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称 1 , 2 ,, m 为矩阵 A 的行向量组.
线性方程组的向量形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 (1) am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
向量表示矩阵
1 2 n
a11 a 21 矩阵 A a m1 a1n a 2 n ( , ,, ), 1 2 n a mn 称 1 , 2 ,, n 为矩阵 A 的列向量组. a12 a 22 am 2
a
1 a a 构成线性空间 R (kl ) a a kl (a l )k k (l a ) (k l ) a a k l a k a l (k a ) (l a ) k (a b) (ab)k a k b k a k b k (k a ) (k b)
若干个同维数的列向量 (同维数的行向量) 所组成的集合
向量组就是指
a11 a 21 矩阵 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n 1 1 a2 n 2 2 , a mn 1 1
向量的线性运算满足八条运算律
设 、 、 是n维向量，0是n维零向量，k、 l
是任意实数。 (1) + ＝ + (2) ( + ) + ＝ + ( + ) (3) + 0 ＝ (4) + (－ ) ＝ 0 (5) 1· = (6) ( k l ) = k ( l ) (7) k ( + ) ＝ k + k (8) ( k + l ) = k + l
(k11 k 2 2 k m m )
(k1 )1 (k 2 ) 2 (k m ) m {k1 1 k 2 2 k m m | ki R i 1,2,, m}
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )， 是数
规定：
(1) 加法：
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn) = ( a1, a2, …, an )
(2) 数与向量的乘法：
向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。
如没特别说明所给向量默认为列向量
行向量和列向量是特殊的矩阵，所以向量相等 与向量的线性运算均按矩阵运算来进行。
规定：两个向量 = ( a1, a2, … an ), = (b 1, b 2, … b n )
相等，记 = ai = bi ( i = 1, 2, … , n)
2、n 维向量的线性运算
设V1 ，V2向量空间 V 的两个子空间 例4： 则（1） V1 +V2 1 2 1 V1 , 2 V2 仍是V 的子空间，称为V1 ，V2的和空间； V2 V1且 V2 （2） V1 仍是V 的子空间，称为V1 ，V2的交空间。
§1
向量空间
一、n维向量的定义及运算
一个n维向量。 记为： = ( a1, a2, … an )
n维向量是二维、 三维向量的推广
1.定义 由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为
其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
的第 i 个分量或第i个坐标。
(2) V1 = { ( 1, a2, … , an ) | ai R, i = 2, 3, … n }
不是一个向量空间，
( 1, a2, … , an ) V1 1 时，
三、子空间
定义
设V是一个线性空间，V1 V，若V1也是一 个线性空间 ，则称 V1 是 V 的一个子空间。
称为由 1, 2, … , m 生成的向量空间，
对于向量 1 , 2 , , m R
n
则
记为 L (1, 2, … , m )
设 1 (2,0), 2 (1,1), L(1) ? L(1,2 ) ?
L(2 ) ?
例 3： 齐次线性方程组 A m nX = 0 的解集合记为 V = {X | A m n X = 0}， 证明 V 是 R n 的一个子空间。
向量空间是线性空间的特例，线性空间称为 广义向量空间
思考 (1) V = {0}构成向量空间吗？
(2) V1 = { ( 1, a2, … , an ) | ai R, i = 2, 3, … n }
构成向量空间吗吗？
0 = 0， 解答 (1) V = {0}，由于 0 + 0 = 0，k·
V = {0} 构成一个向量空间，称为零空间。
思考 非齐次线性方程组 A m nX 构成线性空间吗？
AX1 b AX2 b
n 1
= b 的解集合
A( X1 X 2 ) ?
不构成线性空间
2b
思考 正实数的全体记作 R ，在其中定义加法和数乘
a b ab, a a ( R, a, b R ) R 对上述线性运算构成线性空间吗？ 解 先验R 证对加法和数乘运算封闭。略 再验证满足八条运算规律： a b ab ba b a (a b) c a (b c) a 1 a 1 a, 1相当于R 中零元素 1 a 1 1, 1 aa 相当于 a 在 中负元素 R a
( 2)
二、向量空间
若集合 V非空, R为实数域，且定义了 定义 加法(记为 )和数乘(记为 )两种运算 如果集合 V对于加法及数乘两种运算封闭, 即 (1) 若 V , V , 则 V ; (2) 若 V , R, 则 V 并满足八条运算规律 则称集合 V 为数域R上的线性空间 +＝ + 1· = ( + ) + ＝ + ( + ) ( k l ) = k ( l ) +0＝ ( k + l ) = k + l + (－ ) ＝ 0 k ( + ) ＝ k + k
零向量 0 = ( 0, 0, … , 0 ) 负向量 对 = ( a1, a2, … an ) 称 ( －a1, －a2, …, －an ) 为 的负向量。记为－ 。
行向量 = ( a1, a2, …, an )
－ = (－a1, －a2, …, －an )
a1 1 n n 维行向量即 行矩阵 a2 T ( a , a , , a ) 列向量 1 2 n a n维列向量即 n 1列矩阵 n
(6,5,1 / 2,1)T .
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 ( ) 2 2 机翼的转角 ( )
(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
机身的水平转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
n 1 n 1
证：设X1和X2是齐次线性方程组AX=0的解，
即 A X1 = 0， A X2 = 0
则 (1) A( X1 + X2 )= 0，X1 + X2 仍是 AX = 0的解
(2) R , A( X1 ) = 0，X1仍是AX = 0 的解。
故 V 是 R n 的一个子空间。 V 称为齐次线性方程组 AX = 0 的解空间。
例1 设 1 ( 2,4,1,1) ,
T
2 ( 3,1,2,5 / 2) ,
T
如果向量满足 31 2( 2 ) 0, 求 .
解 由题设条件, 有
31 2 2 2 0
1 ( 2 2 31 ) 2 2 3 1 2 T T 3 ( 3,1,2,5 / 2) ( 2,4,1,1) 2
例如
(1) 全体 n 维向量构成一个线性空间，称为 n维向
特别有R3 , R 2 , R . (2) 实数域R上全体 m n 矩阵组成的集合Rm n
量空间：记作 Rn ;
按矩阵的加法和数乘运算是一个线性空间。 (3) 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数的集合 C[a,b]按照函数的加法和数乘是一个线性空间。
令 i
a1 j a2 j a mj
( j 1,2,, n),
则线性方程组 (1) 可表为:
b1 b2 b m
1 x1 2 x2 n xn
i 1,2,, m}
证明：L 构成一个向量空间。 证： , L， R k11 k 2 2 k m m 1 k 2 2 k m m k1 2 k m m ) (k11 k 2 2 k m m ) (k11 k 2 )1 (k 2 k 2 ) 2 (k m k m ) m L (k1 k1
1. 理解n维向量的概念。 2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关 的重要性质并会进行判别。 3．理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，并 会求向量组的最大无关组与向量组的秩。 4．知道维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概 念，知道基变换和坐标变换。 5．了解向量内积的概念，了解标准正交基的概念，会 用线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。 6．了解线性变换的概念，了解正交变换和正交矩阵的 概念和性质。 7．理解线性变换的特征值与特征向量的概念并掌握其 求法。 8．了解相似矩阵的概念及性质。了解矩阵对角化的充 要条件。会求实对称矩阵的相似对角形矩阵。
