2020年北京海淀区空中课堂高二数学-组合 课件
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2020年北京海淀区空中课堂高二数学-导数公式表及导数的四则运算 课件
y (x x) (x x)2 x x2 x 2xx x2
y x 2xx x2
x
x
1 2x x
f (x) 1 2x
而x 1，（x2） 2x x （x2） 1 2x
( x x2 ) x (x2 )
所以猜想：
⌘ 导数的四则运算（加减法）
求函数的导函数的基本步骤
y' a x ln a y' ex y' 1 y' 1x ln a
x y' cosx
y' sin x
f (x) g(x) f (x) g(x)
定义域：x (0,)
如何求y （3x2 2)( x 5)的导数？
⌘ 参考练习题
⌘ 参考练习题
⌘ 基本初等函数公式表及导数四则运算（加减）
y f (x)
y C(C是常数） y xn (n Q )
y ax a 0, a 1
y ex
y loga xa 0, a 1, x 0
y ln x
y sin x y cosx
y' f (x)
y' 0 y' nxn1(n Q )
1
( x ln x)' f '(x) g'(x) (x 2 )'(ln x)'
1
1
x2
1
2x
1 1 2x x
⌘ 导数的四则运算（加减法）
求曲线y x3 1 在点 x
（1，0）处切线方程
解： 函数y x3 1 是函数f (x) x3与函数 x
g(x) 1 的差，由函数差的求导法则得 x
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
导数公式表及导数的四则运算
y x 2xx x2
x
x
1 2x x
f (x) 1 2x
而x 1，（x2） 2x x （x2） 1 2x
( x x2 ) x (x2 )
所以猜想：
⌘ 导数的四则运算（加减法）
求函数的导函数的基本步骤
y' a x ln a y' ex y' 1 y' 1x ln a
x y' cosx
y' sin x
f (x) g(x) f (x) g(x)
定义域：x (0,)
如何求y （3x2 2)( x 5)的导数？
⌘ 参考练习题
⌘ 参考练习题
⌘ 基本初等函数公式表及导数四则运算（加减）
y f (x)
y C(C是常数） y xn (n Q )
y ax a 0, a 1
y ex
y loga xa 0, a 1, x 0
y ln x
y sin x y cosx
y' f (x)
y' 0 y' nxn1(n Q )
1
( x ln x)' f '(x) g'(x) (x 2 )'(ln x)'
1
1
x2
1
2x
1 1 2x x
⌘ 导数的四则运算（加减法）
求曲线y x3 1 在点 x
（1，0）处切线方程
解： 函数y x3 1 是函数f (x) x3与函数 x
g(x) 1 的差，由函数差的求导法则得 x
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
导数公式表及导数的四则运算
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-排列与组合的综合应用 课件
大空位 小空位
二、排列与组合的综合应用
➢ 直接法与间接法
例、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线
上，过这9个点可以作多少个三角形？
(2)
C53 C41 C52 C42 C51 80 或 C93 C43 80
(1)
二、排列与组合的综合应用
➢ “至多”“至少”问题
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题
例、如图，沿网格线从A点到B点有多少条最短的线路？例如图中所画的就
是一条最短线路。
B
解：从A到B的最短路线需要走10步，
其中有4步向上走，6步向右走；
故，共有 C140 = 210
A
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题 例、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
1
2
3
4
5
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 教材第25页习题1-2B
若R4断路，有 23 = 8 种， 若R4不断，有3种， 故共有11种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第25页习题1-2B
(1)C41 ?A44 96 (2) A32 ?A33 36
二、排列与组合的综合应用
所以，共有24+72+24+32=152（个）
013579 013579 013579 013579
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
(1) A66 = 720
(2)C31 鬃C31 A44 = 216
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-导数及其应用复习 课件
解： f (x) ex , x R ， f '(x) ex ，
设切点 P(x0 , y0 ) ，切线方程 y kx
y0
y0
ex0 kx0 , 消元得 ex0
x0ex0 ，则 x0
1, k
e，
k ex0
切线方程为 y ex
【注意】确定切点
例 1.已知函数 f (x) ex ax （ a 为常数）
④ a 1 时， g '(x) 0 ，增区间 R 2
例 1.已知函数 f (x) ex ax （ a 为常数）
（3） 求 f (x) 在[0,1] 上的最小值； 解：① a 0 时， f '(x) 0 ， f (x) 在[0,1] 上为增函数，最小值为 f (0) 1
② 0 a 1时， ln a 0 ， f '(x) 0 ， f (x) 在[0,1] 上为增函数，最小值为 f (0) 1
【注意】必要时构造函数解决问题
例 1.已知函数 f (x) ex ax （ a 为常数）
（8） 当 a 0 时，证明曲线 y f (x) (x 0) 总在曲线 y 2 ln x 的上方.
