最新微元法在几何与物理中的一些应用邓智维

“微元法”在高中物理解题中的应用探究作者：刘姿宇来源：《中国新通信》 2018年第22期一、前言由于物理习题的解答不仅结合物理知识，还与数学知识和解答方式紧密相关，所以巧妙的借用数学解题能力解答物理试题是应对高考物理难题的重要手段。

一般来说，基本的数学知识都会应用到物理解题中，但是在高中物理学习中有关变加速度问题、电磁感应、能量变化等问题的解答，因数学学习中尚未深刻接触高等数学中的积分问题，所以微元法成为解决这类问题的重要解题手段，提升我们在考试和平时练习期间对物理习题解答的正确率和效率。

二、“微元法”的内涵“微元法”是类似于微积分的一种解题方法，主要利用了微积分的思想，帮助解答高中物理知识中遇到的高等数学积分问题。

“微元法”中将研究对象分割为多个十分微小的单元，且这些微小单元遵循相同的物理规律，让变量变为常量，难以确定的量变成易确定的量。

一般“微元法”的解题步骤分为：“建立微元研究对象；推广单位到整体；利用“微元法”解题时，将原有的题目分解为相同的微小单位后，对分解出的单元进行过程分析，然后通过物理思想进行解答，进而将题目中要求的问题进行解答。

按照物理规律建模解题；取消微元得出结果。

“微元法”作为目前较为常用的物理解题方法，能够帮助同学们结合现有物理知识快速解决物理题目，将题目难度简化，提升解题速度。

三、“微元法”在高中物理解题中的应用3.1“微元法”在电磁感应中的应用高中物理学习中，电磁感应作为重点考察内容，其考试难度和分值占比也具有一定高度。

在电磁感应解答中，“微元法”作为常用的一种解题方式，为我们解答这类变量题型做出了巨大贡献。

如：在水平的光滑平行导轨上放置一个质量为m 的金属杆，已知导轨间距为L，在导轨一端连接了阻值为R 的电阻，其他电阻不计。

此时具有垂直导轨的均匀磁场，且磁感应强度为B。

现给金属杆一个水平向右的初速度v0，如果导轨足够长，求金属杆在导轨向右移动的最大距离？解：首先对题中的金属杆进行受力分析，金属杆收到重力mg，支持力N 和水平向左的安培力。

新课程背景下微元法在高中物理中的应用随着新课改的深入发展，新教育理念更注重对学生各种能力的培养，尤其在高中物理教学中应注重对学生物理思想方法的渗透。

其中“微元”思想贯穿高中阶段的物理知识体系，自然“微元法”是解决高中物理问题的基本思想方法，它渗透于一些物理概念、公式中。

近年来，“微元法”在高考物理压轴题中的频频应用，既体现了这种方法的重要性，又体现了新课程理念的要求，但许多学生对此感到十分困惑，无从下手。

对此，笔者就“微元法”谈谈在一些物理问题中的具体应用和做法。

一、用微元法解决问题的基本方法“微元法”作为高中物理的一个重要物理思想，在被应用于物理解题时，其解题思路可概括为：选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题，避开直接求瞬时变化问题的困难；再利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题，既完成求解问题的“转化”，又保证所求问题性质不变且求解更简单。

即采取从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。

具体可分以下三个步骤进行：①选取微元用以量化元事物或元过程；②视元事物或元过程为恒定，运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式；③在微元表达式的定义域内施以叠加演算，进而求得待求量。

二、“微元法”在解题中的应用1.极限思想在速度等概念中的应用在学习速度这个知识点时，教材对瞬时速度的概念是物体在某时刻的速度，某时刻在时间轴上对应的是一个点，但在介绍如何求这个瞬时速度时是来自平均速度，对于平均速度只能粗略地描述运动的快慢。

为了使描述精确些，可以把△t取得小一些。

物体在从t到t+△t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。

△t越小，运动的描述就越精确。

如果△t非常小，就可以认为△x/△t表示的是物体在某时刻的速度即瞬时速度。

这其实就是高中生所初步接触到的微元法。

在这里从段到点的转化学生的理解只是粗略抽象的理解，我们可以认为它叫“近似”。

如果学生想这个问题时能上升一个高度，当时间表示一个点的时候，△t=0，△x=0，△x/△t=？。

微元法在高中物理中的运用及技巧简说微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。

比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。

微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。

微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。

用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。

所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。

如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。

对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。

关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。

例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。

我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。

例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t'长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为=，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。

微元法在高考物理中的应用河南省信阳高级中学陈庆威2013.10.06微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。

因其近年来在江苏高考物理试题中的频繁出现，尤其是它在2013 年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷I）第25 题中的闪亮登场，让它在我们的高考备考中的地位变得更加重要。

很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛，想集中训练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型，对很多顶尖的学生来说这类问题做起来也往往心有余而力不足。

