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2020年北京海淀区空中课堂高二数学-排列与组合的综合应用 课件

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2020年北京海淀区空中课堂高二数学-组合 课件

2020年北京海淀区空中课堂高二数学-组合 课件

C
m n
n(n
1)(n
2)L m!
(n
m
1)
①
Cnm
n! m!(n
m)!
②
公式②中，当m=n时，由于0！=1，因此 Cnn 1
当m=0时，得到 Cn0 1
（形式1多用于计算，形式2多用于化简变形）
二、组合数
➢ 教材22页练习A
(5)C50 = 1,
C51 = 5,
C52
=
5´ 2´
4= 1
➢ 两个性质的作用
➢ 教材22页练习A
n个不同的黑球
…
1个白球
三、组合数的性质
➢
教材第24页习题1-2B题1、计算
C22
C32
C42
...
C2 100
➢
解：
C
2 2
C
2 3
C42
...
C2 100
C33
C
2 3
C
2 4
...
C2 100
C43
C
2 4
...
C2 100
...
C3 101
166650
小结
➢ 组合 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 直接法和间接法 ➢ “至多”与“至少”问题 ➢ 分组、分配问题
10,
C53 =
5创4 3创2
3 = 10, 1
C54
=
5创4 4创3
3? 2?
2 1
=
5,
C55 = 1
➢ 发现
二、组合数
➢ 求证： 证明：
所以
三、组合数的性质
➢ 性质1
三、组合数的性质
教材第18页

2020学年高中数学第1章计数原理1.2.3排列与组合的综合应用课件新人教A版选修2_3

2020学年高中数学第1章计数原理1.2.3排列与组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
解析 (1)根据分步乘法计数原理得有 C26C24C22＝90 种．
(2)在(1)的基础上，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；
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第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种 方法．
由分步乘法计数原理可得 C26C24C22＝xA33， 所以 x＝C26AC2433C22＝15. 因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
返回目录
课前教材预案
要点 分组问题的基本模型 组合中的分组问题，一般有4种基本情况：即 ___无__序__不__均_匀__分__组__、__有_序__不__均__匀_分__组__、__无__序_均__匀__分__组__和_有____ _序__均__匀__分__组___.如：将6个人进行如下分组，求各对应情 况下的分组方法数：
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然 后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法． ②将两块板与已有的三块板之一并放，如|00|||0000|， 有 C13种插法．故共有 C15·(C23＋C13)＝30 种．
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解析 (1)四个不同的小球放入四个不同的盒子，没 有特殊要求，即每个球都可以放入任何一个盒子中，所 以每个球放入盒子中时都有4种选择，所有的放法种数 为4×4×4×4＝256.
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(2)恰有 1 个盒子内放有 2 个球，则先将 4 个球分为 2,1,1 三组，有分法C24AC1222C11种；再放入四个盒子中的三个， 有放法 A34种，由分步乘法计数原理得，共有C24AC1222C11A34＝ C24A34＝144 种放法．

排列与排列数综合运用 (共20张PPT)

排列与排列数综合运用 (共20张PPT)

再考虑其他元素，先特殊后一般； 位置分析法：以位置为主，优先考虑特殊位置，
再考虑其他位置，先分类后分步；
及时演练1 1、7位同学站成两排（前3后4），一共有多少种
不同的站法？
N A73 A44 7 6 5 4 3 2 1 5040
总共有5040种不同的站法
2、7位同学站成一排，其中甲站中间，共有多少 种不同的站法？
①全体排成一排，男生互不相邻
A44 A55
②全体排成一排，男女生各不相邻
A44 A55
相除法
例6、5名男生4名女生排成一排，甲乙丙三人自左
向右（不一定相邻）的顺序不变，有多少种不同
的排列方法？
分析：
由于甲乙丙的顺序不变，但是在甲乙丙之间可以安排其他人，不妨
先不考虑甲乙丙的顺序问题，将所有元素全排列，但是在全排列中甲乙丙
总共有5904个优惠号
小结2
当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反 面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”，通 常含“至多”、“至少”之类的词语
使用间接法解答时可以先不考虑特殊位置(元素)， 而列出所有位置(元素)的全排列，再从中减去不满足 特殊位置(元素)要求的排列
及时演练2 1、7名班委中有A、B、C三名同学，现有7种不同 职务对7名班委进行职务分工 ①若正副班长两职只能从这三名同学中产生，则 有多少种不同分工方案？
N A63 A33 6 5 4 3 2 1 720
总共有720种不同的站法
间接法
例3、某通讯公司推出一组手机号码，号码前7 位固定，从“*******0000”到“*******9999” 共10000个号码，规定后四位含“4”或“7”的一 律为“优惠号”，则这组号码中共有多少个“优 惠号”？