证明：要证明 f (x) (2 ln x)
法 1.当 a 0 时，令 h(x) f (x) (2 ln x) ex ln x 2( x 0) ，则 h '(x) ex 1 .
1
(1, )
g '(x)
0
g(x)
减
减 极小值e 增
考虑直线 y a 与函数 g(x) 图象的交点个数，得到
0 a e ，0 个零点； a 0 或 a e 时，1 个零点； a e 时，2 个零点
【注意】零点问题的依据是零点存在定理，结合单调性判断零点个数； 必要时转化函数、方程、不等式。
设切点 P(x0 , y0 ) ，切线方程 y kx
y0
y0
ex0 kx0 , 消元得 ex0
x0ex0 ，则 x0
1, k
e，
k ex0
切线方程为 y ex
【注意】确定切点
例 1.已知函数 f (x) ex ax （ a 为常数）
④ a 1 时， g '(x) 0 ，增区间 R 2
例 1.已知函数 f (x) ex ax （ a 为常数）
（3） 求 f (x) 在[0,1] 上的最小值； 解：① a 0 时， f '(x) 0 ， f (x) 在[0,1] 上为增函数，最小值为 f (0) 1
② 0 a 1时， ln a 0 ， f '(x) 0 ， f (x) 在[0,1] 上为增函数，最小值为 f (0) 1
【注意】必要时构造函数解决问题
例 1.已知函数 f (x) ex ax （ a 为常数）
（8） 当 a 0 时，证明曲线 y f (x) (x 0) 总在曲线 y 2 ln x 的上方.
证明：要证明 f (x) (2 ln x)
法 1.当 a 0 时，令 h(x) f (x) (2 ln x) ex ln x 2( x 0) ，则 h '(x) ex 1 .
1
(1, )
g '(x)
0
g(x)
减
减 极小值e 增
考虑直线 y a 与函数 g(x) 图象的交点个数，得到
0 a e ，0 个零点； a 0 或 a e 时，1 个零点； a e 时，2 个零点
【注意】零点问题的依据是零点存在定理，结合单调性判断零点个数； 必要时转化函数、方程、不等式。
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-利用导数研究函数的最值 课件
⌘ 例题分析
能直接判断符号吗？
需要确定导函数零 点与定义域边界的 大小关系！
⌘ 小结
➢ 1. 结合实例，理解函数极值与最值的区别与联系； ➢ 2. 会利用导数求函数的最大值、最小值． ➢ 3. 在解决问题的过程中注意体会转化思想或分类讨论思想的应用.
⌘ 参考练习
⌘ 参考练习
确定f’(x) 的符 号分布特征
为了书写清晰简洁，上面第4步与第5步通常用表格的形式进行表达.
⌘ 如何求闭区间上函数的最值？
➢ 1.闭区间上连续的函数一定既存在最大值又存在最小值； ➢ 2. “函数的极值”与 “函数的最值”的区别与联系：
（1）最值是整体概念，具有绝对性； 极值是相对概念，是只与其“附近”函数值相关的，具有相对性 ；
（2）最大值是极大值与端点值中的最大值，最小值是极小值与端点值中 的最小值；
（3）最值若存在必唯一；极值可能不唯一，也可能不存在； （4）极值点若存在只能是开区间内的点，最值点则可以在区间端点，也 可以是区间内的点.
