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离散系统的最小值原理

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离散系统的极小值原理

离散系统的极小值原理

u * (k ) = 0.2
x* (k ) = 1 − 0.2k
k = 0,1, 2,3, 4,
总结 应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束 的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处 理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受 约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值 原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。
2 离散极小值原理
庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系 统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有 人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实 出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系 统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果 是失败的。 离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程 也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量 序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不 加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。
因为： ∂Lk = λ (k + 1)
∂x(k )
∂Lk = u (k ) + λ (k + 1) ∂u (k )
∂Lk −1 = −λ ( k ) ∂x(k )
所以由离散欧拉方程（3-6）可得：
λ ( k + 1) = λ ( k ) = c
u ( k ) = −λ ( k + 1) = −c
其中 c为待定的常数。 将 u (k ) = −c 代入状态差分方程，有
离散极小值原理可以叙述如下： 定理3 [定理3-7] （关于离散系统末端状态受约束） [定理3-8] （关于离散系统末端状态自由） 定理3
[定理3-7] 定理3 7]（关于离散系统末端状态受约束） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]

自动控制原理第7章 离散控制系统

自动控制原理第7章 离散控制系统
2013-7-16 12
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。 采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为
2013-7-16 20
7.2.3 信号的恢复
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。 信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位臵应处在采样开关之后(图7.8)。
2013-7-16 3
因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为τ(τ<<T)，如图7.3所示。
x(t )
x* (t )
x* (t )
T
x(t )
o
t
o
T
2T
3T
4T
t
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
(b) 图7.6 采样过程
(c)
2013-7-16
11
由图7.6(c)，可写出脉冲序列x*(t)表达式为
x* (t ) x(0) t ) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )] [1( x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]

最优控制第2章 极小值原理

最优控制第2章 极小值原理

(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H
∂x
2015-03-24
10
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
2015-03-24
20
u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
2015-03-24

离散量的最大值和最小值问题

离散量的最大值和最小值问题

图2
例 4 某市的一些中学生参加了一次数
学邀请赛 ,且这次邀请赛共有 6 道试题. 已知
每道试题恰有 500 名学生答对 ,但任意两名
学生中 ,至少有一道试题使得这两名学生都
没有答对. 问 :该市至少有多少名中学生参加
了这次数学邀请赛 ?
解 :首先 ,每位学生至多答对 4 道题.
事实上 ,由题设知 , 对任意一位学生来
一行 ,剩下的染色的小方格数不超过 3 ,再划
去一行两列可把染色的小方格全部划去.
若染色的小方格数为 6 ,则必有一行至
少有 3 个小方格染色或有两行各有 2 个小方
格染色 ,故划去两行至少能划去 4 个染色小
方格 ,剩下的染色的小方格不超过 2 ,再划去
两列就可以把它们全部划去.
所以 ,染色的小方格数大于或等于 7.
解离 散 量 最 值 问 题 的 常 用 方 法 有 如 下 3种:
1. 枚举法 枚举就是穷举 ,首先 ,把变量的所有可能 都列举出来 ,然后 ,比较它们的大小 ,从中找 出最大值和最小值. 当变量的取值个数较少 时 ,这种方法很有效. 2. 逐步调整法 逐步调整法是指在确定最大值或最小值 存在的前提下 ,先通过逐步调整变量之间的 关系来找出取到最值所需满足的必要条件 , 然后再求得最大值或最小值的方法. 利用逐 步调整法需注意的一点是 ,必须在最大值或 最小值存在的前提下 ,调整才是有意义的. 3. 估计上 (下) 界 ,构造实例 首先 ,利用不等式求得 (或证明) 该变量 的上界或下界 ,然后 ,构造出一个实例说明此 上界或下界能够达到 ,这样便求得了最值. 例 1 设正整数 n 是 75 的倍数 ,且恰有 75 个正整数约数 (包括 1 和自身) . 求 n 的最 小值. 解 :设 n 的质因数分解式为

