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【矩阵理论课件】第1讲：线性空间及分解

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矩阵分析课件

矩阵分析课件
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”

矩阵论第一章线性空间和线性变换

矩阵论第一章线性空间和线性变换
而开方运算则不是，因为显然有
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）

矩阵分析第一章课件.ppt

矩阵分析第一章课件.ppt
是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1

第一章矩阵理论(管理数学基础)

第一章矩阵理论(管理数学基础)

定理1：若1， ，s是方阵A的互异的特征值， x1， ，xs是分别相应于它们的特征向量，则 x1， ，xs 线性无关。 证：对s使用数学归纳法。 当s 1，因为任一个非零向量线性无关，所以定理 成立。 设对s 1个互异的特征值定理成立，要证对s个互异 的特征值定理也成立，为此令 k1 x1 ks 1 xs 1 k s xs 0， （） 1
T 线性( p11T1 pn1Tn， ，p1nT1 pnnT n ) (T1， ，T n ) P T (1 n ) P (1 n ) AP P 1 AP B P 1 AP。 称满足此关系式的A、B矩阵为相似的。
线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为： 设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域
C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数
与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条件： • 加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且
(1)交换律：x+y=y+x；
(2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)； (3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X
n T n 解： 记X x ( x1， ，xn ) R | xi 0 则 (1) i 1 任x，y X ，x y ( x 1 y1， ，xn yn )T 其分量和
(x y ) x y
i 1 i i i 1 i i 1 n n
在上式两边同乘以s 得 k1s x1 ks s xs 0， （2） 因为Axi i xi (i 1， ，s )，用A左乘(1)式得 k11 x1 ks 1s 1 xs 1 ks s xs 0， （3） 将(3)、 二式两边分别相减得 (2) k1 (1 s ) x1 ks 1 (s 1 s ) xs 1 0 由于x1， ，xS 1线性无关，且i s (i 1， s 1)，故必有k1 k s 1 0， 从而k s 0。即x1， ，xs 线性无关。

第1讲：线性空间及分解

第1讲：线性空间及分解

返回
定理2： 定理 ：设 V , V 是线性空间 的子空间 则下列命题等价 的子空间,则下列命题等价 1 2是线性空间V的子空间 （1） V +V 是直和； ） 1 2是直和； （2） 零向量表示法唯一； ） 零向量表示法唯一； （3） V IV ={0}. ） 1 2
性 关则 直 , 例 1： 设 , β 线 无 , L(α) +L(β)是 和 ： α
返回
§1.2
空间分解与维数定理
,
, 1 1 定 1 设 V V2是 性 间 V 子 间 则 V V2的 为 义 线 空 的 空 与 和
V +V 1 2
={
V α V α1+α2|∀α1∈ 1,∀ 2∈ 2}
l2
α
α2
l1
V 2
α1
V 1
返回
定理1： 定理 ：设 V 和 V 是线性空间 的子空间，则 的子空间 2 是线性空间V的子空间， 1
返回
3 . 线 空 的 和 数 性 间 基 维
: V
的
V n+1
n 线性
线性
的
,
ε1,L εn, , ε1,L εn V ,
, 基n
. 线性空间的维数
返回
4. 求 列 性 间 维 与 组 . 下 线 空 的 数一 基
1) 数 P 全 n阶 阵 成 空 Pn×n 域上 体 方 构 的 间 ， 2) Pn×n 全 对 矩 构 数 P 的 间 中 体 称 阵 成域上 空 .
二 数 内 往 两相 的 字 ， 改 在 进 码 ， 往个 邻 数 间 其 变 不 最 .比 由变 4 二 数 是 011 量 是 小 如 3 到， 进 码 由 变 100 其 变 是位 到 ， 改 量 3 .

第一章线性空间与线性变换-矩阵理论课件

第一章线性空间与线性变换-矩阵理论课件

(2)x W , P x W . 平凡子空间
例5
① V x (x1, x2, , xn )T Ax , A Rnn,det(A) 0
是 R中n 的一个子空间。 ② R3是3 R的m一n个子空间。
③ P3[是t] Pn[的t]一个子空间。
定义2 （线性生成子空间）
设 x1, x2 , , xn V L(P ) ， 线性组合
C
C11C2
0 0
1 0
1 1
1 1
0
1
1 1
1 1
1
0
0 0 0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
0
0
1 0
1 1
0
0
1 1
1 1
1 1
1
0
1
0
0 0
0
1
1 1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1 0 1
§3、子空间与维数定理 定义1 （子空间）
下的坐标依次可记为
E11, E12 , E21, E22
1 0 0 1 1
1
1
0
,2
1 1
,
3
0
1
,
1
0
2
,
2
1 0
0
0
1
3
1
容易判定该向量组的一个最大无关组为 1,2 ,3 , 2
A1, A2 , A3, B2 是 V1 V2 的一个基。dim(V1 V2 ) 4
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn

矩阵理论复习总结 PPT课件


1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1

max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A


max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )



1T

T 2





T n


111T

2
2

T 2

n
n

T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).