➢ 求闭区间上连续开区间内可导的函数的最值的一般步骤：
求原函数的定义域 求导函数 判断导函数符号 求原函数的单调区间 判断原函数的极值点，求极值 比较极值与闭区间端点函数值，得到最值．
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
利用导数研究函数的最值
1 回顾利用导数研究函数单调性与极值的方法
目录 2
如何求闭区间上连续的函数的最值？
CONTENTS
3பைடு நூலகம்
例题分析
⌘温故知新
➢ 利用导数求可导函数的单调区间与极值的一般步骤： ➢ 1.求函数f(x)的定义域； ➢ 2.求函数f(x)的导函数f’(x) ； ➢ 3.解方程f’(x)=0，若有解 ，求出导函数f’(x) 的所有零点 （若无解直接判断f’(x)在定义域内的符号）； ➢ 4.在定义域内考查导函数f’(x) 在每个零点附近左右区间 的符号是否改变； ➢ 5.根据各个区间f’(x)的符号写出相对应的f (x) 的单调性； ➢ 最后写出f (x)的极值.
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-计数原理复习 课件
②解：先将三个组看作不同的组，第一步先从6人中选2人给第一组，第二步剩 下的4人中选2人给第二组，第三步剩下的2人自成一组，最后再除以三组的全 排列【设计方案】
所以一共有 C62C42C22 15 种.
A33
三、典型例题
➢ 例3. 【人教B版选修2-3第26页思考题】求(x 2 y z)5展开式中含x2 y2 z 项
因此，一共有C62 C42 C22 =90 种.
上述解法有问题吗？
对于问题②，可以列举吗？怎么列举？
6个人分别记为ABCDEF，A与谁一组呢，可能有AB,AC,AD,AE,AF五种可能.
当AB一组时，将剩下的CDEF平均分成两组，谁与C一组呢？有 CD,CE,CF三种情形.
解：6个人分别记为ABCDEF,那么将他们平均分成三组，有下列情况： 【AB,CD,EF】 ， 【AB,CE,DF】 ， 【AB,CF,DE】， 【AC,BD,EF】 ， 【AC,BE,DF】 ， 【AC,BF,DE】， 【AD,BC,EF】 ， 【AD,BE,CF】 ， 【AD,BF,CE】， 【AE,BC,DF】 ， 【AE,BD,CF】 ， 【AE,BF,CD】， 【AF,BC,DE】 ， 【AF,BD,CE】 ， 【AF,BE,CD】，共15种.
的系数.
解：x2 y2 z 这项的系数为C52C32 (2)2 120 .
三、典型例题
➢ 例4. 【人教B版选修2-3第31页习题】设(3x 1)8 a8x8 a7 x7 L a1x a0 ，
（1）求 a8 a7 L a2 a1 ；
（2）求 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0；
3.含 x2 y2z 项的系数为 C51 24 120 .
(x 2 y z)5为 5 个 (x 2 y z) 相乘，由多项式运算法则知，是从每个
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-排列 课件
四、排列数公式的两种不含形白式球 含白球
➢
教材第11页例2、求证：
Anm
mAnm1
Am n1
证明：
Anm
m Anm 1
(n
n! m)!
m
(n
n! m
1)!
n!(n m 1) n! m (n m 1)!
n!(n m 1 m)
(n m 1)!
(n 1)! [(n 1) m]!
n的阶乘，记作 n! Ann n! （规定0！=1）
四、排列数公式的两种形式
Anm n(n 1) (n 2)L (n m 1) (n, m N , m n)
42
18
11
Anm
n! (n m)!
(n, m N , m
n)
四、排列数公式的两种形式
➢ 形式1：Anm n(n 1) (n 2)L (n m 1) 教材第14页练习A
k )]!
n
n! m
!
Anm
所以
Anm
A A k mk n nk
五、排列的应用
➢ 排列模型
判断下列问题是否是排列问题，如果是排列，请用排列数回答：
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标? A120
Байду номын сангаас
(2)从学号为1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方式?
