线性子空间-PPT课件

《子空间的直和》PPT课件
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子空间的定义与性质子空间的直和子空间直和的应用子空间直和的扩展总结与展望
子空间的定义与性质
PART
01
子空间是线性空间的一个非空子集，它也是一个线性空间。
子空间
一种是基于向量的线性组合和数乘，另一种是基于子集和加法封闭性。
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解释
解释
在矩阵表示中，我们可以使用增广矩阵来表示子空间直和，其中每一列代表一个子空间的向量。
解释
通过在几何图形中绘制子空间的向量，我们可以直观地理解子空间直和的概念。
表示方法3
通过线性变换表示。
通过矩阵表示。
表示方法1
表示方法2
通过几何图形表示。
通过线性变换，我们可以将一个子空间的向量映射到另一个子空间，从而形成子空间直和。
子空间的直和
PART
02
子空间直和是一种数学概念，用于描述两个或多个子空间在更高维度空间中的合成。
定义
子空间直和可以看作是两个或多个子空间的“加法”，它们在更高维度的空间中形成一个新的子空间。
解释
考虑二维平面上的两个线性子空间，它们可以通过子空间直和的方式合成一个更高维度的子空间。
例子
性质1
子空间直和是封闭的。
矩阵分解
在奇异值分解中，子空间的直和可以用于理解和构造奇异值，这对于处理大规模数据和复杂矩阵非常有用。
矩阵的奇异值分解
信号的频谱分析

( 1 , … , n ) = ( 1 , … , n ) A 得
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.

x2
x2
1
0
0
x3 x4
2x4
2x5 x5
2
0
x5
x5 0 0 1
x2 x4 x5 ,
则, , 是NulA的生成集.
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(2) V2 x 1, x2, , xn T x2, , xn R
解： (1) 0,a2, ,an T , 0,b2, ,bn T V1 有 0,a2 b2 , ,an bn T V1 R,有 0,a2, ,an T V1.
所以，V1 是向量空间。
(2) V2 不是向量空间。
1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 4 3
A b 4 6
2
3
0
6
18
15 0
6
18
15
3 7 6 4 0 2 6 5 0 0 0 0
因此，方程组 Ax b 相容，b在ColA中.
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定义4.4.3 设A是m×n矩阵，A的零空间NulA 是齐次线性方程组Ax=0的所有解向量构成 的集合. 即
NulA x Rn | Ax 0 .
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定理4.4.3 矩阵A的零空间NulAR是n 的子 空间. 等价地，m个方程n个未知量的齐次 线性方程组Ax=R0n的解集是 的子空间， 称为Ax=0的解空间.
证明：显然，0在NulA中.
任取NulA中两个向量 , ,
A A A 0 0 0 NulA.
0 0 0 0 0
x1
2x2
x3
x4 2x 4
3x5 2x5
0 0
0 0
取 x2, x4, x5 为自由变量，则解为：

1 , 2 , , r , ; 1 , 2 , , r ,
都线性相关，从而
k11 k2 2 kr r , l11 l2 2 lr r ,
于是对任意的数x, y, 有
x y ( xk1 yl1 )1 ( xkr yl r ) r ,
它是V 注释1 （1）线性空间V是它自身的子空间， 的子空间中最大的。 它是V的子空间中最小的， （2）{0}也是V的子空间， 称为V的零子空间。 二、线性子空间的性质 命题4.1 线性空间V的有限个子空间的交仍是V的 子空间。
注释2 线性空间V的两个子空间的并是子空间吗？
两个子空间的并不一定是子空间， 例如
V1 {(a ,0,0) a R}; V2 {(0, b,0) b R}
它们的并集 都是R3的子空间，
V1 V2 {(a ,0,0),(0, b,0) a , b R} {(a , b,0) a , b R 且a 0或b 0}
不是R3的子空间. 因它对R3的加法运算不封闭。 事实上，
问 例4.2 设 1 , 2 , 3 是立体空间上 R3 的向量，
L(1 , 2 , 3 ) l11 l2 2 l3 3 : l1 , l2 , l3 R
有可能表示空间的什么图形？
解 如果 1 2 3 0, 则 L(1 , 2 , 3 ) (0,0,0) , 此时 L(1 , 2 , 3 ) 就是立体空间的坐标原点。 如果 1 , 2 , 3 不全为0并且三个向量共线，则
从而 x y W . 即 1 , 2 , , r , x y 线性相关，
（2） 不能构成子空间， 因为加法一般不封闭。
例如， 在向量空间 K 4 中取向量

