2021北京空中课堂高一数学 空间直线、平面的垂直习题课-3学习任务单(人教A版)

《空间点、直线、平面之间的位置关系》学习任务单【学习目标】本节课通过图形、实验、和说理，使学生进一步学习空间中两条直线之间的三种位置关系，重点理解异面直线的定义；直线与平面之间的三种位置关系，以及不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示；培养学生数学抽象、逻辑推理以及直观想象的能力；同时为下一步学习判断直线与平面的平行、垂直打基础．在教学过程中设计了四道例题.【课上任务】1.画出一个长方体图形ABCD -A 1B 1C 1D 1，观察有几个顶点？几条棱？几个面？ 2.观察长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点与直线，点与平面之间有哪些不同的位置关系？你能总结出来吗？符号语言怎么表示呢？3．观察长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中,直线与直线之间有哪些不同的位置关系？ 4．异面直线的定义是什么？有两个字“任何”你注意到了吗？怎么理解呢？去掉它行吗？5．如果直线a 与b 为异面直线，为了表示它们不共面的特点，我们怎么画出来呢？6．你能归纳出空间中直线与直线之间的位置关系有几种吗？观察它们的特征还可以怎样分类？7．观察长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中,直线与平面有哪些不同的位置关系？你能归纳出直线与平面之间的位置关系有几种吗？判断的标准是什么？8.直线在平面外包括哪几种位置关系关系？符号怎么表示？9．直线与平面的位置关系图形语言如何表示？需要注意什么？10．观察长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，平面与平面之间有哪些不同的位置关系? 类比直线与平面，你能归纳出两个平面之间的位置关系有几种吗？画两个平面平行时需要注意什么？【学习疑问】11．哪段文字没看明白？12．哪个环节没弄清楚？13．有什么困惑？14．您想向同伴提出什么问题？15．您想向老师提出什么问题？16．没看明白的文字，用自己的话怎么说？17．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？【课后作业】18.作业一1、画出满足下列条件的图形：（1）a⊂α，b⊂α，a∩b=Α，c∩α=Α；（2）α∩β=l，ΑΒ⊂α，CD⊂β，ΑΒ//l，CD//l．2、填空题（1）如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是_____________；（3）已知两条相交直线a，b，且a//平面α，则b与α的位置关系是___________；（4）已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α//β．则直线a与b的位置关系是_____________．19.作业二写一段个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等．【课后作业参考答案】作业1(1)(2)2、（1）2；（2）平行或在平面内；（3）平行或相交；（4）平行或异面．。

