微元法及其应用教学内容

物理学中微元法的应用【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。

教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。

高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。

在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。

【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。

微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。

这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。

利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。

【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。

微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。

【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。

微元法及其应用课程名称：适应对象：一、教学目标1.1 知识目标①理解微元法的思想、方法；②掌握微元法适应性条件；③掌握微元法在几何和电工学中的应用；④了解微元法思想的形成与发展。

1.2 能力目标①培养学生从具体几何、电工问题中抽象、提炼出数学问题并建立积分模型的能力；②培养学生探究发现的基本能力。

1.3 情感目标①增强学生的应用意识和探究精神；②体验数学与专业学习的密切联系，激发学生的数学学习热情。

二、内容定位2.1 学习任务分析学生已有的相关知识：定积分的概念和性质，Newton-Leibniz公式及定积分的简单计算，定积分的几何意义及求简单平面图形的面积，积累了初步用定积分解决问题的经验。

存在的问题：虽然已初步掌握了定积分的基本思想，但对其理解不深刻，所以，要理解建立在定积分思想基础上的微元法思想会有一定的难度；同时，学生数学应用能力不强，知识迁移能力较弱，所以，如何根据不同问题的特点确定所求“总量”的微元，是学生学习的另一个难点。

课型：建立在学生已经学完定积分基本理论基础上的一次实践课。

2.2 教学重点与难点重点：①理解微元法的思想、方法和应用步骤；②掌握微元法在几何和电工方面的简单应用。

难点：①微元法思想的理解；②合理选择积分变量，求出“总量”的微元。

三、教学进程安排3.1 教学基本流程3.2 教学过程设计1. 教学环节1：情境设疑(幻灯)曲线弧长、旋转体体积、水压力、变力做功和平均功率等问题的图片。

(教师)本次课的任务为定积分的应用。

(幻灯)设疑1，如何描述应用定积分理论解决实际问题的基本过程？(教师)让学生对定积分应用有一个整体认识，形成整体概念。

(幻灯)设疑2，上述过程中最核心的步骤是哪一步？(教师)强调利用积分思想建立实际问题的积分模型的重要性。

(幻灯)设疑3，试通过回顾用定积分定义求曲边梯形面积、变速直线运动物体路程，总结定积分的基本思想和方法？注意：结合曲边梯形面积求解的几何演示（幻灯）。

第十章定积分的应用【教学目的】1、掌握微元法，并能够应用微元法或定积分定义将问题化成定积分；2、熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

【教学重点】熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等.【教学难点】用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积.§ 1 平面图形的面积（ 2 时）【教学目的】1、掌握微元法，并能够应用微元法或定积分定义将问题化成定积分；2、熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。

【教学重点，难点】熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。

【教学目的】一、直角坐标系下平面图形的面积：1、 简单图形：-X 型和-Y 型平面图形 .由连续曲线()y f x =,直线,x a x b ==及x 轴所围成的图形()()0()()ba baf x dxf x A f x dx f x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩⎰⎰不都是非负。

由上下两条连续曲线1()y f x =和2()y f x =以及两条直线x a =和x b =所围图形,其面积为21[()()]baA f x f x dx =-⎰例1 求由抛物线 x y =2与直线 032=--y x 所围平面图形的面积. 2、简单图形的面积: 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线0),(=y x F 和0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.例2 求由22,ax y ay x ==所围图形面积。

3、参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[b a 上的曲边梯形的曲边由方程b a t t y y t x ==≤≤==)( , )( ,, )( , )(βχαχβαχ给出.又设0)(>'t χ,就有)(t χ↗↗, 于是存在反函数 )(1x t -=χ. 由此得曲边的显式方程 ],[ , )]([)(1b a x x y t y ∈=-χ.⎰⎰'==-badt t t y dx x y S βαχχ)(| )( || )]([ |1,亦即 ⎰⎰==βαβαχ)(| )( || |t d t y dx y S .具体计算时常利用图形的几何特征 .例3求由摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所围平面图形的面积.例4 求椭圆12222=+by a x 所围平面图形的面积.二、极坐标下平面图形的面积推导由曲线 )(θr r =和射线 , βθαθ==，) (βα<所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r , 顶角为θ∆的扇形面积为 θ∆221r . )⎰=βαθθd r A )(212 .例5、求由双纽线 θ2cos 22a r = 所围平面图形的面积 .解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒≥4 , 4 , 02cos ππθθ或⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ45 , 43. ( 可见图形夹在过极点,倾角为4π±的两条直线之间 ) . 以θ-代θ 方程不变⇒图形关于X 轴对称;以θπ-代θ, 方程不变, ⇒图形关于Y 轴对称. ( 参阅教材P242 图610- ) 因此⎰=⋅=40222cos 214πθθa d a A .作业 P242 1—6.§2 由平行截面面积求体积【教学目的】熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。

微元法本专题主要讲解利用微元法解决动力学问题、变力做功问题、电场和电磁感应等问题，主要分为时间微元和位移微元两大类。

微元法在近几年高考中考查频率较高，出现了分值高、难度较大的计算题。

微元法是一种非常有效的解题方法，将研究对象或研究过程分解为众多细小的“微元”，分析这些“微元”，进行必要的数学推理或物理思想处理，能够有效的简化复杂的物理问题。

考查学生的分析推理能力，应用数学方法解决物理问题能力。

时间微元（2022•北京模拟）微元思想是中学物理中的重要思想。

所谓微元思想，是将研究对象或者物理过程分割成无限多个无限小的部分，先取出其中任意部分进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。

