高二数学试卷带答案解析

2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）A.{}3,4 B.{}2,4,6 C.{}1,3,5 D.{}2,42.如果椭圆的方程是22142x y +=，那么它的焦点坐标是（）A.()2,0± B.()0,2± C.()D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）A.1B.5- C.1或5- D.1-或54.已知圆221:4C x y +=和圆222:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AECB.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A ECC.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1BD 6.已知3x，则函数()11f x x x =+-的最小值是（）A.92B.72C.3D.27.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M共线的向量是（）A.22a b c-+-B.2a b c+-C.22a b c --D.2a b c-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪=⎨+<⎪⎩那么()10f =（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）A.z 的实部是3B.5z =C.34iz =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α，则cos 3α=B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3β=C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，若1120,PF Q PQ ∠==，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π4，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求()()Sa b c a b c +++-的值.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14-.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3）过点)F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：211||PQ OD +为定值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.2.C 由2222c a b =-=，则它的焦点坐标是()，故选C.3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.4.A 由222:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.6.B令()12x t t -= ，则()()11,f t t f t t=++在[)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722f =，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得()()1111111111111122222B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++.选项D 中，112222a b c a b c ⎛⎫--=--++ ⎪⎝⎭，与1B M 共线，故选D.8.B记()()()()()11,n n fx f f x f x f x +==，根据()f x 定义可得()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，()()()()()()()()2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）=()()()()43220232024202020212022ff f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.9.ABC34i z =-，则z 的实部是3，故A正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.10.BD1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃==⋃⎣⎦.()41132P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为r，易得4,cos ,A 33AH AH r BAO AB α∠α=====正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1sin 3OH AO β==，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,6n ⎡∈⎢⎣⎦，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦，D 选项正确.故选ACD.12.5由点到直线的距离公式5d ==.13.32πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =，则h ==，由圆锥的体积公式可得211ππ333V Sh r h ===.14.12由1120,PF Q PQ ∠==，可得1260,2F PF PO ∠==.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，由余弦定理和中线长公式得()()2222222212(2)2||,(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪⎨⎪=+---⎩｡即2222222222515242,688,223644,x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得22122c a =，则211,42e e ==，【法二】设()12221200Δ0,,tan23F PF F PF P x y S b b cy ∠===，220022222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22220242202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得4222222223343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得222111,42b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43-，则直线l 的斜率是34，可得直线l 的方程是()3414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π4，则直线l 的斜率是1-，可得:50l x y +-=，则圆心C 到直线l的距离是2d =，则直线l 被圆C截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π3C =，由2c =，可得2sin c R C ==R ABC ∴=∴.（2）()()221sin 2()ab CS a b c a b c a b c =+++-+-2221sin 22ab C a b ab c =⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅+1sin 22cos 212C C =⋅=+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =，所以EF PF PE ===得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.如图建立空间直角坐标系，得()()()2,0,0,,1,A B C -，()2,0,0,0,55D Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =，(),2,55AB AQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.则0,0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取1y =得)n =.设平面QCD 的一个法向量()()4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭0,0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩取1b =-得)1,3m =--.设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，则7cos cos ,13m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为713.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22AM yk x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BMy k x x =≠-，由已知可得()12224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()22124x y x +=≠±.（2）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，设直线:2l y x m =+'，联立方程组22,244,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2210x m ++-=，()222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，直线l '与OD之间的距离477d ==，所以1112227ODE S OD d ==⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2244,x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410t y ++-=，则122122,41,4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()2122414t PQ y t +=-=+，因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22,44,y tx x y =-⎧⎨+=⎩得()22144t x +=，所以D OD ==，得()22241||14t OD t +=+，所以()()22222114145||44141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''此即为坐标变换公式.设22143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,2,x x y y =-⎧⎨=+⎩''所以1,2,x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2212143x y '+-+='.所以新椭圆的方程为22(1)(2)143x y +-+=.（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,sin ,sin ,x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=时，,22,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式.设将22143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.则,2222,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''得()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()22186x y y x '-'+'+='，即22727240x x y y -+'-='''.所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π4α=.先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''，此时()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()())()2222111202222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''化简得2213202222x y x y +++-=''''.利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.把点(),P x y '''向右平移2，向上平移2，得到点(),P x y ''''''，则,2,2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩所以22132022222222x y x y ⎛⎫⎛-+-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.所以点(),P x y 的轨迹是椭。

高二数学考试卷(附解答)高二数学考试卷（附解答）一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增函数，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 1D. a ≤ 1解答：A. a > -12. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 10C. 15D. 20解答：B. 103. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限解答：B. 虚轴4. 设函数g(x) = x^3 - 3x，下列说法正确的是：A. g(x)在(-∞, 0)上单调递增B. g(x)在(0, +∞)上单调递减C. g(x)的极小值点为x = 0D. g(x)的极大值点为x = 0解答：C. g(x)的极小值点为x = 05. 若平面α与平面β的交线为直线l，且直线l与直线a平行，则直线a与平面α的关系为：A. 在平面α内B. 平行于平面αC. 与平面α相交D. 在平面α的延长线上解答：B. 平行于平面α二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列的前3项分别为2，4，__，则该数列的公比为______。

解答：8，22. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图象与坐标轴的交点个数为______。

解答：33. 若矩阵A的行列式为2，则矩阵A的逆矩阵的元素满足______。

解答：元素乘以-1/2后与原矩阵对应元素相等4. 设平面α与平面β的夹角为θ，则sinθ等于______。

解答：平面α与平面β的法向量夹角的余弦值5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且cosA = 1/2，则三角形ABC的形状为______。

解答：等腰三角形或直角三角形三、解答题（每题10分，共30分）1. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值及取得最小值的x值。