2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.2组合的综合应用课件新人教A版选修2_3

2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.2组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
答案 (1)8 955 (2)8 955 (3)8 955
题型二 与几何有关的组合问题
例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再
无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同 的三角形？
【自主解答】 解法一 以从共线的 4 个点中取点 的多少作为分类的标准．
第 1 类：共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点， 共有 C24C18＝48 个不同的三角形；
解析 若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四 位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以 组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成 的没有重复数字的四位数的个数为 C25C23A44＋C25C13C13A33 ＝720＋540＝1 260.
答案 1 260
(2)含有 0 的：这时 0 只能排在除首位(万位)以外的四 个位置中的一个，有 A14种排法；再从 2，4，6，8 中任取 一个，有 C14种取法；从 5 个奇数数字中任取 3 个，有 C35种 取法，再把取出的 4 个数全排列有 A44种方法，故有 A14C14C35 A44种排法．(4 分) 第二步：对每一类进行分步计算
◎变式训练
1．某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8 名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的 选法？
(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的 选法？
(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的 选法？
解析 (1)至少有 3 名女生的选法可分为如下四类： 有 3 名女生：C36·C510种选法；有 4 名女生：C46·C410种 选法；有 5 名女生：C56·C310种选法；有 6 名女生：C66·C210 种选法．所以至少有 3 名女生共有 C36·C510＋C46·C410＋ C56·C310＋C66·C210＝8 955 种选法．

排列与组合ppt课件

排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。

2020年北京海淀区空中课堂高二数学-计数原理复习 课件

2020年北京海淀区空中课堂高二数学-计数原理复习 课件

②解：先将三个组看作不同的组，第一步先从6人中选2人给第一组，第二步剩 下的4人中选2人给第二组，第三步剩下的2人自成一组，最后再除以三组的全 排列【设计方案】
所以一共有 C62C42C22 15 种.
A33
三、典型例题
➢ 例3. 【人教B版选修2-3第26页思考题】求(x 2 y z)5展开式中含x2 y2 z 项
因此，一共有C62 C42 C22 =90 种.
上述解法有问题吗？
对于问题②，可以列举吗？怎么列举？
6个人分别记为ABCDEF，A与谁一组呢，可能有AB,AC,AD,AE,AF五种可能.
当AB一组时，将剩下的CDEF平均分成两组，谁与C一组呢？有 CD,CE,CF三种情形.
解：6个人分别记为ABCDEF,那么将他们平均分成三组，有下列情况： 【AB,CD,EF】 ， 【AB,CE,DF】 ， 【AB,CF,DE】， 【AC,BD,EF】 ， 【AC,BE,DF】 ， 【AC,BF,DE】， 【AD,BC,EF】 ， 【AD,BE,CF】 ， 【AD,BF,CE】， 【AE,BC,DF】 ， 【AE,BD,CF】 ， 【AE,BF,CD】， 【AF,BC,DE】 ， 【AF,BD,CE】 ， 【AF,BE,CD】，共15种.
的系数.
解：x2 y2 z 这项的系数为C52C32 (2)2 120 .
三、典型例题
➢ 例4. 【人教B版选修2-3第31页习题】设(3x 1)8 a8x8 a7 x7 L a1x a0 ，
（1）求 a8 a7 L a2 a1 ；
（2）求 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0；
3.含 x2 y2z 项的系数为 C51 24 120 .
(x 2 y z)5为 5 个 (x 2 y z) 相乘，由多项式运算法则知，是从每个