离散控制系统的基本原理和概念

离散控制系统的基本原理和概念

离散控制系统的基本原理和概念离散控制系统是指通过离散的方式对连续的物理过程进行控制的系统。

它通过在不连续的时间间隔内对物理过程的状态进行采样和决策，以实现对系统行为的调节和优化。

离散控制系统在工业生产、交通运输、电力系统等领域都有重要的应用。

本文将介绍离散控制系统的基本原理和概念。

一、离散控制系统的基本原理离散控制系统的基本原理可以概括为以下几点：1. 状态采样：离散控制系统通过在特定的时间间隔内对系统的状态进行采样，获取系统当前的信息。

采样可以通过传感器或者测量设备实现，常用的采样方法有周期性采样和事件驱动采样。

2. 状态量量化：离散控制系统通过量化采样得到的状态量，将连续的物理量转化为离散的数字信号。

量化可以通过模拟-数字转换器（ADC）或者编码器来实现，将模拟信号或者连续的物理量转化为数字信号或者离散的状态。

3. 控制决策：离散控制系统通过对采样得到的状态量进行处理和分析，根据预先设定的控制策略和算法，决策出下一时刻的系统控制指令。

常见的控制策略有比例控制、积分控制、微分控制等。

4. 控制执行：离散控制系统根据决策出的控制指令，通过执行机构对系统进行控制。

执行机构可以是电机、执行器、调节器等，它们根据控制指令调节系统的输入、输出或者参数，使系统达到预期的控制目标。

5. 反馈调节：离散控制系统通常配备反馈机制，通过对系统输出或者状态的反馈信息进行采样和分析，实时调节控制策略和参数。

反馈控制可以提高系统的鲁棒性和稳定性，使系统能够自动适应外部扰动和变化。

二、离散控制系统的概念1. 离散事件：离散控制系统所控制的物理过程通常是由一系列离散事件组成的。

离散事件可以是系统状态变化、信号发生改变、控制指令变化等。

2. 采样周期：采样周期是离散控制系统进行状态采样和控制决策的时间间隔。

采样周期的选择需要考虑到系统的动态特性、采样准确性和计算开销等因素。

3. 控制周期：控制周期是离散控制系统执行控制指令的时间间隔，它决定了系统对外部扰动和变化的响应速度。

第26章 离散量的最大值和最小值问题

第26章 离散量的最大值和最小值问题

第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为x ，则前9场比赛的平均得分为52314112056899x x +++++=． 由题设知5689x x +>， 解得17x <．所以前5场最多得分是517184⨯-=（分）． 再设他第10场比赛得了y 分，那么有 84681810180y ++>⨯=， 解得28y >y>28． 故他第10场比赛得分≥29分．另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．所以，他在第10场比赛中至少得了29分．评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．26.1.2* 从任意n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n 的最小值．解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．又l ，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．26.1.5** 代数式rvz rwy suz swy tux tvx --++-中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1或者1-．（1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值． 解析 （1）因为()11111110mod 2rvz rwy suz swy tux tvx --++-≡++++++≡，所以，此代数式的值为偶数．（2）原式()()()uy s r tx u v z rv su =-+-+-，要使原式取得最大值，则s 与r 取1与1-，u 与v 取l 与1-．但是，若r 与v 的取值相同（1或1-），则s 与u 的取值也相同，有0rv su -=．若r 与v 的取值不同．则s 与u 的取值也不同，也有0rv su -=．所以，原式的最大值为4．这时取1s =，1r =-，1u =，1v =-，1w y t x ====．26.1.6** 一个三位数除以43，商是a ．余数是b （a 、b 都是整数），求a b +的最大值． 解析 由带余除法可知：43a b ⨯+=一个三位数．① 因为b 是余数，它必须比除数小，即b ≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此a 不超过23（因为24×43>1000）．当23a =时，因为43×23+10＝999，此时b 为10．当22a =时，可取余数42b =，此时43×22+42＝998．故当22a =，42b =时，a b +值最大，最大值22+42＝64．从1，2，…，1001这1001个正整数中取出n 个数，使得这n 个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值．解析 设正整数a 被取出，则2a +，3a +，5a +，7a +都不能被取出．而1a +，4a +，6a +三者中至多只能有一个被取出．所以连续8个整数a ，1a +，2a +，a +3，a +4，5a +，6a +，7a +中至多有两个数被取出，而 1001＝8×125+1，所以n ≤2×125+1＝251．又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以n 的最大值为251．26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．事实上，设a 、b 、c （a b c <<）这三个数取自1，14，15，…，205，若1a =，则a b b c =<；若1a >，则14152100ab ⨯=>≥．另一方面，考虑如下12个数组： （2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个． 综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．26.1.9*** 从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两 个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质． 事实上，令数组A ={1，2，3，5，7，…，13）．数组A 中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从 1，2，…，16中任取12个数，由于A 以外只有9个数，故A 中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．所以，最多选出11个数满足要求．26.1.10*** 已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ⋯+++=，若2221240x x x ⋯+++的最大值为A ，最小值为B ，求A B +的值．解析 因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2221240x x x ⋯+++的最小值和最大值是存在的．不妨设1240x x x ⋯≤≤，若11x >z1>1，则 ()()121211x x x x +=+++，且()()()222222121221121122x x x x x x x x -++=++-+>+．所以，当1x >1时，可以把1x 逐步调整到1，这时，2221240x x x ⋯+++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…，39x 逐步调整到1，这时2221240x x x ⋯+++将增大．于是，当1x ，2x ，…，39x 均为1，4019x =时，2221240x x x ⋯+++取得最大值，即22223911119400A ⋯=++++=个若存在两个数i x 、j x ，使得()2140j i x x i j -<≥≤≤，则()()()2222221121i j i j j i i j x x x x x x x x ++-=+---+≤，这说明在1x ，2x ，…，39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l ，较大的数减1，这时，2221240x x x ⋯+++将减小．所以，当2221240x x x ⋯+++取到最小时，1x ，2x ，…，40x 。