2024-2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（一）试卷高二数学满分：150分 考试时间：120分钟1.说明：注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．310y −−=的倾斜角为（） A. 30° B. 135°C. 60°D. 150° 【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为α， tan 180αα=°≤<°，所以30α=°， 故选：A2. 设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===−R ，且,//a c b c ⊥，则2a b +=（ ） A. B. 0C. 3D. 【答案】D 【解析】【分析】由向量的共线与垂直条件求解,b c的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.【详解】2,,,,,,,11114,a b y z c x ===−，由a c ⊥，则有420a c x ⋅=−+= ，解得2x =，则()2,4,2c =− .由//b c ，则有1242y z==−，解得2y =−，1z =， 所以()1,2,1b =−，故()23,0,3a b += ，则2a b + .故选：D.3. 下列命题中正确的是（ ）A. 点()3,2,1M 关于平面yOz 对称点的坐标是()3,2,1−−B. 若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−，则l α⊥ C. 若直线l 方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30D. 已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+，则12m =−【答案】C 【解析】【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A ；由向量的数量积的性质可判断B ；由线面角的定义可判断C ；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A ，点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1−，A 选项错误；对于B ，若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−， ()()1614210e m ⋅=×+−×+×−=，有e m ⊥ ，则//l α或l α⊂，B 选项错误；对于C ，若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ， 则直线l 与平面α所成的角为()9018012030−−=，C 选项正确； 对于D ，已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+ ，则1112m −+=，解得12m =，D 选项错误. 故选：C.4. 如图，从光源P 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后，反射光线BC 交x轴于点)C，若光线PB 满足的函数关系式为：1y kx =+，则k 的值为（ ） 的的A.B.C. 1D. -1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得(0,1)B 和点C 关于y 轴的对称点()C ′，求得BC k ′，结合,,P B C ′三点共线，即可求解.【详解】为光线PB 满足的函数关系式为1y kx =+， 令0x =，可得1y =，即点(0,1)B ，又因为)C，则点C 关于y 轴的对称点为()C ′，可得BC ′的斜率为BC k ′=，因为,,P B C ′三点共线，可得BC k k ′=，所以k =. 故选：A.5. 过点1,13作直线l ，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l 的条数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠，将点1,13 代入直线l 的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠， 将点1,13代入，可得()11032aa a +=≠， 即23620a a −+=，由于Δ36432120=−××=>， 所以方程23620a a −+=有两个根， 故满足题意的直线l 的条数为2． 故选：B.6. 如图，在三棱锥O ABC −中，点D 是棱AC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则BD等于（ ）A 1122a b c −+B. a b c +−C. a b c −+D. 1122a b c −+−【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解． 【详解】点D 是棱AC 的中点，则有()()()11211122222BD BA BC OA OB OC OB a b c a b c =+=−+−=−+=−+.故选：A7. 已知长方体1111ABCD A B C D −，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）.A. 11AD B C ⋅B. 1BD AC ⋅C. 1AB AD ⋅D. 1BD BC ⋅【答案】D 【解析】【分析】当四边形ADD 1A 1为正方形时，可证AD 1⊥B 1C 可判断A ；当四边形ABCD 为正方形时，可证AC ⊥BD 1可判断B ；由长方体的性质可证AB ⊥AD 1，分别可得数量积为0，可判断C ；可推在△BCD 1中，∠BCD 1为直角，可判BC 与BD 1不可能垂直，可得结论可判断D.【详解】选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有110⋅=AD B C ，故正确；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，1AC BB ⊥，1BD BB B ∩=， 1,BD BB ⊂平面BB 1D 1D ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有10⋅=BD AC ，故正确；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，1AD ⊂平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有1AB AD ⋅=0，故正确； 选项D ，由长方体的性质可得BC ⊥平面CDD 1C 1，1CD ⊂平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即10⋅≠BD BC ，故错误.故选：D.8. 如图已知矩形,1,ABCD AB BC==AC 将ABC 折起，当二面角B AC D −−的余弦值为13−时，则B 与D 之间距离为（ ）A. 1B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅BE DF ∴==， 则12AECF ==，即211EF =−=， 平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13−，cos EB∴< ,13FD >=− ， BD BE EF FD =++ ，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++−⋅<，51512()32322FD >=−−=+= ，则||BD =即B 与D ， 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()2,3M −，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，则（ ） A. 若直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为5y x =+B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为1x y +=C. 若M 为AB 的中点，则l 的方程为32120x y −+=D. 直线l 的方程可能为3y = 【答案】AC 【解析】【分析】根据直线点斜式判断A ，由过原点直线满足题意判断B ，由中点求出A ,B 坐标得直线方程判断C ，由直线与坐标轴有交点判断D.【详解】对于A ，直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为32y x ，即5y x =+，故A 正确； 对于B ，当直线l 在两坐标轴上的截距都为0时，l 的方程为32y x =−，故B 错误； 对于C ，因为中点()2,3M −，且A ，B 在x 轴、y 轴上，所以()4,0A −，()0,6B ，故AB 的方程为146x y−+=，即32120x y −+=，故C 正确； 对于D ，直线3y =与x 轴无交点，与题意不符，故D 错误． 故选：AC ．10. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A. CC 1⊥BDB. 1136AA BD ⋅=C. 11B C AA与夹角是60°D. 直线AC 与直线11A C 的距离是【解析】【分析】设1,,AB a AD b AA c ===，依题得||||||6,18,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅= 运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B 两项；利用向量夹角的公式计算排除C 项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D 项.【详解】如图，设1,,AB a AD b AA c ===， 则||||||6,66cos 6018,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅=××=对于A ，因1,CC c BD b a ==−，则1()0CC BD c b a c b c a ⋅=⋅−=⋅−⋅=，故A 正确； 对于B ，因1AA c = ，1BD b a c =−+，则211()||18183636AA BD c b a c c b c a c ⋅=⋅−+=⋅−⋅+=−+= ，故B 正确； 对于C ，11,B C b c AA c =−= 211()||183618B C AA b c c b c c ⋅=−⋅=⋅−=−=− ，且11||6,||6,B C AA ==设11B C AA 与夹角为θ，则1111181cos 662||||B C AA B C AA θ⋅==−=−×⋅，因[0,π]θ∈，则2π3θ=，即C 错误；对于D,在平行六面体1111ABCD A B C D −中，易得111111////,AA BB CC AA BB CC ==, 则得11ACC A ,故11//AC A C ,故点1A 到直线AC 的距离d 即直线AC 与直线11A C 的距离.因,AC a b =+ 1()36AA AC c a b ⋅=⋅+=，且1||6,||AA AC==则d ===，故D 正确.11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A. 三棱锥1C EFG −的体积为13B. 1A C ⊥平面EFGC. 1BC ∥平面EFGD. 二面角G EF C −−【答案】ABC 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明1//BC 面EFG ，1A C ⊥平面EFG ，转换后求棱锥的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项．