则称V为R上的一个线性空间，简称为实线性空间，线性 空间中的元素称为向量。
运算+称为加法运算，k 称为数乘运算，它们统称为 线性运算。
O O 称为零向量，若 O, 则称 为 的
负向量，并把 的负向量记为 。
二 线性空间例子
例1 Rn 表示全体n维实向量形成的集合，即
a1
Rn
k1 + k2 + k 3 = 0
k2 + k 3 = 0
k 3= 0
这是关于k1, k2, k 3 的齐次方程组，它的系数行 列式
111
由克莱姆法则
1 1 10 1
所以 方程组只有零解，即k1= k2 = k 3 =0。 证毕
线性空间及其子空间 一 线性空间定义 二 线性空间例子 三 线性空间的子空间
量，称集合
R(A) {y | y Ax, x Rn} L (α1，α2 ， ，αn ) span{α1，α2 ， ，αn}
的负向量
a1
a2
ห้องสมุดไป่ตู้
an
注 Rn是最重要的实线性空间。
类似有复线性空间 Cn
例2 m n 阶实矩阵全体 M mn关于矩阵线性运算是
一个线性空间(实矩阵空间）。特别的
n 阶实方阵全体 Mn 关于矩阵线性运算是一个线性
空间。
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
不难验证
3 21 2
则 3 就是向量 1、2 的线性组合，又称 3 可 由向量1、2 线性表示。
显然：任一 n 维向量 =(a1,a2,…,an)T 都是向量组
1
0
0
1

(1) 对任意αW,βW,必有α+βW；
(2) 对任意αW,kP, 必有 kαW; 则W是V的一个子空间.
证 只需证明W满足线性空间定义中 的运算律(3)与(4)，即要证W中有零元素0， 以及W中每个元素 α有负元素-α在W中. 由 于V是线性空间，故V中有零元素0，任取 αW,0P，由条件(2)必有 0αW,但0α=0， 即得0W .再取αW,-1P,必有(-1)αW , 而(-1)α=-α,故-αW,证毕.
的解空间，则 V1∩V2是这两个方程组的公 共解，即
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0,
ba1s11xx11
as2 x2 b12 x2
asn xn b1n xn
0, 0,
bt1 x1
bt 2 x2
btn xn
0.
的解空间. 例7.3.7 设 α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt是
dimV1 dimV2 dimV1 V2 dimV1 V2
证 设 V1,V2的维数分别是n1,n2, V1∩V2
的维数是m,需要证明
dimV1 V2 n1 n2 m
取V1∩V2的一组基
1, 2 ,, m
由于V1∩V2是V1的子空间，由定理7.3.3，可 把它扩充成 V1的一组基
1, 2 ,, m , m1,, n
是V的一组基.
证 由定理7.3.2的(2)，
W=L(α1,α2,…,αm) . 若V中所有元素均可由 α1,α2,…,αm线性表出，则 V=L(α1,α2,…,αm)=W，此时α1,α2,…,αm就是 V的一组基. 若V中存在αm+1不能由 α1,α2,…,αm线性表出，则把αm+1加入 α1,α2,…,αm后得到的元素组α1,α2,…,αm, αm+1线性无关，由定理7.3.2的(4)，它是