2020年北京海淀区空中课堂高二数学-排列 课件


四、排列数公式的两种不含形白式球 含白球
➢
教材第11页例2、求证：
Anm
mAnm1
Am n1
证明：
Anm
m Anm 1
(n
n! m)!
m
(n
n! m
1)!
n!(n m 1) n! m (n m 1)!
n!(n m 1 m)
(n m 1)!
(n 1)! [(n 1) m]!
n的阶乘，记作 n! Ann n! （规定0！=1）
四、排列数公式的两种形式
Anm n(n 1) (n 2)L (n m 1) (n, m N , m n)
42
18
11
Anm
n! (n m)!
(n, m N , m
n)
四、排列数公式的两种形式
➢ 形式1：Anm n(n 1) (n 2)L (n m 1) 教材第14页练习A
k )]!
n
n! m
!
Anm
所以
Anm
A A k mk n nk
五、排列的应用
➢ 排列模型
判断下列问题是否是排列问题，如果是排列，请用排列数回答：
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标? A120
Байду номын сангаас
(2)从学号为1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方式?
Am n1
所以
Anm
mAnm 1
Am n1
n个不同的黑球
…
1个白球 从这n+1个球中任取m个球排成一 列，有多少种不同的排法？
➢ 用计数原理直接解释例2中的等式

2020年北京海淀区空中课堂高二数学-二项式定理 课件

可能的结果
ab
ab
aa, ab, bb
引入
问题3：三个箱子均装着标有字母a,b的两个大小，形状一样的球， 从每个箱子中摸出一个球，共摸出3个球，有可能出现哪些结果？ 每一种结果有多少种情况？
1
可能的结果
ab
aaa, aab,
2
3
abb,
bbb
ab
ab
引入
问题1： a, b
可能的结果 a, b
每一种结果的情况数 1, 1
5555 9 (56 1)55 9
C505 5655
... C5r5 5655r (1)r
...
C 54 55
56(1)54
C 55 55
(1)55
9
C505 5655
... C5r5 5655r (1)r
...
C 54 55
56(1)54
8
因为上式各项均是8的倍数，所以 5555 9能被8整除.
证明:已知
(a b)n Cn0 an Cn1an1b ... Cnr anr br L Cnnbn (n N ) 令a=b=1，则2n Cn0 Cn1 Cn2 L Cnr L Cnn
例题分析
例5.已知 (x2 1)n 的展开式的各项二项式系数和是1024,求展开式中 二项式系数最大的项. 解：由题意可知2n=1024，所以n=10. 由二项式系数的性质，二项式系数最大的项为
C42
abbb,
C
1 4
bbbb
C40
引入
代数运算公式
(a b)1 a b,
1, 1 1C,11 2C,10 1
(a b)2 a2 2ab b2
C22 C21 C20

2020年北京海淀区空中课堂高二下学期数学概率统计综合复习-课件


数据如下表（单位：小时）
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
(1)试估计C班的学生人数；
解：（1）由题意知，抽取的20名学生中，来自C班的学生有8名.
根据分层抽样方法， C班的学生人数估计为100 8 =40人.
20
例题4.A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼 情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间.
E A1C1 A1C2 A2C1 A2C2 A2C3 A3C1 A3C2 A3C3
A4C1 A4C2 A4C3 A5C1 A5C2 A5C3 A5C4 .
例题4.A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼 情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间.
数据如下表（单位：小时）
A班
6
设事件C j为乙是现有样本中C班的第j个人,j=1, 2, ,8.
由题意知，P
Ai
1 5
,
i=1,
2,
,5; P C j
1 ,i=1, 2, 8
, 8.
P
AiC j
P Ai P C j
1 ,i=1, 2, 40
,5, j=1, 2,
, 8.
例题4.A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼 情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间.
例题2.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了 日销售量的频率分布直方图，如图所示：
频率
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不 组距