【详解】如图，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，1(2,2,2)B ，1(2,0,2)A ，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，则(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，(1,1,0),(0,2,2)EF EG ==，1(2,0,2)BC − ，易知12BC EG EF =−，所以1,,BC EF EG 共面， 又1BC ⊄平面EFG ，所以1//BC 面EFG ，C 正确；1111111123323C EFG B EFG G BEF BEF V V V S BB −−−===⋅=××××= ，A 正确； 1(2,2,2)A C =−− ，12200AC EF ⋅=−++= ，同理10A C EG ⋅=， 所以1AC是平面EFG 的一个法向量，即1A C ⊥平面EFG ，B 正确； 平面CEF 的一个法向量是(0,0,1)n =，111cos ,A C n A C n A C n ⋅===G EF C −−D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行，则a =___________． 【答案】2 【解析】【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数a ，然后对参数a 进行检验即可求解.【详解】因为直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行， 所以2140a ×−=，解得，2a =±，当2a =时，直线1l ：210x y +−=，直线2l ：2420x y ++=，即210x y ++=，满足题意； 当2a =−时，直线1l ：210x y −−=，直线2l ：2420x y −++=，即210x y −−=， . 综上所述，2a =. 故答案为：2.13. 已知()()2312A B −，，，，若点(),P x y 在线段AAAA 上，则3yx −的取值范围是_______. 【答案】13,2−−【解析】【分析】设(3,0)Q ，利用斜率计算公式可得：QA k ，QB k ．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设(3,0)Q ，则30323AQ k −==−−，201132BQ k −==−−−， 点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点， ∴3y x −的取值范围是[3−,1]2−，故答案为：[3−,1]−14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C −，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB = ，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++ ，则x y z ++=_________．【答案】118【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系， ()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ，，，1203N，，，则1121200123232MN=−=−，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG++−，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z ++⇒，， 所以131112488x y z ++=++= 故答案为：118四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的两顶点坐标为()1,1A −，()3,0C ，()10,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高． （1）求BC 所在直线的方程； （2）求高AD 所在直线的方程.【答案】（1）3490x y +−=； （2）4370x y −−=. 【解析】【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求B 的坐标，利用点斜式求直线BC 方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线AD 的斜率，利用点斜式求直线AD 方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 所以直线BC 的斜率34BC k =−， 所以BC 所在直线的方程为：()334y x =−−，即3490x y +−=， 【小问2详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 因为AD 是BC 边上的高，所以1BC AD k k ⋅=−，所以30113AD k −⋅=−−−， 所以43AD k =， 因此高AD 所在直线的方程为：41(1)3y x +=−，即4370x y −−=.16. 已知直线()()1231:−=−+a y a x l . （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）1a ≤（3）240x y +−=【解析】【分析】（1）由方程变形可得()2310a x y x y −−++=，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解；（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】由()():1231l a y a x −=−+，即()2310a x y x y −−++=， 则20310x y x y −= −++=，解得12x y = = ，所以直线过定点()1,2； 【小问2详解】如图所示，结合图像可知，当1a =时，直线斜率不存在，方程为1x =，不经过第二象限，成立； 当1a ≠时，直线斜率存在，方程为11213ya a a x +−−−， 又直线不经过第二象限，则2301101a a a − > −≤ − ，解得1a <； 综上所述1a ≤； 【小问3详解】已知直线()():1231l a y a x −=−+，且由题意知1a ≠，令0x =，得101=>−y a ，得1a >， 令0y =，得1032>−xa ，得32a <，则22111112132410651444S a a a a a =××==−−−+−−−+， 所以当54a =时，S 取最小值， 此时直线l 的方程为55123144y x−=×−+，即240x y +−=. 17 已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标； （3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929（2）()1,2,5−−（3【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；.（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离． 【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB上的投影向量为AC AB AB ABAB⋅， 而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+ ==.【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =−−， 故D 的坐标为()1,2,5−−. 【小问3详解】()0,3,0AP =，设平面ABC 的法向量为mm ��⃗=(xx ,yy ,zz )，则00m AB m AC ⋅= ⋅=即250350x y x y z += ++= ，取5x =−，则2y =，15z =−， 故15,2,5m=−−，故点P 到平面ABC18. 如图，在长方体1111ABCD A B G D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥.（2）当点E 为棱AB 的中点时，求CE 与平面1ACD 所成角的正弦值. （3）在棱AB 上是否存在点M ，使平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6？若存在，求出AM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，2AM =. 【解析】【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0即可证得垂直； （2）先求得平面1ACD 的法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解；（3）先求得平面1D MC 与平面AMC 法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解. 【小问1详解】以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，02x <<，则()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,,0E x ，AA (1,0,0)，()0,2,0C ，所以()()111,0,11,,10DA D E x ⋅=⋅−=，则11DA D E ⊥， 所以11D E A D ⊥. 【小问2详解】因为E 为AB 的中点，所以()1,1,0E ，从而()1,1,0CE=−，()1,2,0AC =− ，()11,0,1AD =−，设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AC n AD ⋅=⋅= ， 即200a b a c −+=−+= ，得2a b a c= = ，令2a =，则()2,1,2n =， 设CE 与平面1ACD 所成角为π02θθ<<，的则sin cos ,CE θ=〈 所以CE 与平面1ACD. 【小问3详解】设这样的点M 存在，且AM x =，02x <<，平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6， 则()1,,0M x ，()10,0,1D ，()0,2,0C ，()1,2,0CM x =− ，()10,2,1CD =−，设平面1D MC 的法向量为(),,m a b c ′′=′ ，则()12020m CM a x b m CD b c ⋅=+−= ⋅′=−′+=′′， 取1b ′=，得()2,1,2mx =−， 易知平面AMC 的一个法向量()0,0,1p =，所以πcos 6m p m p⋅== ，由02x <<，解得2x =，所以满足题意的点M 存在，此时2AM =. 19. 已知111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z = ，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ×⋅=++−−−，已知四棱锥P ABCD −中，底面ABCD是一个平行四边形，(2,1,4)AB =− ，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP −（1）试计算()AB AD AP ×⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD −的体积，说明()AB AD AP ×⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD −体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ×⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=，()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积． 【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ×⋅221424(1)(1)0=××+××+−×−×202−××4(1)1−×−×(1)24−−××＝48．122(1)140AP AB ⋅=−×+×−+×= ，1422100AP AD ⋅=−×+×+×=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD == ，24(1)2406AB AD ⋅=×+−×+×=，sin ABCDS AB AD BAD=∠==，AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA −==×=． ∴()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=， 猜想：()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。