极小值原理及其应用(17)

x2 (t ) t x20 1 2 x1 (t ) t x20t x10 2
（4-32）
从上面两式消去t，即可得相轨迹方程
1 2 x1 (t ) x 2 (t ) c 2
（4-33）
1 x2 x 2 u x
当 u 1 时，状态方程的解为
x2 (t ) t x20
u 可以通过非线性的状态
*

1
Z
1
1
u
1 s2
x1
1 x2 x2 2
x2
d dt
图4-5 重积分系统时间最优控制的框图
图4-5表示了重积分系统时间最优控制的工程实现。 由图可见 1
Z x1
Z 0 时，u 1 ，即满足（4-39）式；
Z 0 时，u 1 ，即满足（4-40）式。
2 (t ) c2 c1t
（4-31）
2 (t )
1 1
u (t )
t
2 (t )
1 1
t
u (t )
由图4-2可见，当 2 (t ) 为 t 的线性函数时 u(t ) 最 u(t ) 也相应有四种序列 多改变一次符号。
1
c1 0, c2 0
c1 0, c2 0
u*
u

(c )

(a)
图4-1有界闭集内函数的几种形状
对于图4-1（a） H / u 0 仍对应最优解 u 。对于 图4-1(b) H / u 0 所对应的解 u 0 不是最优解，最优 解 u 在边界上。对于图4-1（c） H / U 常数，由这个 方程解不出最优控制 u 来（这种情况称为奇异情 H / U 也不一定是 况），最优解 u 在边界上。另外， 存在的。例如状态方程的右端 f ( X ,U , t ) 对U的一阶偏 导数可能不连续，或由于有些指标函数，如燃料最优 控制问题中，具有下面的形式

体系能量的最小值

体系能量的最小值通常指的是系统在平衡状态下所具有的最低能量水平。

以下是一些关于体系能量最小值的重要概念和说明：
1. 能量最低原理：在物理学中，能量最低原理指出，在恒定的熵值（系统的无序度）下，一个无约束的物理系统会自然地达到其能量的最小值状态。