01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换


例 2 V = F mn = {A = (aij)mn | aijF}，它在矩 阵的加法与数乘运算下构成数域 F 上的线性空间， 称为矩阵空间，其中 Rmn 为由一切 mn 实矩阵构 成的实矩阵空间。
例 3 实数域 R 上次数不超过 n 1 次的关于 文字 x 的一切多项式和零多项式所构成的集合
二、线性空间的基与维数 向量空间中的基与维数是依赖于向量的线 性相关与线性无关的概念来定义的。 线性空间 V 作为一个向量集合，其中向量 的线性相关、线性无关、极大无关组、等价等 一系列概念，在形式上与向量空间 Rn 中的定义 完全类似。 与上述概念相关的性质与结果也可平移到 线性空间中。
定义 1.2 设 V 是线性空间，若存在一组线性 无关的向量 1, 2, …, n，使空间中任一向量可 由它们线性表示，则称向量组 {1, 2, …, n} 为 V 的一组基。基所含向量个数为 V 的维数，记为 dimV = n, n < 或者 n = 。
图 1 二维向量空间 V = {x = (0, x2, x3)T | x2, x3R}
本质上，向量空间就是满足某些特性 ( 比如 对于向量加法及数乘两种运算封闭)的向量集合， 它的一个直观模型是向量几何，2 维和 3 维几何 空间中大多数有用的结论都可以扩展到向量空间。
定义向量空间的目的就是讨论向量集合的一 般性质。
解 因为
a0 a 2 3 1 f x (1, x, x , x ) , a2 a 3
类似地，{Eij, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n} 是矩阵空间 Rmn 的一组基，dimRmn = mn。 例 7 向量组 {1, x, x2, …, xn 1} 是 Pn[x] 的一 组基，dimPn[x] = n。