高二数学试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(0)的值为（）A. 3B. 1C. -1D. 0答案解析：将x=0代入函数f(x)=x^2-4x+3，得到f(0)=0^2-4*0+3=3，所以答案是A。

2. 已知数列{an}为等差数列，且a1=2，a3=8，则公差d为（）A. 2B. 3C. 6D. 8答案解析：根据等差数列的性质，a3=a1+2d，将已知的a1=2和a3=8代入，得到8=2+2d，解得d=3，所以答案是B。

3. 若直线l的方程为y=2x+1，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (0,1)B. (1,2)C. (-1/2,0)D. (1/2,0)答案解析：令y=0，解方程2x+1=0，得到x=-1/2，所以直线l与x轴的交点坐标为(-1/2,0)，答案是C。

4. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值为（）A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3答案解析：对函数f(x)=x^3-3x+1求导，得到f'(x)=3x^2-3，所以答案是A。

5. 已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a·b的值为（）A. 10B. 8C. 5D. 2答案解析：向量a·b=1*3+2*4=3+8=11，所以答案是A。

6. 若复数z=1+i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. 1D. 0答案解析：复数z=1+i的模长|z|=√(1^2+1^2)=√2，所以答案是A。

7. 已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±x/2B. y=±2xC. y=±x/√2D. y=±√2x答案解析：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，代入a=2，b=1，得到y=±x/2，所以答案是A。

2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（）A ．2-B ．143-C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）AB C ．3D 5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c -+D ．1162a b c--+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）AB C D8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC -中，PA PB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A ．π9B ．π18C ．π27D ．π54二、多选题9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC uuu r 所成角的余弦值为5C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈，则下列说法正确的是（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D ．当11,2λμ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AB AA =+ B ．直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQ 的距离是3D ．异面直线CQ 与BD 三、填空题12．正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC V 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为.14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为.四、解答题15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16．如图所示，直三棱柱11ABC A B C -中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17．如图，在四棱维P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成Q 的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PFBD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE与线段BC交于M点，AH PM于点H，求线段CH长的最小值．参考答案：题号12345678910答案C BADDDCBBCDBCD题号11答案BC1．C【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得λ的值．【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=，73λ∴=．故选：C ．2．B【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(),,x y z ，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=--- ，()1,1,0PC x y =--，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x y ==时，1PA PC ⋅ 取得最小值12-，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0，所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.3．A【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选：A.4．D【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =- ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,2n =r，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ，故选：D ．5．D【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a b c =-+-=--+.故选：D 6．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=.故选：D 7．C【分析】计算出b a -=≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，所以b a -=当0t =时，等号成立，故ba -.故选：C.8．B【分析】设1PFCF ==，易知PA PB AB AC BC =====，且23FG =，设肉馅球半径为r ，CG x =，根据中点可知P 到CF 的距离4d r =，sin 4dPFC r PF∠==，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =，结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=，进而可得3PC =，sin 3PFC ∠=，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ⋂=，为方便计算，不妨设1PF CF ==，由PA PB AB AC BC ====，可知3PA PB AB AC BC =====，又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，则2233FG PF ==，且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ，即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ，设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC r S r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅，又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠=⋅=⋅⋅，解得PC =，sin 3PFC ∠=，所以：4sin 31rPFC ∠==，解得6r =，343V r =π=球，由以上计算可知：P ABC -为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，=.故选：B.9．BCD【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知，2,0,0,()0,0,0D,()2,2,1E,()1,0,2F,()12,2,2B,()10,2,2C，所以1DB==A错误；()0,2,1AE=,()12,2,2AC=-，所以111·cos,AE ACAE ACAE AC=B正确；()0,2,1AE=,()1,0,2AF=-，记()4,1,2n=-，则0,0AE AFn n==，故,AE AFn n⊥⊥，因为AE AF A⋂=,,AE AF⊂平面AEF，所以()4,1,2n=-垂直于平面AEF，故选项C正确；B =2,0,0，所以点D到平面AEF的距离·21DA ndn===，故选项D正确；故选：BCD10．BCD【分析】对于A，由1CP BP BC BBμ==-即可判断；对于B，由[]11,0,1B P BP BB BCλλ=-=∈和11//B C平面ABC即可判断；对于C，分别取BC和11B C的中点D和E，由BP BD=+1BBμ即1DP BBμ=即可判断；对于D，先求证1A E⊥平面11BB C C，接着即可求证1B P⊥平面1A EB，进而即可求证1A B⊥平面1AB P.【详解】对于A，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BBμμ=-=∈，又11CC BB=，所以1CP CCμ=即1//CP CC，又1CP CC C=，所以1C C P、、三点共线，故点P在1CC上，故A错误；对于B ，当1μ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈，又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ，所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ，即1DP BB μ= ，所以DP E D μ= 即//DP DE，又DP DE D ⋂=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λμ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ，由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ，又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=，所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠，所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=，设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ，所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ，所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥，又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ，所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于求证1A B ⊥平面1AB P ，可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ，从而得11A E B P ⊥，接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ，进而11B P A B ⊥，再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11．BC【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到122AB AA CG +≠ ；B 选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C 选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D 选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==，则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误；B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =，()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ m θ⋅===⋅，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为3d ==，C 正确；D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=--，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅，D 错误.故选：BC 12．18/0.125【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥，因此以M 为坐标原点，以1,,AMBM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；易知1110,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =，所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．23【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量m 及PG，由PG 与平面PAD 所成角θ，根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =- ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP =，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =则()0,1,0m = ，则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅，故答案为：23.14．117m【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解．【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以5tan tan EMO EGO ∠=∠．因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ==，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=．故答案为：117m15．(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC 【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,·DA n DA n DA n=== 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ===令4[2,4]m t -=∈，则sin θ=当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.16．(2)10(3)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间两点间距离公式，即得答案；（2）根据空间向量的夹角公式，即可求得答案；（3）求出1C M ，1C N，BN 的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，结合线面垂直的判定定理，即可证明结论.【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN == （2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =- ，1(0,1,2)CB =，113BA CB =⋅，1BA1CB所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅（3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭．∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()11,0,1C N =- ，()1,1,1BN =-，∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ，1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥，即11,C M BN C N BN ⊥⊥，又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ，∴BN ⊥平面1C MN ．17．(2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ，建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可；（2）假设在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =，所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，0,0,1，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，所以()2,0,1PC =- ，()0,1,1PD =--，()1,1,1PB =- ，设平面PCD 的一个法向量为 =s s ，则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1,x =则2,2z y ==-，所以()1,2,2m =-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m PB m PB m PB θ⋅====，所以cos 3θ==，所以tan θ所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值2.（2）在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，所以()0,1,1PA =- ，所以()0,,PM PA λλλ==-，所以()0,,1M λλ-，所以()1,1,1BM λλ=---，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ---+-=，解得34λ=，所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.18．(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,,0,1,0,P D B N PB --=- ()A，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,3,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ，平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ==，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，故可设()21n λλ=--+ ，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13，所以1212cos n n n n θ⋅==⋅解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为13.19．(1)证明见解析(2)8(3)5【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BM tBC = ，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH ，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G -，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP =-=-=- ，由()01BE PF BD PCλλ==<≤，可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量，显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+-=+- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则200n BP x z n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2,3z y ==，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅==⋅ ，易知35λ=时，()2min 165655λλ-+=，即此时sin α取得最大值8；（3）设()(](),0,0,12,0BM t BC t t AM AB BM t ==-∈⇒=+=- ，由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+- ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP x AM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ，所以22114451x t t AM ==-++ ，则()()2CH CA AH t x x =+=--- ，即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=+-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+，则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+，易知22550t t -+>恒成立，所以()0f t '<，即()f t 单调递减，所以()()min 9155f t f CH ≥=-⇒==.。

