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数字信号处理(第四版) 第6章

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数字信号处理第六章6 双线性变换法

数字信号处理第六章6 双线性变换法

1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
2012-10-11
1
1 1 c
数字信号处理
s1T
j
1T 2

e e
2 s1T 2
e e

s1T 2

s1T 2
e

s1 T 2
e

1 e 1 e
s1T s1T

1 z 1 z
1 1
z e
s1T
s
1 z 1 z
1 1
z
1 s 1 s
数字信号处理
2012-10-11
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
2012-10-11
数字信号处理
6、模拟滤波器的数字化方法
H (z) H a (s) 1 z Ha c 1 1 z
频率有对应关系，引入系数 c
c tg 1T 2
1 z 1 z
1 1
s c
z
c s cs
2012-10-11
数字信号处理
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系：
1T 1T 1 c tg c 2 2
s1T

数字信号处理-第六章

数字信号处理-第六章

第六章数字滤波器结构6.1：级联的实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6.1使用程序P6.1，生成如下有限冲激响应传输函数的一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现的框图。

H1(z)是一个线性相位传输函数吗?答：运行结果：sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2.0000 6.0000 4.0000 1.0000 0 01.0000 1.00002.0000 1.0000 0 01.0000 1.0000 0.5000 1.0000 0 0级联框图：H1（z）不是一个线性相位传输函数，因为系数不对称。

Q6.2使用程序P6.1，生成如下有限冲激响应传输函数的一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现的框图。

H2(z)是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)的一级联实现。

显示新的级联结构的框图。

Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6.0000 15.0000 6.0000 1.0000 0 01.00002.00003.0000 1.0000 0 01.0000 0.6667 0.3333 1.0000 0 0级联框图：H2（z）是一个线性相位传输函数。

数字信号处理 第六章

数字信号处理 第六章

各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言

数字滤波器的设计步骤：


按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。

零极点分布对系统相角的影响

相位“延时”（或相位“滞后”）系统

最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统

相位“超前”（或相位“领先”）系统

当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法

数字信号处理课件 第6章 Infinite Impulse Response Filters

数字信号处理课件 第6章 Infinite Impulse Response Filters
The fundamental process of using the Laplace transform goes something like the following:
Step 1. A time-domain differential equation is written that describes the input/output relationship of a physical system (and we want to find the output function that satisfies that equation with a given input).
Step 2. The differential equation is Laplace transformed, converting it to an algebraic equation.
Step 3. Standard algebraic techniques are used to determine the desired output function's equation in the Laplace domain.
previous input samples and previous filter output samples. The characteristic of IIR filters ●more complicated structures ●harder to design and analyze, ●do not have linear phase responses. IIR filter are very efficient Figure 6-1. Comparison of the frequency magnitude responses of a 19-tap low-pass FIR filter and a 4th-order low-pass IIR filter.

数字信号处理 程佩青第六章ppt课件

数字信号处理 程佩青第六章ppt课件
D(z)
极点：D ( z ) 的根 零点：D ( z 1 ) 的根
zprej r1
zo
1ej r
r 1
▪ 全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联 H (z) H m in (z)H a p (z)
令 ： H ( z ) H 1 ( z ) ( z 1 z 0 ) ( z 1 z 0 * )
▪ 设计思想： s 平面 z 平面
模拟系统 H a(s) H(z)数字系统
▪ H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，
即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
▪ 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，
即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
▪ fsTT 2 s混 迭
▪ 当滤波器的设计指标以数字域频率 c 给定时，不能通
过提高抽样频率来改善混迭现象
fsT T T, T
T
c
c
T
3、模拟滤波器的数字化方法
H a ( s ) h a ( t ) h a ( n T ) h ( n ) H ( z )
Ha(s)
N k1
s
一、数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器
现代滤波器：
维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等
按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器
按实现的网络结构或单位抽样响应分：
IIR滤波器（N阶）
M
bk z k
H (z)
k0 N
1 a k z k