这是自然界中普遍存在的一种趋势，即系统倾向于达到一种能量最低的稳定状态。

2. 势能函数：体系的总能量可以通过所谓的势能函数来描述，该函数考虑了体系中所有粒子之间的相互作用。

势能函数的形式和参数取决于体系的具体性质和采用的理论模型。

3. 计算方法：在理论化学和材料科学中，经常使用各种算法来寻找体系能量的最小值，如蒙特卡洛方法和分子动力学模拟。

这些方法通过反复迭代调整原子位置，以降低系统的总能量，直至达到设定的收敛标准或局部最小值。

4. 绝对能量值与比较：虽然从头算能量的零点是所有核和电子相距无穷远的情况，因此计算出的体系能量都是负值，但是一般来讲，能量的绝对值并没有太多讨论价值。

实际上，科学家更关心的是不同配置或条件下体系能量的相对变化，而不是其绝对数值。

5. 稳定性分析：对于材料科学中的体系，变化如掺杂或产生空位等都会引起体系能量的变化。

通过计算结合能与形成能，可以评估体系变化前后的稳定性变化，但不同体系间的稳定能量不能直接横向比较。

4.3离散变分原理与离散极小值原理


其中H ( k ) H ( x , u, , k ) L x ( k ), u( k ), k T ( k 1) f x ( k ), u( k ), k
x ( N ), N 0
( x ( N ), N ) T ( x ( N ), N ) (N ) x ( N ) x ( N )
的最优控制，x * ( k )为相应的最优状态序列 ，则必存在非零的函数 向量 ( k ) 及常向量，使u* ( k )、x * ( k )、 ( k )和满足下列必要条件： 1)正则方程 x ( k 1) f x ( k ), u( k ), k H ( k ) ( k 0,1, , N 1) ( k 1) H ( k ) (k ) x ( k ) 2)边界条件 x ( 0) x 0
(N ) 0
( 4) ( 5)
12
2.用离散极小值原理求解 将状态方程和性能指标 用一阶差分近似，令T为采样周期，则 x(k 1) x(k ) Tf x(k ), u (k ), k x(0) x0 J T Lx(k ), u (k ), k
k 0 N 1
tf t0
f ( x, u , t )，x(t0 ) x0 , 求u * (t )， x
使性能指标J Lx(t ), u (t ), t dt取最小值。 1.用连续极小值原理求解 根据连续极小值原理， 最优解的必要条件为 H x (t ) f ( x, u, t ) T x(t ), u (t ), t (t ) H L x ( t ), u ( t ), t f (t )＝ x x x 其中H ( x, u , , t ) Lx(t ), u (t ), t T (t ) f ( x, u , t ) x(t0 ) x0

第六章 极小值原理(20121020)

*
设有控制变量 u t ，在时间区间 t ，t 内只能在容许范围内变化， u* t（见图6-1）， 如图6-1所示。设对应取极小时之最优控制为 它由三个区间组成：
0 f
u* t0，t1 及 t 0，t f 区间内， t 处在容许集内，由于 u可以任 ⑴ 在
第二节 离散系统的极小值原理
设离散系统状态方程为：
x k 1 f x k ，u k ，k ，k 0, 1, ，N 1
u x 这里， k 为n维状态向量， k 为m维控制向量，k为步数，N 为总参数。设初始状态 x 0 x0 ，终端状态 x N 自由。控制 变量受限制，即 uk U
(6-17)
根据泛函存在极值的必要条件的结论可知，当 u t 不受限制时， 应满足 (6-18) Ja 0
由于各个变量的变分是独立的，因此，必须同时满足
协态方程：
状态方程： 控制方程： 横截条件：
H x*，u*，λ*，t x
H x*，u*，λ*，t λ
系统的性能指标为：
J x N ，N F x k ，u k ，k
k 0 N 1
* 要求寻找最优控制序列 u k ，使性能 J 为极小。
我们同样可用极小值原理来求解最优控制问题。首先，用拉 格朗日乘子法建立增广指标泛函
J x N ，N F x k ，u k ，k
* * * * * t2
t1
(6-29)
H x*，u，λ *，t H x*，u*，λ *，t dt t1 0
t2
显然，这与 J a 0 矛盾。同时，小区间t1，t2 可能出现在 t ，t 区间的任何位置，因此要求整个区间 t ，t 内均满足以下条 件
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So the first variation becomes
tf
J (u * (t ), u(t )) [ H ( x * (t ), u * (t ) u (t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )]dt
t0

The necessary condition for the optimal control u(t) to minimize J is that the first variation
So the first variation becomes
tf
J (u * (t ), u (t ))
t0

(
H )' u (t )dt u
This means that by definition
H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t ) ( )' u (t ) u H ( x * (t ), u * (t ) u (t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )
x(t 0 ) x0 ; x(t f ) is free and t f is free
H H ( x* (t ), u * (t ), * (t),t ) V ( x* (t ), u * (t ), t ) *' (t) f ( x* (t ), u * (t ), t )

L
x
)' | * tf
x f 0
L L(x * (t ), x (t ), u * (t ), (t), t )
* * H H ( x ( t ), u (t ), * (t),t ) S S * * * V ( x (t ), u (t ), t ) ( )' x (t ) ( ) * V ( x* (t ), u* (t ), t ) *' (t) f ( x* (t ), u* (t ), t ) x t
t0
tf

S S ' [ - (t)]*t f x f [ H ]*t t f x t f
In the above,
1) If the optimal state equations are satisfied, it results in the state relation
tf
t0