2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．122．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝253．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．304．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=05．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．47．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T88．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：（a ﹣2）x +y +a ＝0，l 2：ax +（a ﹣2）y ﹣1＝0，则（ ）A ．l 1过定点（﹣1，﹣2）B ．当a ＝2时，l 1⊥l 2C ．当a ＝0时，l 1∥l 2D ．当a ＝2时，l 2的斜率不存在10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A ，B 展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为812．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 ．14．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝ ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +a x)n 的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．18．（12分）已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 2+1，a 5+1成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．22．（12分）已知O为坐标原点，A1，A2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积为定值−14，设动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），△OEF的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为S1，S2.若k1，k，k2恰好构成等比数列，求S1+S2S的取值范围．2023-2024学年福建省漳州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．6B．8C．10D．12解：{a n}为等比数列，a2＝2，a4＝4，∴q2=a4a2=42=2，则a6=a4q2=4×2＝8．故选：B．2．已知圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点（﹣2，2）的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝5B．（x﹣1）2+（y+2）2＝25C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x+1）2+（y﹣2）2＝25解：根据题意设所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0），代入点（﹣2，2），得r2＝25，所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝25．故选：B．3．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．12B．20C．24D．30解：这2个新节目插入节目单中，若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选1个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有C41A22=8种插法，若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，选2个位置安排2个新节目，且2个新节目顺序可变，此时有A42=12种插法，所以共有8+12＝20种插法．故选：B．4．已知直线l过点P(2，√3)，且直线l的倾斜角为直线x−√3y+3=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．x+√3y−√3=0B．x−√3y−√3=0C．√3x+y−√3=0D．√3x−y−√3=0解：设直线x−√3y+3=0的倾斜角为α，α∈[0，π），因为该直线的斜率为√3=√33，所以tanα=√33，α=π6，所以2α=π3，tan2α=√3，所以直线l的斜率为√3，方程为y−√3=√3（x﹣2），即为√3x﹣y−√3=0．故选：D．5．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√62x C．y=±√2x D．y=±√3x解：由题意可知∠F1PF2＝120°，所以tan∠F1PO＝tan60°=√3=cb ，又因为c2＝a2+b2，所以3b2＝a2+b2，可得a2＝2b2，所以ba=√22，所以渐近线方程为y=±√22x．故选：A．6．已知两点A（﹣1，3），B（3，1），当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：|AB|=√(3+1)2+(1−3)2=2√5，作ABC的外接圆，r=√5，当ABC为等腰直角三角形时候，CD为AB边上的高等于r=√5，而原点O到AB距离为√12+22=√5=r，而根据外接圆定义，点C必落在圆O上，根据图示，可以判断符合条件的C分别为E，F，O三点，即C点有三个．如图：故选：C．7．已知正项等比数列{a n}的前n项积为T n，且a1＞1，则下列结论正确的是（）A．若T6＝T8，则T14＞1B．若T6＝T8，则T n≤T7C．若T6＜T7，则T7＜T8D．若T6＜T7，则T7＞T8解：不妨设正项等比数列{a n}的公比为q，q＞0，所以a n=a1⋅q n−1n∈N*对于A，若T6＝T8，则a7a8＝1，由等比数列性质可得a1a14＝a2a13＝⋯＝a7a8＝1，所以可得T14＝a1a2⋯•a7a8•⋯×a13a14＝1，即A错误；对于B，若T6＝T8，可得a7a8=a1⋅q6⋅a1⋅q7=a12⋅q13=1，又a1＞1，所以0＜q＜1；所以a8＜a7，又a7a8＝1，可得a7＞1，a8＜1，因此可得a1＞1，a2＞1，…，a7＞1，a8＜1，即T n≤T7，所以B正确；对于C，D，若T6＜T7，可得a7=a1⋅q6＞1，又a1＞1，因此q的大小无法判断，所以C，D错误．故选：B．8．已知椭圆C：x 24+y23=1的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是（）A．6B．4√3C．4√5D．8解：由x24+y23=1，得a2＝4，b2＝3，c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，解得a＝2，b=√3，c＝1，因为椭圆C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，所以|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|，即△AF1F2为等边三角形，因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，由椭圆的定义可知，|DF2|+|DF1|＝2a＝2×2＝4，|EF2|+|EF1|＝2a＝2×2＝4，所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|＝|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|＝4a＝4×2＝8．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，l2：ax+（a﹣2）y﹣1＝0，则（）A．l1过定点（﹣1，﹣2）B．当a＝2时，l1⊥l2C．当a＝0时，l1∥l2D．当a＝2时，l2的斜率不存在解：直线l1：（a﹣2）x+y+a＝0，即a（x+1）﹣2x+y＝0，令{x+1=0−2x+y=0，解得{x=−1y=−2，故l1过定点（﹣1，﹣2），故A正确；当a＝2时，直线l1：y＝﹣2，直线l2：x=12，故BD正确；当a＝0时，直线l1：y＝2x，直线l2：y=−12，二者不平行，故C错误．故选：ABD．10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去A，B展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）A ．若A 展馆需要3种花卉，有4种安排方法B ．共有14种安排方法C ．若“绿水晶”去A 展馆，有8种安排方法D ．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法解：对于选项A ，若A 展馆需要3种花卉，则有C 43=4种安排方法，即选项A 正确；对于选项B ，共有C 41+C 42+C 43=4+6+4=14种安排方法，即选项B 正确；对于选项C ，若“绿水晶”去A 展馆，则有C 30+C 31+C 32=1+3+3＝7种安排方法，即选项C 错误；对于选项D ，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则有A 22×22=8种安排方法．即选项D 错误．故选：AB ．11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若|PF |＝4，则O 为线段PQ 中点B ．若|OP|=4√3，则|PF |＝6C ．存在直线l ，使得PF ⊥QFD ．△PFQ 面积的最小值为8解：已知抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝﹣2，焦点F （2，0），若|PF |＝4，则x P ＝2，此时y P ＝±4，直线l 的斜率为k ＝±2，所以点为Q （﹣2，±4），则O 为线段PQ 中点，选项A 正确；若|OP |=√x 2+y 2=√x 2+8x =4√3，则x 2+8x ﹣48＝0，解得x ＝4或x ＝﹣12（不合题意，舍去），所以点P 的横坐标为4，|PF |＝4+2＝6，选项B 正确； 不妨设P （a 28，a ），a ＞0，则Q （﹣2，−16a ）， 所以FP →=（a 28−2，a ），FQ →=（﹣4，−16a ）， 此时FP →•FQ →=−a 22+8﹣16=−a 22−8＜0， 所以FP 与FQ 不垂直，选项C 错误；因为△PFQ 的面积为S =12OF •|y P ﹣y Q |=12×2×|a +16a |≥2√a ⋅16a=8， 当且仅当a =16a，即a ＝4时等号成立，所以△PFQ 面积的最小值为8，选项D 正确． 故选：ABD ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 1可能为1B ．数列{a n ﹣n }是等比数列C ．S 10＝55D ．