Am n1
所以
Anm
mAnm 1
Am n1
n个不同的黑球
…
1个白球 从这n+1个球中任取m个球排成一 列，有多少种不同的排法？
➢ 用计数原理直接解释例2中的等式
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-空间向量与立体几何复习 课件
uuur
uuur
uuur
DE (1,1, 2) ， CB (2, 0, 0) ， CB1 (0, 2, 2) ．
C(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , B1(0, 2, 2) , C1(2, 2, 2) , D(0,1, 0) , E(1, 2, 2) .
uuur
uuur
uuur
33
45
BP 4 5
3.例题导学-综合应用
例 4. 在正方体 ABCD A' B'C' D' 中，若点 P （异于点 B ）是棱上一点， 则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45 的点 P 的个数为（ ）
A. 0
B. 3
C. 4
uuuur AC ' = (1,1,1)，B = (0,1, 0)
二面角C1
−
DE
−
C的余弦值为
2 3
.
3.例题导学-建立适当的直角坐标系
例 2. 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC AB1 2 ， AB1 ⊥平面 ABC ，
AC1 AC ， D ， E 分别是 AC ， B1C1 的中点．
（Ⅰ）证明： AC B1C1 ；（Ⅱ）证明： DE // 平面 AA1B1B ；
所以
ME∥
A1C1
，且
ME
1 2
A1C1
．
在三棱柱
ABC
A1B1C1
中，AD
P
A1C1 ，且
AD
1 2
A1C1
，所以
ME∥AD，且
ME=AD，
所以四边形 ADEM 是平行四边形， 所以 DE∥AM．
建立坐标系？
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-超几何分布 课件
三、课后练习
2．设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为
() 48011C000610 48011C000620
68011C000410 68011C000420
3．已知在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示 10 个
7、为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女 志愿者做接待工作，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子”，身高在 175 cm 以下(不包括 175 cm)定义为“非 高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
一、基本概念
随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3．
P（X 0） C04 C36 = 20 = 1．P（X 1） C14 C62 = 60 = 1．
C130 120 6
C130 120 2
P（X 2） C24 C16 = 36 = 3 ．P（X 3） C34 C06 = 4 = 1 ．
思考： 超几何分布的特点
P( XBiblioteka m)CMmC nm N M
CNn
(0 m l,l 为 n 和 M
中较小的一个 )
二、典型例题
例题 1、在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法 如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗 示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有 6 名 男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接 受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列．
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-平均变化率与瞬时变化率 课件
➢ AC这一段山路，我们也可以近似看成 一段平直线段，于是可以用CH3与 AH3的比值来刻画山路AC的陡峭程度。
02 函数的平均变化率
我们把爬山行进过程中，我们升高的高度与水平行进的距离抽象成函 数，那么，山坡的坡度就可以对应于函数的平均变化率，山坡的陡峭程度 就可以近似用函数的平均变化率来刻画。
⌘ 函数的平均变化率
每一小段的平均变化率不尽相同。
⌘ 函数的平均变化率
⌘ 函数的平均变化率
⌘ 函数的平均变化率
03 物体的运动速度