如图所示，两根平行的金属导轨MN和PQ放在水平面上，左端连接阻值为R的电阻。

导轨间距为L，电阻不计。

导轨处在竖直向上的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B。

一根质量为m、阻值为r的金属棒放置在水平导轨上。

现给金属棒一个瞬时冲量，使其获得一个水平向右的初速度v0后沿导轨运动。

设金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，不计一切摩擦。

求：（1）金属棒的速度为v时受到的安培力是多大？（2）金属棒向右运动的最大距离是多少？关键信息：金属棒水平向右沿导轨运动→产生的感应电动势E＝BLv，回路中感应电流的方向为顺时针，金属棒所受安培力方向水平向左不计一切摩擦→对金属棒受力分析，金属棒所受合力等于安培力解题思路：根据法拉第电磁感应定律结合安培力的计算公式求解金属棒所受的安培力。

金属棒水平向右运动过程中，从时间微元的角度，划分为无数小段，每一小段的速度可看成几乎不变，速度在时间上的累积为位移，应用牛顿第二定律或动量定理列方程，求解金属棒向右运动的距离。

（1）金属棒在磁场中的速度为v 时，电路中的感应电动势：E ＝BLv 电路中的电流：I ＝ER r+ 金属棒所受的安培力：F 安＝BIL得：F 安＝22B L vR r+（2）对金属棒受力分析，由牛顿第二定律得：22B L vR r -+＝ma设经过一段极短的时间Δt ，a ＝vt∆∆，则22B L v t R r ∆-+＝m Δv ，对时间累积：∑－22B L v tR r∆+＝∑m Δv ，由－22B L v t R r ∑∆+＝m ∑Δv 得：－22B L x R r +＝－mv 0解得：x ＝022()mv R r B L+取水平向右为正方向，金属棒从速度为v 0至停下来的过程中，由动量定理：I 安＝0－mv 0将整个运动过程划分成很多小段，可认为每个小段中的速度几乎不变，设每小段的时间为∆t i ，则安培力的冲量I 安＝－22B L R r +v 1·∆t 1＋(－22B L R r +v 2·∆t 2)＋(－22B L R r+v 3·∆t 3)＋…I 安＝－22B L R r +(v 1·∆t 1＋v 2·∆t 2＋v 3·∆t 3＋…)I 安＝－22B L R r+x解得：x ＝022()mv R r B L+。

微元法在新课标高中物理教学中的应用摘要：任何科学研究都离不开数学工具“微积分”。

在高中阶段的物理学习中，让学生品味一下“微积分”的基本思想，用“微元法”洞察微积分运用的基本过程，能使学生受益匪浅。

关键词：微元法；发散性思维；物理教学作者简介：高学民，任教于河北武安市第三中学。

微元法是把研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量，使复杂的问题变得简单。

这种以大化小，以恒代变的思维方法，是物理学解决连续变化问题的科学思维方法，它贯穿于高中物理知识始末。

一、微元法在物理教材内容中的运用（1）瞬时速度平均速度只能粗略地描述物体运动快慢，要准确的描述物体运动快慢，可以把△t取得小一些。

物体在从t到t+△t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。

△t越小，运动的描述就越精确。

如果△t非常非常小，就可以认为表示的是物体在时刻t的速度，这个速度叫做瞬时速度。

这里的“非常小”，渗入了时间微元的理念。

（2）匀变速直线运动的位移教材在研究匀变速直线运动位移时，把时间划分为许多小的时间间隔。

设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。

因此，它的速度图线由图中的一些平行于时间轴的间断线段组成。

由于匀速直线运动的位移可以用速度图像图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示。

如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图像就更接近于物体的真实运动的图像，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线与时间轴之间的面积。

当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线与时间轴之间的面积。

这样，我们就得出结论：匀变速直线运动的位移也可以用速度图像图线与时间轴之间的面积来表示。

高中物理微元法一、方法简介所谓“微元法”，又叫“微小变量法”。

微元法体现了微分思想，是解物理题的一种常用方法。

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

二、微元法的一般思维程序1、微元思想在高中物理教材中有着广泛应用，也是近几年高考压轴题和各大名校自主招生考试中的热点；2、微元法在处理连续变化的问题时，有其独特的方法，要注意取元的原则：可加性、 有序性、平权性3、最常见的换“元”技巧有如下几种①“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）； ②“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；③“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；④“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）4、微元法并不是处理变力问题的唯一方法，还有动能定理、图像法、平均力法、积分法等。

5、微元法的解题步骤第一步，取元。

隔离选择恰当微元(空间元、时间元)作为突破整体研究的对象。

微元可以是:一小段线段、圆弧;一小块面积;一个小体积、小质量;一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。

比如，在x-t 图像中，时间t ∆很短或位移x ∆很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ∆=∆，s x l t lv ∆=∆=∆。

第二步，模型化。

将微元模型化(如视作点电荷、质点、匀速直线运动等)，并运用相关物理规律，求解这个微元，并注意适当的换元。