。

4.重点培养逻辑推理的学科素养。

【知识梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断p q p 且q p 或q 非p 真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真知识点二全称量词和存在量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．知识点三全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M 中任意一个x ，有p (x )成立∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，┐p (x 0)特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，┐p (x )【典例剖析】高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断例1、(2020·山西平遥中学模拟)设a，b，c是非零向量.已知命题p:若a·b＝0，b·c＝0，则a·c ＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(┐p)∧(┐q)D.p∧(┐q)【答案】B【解析】取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)，∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.┐p为真命题，┐q为假命题.∴(┐p)∧(┐q)，p∧(┐q)都是假命题.【规律方法】1.“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“┐p”形式命题的真假.2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”.【变式探究】(2020·吉林长春市实验中学模拟)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧┐qC.┐p∧qD.┐p∧┐q【答案】B【解析】∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p是真命题，┐p为假命题.∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，┐q为真命题.∴p∧┐q为真命题，p∧q，┐p∧q，┐p∧┐q为假命题.高频考点二全称(特称)命题的真假判断例2、(2020·浙江效实中学模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x ∈R，f (－x )≠f (x )B.∀x ∈R，f (－x )≠－f (x )C.∃x 0∈R，f (－x 0)≠f (x 0)D.∃x 0∈R，f (－x 0)≠－f (x 0)【答案】C【解析】∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.【变式探究】(2020·福建泉州五中模拟)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：∀x sin x <x ，则下列命题为真命题的是()A.p ∧qB.p ∧(┐q )C.(┐p )∧qD.(┐p )∧(┐q )【答案】C【解析】因为当x <0>1，即2x >3x ，所以命题p 为假命题，从而┐p 为真命题；因为当x 时，x >sin x ，所以命题q 为真命题，所以(┐p )∧q 为真命题.高频考点三由命题的真假求参数的取值范围例3、(2020·山东日照一中模拟)已知命题p ：∀x ∈R，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，命题q ：∃x 0∈[－2，2]，2a ≤2x 0，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________.，2【解析】由题知，命题p ：∀x ∈R，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54；命题q ：∃x 0∈[－2，2]，使得2a ≤2x 0，则a ≤2.当p ∧q 为真命题时，>54，≤2，故实数a ，2.【规律方法】1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【变式探究】(2020·广东湛江一中模拟)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.【答案】14，＋∞【解析】当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.。

1 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、基础知识批注——理解深一点 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词． ①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q； ②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q； ③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷ ❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.

❷“命题的否定”与“否命题”的区别 (1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论． (2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系． (2)命题真值表：

p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假 假 真

命题真假的判断口诀 p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.

2．全称量词与存在量词 2

量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 3.全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0)

4．全称命题与特称命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x)

二、常用结论汇总——规律多一点 含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假． (2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真． (3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假． (4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．