作变速运动的物体，它的速度如何刻画呢？如果是一段时间内的速度， 我们可以用平均速度来刻画。如果是某一时刻的速度呢？
⌘ 物体的运动速度
⌘ 物体的运动速度
⌘ 物体的运动速度
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
平均变化率与瞬时变化率
⌘ 学习目标
➢ 1. 结合实例，理解平均变化率和瞬时变化率的概念以及二者的关系。 ➢ 2. 会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率． ➢ 3. 在理解平均变化率的过程中，用直线段代替曲线段，体会“以直代曲”
的思想；在理解瞬时速度、瞬时变化率的过程中，体会极限思想（无 限逼近思想）．
⌘ 参考练习题
（1）在函数平均变化率的定义中，自变量的增量 Dx 满足
（）
A． Dx>0
B． Dx<0
C． Dx=0
D． Dx ¹ 0
[ ] （2）如果质点 M 按规律s = 3 + t 2 运动，则在一小段时间 2,2.1 中相应的平均速度是
A．4
B．4.1
C．0.41
（） D．3
（3）已知 f (x) = 2x +1和 g(x) = 3x + 2在区间[m, n] 上的平均变化率分别为 a 和 b ，
02 函数的平均变化率
我们把爬山行进过程中，我们升高的高度与水平行进的距离抽象成函 数，那么，山坡的坡度就可以对应于函数的平均变化率，山坡的陡峭程度 就可以近似用函数的平均变化率来刻画。
⌘ 函数的平均变化率
每一小段的平均变化率不尽相同。
⌘ 函数的平均变化率
⌘ 函数的平均变化率
⌘ 函数的平均变化率
03 物体的运动速度
作变速运动的物体，它的速度如何刻画呢？如果是一段时间内的速度， 我们可以用平均速度来刻画。如果是某一时刻的速度呢？
⌘ 物体的运动速度
⌘ 物体的运动速度
⌘ 物体的运动速度
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
平均变化率与瞬时变化率
⌘ 学习目标
➢ 1. 结合实例，理解平均变化率和瞬时变化率的概念以及二者的关系。 ➢ 2. 会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率． ➢ 3. 在理解平均变化率的过程中，用直线段代替曲线段，体会“以直代曲”
的思想；在理解瞬时速度、瞬时变化率的过程中，体会极限思想（无 限逼近思想）．
⌘ 参考练习题
（1）在函数平均变化率的定义中，自变量的增量 Dx 满足
（）
A． Dx>0
B． Dx<0
C． Dx=0
D． Dx ¹ 0
[ ] （2）如果质点 M 按规律s = 3 + t 2 运动，则在一小段时间 2,2.1 中相应的平均速度是
A．4
B．4.1
C．0.41
（） D．3
（3）已知 f (x) = 2x +1和 g(x) = 3x + 2在区间[m, n] 上的平均变化率分别为 a 和 b ，
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-导数的实际应用 课件
⌘ 参考练习
⌘ 参考练习
⌘ 参考练习
⌘ 生活中的最优化问题举例
（ 1 ）审清题意，明 确题目中的常量与变量， 并作符号约定。 常量：正方形铁板边长a 变量：截去的小正方形边长 用符号x表示，容器的容积 用符号V表示.
⌘ 生活中的最优化问题举例
（ 2 ）建立变量之间 的函数关系，并结合实 际背景明确定义域. 根据问题的几何背景运
用相关几何知识建立V 与x的函数关系：
⌘ 生活中的最优化问题举例
（ 3）运用导数知识研 究所研究函数的最值
检验
⌘ 利用导数解决实际生活中的最优化问题的基本步骤
（1）审清题意，明确题目中的常量与变量，并作符号约定. （2）建立变量之间的函数关系，并结合实际背景明确定义域. （3）运用导数知识研究所研究函数的最值 （4）检验数学方法求得的结果是否符合实际意义
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
导数的实际应用
1 回顾利用导数研究函数最值的方法
2 生活中的最优化问题举例
目录
CONTENTS
3
总结利用导数解决实际生活中的最优化问题 的基本方法
4 生活中的最优化问题举例
⌘ 温故知新
➢ 求闭区间上连续开区间内可导的函数的最值的一般步骤：
求原函数的定义域 求导函数 判断导函数符号 求原函数的单调区间 判断原函数的极值点，求出极值 比较极值与闭区间端点函数值，得到最值．
⌘ 生活中的最优化问题举例 （1）审清题意，明确题目中的常量与变量，并作符号约定.
⌘ 生活中的最优化问题举例 （2）建立变量之间的函数关系，并结合实际背景明确定义域.
⌘ 生活中的最优化问题举例 （3）运用导数知识研究所研究函数的最值
⌘ 生活中的最优化问题举例 （4）检验数学方法求得的结果是否符合实际意义
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C
m n
n(n
1)(n
2)L m!
(n
m
1)
①
Cnm
n! m!(n
m)!