希望通过以下几个典型的微元法试题的训练，能让你从陌生到熟练。

一、从真题中练方法例题1.（2013全国课标卷I）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。

导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。

导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。

在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。

已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。

忽略所有电阻。

让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：⑴电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。

B【答案】⑴Q=CBLv ⑵v =m (sin-cos)gt C mm +B2L2C【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为θLE =BLv ①平行板电容器两极板之间的电势差为U =E ②设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C =Q ③U联立①②③式得Q =CBLv ④（2）设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为f1=BLi ⑤设在时间间隔(t, t +∆t )内流经金属棒的电荷量为∆Q ，按定义有i =∆Q ⑥∆t∆Q 也是平行板电容器极板在时间间隔(t, t +∆t )内增加的电荷量，由④式得∆Q =CBL∆v ⑦式中，∆v 为金属棒的速度变化量，按定义有a =∆v ⑧∆t金属棒所受的摩擦力方向斜向上，大小为f2=N⑨式中，N 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N =mg cos⑩金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mg sin-f1-f2=ma ⑾联立⑤至⑾式得a =m (sin-cos)g ⑿m +B2L2C由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”江苏省特级教师，江苏省丰县中学——戴儒京所谓：“微元法”所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。

在时间t ∆很短或位移x ∆很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ∆=∆，s x l t lv ∆=∆=∆。

微元法体现了微分思想。

3. 关于求和∑。

许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0vv v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v ，或初速度00=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法.如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。

对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。

电磁感应中的微元法一些以“电磁感应”为题材的题目。

可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BL v E =，感应电流为RB L vI =，受安培力为v RL B B I L F 22==，因为是变力问题，所以可以用微元法.1.只受安培力的情况例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场。

质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ；（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关系，并画出x v -关系草图。

微元法在物理中的应用积分知识在物理中的应用主要是围绕at v =研究的。

一般情况下，知道其中的两个量，就可以轻易地求出第三个量，或也可以从能量角度求解v 。

但有时，加速度a 并不是一直不变的，而是随着v 或t 的变化而变化的，此时一般的思维讲不再适用。

[简单模型]某辆汽车从静止开始以加速度kv a =做加速直线运动，其中k 为常数，当运动时间为t 时，汽车通过的位移为S ，求此时小车的速度大小。

[解析]：因为此题中加速度a 是随着v 不断变化的，所以要想利用aS v 202=-求解是不可能的；若从能量角度分析，根本就求不出汽车受力的做功情况，所以也不可以解出，对于此类a 在不断变化的提型，应该应用微元法进行求解。

t a v ∆⋅=∆瞬∴t kv v ∆=∆∑∑∆⋅=∆t kvv 瞬∴kS v =所以解得t 时刻时速度大小为kS v =。

这中积分思想在考试中通常放在电磁感应中考查，同学们认为这种题型难度很大，其实不然，我认为被这种题型吓到的主要原因不是因为这真正有多大难度，而是被它所特有的“微元〞思想吓怕，事实上，真v ∆表示一小段路程。

t ∆表示很小的一段时间，瞬a 表示加速度的瞬时值，在很小的一段时间内，瞬a 可以看作t ∆内的平均加速度，v ∆则表示在t ∆ 时间内速度的变化量kv a =瞬，k 为常数，瞬v 表示某一时刻速度的瞬时值。

此式两边同时求和，依然相等为求和符号""∑v ∆为很小的一段速度，若将运动过程中所有的v ∆都加起来，结果就是总速度v ，即v v =∆∑。

v 就表示t 时刻的速度。

t ∆为很小的一段时间，一个t v ∆瞬表示很小的一段位移，若将所有的 t v ∆瞬相加，则得到总位移S ，即S t v =∆∑瞬 求和过程中常数可以直接移出，例如∑∑∆=∆⋅t v k t kv 瞬瞬正理解的上述的“简单模型〞，积分思想也是比较容易掌握的。

[典型例题讲解]1.如图所示，质量为m 导体棒垂直放在光滑足够长的U 型导轨的底端，导体棒电阻为r ，其余电阻不计，导轨宽度为l 。

微元法在高中物理中的应用微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。

对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

一、挖掘教材中微元素材，认知微元思想微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。

如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。

在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t 时刻的瞬时速度。

正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。

再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。

但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。

必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。

第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。

微元法在新课标高中物理教学中的应用摘要：任何科学研究都离不开数学工具“微积分”。

在高中阶段的物理学习中，让学生品味一下“微积分”的基本思想，用“微元法”洞察微积分运用的基本过程，能使学生受益匪浅。

关键词：微元法；发散性思维；物理教学作者简介：高学民，任教于河北武安市第三中学。

微元法是把研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量，使复杂的问题变得简单。

这种以大化小，以恒代变的思维方法，是物理学解决连续变化问题的科学思维方法，它贯穿于高中物理知识始末。

一、微元法在物理教材内容中的运用（1）瞬时速度平均速度只能粗略地描述物体运动快慢，要准确的描述物体运动快慢，可以把△t取得小一些。

物体在从t到t+△t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。

△t越小，运动的描述就越精确。

如果△t非常非常小，就可以认为表示的是物体在时刻t的速度，这个速度叫做瞬时速度。

这里的“非常小”，渗入了时间微元的理念。

（2）匀变速直线运动的位移教材在研究匀变速直线运动位移时，把时间划分为许多小的时间间隔。

设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。

因此，它的速度图线由图中的一些平行于时间轴的间断线段组成。

由于匀速直线运动的位移可以用速度图像图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示。

如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图像就更接近于物体的真实运动的图像，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线与时间轴之间的面积。