矩阵理论第一章线性空间与线性变换精品PPT课件

对、、 V，k、l F 或F C, 成立
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，

构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。

矩阵理论课件-第一章 线性代数引论

推论2 V中任意一个元素y, 均可由V的一个基底 x1, … , xn唯一表出.
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
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6) k(l ) (kl) 7) (k l) k l 8) k( ) k l
返回
2 判断下列集合是否构成线性空间.
1) 空间中不平行于一已知向量的全体向量所构
成的集合， 2) 数域P上次数等于定数n(n 1)的多项式全体所
构成的集合，是否构成复数域上的线性空间?
返回
3. 线性空间的基和维数
存在向量 V1 如果 V2，则结论成立
如果: V2 , V2是非平凡子空间
返回
存在向量 V2 如果 V1，则结论成立 如果 V1，就有
V1, V1; V2, V2
V1, V2
返回
§1.2 空间分解与维数定理
定义1 设V1,V2是线性空间V 的子空间,则V1与V2的和为
且是唯一的，这个和 V1 V2 就称为直和,记为V1 V2
返回
定理2：设 V1 , V2是线性空间V的子空间,则下列命题等价 （1） V1 V2 是直和； （2） 零向量表示法唯一；
（3） V1 I V2 {0}.
例 1：设, 线性无关,则L() L( )是直和,
而L( ， ) L()不是直和.
0 0 1
1 1 0
0 1 1
100
0 1 0
0 1 1
1 1 0
0 1 1
100
0 1 1
0 1 0
返回
1 1 0
0 1 1
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1 0 0
1 1 0
1 1 0
0 1 1
100
1 0 1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
100
1 1 0
1 0 1
定义: 在V中有n个线性无关的向量1,L ,n , 而 V中任意n 1个向量都线性相关,则称1,L ,n是V
的一组基, n就是线性空间的维数.
返回
4. 求下列线性空间的维数与一组基. 1) 数域P上全体n阶方阵构成的空间Pnn， 2) Pnn中全体对称矩阵构成数域P上的空间.
解： 1) P nn基为 Eij i, j 1,2, , n dim( Pnn ) n2
返回
定义3：设 V1,V2,L ,Vs 是线性空间V的子空间，如果和
V1 V2 L Vs中的每个向量 的分解式
1 2 L s, iVi(i 1,2,L ,s)
是唯一的，这个和V1 V2 L Vs就称为直和，记为
V1 V2 L Vs
定理3：设V1,V2,L ,Vs是线性空间V的子空间，则下列命题 相互等价：
2)
令Fij
Eij
E
ji
Eii
1i jn
维数为n(n 1) .
2
返回
定义 : 如果数域P上的线性空间V的一非空子集 W 对于V的两种运算也构成线性空间,则称W 是V 的线性子空间.
5 设A Pnn，证明：全体与A可交换的矩阵组 成的一个子空间，记为C( A).
证 AE EA E C( A). A1, A2 C( A) A1A AA1, A2 A AA2
返回
2、码理论中的矩阵方法
1) (0, 1)矩阵：矩阵的元素都是0 或 1，而且0与1之间 的运算满足:
0 0 0, 0 1 1, 1 0 1, 1 1 0; 0 0 0, 0 1 0, 1 0 0, 11 1. 2) 格雷码：是一种改变量最小的码. 在二进数码内，往往两个相邻的数字间，其改 变量不是最小.比如由3变到4，二进数码是由011 变到100，其改变量是3位.
1) ( A1 A2 )A A1A A2 A AA1 AA2 A( A1 A2 )
返回
2) (kA1)A k( A1A) k( AA1) A(kA1)
C( A)是Pnn的子空间.
6. 设V1、V2是线性空间V的两个非平凡子空间，则
V中存在向量，使 V1、 V2同时成立.
证：
V1是非平凡子空间
1 1 0
0 1 1
100
1 1 1
1 0 0
返回
0 到 2 p 1的转换矩阵：
1 0 0 0 0 0
1
1
0
0
0
0
0 1 1 0 0 0
P
0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
返回
第一章
线性代数基础
返回
§1.1 线 性 空 间
1、什么是线性空间？
V1 V2 {1 2 |1V1,2V2}
l2
2
l1
1
V2 V1
返回
定理1：设 V1和 V2 是线性空间V的子空间，则
dim(V ) dim(V )
1
2
dim(V 1
V ) dim(V
2
1
I
V) 2
定义2 设V1和 V2是线性空间V的子空间,若对 V1 V2 ,
有 1 2 (1V1,2V2)
矩阵理论
作者：黄廷祝、钟守铭、李正良 高等教育出版社
返回
一. 引言
1.方程组求解 Ax b,
a11 L a1n
A
M
O
M , aii 0, i 1, 2,L , n A 非奇异
an1 L ann
a11 L 0
x A1b
A
D
M
O
M ,
0 L ann
0 L
L
a21 M
O O
返回
十进数 二进码 格雷码
0
000
000
1
001
001
2
010
011
3
011
010
4
100
110
5
101
111
6
110
101
7
111
100
格雷码十进数
0 1 3 2 6 7 5 4
返回
3) 二进码转换为格雷码：
1 1 0
0 1 1
100
0 0 0
0 0 0
1 1 0
0 1 1
100
0 0 1
（1）W V1 V2 L Vs是直和；
（2） 零向量表示法唯一；
（3） Vi I (V j ) {0}.
ji
（4） dim(W ) dim(Vi ).
返回
(1)M D, N L U Jacobi iterative method
(2)M D L, N U Gauss-Seidel iterative method
(3)M 1 (D L), N 1 [(1 )D U ]
Successive Overrelaxation Iterative mathods
设V是一非空集合，P是一个数域. 在V中定义加法：
v ; 在V与P之间定义数量乘法： k. 如果
加法与数量乘法满足：
1)Байду номын сангаас
5) 1
2) ( ) ( ) 3) 0V , V ,有 0
4) V , V , s.t 0
则V称为数域P上的线性空间.
ann L
L O O an,n1
0
M M
,U
0
0 M
a12 O O
L O O
0
0 L 0
a1n
M
,
an1,n 0
返回
A D LU, Ax b A M N(det M 0 ) Mx Nx b Mx Nx b x M 1Nx M 1b x( k1 ) M 1 Nx( k ) M 1b M%x( k ) b%