②
公式②中，当m=n时，由于0！=1，因此 Cnn 1
当m=0时，得到 Cn0 1
（形式1多用于计算，形式2多用于化简变形）
二、组合数
➢ 教材22页练习A
(5)C50 = 1,
C51 = 5,
C52
=
5´ 2´
4= 1
➢ 两个性质的作用
➢ 教材22页练习A
n个不同的黑球
…
1个白球
三、组合数的性质
➢
教材第24页习题1-2B题1、计算
C22
C32
C42
...
C2 100
➢
解：
C
2 2
C
2 3
C42
...
C2 100
C33
C
2 3
C
2 4
...
C2 100
C43
C
2 4
...
C2 100
...
C3 101
166650
小结
➢ 组合 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 直接法和间接法 ➢ “至多”与“至少”问题 ➢ 分组、分配问题
10,
C53 =
5创4 3创2
3 = 10, 1
C54
=
5创4 4创3
3? 2?
2 1
=
5,
C55 = 1
➢ 发现
二、组合数
➢ 求证： 证明：
所以
三、组合数的性质
➢ 性质1
三、组合数的性质
教材第18页
发现
三、组合数的性质
求证： 证明：
所以
三、组合数的性质
不含白球
➢ 性质1
含白球
性质2
➢ 用计数原理解释组合数的两个性质
四、组合的应用
➢ 基本计数原理：分类、分步
次1 正1 次2
➢ 直接法与间接法 ➢ “至多”与“至少”：分类或排除法 次2 正1 次1
➢ 教材第19页
四、组合的应用
➢ 基本计数原理：分类、分步 ➢ 直接法与间接法 ➢ “至多”与“至少”：分类或排除法 练习：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法(用组合数表示)？
A2 3
C2 3
A2 2
A C A 2 2 2
3
3
2
➢ 一般地，从n个不同元素中，任取m个元素
的排列，可以分两步完成：
分
第一步 选取元素
Cm n
步 乘
第二步 排位置
Am m
法 计
所以
A C A m m m
n
n
m
数
原
理
二、组合数
A C A m m m
n
n
m
Cnm
Anm Amm
➢ 组合数公式：
四、组合的应用
➢ 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并用排列数或组合数回答。 (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (4) 从赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的的颜料中，选取两种颜色分别 涂在一张圆形纸的两面，共有多少种结果？
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
1.2.2 组合
一、组合
➢ 定义：一般地，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素并成一组，叫做
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． ➢ 两个组合相同：组成组合的元素完全相同
与顺序无关
一、组合
➢ 排列与组合的区别和联系： 共同点: “从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关. 两者联系: 组合是只选不排，排列是既选又排， 组合可以看成是完成排列的第一个步骤－－选
一、组合
➢ 列举出从红球、黄球、白球三个球中，任意取出2个小球的所有组合
红
黄
白
“红球，黄球” “红球，白球” “黄球，白球”
二、组合数
➢ 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m≤n) 个元素的所有组合的个数，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数，用符号
C
m n
表示。
研究“从红、黄、白三个小球中，任取两个小球”的排列和组合的关系：
(1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人只有一人当选； (3)甲、乙、丙三人至多2人当选； (4)甲、乙、丙三人至少1人当选；
四、组合的应用
➢ 分组、分配问题 教材第20页
四、组合的应用
➢ 分组、分配问题
例、有4本不同的书，满足下列条件的分法各有多少种 （1）分给甲、乙两人，每人各得2本； （2）平均分成两份，每份2本； （3）分给甲、乙两人，一人得1本，一人得3本； （4）分成两份，一份1本，一份3本； （5）分给甲、乙两人，甲得1本，乙得3本；
平均分 组需去
序
四、组合的应用
➢ 分组、分配问题 练习：有6本不同的书，满足下列条件的分法各有多少种
（1）分给甲、乙、丙三人，每人各得2本； （2）平均分成3份，每份2本; （3）分给三个人，一人得1本，一人得2本，一人得3本； （4）分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本； （5）分成三份，两份1本，一份4本； （6）分成四份，两份1本，两份2本.