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第五讲线性空间与线性变换第五讲线性空间与线性变换⼀、基本概念1. 数域K 数的集合，且1) 0,1K ∈；2) K 关于,,,+-?÷运算封闭.例如：数域,,Q R C* 任意数域都包含有理数域（有理数域是最⼩的数域）. 数域有⽆穷多.2. 数域K 上的线性空间K V ⾮空集合V + 数域K + 集合V 在数域K 上关于“+”与“数乘”运算封闭 + ⼋条规律线性空间也称为向量空间，其中的元素也称为向量. * n 维实向量线性空间nR 例如，例5.1-例5.73. ⼦空间K U 1) K K U V ?；2) 且K U 是数域K 上的线性空间.⽣成⼦空间K U 1)12,,,s K V ααα? ；2){}112212,,,K s s s U L k k k k k k K ααα=+++∈ . （P84 例5.10）4. 基维数坐标基线性空间中的“极⼤线性⽆关组” P84 维数 “极⼤线性⽆关组”的秩 P84 例如，例5.11-例5.14坐标线性空间中的向量由基线性表⽰的系数 P85 例如，例5.15-例5.165. 基变换和坐标变换基变换基之间的线性变换 P87过渡矩阵构成基变换的矩阵（过渡矩阵是可逆矩阵） P88 坐标变换向量在不同的基下的坐标之间的线性变换 P88 6. 线性变换线性变换线性空间K V 到K V 的满⾜线性运算的映射 P89 例如，例5.17-例5.20线性变换的矩阵基表⽰基的像的线性变换矩阵 P90 例如，例5.21-例5.227. 欧⽒空间内积设V 是实数域R 上的⼀个线性空间，在V 上定义⼀个⼆元函数，记作[],αβ，如果它满⾜：1),,,V k R αβγ?∈∈，有 1) [][],,αββα=（对称性）； 2) [][][],,,αβγαγβγ+=+, [][],,k k αββα=（线性性）； 3)[],0αα≥,当且仅当αο=时，[],0αα=（正定性），则称这个⼆元函数[],αβ是V 上的内积. P93欧⽒空间定义了内积的实线性空间（实数域上的线性空间） P93 * n 维实向量线性空间nR 是欧⽒空间例如，例5.24-例5.261α=（规范性） P94向量的夹⾓[],,a r c c o sαβαβαβ=?，0,αβπ≤≤ P94 向量的正交 [],,02παβαβ==（正交性） P94 例如，标准单位向量组中的向量是相互正交的向量例1（P94 例5.27）8. 规范正交基规范向量组向量长度皆为1的向量组正交向量组向量皆⾮零且互相正交的向量组（正交向量组线性⽆关） P94规范正交向量组满⾜规范性和正交性的向量组，即若12,,,s ααα满⾜：,0,,i j i j αα=?，1,i i α=? P94正交基/规范正交基由正交向量组成的基/由规范正交向量组成的基 P95 正交矩阵 TA A E = P97⼆、基本结论1. 线性空间的基本性质 P831)线性空间的零向量是唯⼀的；2)每⼀个向量的负向量是唯⼀的； 3)0,,k k K αοοο==?∈； 4)若k αο=, 则0k αο=或＝.2. ⼦空间的判定定理1（P84 定理5.1）例如，例5.8-例5.9推论（P85）如果线性空间U V ?，则()()r U r V ≤.3. 基的性质定理2（P85 定理5.2）（产⽣基的⽅法）推论（P85）含有⾮零向量的线性空间⼀定存在基. 推论（P95）⾮空的欧⽒空间⼀定存在规范正交基.4. 坐标变换与基变换的关系定理3（P88 定理5.3）例1（P88）5. 线性变换的性质线性变换的性质（P88）定理4（P91 定理5.4）(向量与向量的像在同⼀基下的坐标的关系) 定理5（P92 定理5.5）(两组基的线性变换矩阵之间的关系)例2（P92 例5.23）三、向量组的规范正交化定理1（P95 定理5.7）例1（P95 例5.28）例2（P96 例5.29）四、习题解答 1. P98 3.提⽰: 即求1234,,,αααα的极⼤线性⽆关组极其秩. 2. P98 5.提⽰: （1）1V 是1n -维线性空间. 23,,,n e e e是1V 的⼀组基.（3）3V 是1n -维线性空间. ()()()1,0,,0,1,0,1,,0,1,,0,0,,1,1TTT--- 是3V 的⼀组基.（5）5V 是1维线性空间, ()1,2,,1,Tn n - 是5V 的⼀组基.（6）6V 是2维线性空间, ()()1,0,,0,0,0,1,,1,1TT是6V 的⼀组基.3. P98 6.提⽰:（1）()1234,,,αααα11111111111111112121014101110111111002010023002301110111007400013----------- ? ? ? ?=→→→------ ? ? ? ?-()1234,,,4R αααα=, 所以1234,,,αααα是线性空间4K 的⼀组基.（2）设()1234,,,x βαααα= , 则()11234,,,x ααααβ-=.()123451513421,,,23-→-- ---32-6,, 所以β在基1234,,,αααα下的坐标为()1,2,1,3T-.4. P98 7.提⽰: 令()()()21123n n k k x a k x a k x a ο-+-+-++-= , 有120n k k k ==== , 故()()()211,,,,n x a x a x a ---- 线性⽆关, 可以成为线性空间[]n R x 的⼀组基.