习题课 直线、平面平行与垂直【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．a 、b 、c 表示直线，α、β、γ表示平面． 位置 关系 判定定理 (符号语言)性质定理 (符号语言)直线与平面平行 a ∥b 且a ⊄α，b ⊂α⇒______ a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒______ 平面与平面平行 a ∥α，b ∥α，且a ⊂β，b ⊂β，a ∩b＝P ⇒α∥β α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b直线与平面垂直 l ⊥a ，l ⊥b ，且a ⊂α，b ⊂α，a ∩b＝P ⇒l ⊥αa ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b平面与平面垂直a ⊥α，______⇒α⊥βα⊥β，α∩β＝a ，b ⊥a ，b ⊂α⇒______一、选择题1．不同直线m 、n 和不同平面α、β．给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 异面； ④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β． 其中假命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( )A ．4个B ．1个C ．2个D ．3个3．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( ) ①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段6．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC于H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心二、填空题7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．8．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是______．(填序号)三、解答题10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．11．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B ． (1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1DDC 1的值．能力提升12．四棱锥P —ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图： (1)根据图中的信息，在四棱锥P —ABCD 的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：①一对互相垂直的异面直线________； ②一对互相垂直的平面________；③一对互相垂直的直线和平面________； (2)四棱锥P —ABCD 的表面积为________．13．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ；(3)求四面体B－DEF的体积．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转化．这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．习题课直线、平面平行与垂直答案知识梳理位置关系判定定理(符号语言)性质定理(符号语言)直线与平面平行a∥b且a⊄α，b⊂α⇒a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b平面与平面平行a∥α，b∥α，且a⊂β，b⊂β，a∩b＝P⇒α∥βα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b直线与平面垂直l⊥a，l⊥b，且a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥αa⊥α，b⊥α⇒a∥b平面与平面垂直a⊥α，a⊂β⇒α⊥βα⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b⊂α⇒b⊥β作业设计1．D2．C3．A4．B5．A 6．C 7．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ， 面PAB ⊥面ABCD ，又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ， ∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角， ∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ， ∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ， ∴面PDC ⊥面PDA ． 8．①③④⇒②(或②③④⇒①) 9．①④10．证明 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连接DF ，∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，又由已知得DF ∥BC ， ∴DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ， 故ED ＝DA ．(2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊12EC ，∴MN ∥BD ，∴N 在平面BDM 内，∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又CA ⊥BN ， ∴BN ⊥平面ECA ，又BN ⊂平面MNBD ， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ．即平面BDM ⊥平面ECA ．(3)∵BD 綊12EC ，MN 綊12EC ，∴BD 綊MN ，∴MNBD 为平行四边形， ∴DM ∥BN ，∵BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA ．11．(1)证明因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1．又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．(2)解设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1DDC1＝1．12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)(2)2a2＋2a2解析(2)依题意：正方形的面积是a2，S△PAB＝S△PAD＝12a 2．又PB＝PD＝2a，∴S△PBC＝S△PCD＝22a2．所以四棱锥P—ABCD的表面积是S＝2a2＋2a2．13．(1)证明如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H 为BC的中点，故GH綊12AB．又EF綊12AB，∴EF綊GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB．(2)证明由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．又EF∥AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB．(3)解∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF．∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2．V B－DEF＝13×12×1×2×2＝13．。

时 间
课 时 课 题
2.3.3直线与平面垂直的性质
主备人
王建东
学习目标 （1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.
（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
学习重点难点 1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

学法与教具
学习过程
备注
直线与平面垂直的判定定理符号语言：
平面与平面垂直的判定定理符号语言：
线面角： 二面角：
问题1:如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？
问题2：已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a 直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面符号语言
作用：线面垂直⇒线线平行
问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？
问题4：如图，长方体ABCD －A'B'C'D ’中，平面A'ADD ’与平面ABCD 垂直，直线A'A 垂直于其交线AD ，平面A'ADD ’内的直线A'A 与平面ABCD 垂直吗？
问题5：设α⊥β，α∩β＝CD ，AB ⊂α，AB ⊥CD ，AB ∩CD ＝B ，研究直线AB 与平面β的位置关系
a
b。

C级 学科素养创新练
12.（多选题）如图,以等腰直角三角形斜边上的高为折痕,把△ 和△ 折
成互相垂直的两个平面后,得出如下四个结论,其中正确的是() ABC
A. ⋅ ≠ 0
B. ⊥
C. ⊥
D.平面的法向量和平面的法向量互
相垂直
[解析]因为平面 ⊥平面,平面 ∩平面 = ,
= (−, , ),
对于选项A， ⋅ = × + × + (−) × (−) = ,故A正确；
对于选项B， ⋅ = × + × + (−) × = ,则 ⊥ ，即 ⊥ ,故B正确；
∵ ⊥平面,， ⊂平面,所以 ⊥ , ⊥ ,
→
→

,

=
则ቐ → →
解得൞
因此,

=− ,
⋅ = + − = ,

⋅ = + + = ,
=


( ,− ,−).故选D.


9.如图，已知正方体 − 1 1 1 1 的棱长为4，是1 的中
证明如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系.
设 = ℎ,
则(0,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0, ℎ).
易知 = (−4,2,0), = (2,4,0), = (0,0, ℎ).
∵ ⋅ = −8 + 8 + 0 = 0, ⋅ = 0,
∴ ⊥ , ⊥ .
∵ ∩ = ,∴ ⊥平面.
7.如图, ⊥平面,四边形是正方形, = = 2,，分别是，的