数字信号处理第6章 有限长单位脉冲响应(FIR)

数字信号处理第6章 有限长单位脉冲响应(FIR)
图6-1 ±h(N-1-n)图形
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-3） （6-4）
6.1.1 线性相位特性
图6-2 h(n)偶对称时线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-11）
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.2 窗口法
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4
窗口法的基本思想 理论分析 几种常用窗函数 设计方法小结
6.2.1 窗口法的基本思想
图6-9 理想低通数字滤波器的频率响应
6.2.2 理论分析
(1) 过渡带。 (2) 肩峰及波动。
6.2.2 理论分析
6.2.2 理论分析
图6-10 矩形窗的频谱
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
6.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置
(1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对， 如图6-4a所示。 (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时 零点是一组共轭对，如图6-4b所示。 (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分,故零点对 如图6-4c所示。 (4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，或位于 z=1，或位于z=-1，如图6-4d、e所示。
5.凯塞(Kaiser)窗
图6-13 零阶贝塞尔函数
5.凯塞(Kaiser)窗

程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第6章_6.8-2


jIm(z) Re(z)
|Ha(jW )|
S平面
图2
Z平面
|H(ejw )|
-2π/T -π/T
2020/4/20
π/T 2π/T Ω
-3π
-2π -π
图3 频双线谱性变混换法叠失真
π 2π 3π
11
问题的提出
讨论
1. 若给定了模拟滤波器的参数指标，则可通过增大抽样频
率fs(Ws)来减小混叠失真。
令z=ejW ，可分别获得两者的幅度响应。
2020/4/20
23
例: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足
指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
1
0.7
脉冲响应不变法
Amplitude
3dB
脉冲响应不变法存在频
谱混叠，所设计的DF不满
双线性变换法
2. 若给定的是数字滤波器的参数指标，反推对应的模拟滤波
器的指标，再来进行由模拟滤波器到数字滤波器的设计，则
增大fs(W s)不能减小混叠失真。
这是因为 Ωc= ωc/T，而模拟折叠角频率范围为 [-π/T,π/T]。
随着fs=1/T的增大，该范围也增大了，即模拟滤波器的通带范
围展宽了，即Ωc和T同倍数变化（为了使ω c不变），故总有
双线性变换法
4
问题的提出
采用脉冲响应不变法
上节例题2，利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，
满足
wp=0.2p, w s=0.6p, Ap2dB, As15dB 。
0
-2
DF的频谱有混叠
-4
-6
As = 14.2dB

《数字信号处理》第六章 Z变换


第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)

x(n)zn

(1)nu(n)zn


z
n


n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)

x(n)zn
A( z )

1 za

1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)


1 a
(1
1 a
z

1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )

z
1 a

11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1

z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k


zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。

数字信号处理胡广书第6章_滤波器组(完整版)

| H 0 (e j ) | | H 0 (e j ) | 0,
j

2

2

j ( )
频带
H1 ( e ) H 0 ( e
)
图6.2.2 两通道滤波器组 (a)系统框图；(b)镜像对称的幅频特性
6.2.3 第M(Mth)带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相， E0 (恒为一常数，即 zM ) 也即
M 1 k 0
| H k (e ) | c
j 2
M 1 k 0
c为常数 （6.2.17）
则称H0(z), ... ,HM-1(z)是功率互补的。该式又可表示成
H k ( z) H k ( z) c
H ( z ) H * ( z 1 )
~
（6.2.18）
式中 （6.2.19） 表示将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z ，若H(z)系数是实 ~ 的，则 1

• 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及 抽样频率不满足：f s 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在 通带内不“平”，而其相频特性不具有线 性相位所致； • 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误 差来源于信号编码或处理算法，它和滤波 器组无关。
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念 6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器 6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器 6.3 半带滤波器设计 6.4 多抽样率系统的应用简介
6.1 滤波器组的基本概念
和常数倍。显然，这样严格互补的滤波器对于信号的准确重 建是非常有用的。 由定理6.2.1，Mth滤波器一定是scf。hbf是Mth滤波器的特例， 因此，hbf也是scf。然而，scf并不一定是Mth滤波器或hbf。