因为()()()()()()()()21(1)112!!n n f x f a f a x a f a x a f a x a n --'''=+-+-++- , 所以()211n f x x x x -=++++ 在基()()()211,,,,n x a x a x a ---- 下的坐标为()()()()(1)11,,,,2!(1)!Tn f a f a f a f a n -??''' ?-??, 即 ()()2121,121,,1Tn n a aa a n a --+++++++- .5. P98 8.提⽰: （1）过渡矩阵()()1123123,,,,C αααβββ-=;（2）()()()()1123123123123,,,,,,,,,TTx x x y y y ααααβββα--==.6. P99 10.提⽰: 计算基的像()()()()11122122,,,A E A E A E A E , 表⽰()()()()() 11122122,,,A E A E A E A E =()()()()()11122122,,,A E A E A E A E C , 则C 即是所求.7. P99 11. 提⽰: 同上题 8. P99 12.提⽰:（1）同上题;（2）⽤123,,εεε表⽰123,,ηηη, 并计算像()()()123,,A A A ηηη. 余下同（1）.9. P99 13.提⽰:（1）()()321123001,,,,010100εεεεεε?? ?= ? ???. 余下同12.（2）;（2）()()123123100,,,,00001k k εεεεεε?? ?= ? ???, 余下同上;（3）()()1223123100,,,,110001εεεεεεε?? ?+= ? ???, 余下同上.10. P100 14.提⽰: ()32214212413211110111011101021*********111011101110111000000002311011100000000r r r r r r r r r r r +-+--?------ ? ? ? ?---- ? ? ? ?---故由1234,,,αααα⽣成的⼦空间V 的⼀组基为1110,0123.正交化 11110177711066663244--???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ,单位化 1117610206610224--，. 故空间V 的⼀组规范正交基为1117610206610224--，. 11. P100 16. 17.提⽰:（1）、（2）C 是正交矩阵1T T CC E CC -?=?=（3）()TT TAB AB ABB A E ==（4）TTT A O A O A O A O E O B O B O B OB ??==12. P100 3.提⽰: P64 11. 13. P100 4.12,,,n ααα是⼀组基.14. P100 5.提⽰:（1）()()()22123111,,1,1,11,,011001x x x x x ααα??=+++=;（2）()223321,,21x x x x ??++=.14. P100 6.提⽰: 同12.（2）. 15. P101 7.提⽰: （1）关于y 轴对称;（2）投影到x 轴;（3）关于直线y=x 对称; （4）逆时针旋转900.16. P101 8.提⽰: ()()()(),,,x x A A B B C C D D A y y ''''?=?=?=?=??= ? ? ????? .（1）1001x x x y y y ??--==;（2）10202x x x y y y==;（3）2222 11x x y x y x y y ??+== -+-.17. P102 10.x ααα=的解即为所求.18. P102 11.提⽰:（2）设{}1U α=, 有()()()()()()1111011R U R U nU U R U R U n R U R U n αοαο=?=?=?⊥+=≠?=?=- 19. P102 12.提⽰: A 是正交矩阵12 11T TA A AA E A A -?=??=??=?=±??另⼀⽅⾯,由**1T AA A E A A A A A -=?==, 1,1ij ij ij ij A a A A a A ?===-=-??当当20. P102 13.提⽰: 由12.(1)及01A B A B +=??=-及()()TTTT T BA B A B A B A +=+=+()0TB A B A B A B A B A B A ??+?=+?-+=+?+=五、知识扩展1. 设B 是秩为2的54?矩阵,()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTTααα==--=--是齐次⽅程组Bx ο=的解向量, 求Bx ο=的解空间的⼀组规范正交基.提⽰: ()2R B =?基础解系含有两个解向量, 即Bx ο=的解空间的基中含有两个解向量. ⼜12,αα线性⽆关, 故12,αα是Bx ο= 的解空间的⼀组基. 将12,αα正交化规范化, 即得Bx ο=的解空间的⼀组规范正交基.。