若S n ＝2024，n 的最大值为64解：对A 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，a 2＜2，∴a 2+a 1＝3，∴a 2＝3﹣a 1＜2，∴a 1＞1，∴A 选项错误； 对B 选项，∵a n +1+a n ＝2n +1，∴a n +1﹣（n +1）＝﹣（a n ﹣n ），又a 1﹣1＞0，∴数列{a n ﹣n }是以a 1﹣1为首项，﹣1为公比的等比数列，∴B 选项正确；对C 选项，由B 选项分析可知a n ﹣n =(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴a n ＝n +(a 1−1)⋅(−1)n−1，∴S n ={n(n+1)2，n 为偶数n(n+1)2+(a 1−1)，n 为奇数， ∴S 10=10×112=55，∴C 选项正确； 对D 选项，由C 选项分析可知S 64=64×652=2080≠2024，∴D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆x 2+y 2＝4在点（1，√3）处的切线方程为 x +√3y ﹣4＝0 ．解：因为（1，√3）是圆x 2+y 2＝4上的点，所以它的切线方程为：x +√3y ＝4即：x +√3y ﹣4＝0故答案为：x +√3y ﹣4＝014．已知(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝ ﹣1 ．解：(2x −3)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝（2﹣3）7＝﹣1．15．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，则通项公式为a n ＝n(n+1)2． 解：因为a n+1=a n +n +1(n ∈N ∗)，所以当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+⋯+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1＝n +（n ﹣1）+⋯+3+2+1=n(n+1)2，当n ＝1时，a 1=1×22=1，满足a 1＝1，所以a n =n(n+1)2． 故答案为：n(n+1)2． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F （﹣c ，0），以F 为圆心、c 为半径作圆F ，若圆F 上存在点Q ，双曲线C 的右支上存在点P 使得∠FPQ ＝45°，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 [√2+1，+∞） ．解：由对称性可知当P 为双曲线右顶点，PQ 与圆F 相切时，∠FPQ 取得最大值，所以∠FPQ ≥45°， 如图所示：在Rt △FPQ 中，sin ∠FPQ =|FQ||FP|=c c+a ≥√22，所以2c ≥√2c +√2a ，（2−√2）c ≥√2a ，所以e =c a ≥√22−√2=√2+1，即双曲线C 的离心率e 的取值范围为[√2+1，+∞）．故答案为：[√2+1，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知(2x +ax )n 的展开式中，所有二项式系数的和为32．（1）求n 的值；（2）若展开式中1x 5的系数为﹣1，求a 的值．解：（1）∵所有二项式系数的和为32，∴2n ＝32，∴n ＝5；（2）二项式(2x+ax)5展开式的通项公式为T r+1=C5r(2x)5−r(a x)r=C5r25−r a r x5−2r，∴．展开式中1x5的系数为C5520a5，∴a5＝﹣1，解得a＝﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2+1，a5+1成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）∵a1，a2+1，a5+1 成等比数列，且公差d＝2，∴(a2+1)2=a1⋅(a5+1)，∴(a1+3)2=a1⋅(a1+9)，解得a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），∴S n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n6n+9．19．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且经过A（0，7），B（3，6）两点，过点P（﹣3，1）的直线l与圆C相交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）当|MN|＝8时，求直线l的方程．解：（1）∵圆C的圆心在y轴上，∴设圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），∵圆C经过A（0，7），B（3，6）两点，∴{02+(7−b)2=r232+(6−b)2=r2，解得{b=2r=5，∴圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝25．（2）记圆心C到直线l的距离为d，∵|MN|=2√r2−d2=8，解得d＝3，当直线的斜率不存在时，l：x＝﹣3，此时圆心到直线的距离d＝3，符合；当直线的斜率存在时，l：y﹣1＝k（x+3），即kx﹣y+3k+1＝0，由d=√k+1=3，解得k=−43，∴直线l：−43x−y−4+1=0，即4x+3y+9＝0．综上，直线l为x＝﹣3或4x+3y+9＝0．20．（12分）已知圆F：（x﹣1）2+y2＝1，动圆M与圆F内切，且与定直线x＝﹣2相切，设动圆圆心M的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点P（2，0）的直线l与E交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4√3，求直线l的方程．解：（1）方法一：设圆心M到直线x＝﹣2的距离为d，则由题意得|MF|+1＝d，即|MF|＝d﹣1，从而动点M到定点F的距离与到定直线x＝﹣1的距离相等，故点M的轨迹E为抛物线，设E的方程为y2＝2px，p＞0，由题意p＝2，∴E的方程为y2＝4x；方法二：设动点M（x，y），由题意得√(x−1)2+y2+1=x+2，整理得y2＝4x，∴E的方程为y2＝4x；（2）易知直线l斜率不为0，故可设方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y2=4xx=my+2，消去x整理得：y2﹣4my﹣8＝0，Δ＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣8，则S△ABO=S△APO+S△BPO=12⋅|OP|⋅|y1|+12⋅|OP|⋅|y2|=|y1|+|y2|，由题意A，B两点位于x轴异侧，所以y1，y2符号相反，所以S△ABO=|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=4√m2+2=4√3，解得m＝±1，所以直线l的方程为x±y﹣2＝0．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求{a n}的通项公式；（2）删去数列{a n}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{b n}，设{b n}的前n项和为T n，请写出{b n}的前6项，并求出T6和T2n．解：（1）当n＝1时，有a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；当n≥2时，有S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，联立条件，得S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2），即a n＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，所以{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此a n =2n ；（2）删去数列{a n } 的第3i 项（其中 i ＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大排列依次为： a 1，a 2，a 4，a 5，a 7，a 8，…，数列 b n } 前6项为2，22，24，25．27，28，T 6＝2+4+16+32+128+256＝438．注意到a 1，a 4，a 7，…构成以a 1为首项，以8为公比的等比数列，a 2．a 5，a 8，…构成以a 2为首项，以8为公比的等比数列．T 2n ＝（a 1+a 4+a 7+⋯+a 3n ﹣2）+（a 2+a 5+a 8+⋯+a 3n ﹣1）=2(1−8n )1−8+4(1−8n)1−8 =67(8n −1)． 22．（12分）已知O 为坐标原点，A 1，A 2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积为定值−14，设动点M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，直线OE ，l ，OF 的斜率分别为k 1，k ，k 2（其中k ＞0），△OEF 的面积为S ，以OE ，OF 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1+S 2S的取值范围．解：（1）设M 的坐标为（x ，y ），依题意，得y x+2⋅y x−2=−14，整理得x 24+y 2=1(x ≠±2)． （2）设直线EF 的方程为 y ＝kx +m （m ≠0，且m ≠±1），联立{y =kx +m x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0， Δ＝64k 2m 2﹣4（4m 2﹣4）（1+4k 2）＝16（1+4k 2﹣m 2）＞0，即1+4k 2＞m 2，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2， 因为k 1，k ，k 2成等比，所以y 1y 2x 1x 2=k 2，即(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2， 即km(x 1+x 2)+m 2=0，所以−8k 2m 21+4k 2+m 2=0， 因为m ≠0且m ≠±1及k ＞0，上式可解得k =12， 所以x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，Δ＝16（2﹣m 2），m 2＜2，且m ≠±1，S 1+S 2=π4(|OE|2+|OF|2) =π4(x 12+y 12+x 22+y 22) =π4[2+34(x 12+x 22)]] =π4[2+34(x 1+x 2)2−32x 1x 2] =π4(2+3m 2−3m 2+3) =5π4，|EF|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅4√2−m21+4k2=2√1+k2⋅√2−m2，O到EF的距离d=|m|√1+k，S=|m|√2−m2=√(2−m2)m2=√−(m2−1)2+1，因为0＜m2＜2 且m≠±1，所以S∈（0，1），S1+S2S ∈(5π4，+∞)．。