4. 若 W, 则 - W.
不难看出 3, 4 两个条件是多余的，它们已经包 含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此，我们得到
定理 3 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对
于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么W 就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面 我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可 以应用到线性子空间上. 因为在线性子空间中不可 能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量. 所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空 间的维数.
主要内容定义第五节线性子空间非空子集构成子空间的条件向量组生成的子空间一定义定义13数域p上线性空间v的一个非空子集合的一个非空子集合w称为v的一个线性子空间或简称子空间如果w对于v中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域p上的线性空间
一、定义
定义 13 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子 集合W 称为 V 的一个线性子空间(或简称子空间),
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节 节想 想击本 本容单单若 若束内请 请返结节节已想 想击本本容单单若回束内请返结节节已想 想击本本容单单若回束内 内请返结 结节 节已击想 想击本本容单单若回束内内结请返结 结堂节已击击想按本本容单若回束内内结请返结 结堂节已击击想按本本容 容单若回束 束内 内结请返返结 结堂节已击想击按本容容束单回束 束课内结返返结钮堂节已击想按本容容束单回束 束课内结返返结钮堂节已 已击想按本 本容 容束单回回束 束课内结返返结钮堂已已击按本 本,容束回回束课.内!结返结钮堂已已击按本 本,容束回回束课.内!结 结返结钮堂 堂已 已击按按本 本,容束回回束课.!结结返钮堂 堂已按按本,容束回束课.!结结返钮堂 堂已按按本,容束 束回束课 课.!结 结返钮钮堂 堂已按按本,束束回课 课.!结钮钮堂已按本,束束回课 课.!结钮钮堂已按本,,束束回课 课..!!结钮钮堂按,,束课..!!结钮堂按,,束课..!!结钮堂按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!

注意： 1）有限维线性空间V 的任意一个子空间都可由V 中一组向量生成； 2）有限维线性空间V 具有不超过 dimV 的任一维数的子空间。
2 生成子空间的性质
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价； 2） L(1, 2 ,, r ) 的维数等于向量组1,2 ,, r 的秩；
定理 4 设W 是 n 维线性空间V 的 m 维子空间，1, 2 ,, m 是W 的一组 基，那么这组基必定可扩充为整个空间的基，即在V 中必定可以找到 n m 个 向量 m1, m2 ,, n ，使得1, 2 ,, m ， m1, m2 ,, n 是V 的一组基。
例 7 设W {A | A P nn ,且 | A | 0} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
二、子空间的构造 1 生成子空间
r
L(1, 2 ,, r ) { ki i | ki P, i 1,2,, r} i 1
例 8 在 P[x] 中，由1, x, x2 ,, xn1 生成的子空间为 L(1, x, x 2 ,, x n1 ) P[x]n 。
n
例 4 设W {(a1, a2 ,, an ) | ai 0, ai P} ，问W 是否是 Pn 的子空 i 1
间？ 例 5 设 A Pmn ， X (x1, x2 ,, xn ) ，令W {X | AX 0}，问W 是
否是 Pn 的子空间？
例 6 设W {A | A P nn ,且A A} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
3）当
A


0
0
2 0

0

时，求
C(
A)
的维数和一组基。

§5 线性子空间
一. 子空间的概念 二. 子空间的性质
一. 子空间的概念
1。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间
1） W V ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间.
寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间 研究的一个重要问题 →
□
作业： P269 习题 12，13，15，习题 16. 2），习题 17.
证明：1) L(1,2 , ,r ) L(1, 2, , s ) → i L(1,2 , ,r ) L(1, 2, , s ) (i 1, 2, , r) → {1,2, ,r}线表{1, 2, , s}； 同理可得 {1, 2, , s}线表{1,2, ,r} → 向量组{1,2 , ,r}与 {1, 2 , , s} 等价.
即算律3), 4)成立 → W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 → 据定
义7即知W是V的子空间.
□
子空间本身就是一个线性空间 → 线性空间维数，基，坐标的概念及 性质在子空间上仍然成立 .
设W是V的子空间，则dimW≤dimV .
补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间
, W, a,b P, a b W.
证明： 对 n－m 进行数学归纳.
当 n－m = 0 时，即 n = m 1, d,imn线V性n无关 1,2 , ,n 已经是 V 的基， 即命题成立. 现假定 n－m = k 时命题成立，证 n－m = k+1 时命题成立.
此时，n－m = k+1＞0 → m＜n, 即1,2, ,m 线性无关，并且不是 V 的基 → V 中定存在m1 不能被1,2, ,m 线性表示（否则， V ， 由 线表{1,2, ,m}将推出1,2 , ,m 是 V 的基）→ 1,2 , ,m , m1 线性无关（否则，将推出m1 线表{1,2, ,m} ）→ n－(m+1) = (n－m)－1= k＋1－1= k 归纳 假定 1,2 , ,m ,m1 可扩充为 V 的基.