当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线与时间轴之间的面积。

这样，我们就得出结论：匀变速直线运动的位移也可以用速度图像图线与时间轴之间的面积来表示。

微元法在物理学中的应用在物理学问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或外于某些状态来进行研究，而在这些过程或状态之间，描述研究对象的物理量有的可能是不变的，更多的则是变化的，对于那些变化量的研究，有一种方法是把全过程分成很多微小的局部来考察，然后通过这些小过程或微小局部的研究而归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这些微小过程或者微小局部常被称为微元法。

微元法也是一种转化问题的手段，这种转化的目的主要体现在以下几点：1、将变化的问题转化为恒定的问题，比如，物体做变速直线运动，物体运动的速度是变化的，但只要取一段很小的过程，在这一段很小过程中，就可以认为物体运动的速度是不变的。

将弯曲的转化为直线的，如果物体运动的轨迹是一条曲线，只要在曲线上取段足够短的长度，这个长度就可以看成是直线的。

微元法只是解题的一种手段，或者说是一种中间过程，这种“微”的无限收缩就变成了瞬时状态，而“微”的无限累积又可以演变为全过程，所以学习和掌握微元法不但要弄清楚这种方法的基本思路，还要知道这两种不同的发展趋势。

粗细忽略，质量分布均匀，半径分别为与的两圆环相切，若在切点处放一质点m ，恰好使其两边圆环对m 的万有引力的合力为零，问大小圆环的线密度须满足什么样的条件？分析：连接O 1、O 2交两圆于A 、B ，过切点P 作弦交两圆于C 、D ，设α=∠=∠DBP CPA αcos 2R CP = αc o s 2r CD =将CD 绕P 点顺时针转动到C 'D '，如图且α∆='∠='∠D DP C CP ，再由C C '向O 1；D D '向O 2连线，则α∆='∠='∠221D DO C CO故，R C C α∆='2 r D D α∆='2所以C C '所对应的质量与D D '所对应的质量对质点的引力若满足 ()()222122DP mr GCP mR Gαραρ∆=∆αραρ222221c o s 4c o s 4r rR R=rR 21ρρ=试证明质量均，厚度均匀的球壳内一质点，受到球壳万有引力为零。

微元法在高中物理解题中的应用探讨微元法在高中物理解题中的应用探讨：一、微元法的定义1.什么是微元法：微元法（Mikroekonomische Methode）是一种用于处理复杂系统的系统分析方法。

它以最小的小元素来研究一个系统的组织、行为和状态，进而解释系统如何可能响应外部影响，以改进它的性能或解决它的问题。

2.微元法与宏观分析比较：宏观分析法注重宏观把握，看到的是统计数据和权力关系，而微观分析注重构造更深刻的理解，更侧重于详细的观察。

二、微元法在高中物理解题中的应用1. 从宏观上把握问題：在任何一道物理相关的解题中，最重要的是先让学生从宏观上理解问题的条件与数据，如关于物体的速度，位移，加速度等，以便读懂题意并准确要求问题中所具体答案。

2.用微元法运用公式：在计算出来涉及到动量，力，能量，压强等物体和系统间相互受力作用的计算中，采用微元法可以很准确的给出物体状态变化时，相应物理参量之间的关系，而不再停止于记忆所学相关公式，而是辅以微元法理解物理公式的含义。

3.计算曲线：在一些由实验结果得到的曲线拟合问题中，采用微元法可以更加准确的分析数据，更准确的进行函数拟合，解决相应的物理问题。

三、微元法在高中物理解题的优势1.理解计算：利用微元法解决物理解答，可以加深学生对物理知识的理解，掌握概念思想，把相关的物理问题关联起来，把物理知识与现实问题结合起来；2.创新思维：掌握微元法解物理解答，可以激发学生的创新性思维，让他们不再局限于传统的思维模式，从而形成完整的思维体系；3.考试就绪：学习微元法可以在若干学习中体现，真正达到物理思维及概念把握，把解答技巧及技术备到考试当中，从而实现解答题突破。

四、结论总之，微元法是一种系统分析方法，它既可以让学生更深刻地理解物理知识，掌握概念思想，也可以激发学生创新性思维，让他们运用微元法解决物理知识解题问题，从而课堂上的教学效果更加显著。