《排列与组合自》课件

组合可以看作排列的一个特例
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
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大空位 小空位
二、排列与组合的综合应用
➢ 直接法与间接法
例、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线
上，过这9个点可以作多少个三角形？
(2)
C53 C41 C52 C42 C51 80 或 C93 C43 80
(1)
二、排列与组合的综合应用
➢ “至多”“至少”问题
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题
例、如图，沿网格线从A点到B点有多少条最短的线路？例如图中所画的就
是一条最短线路。
B
解：从A到B的最短路线需要走10步，
其中有4步向上走，6步向右走；
故，共有 C140 = 210
A
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题 例、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
1
2
3
4
5
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 教材第25页习题1-2B
若R4断路，有 23 = 8 种， 若R4不断，有3种， 故共有11种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第25页习题1-2B
(1)C41 ?A44 96 (2) A32 ?A33 36
二、排列与组合的综合应用
所以，共有24+72+24+32=152（个）
013579 013579 013579 013579
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
(1) A66 = 720
(2)C31 鬃C31 A44 = 216
甲 乙 其余
(3)2 A22 鬃C41 A22 ?A33 192
15
(或C53 10)
(或
C52C32 A22
15)
再将三组学生分配到三所学校，有 A33 6
故，共有 (10 15) 6 150 种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题 教材第23页练习B
1234
1
2
3
(1)C42 ?A33 36 (2)34 = 81
(3)6 + 6 = 12
（4）四个相同的小球放入三个不同的盒中，不许有空盒子的放法有多少种？
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 例、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少
种？ 解：第一类，甲在排尾，剩下四人有 A44 种排法， 第二类，甲在第二、三、四位上，则有A31 鬃A31 A33 种排法 由分类计数原理，共有A44 + A33 鬃A31 A31 = 78 种。
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第36页自测与评估
解：第一类，没有0时，若无9（6），有 A43 = 24 第二类，没有0时，若有9（6），有 2C42 A33 = 72 第三类，有0时，若无9（6），有 C21 A42 = 24 第四类，有0时，若有9（6），有 2C41C21 A22 = 32
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
排列与组合的综合应用
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列与组合的定义
名称 排列 组合
定义
从 n 个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
m(m≤n)个元素
合成一组
➢ 排列数与组合数的定义
名称 排列数 组合数
定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同
解：题意要求熄灭的灯不相邻，因此选用插空的方法。 将亮着的9盏灯排成一排，两端的灯不能熄灭，则有8个空位符合条件， 然后在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，故有 C83 = 56 种方法。
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
A33 ?A42 72
有两个空位相 邻，且与第三 个空位不相邻
(1)Cnm = Cnn- m
(2)Cnm+ 1
=
Cnm
+
C m- 1 n
一、排列与组合的基本知识
例、判断下列结论是否正确: (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. ( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( √ ) (4)若 Cnx = Cnm ,则x=m成立. ( × ) (5) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n m) . ( × )
C72 C53 C71 C54 C55 246
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题
例、将5名大学生分配到3所学校支教，每所学校至少1名，不同的方法有多 少种？
解：先将5名大学生分组，
若分为1,1,3三组，有 若分为1,2,2三组，有
CC51A51C22C41A42C22 122 0
1+ 1+ 1 C32 = 3
二、排列与组合的综合应用
➢ “隔板”法 例、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？ 解：建立隔板模型， 将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆， 每一种方法所得4堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解， 故原方程的正整数解的组数共有 C131 = 165 种。
(4)2 A22 鬃C41 A33 = 96
前后排 甲乙 选同排
同排 排队
其余
前后排
甲乙 插空
选同排
其余
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照
明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯， 可以熄灭的方法共有多少种？
排列 的个数 组合 的个数
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列数、组合数的公式及性质
公式
(1) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n
m + 1) = n! (n - m)!
(2)Cnm =
Anm Amm
=
n(n -
1)(n -
2) 鬃?(n m!
m + 1) =
n!
m!(n - m)!
性质
例、从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法总数:
（1）男生甲、女生乙必须当选； （2）男生甲、女生乙都不当选；
C130 120 C150 252
（3）男生甲当选，女生乙不当选； C140 210
（4）至少有1名女生当选；
C152 C75 771
× C51C141
（5）至多有2名男生当选；
解（1）C52?C82 280
（2）1ⅹ1的正方形有7ⅹ4=28个， 2ⅹ2的正方形有6ⅹ3=18个 3ⅹ3的正方形有5ⅹ2=10个， 4ⅹ4的正方形有4ⅹ1=4个，
故共有28+18+10+4➢ 与几何有关的排列组合问题 教材第25页习题1-2B
Cn6
小结
➢ 排列、组合的基本知识 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 排列组合应用问题的常用方法