2023-2024学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知抛物线C 的方程为y ＝4x 2，则其准线方程为（ ） A ．y =−116B ．y =116C ．y ＝﹣1D ．y ＝12．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知正项等比数列{a n }满足a 3为2a 2与a 6的等比中项，则a 3+a 5a 1+a 3=（ ） A ．√22B ．12C ．√2D ．24．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）5．设A ，B 为两个互斥的事件，且P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列各式错误的是（ ） A ．P （AB ）＝0 B ．P(AB)=[1−P(A)]P(B) C ．p(A ∪B)=1D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）6．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2024＝（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．17．如图，四面体O ﹣ABC ，G 是底面△ABC 的重心，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．13a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．23a →+23b →+23c →D ．23a →+23b →+13c →8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点，且OB →⋅BF →=0，AB →=2BF →，则该双曲线的离心率为（ ）A．√2B．√3C．2D．√5二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。

高二数学试题答案及解析1.函数的导函数是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，得；故选C.2.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．【考点】1．对数的性质；2．充分必要条件．3.设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由增函数定义知：若函数为增函数，则，，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数（取整函数），满足，，所以选B.【考点】充要关系4.给定命题：对任意实数都有成立；：关于的方程有实数根．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】．【解析】若为真，则或即；若为真，则，则，分真假、假真分别进行讨论.试题解析：若为真，则或即；若为真，则，则．又∵为真，为假，则真假或假真．①真假时，解得；②假真时，解得．综上，的取值范围为．【考点】逻辑联结词．5.已知函数的导函数为，且，则__________．【答案】【解析】 ,则，所以 .6.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，即，若，则，即由不一定能推出，故选A。