数字信号处理第六章 习题答案


( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
，则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 Ωc = 3rad s 解：由幅度平方函数： H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2，则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2
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图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号
但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经 典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信 号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡 尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤 波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳 准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢
(6.1.4a)
显然，p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； ωp与
ωs间距越小, 过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指
标完全由通带边界频率Ωp、通带最大衰减p 阻带边界 频率Ωs和阻带最小衰减s
片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和 阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波 纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数 特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是 指“通带波纹幅度δ1”和“阻带波纹幅度δ2”，而通带最大
滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中 提取信号(见图6.1.1)、信号分离和信道均衡等。所以 学习滤波器的设计与实现是必不可少的。运行本书程 序集中的绘图程序fig611b.m可以清楚地观察用滤波
2． 数字滤波器的技术指标 常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数 字滤波器的频率响应函数H(ejω)用下式表示：
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、 带通和带阻滤波器的设计 习题与上机题
6.1数字滤波器的基本概念
所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比 例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此， 数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实 现滤波方法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤 波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量 轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器 无法实现的特信号形式上进行匹配转换，同
1 按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类， 但总起来可以分成两大类： 经典滤波器和现代滤波 器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成 分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一 个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到 滤波的目的。例如，输入信号x(t)中含有干扰，其时 域波形和频谱图分别如图6.1.1(a)、(b)所示，由图可 见，信号和干扰的频带互不重叠，可用图6.1.1(c)所 示低通滤波器滤除干扰, 得到纯信号，如图6.1.1(d)所
一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，对几 种典型滤波器(如巴特沃斯滤波器)，其相频特性是确定 的，所以设计过程中，对相频特性一般不作要求。但如 果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，
对于图6.1.2所示的各种理想滤波器，我们必须设 计一个因果可实现的滤波器去近似实现。另外，也要 考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带中都 允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带 不是绝对衰减到零。此外，按照要求，在通带与阻带 之间还应设置一定宽度的过渡带。
衰减p和阻带最小衰减s是与δ1和δ2完全等价的两个常数。
衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用p表示， 阻带内允许的最小衰减用s表示。对低通滤波器， p和s
分别定义为：
p
20lg
max min
| |
H H
(e j (e j
) )
| |
dB
,
0 p
(6.1.3a)
s
20 lg
max | H (e j ) | min | H (e j ) | dB
H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω) 式中，|H(ejω)|称为幅频特性函数; θ(ω)称为相频特性函 数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振 幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频 特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器 输出的信号波形也是不一样的。
图6.1.3表示低通滤波器的幅频特性，ωp和ωs分别称为 通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0≤|ω|≤ωp， 在通带中要求(1－δ1)<|H(ejω)|≤1，阻带频率范围为ωs≤|ω|≤π， 在阻带中要求|H(ejω)|≤δ2。从ωp到ωs称为过渡带，过渡带上 的频响一般是单调下降的。通常，通带内和阻带内允许的
(6.1.2)
n0
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2)
式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种
数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分
根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤 波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通和带阻滤 波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔
图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长
度分类，可以分成无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限
长单位脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：
M
bj zr
H (z) j0 N 1 ak z k k 1
(6.1.1)
N 1
H (z) h(n)z n
经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低 通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频特 性如图6.1.2所示。这种理想滤波器是不可能实现的， 因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我 们只能按照某些准则设计滤波器，使之在误差容限内 逼近理想滤波器，理想滤波器可作为逼近的标准。另 外，需要注意的是, 数字滤波器的频率响应函数H(ejω) 都是以2π为周期的，低通滤波器的通频带中心位于2π 的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于π的奇数 倍处，这一点和模拟滤波器是有区别的。一般在数字 频率的主值区［－π, π］描述数字滤波器的频率响应