[ H ( x * (t ), u * (t ) u (t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )]dt 0
For all admissible u(t) less than a small value,thereis
求 u * (t ) ，使性能指标 J [u (t )] 最小，以实现最优控制，则有： 1）正则方程组 状态方程： x (t )
*
H * [ x (t ), u * (t ), (t )] f [ x * (t ), u * (t )]
协态方程: (t )
2）极值条件：
最小值原理的证明
由第二章变分法得到的一阶变分为：
L d L J [( )* ( )* ]'x(t )dt x dt t0 x
tf

tf
L L ( )'* u (t )dt L |t f t f [( )'* ]x(t )] |t f t f u t0 x
H ( x * (t ), u * (t ) u(t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )
H ( x * (t ), u(t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )

2)极值条件
H [ x * (t ), u * (t ), (t ), t ] min H [ x * (t ), u (t ), (t ), t ]
u (t )U
3）端点约束
[ x* (t *0 ), t *0 ] 0 [ x* (t * f ), t * f ] 0
所谓最小值原理，是指当控制作用u(t)的大小限
制在一定范围内时，由最优控制规律所确定的最优轨
线在整个作用范围内一定取一个最小值。
Q2. 连续系统最小值原理?
设受控系统的状态方程为
x f [ x(t ), u (t ), t ]

m u ( t ) U R [t 0 , t f ] 容许控制u(t)：
So the control, state and costate equations in terms of the Hamiltonian
H ( )* 0 u
H ( ) * (t ) x
*
*
H ( ) * x (t )
The general boundary condition for free-end point system 自由终端系统的通用横截条件
4）极小值原理只给出了最优控制的必要条件，并 非充分条件。极小值原理也没有涉及到解的存在性 和唯一性问题。如果由实际问题的物理意义已经能
够判定所论问题的解是存在的，而由极小值原理所
求的控制又只有一个。则这一控制就是最优控制。
四、最小值原理的几种具体形式 1.时不变情况 设受控系统的状态方程为： x f [ x(t ), u (t )] 容许控制u(t)： u (t ) U
4）横截条件
T * * (t 0 ) [ x * (t 0 ), t 0 ] x(t 0 )
T S * * * * * * (t * ) [ x ( t ), t ] [ x ( t ), t f f f f f] x(t f ) x(t f )
2) Thrust of a rocket engine used in a space shuttle launch control system;
3) Speed of an electric motor used in a typical speed control system;
2. Concept
S S * ' [ H ( )]t f t f [( )* (t )] |t f x f 0 t x
*
Q1. 最小值原理概念?
1. considering safety, cost, and other inherent limitations, there have some constraints on the inputs, internal variables and (or) outputs. 1) In a D. C. motor used in a typical positional control system;
|u (t )|U
min {H ( x * (t ), u (t ), * (t ), t )} H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )
三、极小值原理的意义：
1）容许控制条件的放宽 极小值原理中的极值条件对于通常的控制约束都是适用的。 2） u * (t ) 使H取全局最小值，H取强极小值，而变分法中 u * (t ) 使H取弱极小值。 3）极小值原理并没有H对u的可微性要求。

R
m
[t 0 , t f ]
始端和终端约束条件为：
x(t 0 ) x0
t f 固定，x(t f )自由
目标泛函为：
tf
J [u (t )] S [ x(t f )] V [ x(t ), u (t )]dt
t0

定义Hamilton函数：
H[ x(t ), u(t ), (t )] V [ x(t ), u(t )] T (t ) f [ x(t ), u(t )]
始端和终端约束条件为：
[ x(t 0 ), t 0 ] 0 [ x(t f ), t f ] 0
目标泛函为：
tf
J [u (t )] S[ x(t f ), t f ] V [ x(t ), u (t ), t ]dt
t0

定义Hamilton函数：
H[ x(t ), u(t ), (t ), t ] V [ x(t ), u(t ), t ] T (t ) f [ x(t ), u(t ), t ]

H * [ x (t ), u * (t ), (t )] x
H [ x * (t ), u * (t ), (t )] min H [ x * (t ), u (t ), (t )]
u (t )U
3）端点约束：
x * (t 0 ) x 0
4）横截条件：
极小值原理
Consider the plant The performance index is
x (t ) f [ x(t ), u(t ), t ]
tf t0

J (u (t )) S ( x(t f ), t f ) V ( x(t ), u (t ), t ) dt
Boundary conditions
H ( ) * x (t ) *
2)
If the constate* (t ) is slectedso that thecoefficient of the dependentvariation x(t) in theintegrandis identicall y zero, it resultsin thecostateconditate.