【考点】（1）不等式的基本性质；（2）充分必要条件的判断。

7.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；【考点】1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；8.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选.【名师】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.先把存在量词（或全称量词）改为全称量词（或存在量词），再否定结论即可；扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.【考点】含一个量词的命题的否定.9.已知点在椭圆上，椭圆离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点，使得为定值.【解析】（1）依题意建立方程椭圆的方程为；（2）假设存在点,使得为定值, 设元和设直线的方程为,联立,存在点,使得为定值恒成立．试题解析：（1）因为点在椭圆上，椭圆离心率为,,解得椭圆的方程为．（2）假设存在点,使得为定值, 设,设直线的方程为,联立,得,,,,要使上式为定值, 即与无关, 应有,解得,存在点,使得为定值恒成立．【考点】1、椭圆的方程及其性；2、直线与椭圆．10.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线：交椭圆于，两不同的点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线不过点，求证：直线，与轴围成等腰三角形.【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析．【解析】（Ⅰ）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，由离心率和点的坐标可分别得到关于的关系式，结合可求得值，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，借助于二次方程根与系数的关系可得到坐标与的关系式，证明三角形为等腰三角形转化为证明直线的斜率互为相反数，通过计算两斜率之和为0，来实现结论的证明.（Ⅰ）设椭圆方程为，因为，所以，又椭圆过点，所以，解得，，故椭圆的方程为（Ⅱ）将代入并整理得，再根据，求得.设直线，斜率分别为和，只要证即可.设，，则，，∴而此分式的分子等于可得因此，与轴所围成的三角形为等腰三角形.11.命题的否定是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.【考点】1.全称命题；2.特称命题.12.函数，已知在时取得极值，则= （）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】对函数求导可得，，∵在时取得极值，∴,得故答案为：D.【考点】函数的导数与极值的关系.13.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系为R=R（x）=，则总利润最大时，每年生产的产品数量是．【答案】300．【解析】先根据题意得出总成本函数，从而写出总利润函数，它是一个分段函数，下面求其导数P′（x），令P′（x）=0，从而得出P的最大值即可．解析：由题意，总成本为C=20000+100x．∴总利润为：P=R﹣C=，P′=．令P′=0，即可得到正确答案，即x=300．故答案：300．点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．14.把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是．【答案】2 cm2．【解析】设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．令S′=x﹣2=0，则x=2，所以S=2．min故答案为：2 cm2．点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．15.若是假命题，则（）A．是真命题，是假命题B．均为假命题C．至少有一个是假命题D．至少有一个是真命题【答案】C【解析】当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题、至少有一个是假命题，可得C正确.【考点】命题真假的判断.16.（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；（Ⅱ）设过焦点F的直线为l，分1两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则．又由，可解得，所以，所以，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设过焦点的直线为．①若的斜率不存在，则，即，显然当在短轴顶点或时，的面积最大，此时，的最大面积为.②若的斜率存在，不妨设为，则的方程为．设．联立方程：消去整理得：，所以则．因为，当直线与平行且与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得：，由，解得：．又点到直线的距离，所以，所以.将代入得．令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．显然，所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．17.设命题，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.【考点】原命题与否命题.18.已知；．（Ⅰ）若是的必要条件，求的取值范围；（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（1）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可；（2）利用是的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．试题解析：由得，即，又．（1）若p是q的必要条件，则，即，即，解得，即m的取值范围是．（2）∵是的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即，解得或．即m的取值范围是．点睛：根据命题真假求参数的方法步骤（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围19.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，的周长为所求的椭圆成为，故选A．【考点】1.椭圆的几何性质；2. 椭圆的焦点三角形问题；3．椭圆方程的求法．20.已知命题,命题,若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】【解析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题和，由是的充分不必要条件，可知，从而求出的范围：试题解析：：，解得；：，解得．∵，，∴，故有且两个等号不同时成立，解得，因此，所求实数的取值范围是．【考点】充分条件和必要条件的应用21.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）【解析】把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标，的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得，或，所以与交点的直角坐标为和（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为.22.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A. B. C. 5 D.【答案】D【解析】由抛物线定义得，选D.【考点】抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．2．若P（x0，y）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．23.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）【解析】把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标，的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得，或，所以与交点的直角坐标为和（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为.24.已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．【答案】【解析】在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.∴c＝|OF|＝|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝＝.25.已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】且【解析】由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－或x＝.∵x∈[－1，1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．26.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率【答案】：【解析】设，则由题意，知．因为垂直于轴，则由双曲线的通径公式知，即，所以．又由，得，所以．【考点】双曲线的性质．【方法点睛】讨论椭圆的性质，离心率问题是重点，求椭圆的离心率的常用方法有两种：（1）求得的值，直接代入求得；（2）列出关于的一个齐次方程（不等式），再结合消去，转化为关于的方程（或不等式）再求解．27.已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】且【解析】由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－或x＝.∵x∈[－1，1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．28.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是A．B．C．或D．或【答案】C【解析】当焦点在轴时，设方程为，代入点，所以方程为，同理焦点在轴时方程为【考点】抛物线方程29.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．30.已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．【答案】3【解析】，所以．【考点】导数的运算．【名师】(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误．②不能正确运用求导公式和求导法则．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．。

2023-2024学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={z|z =i n +1in ，n ∈N ∗}，则A 的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为（ ）A ．±2B ．2C ．±4D ．43．设v 1→，v 2→分别是空间中的直线l 1，l 2的方向向量，A ∈l 1，B ∈l 2．记甲：v 1→，v 2→，AB →不共面，乙：l 1与l 2异面，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知点A （﹣2，4），B （﹣1，﹣3），若直线y ＝kx 与线段AB 有公共点，则（ ） A ．k ∈[﹣∞，﹣2]∪[3，+∞] B ．k ∈[﹣2，3] C ．k ∈[﹣∞，−12]∪[13，+∞]D ．k ∈[−12，13]5．已知直线x ﹣y +1＝0与圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0交于A ，B 两点，且|AB|=2√2，则实数m ＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知双曲线C 与椭圆x 29+y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且P 为C 与椭圆的一个交点，若∠F 1PF 2＝120°，则C 的方程为（ ） A ．x 220−y 212=1 B ．x 212−y 220=1C ．x 23−y 25=1D ．x 25−y 23=17．已知在空间直角坐标系中，直线l 经过A （3，3，3），B （0，6，0）两点，则点P （0，0，6）到直线l 的距离为（ ） A ．6√2B ．2√3C ．2√6D ．68．一个边长为1的正方形被等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如此继续操作下去，到第n 次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为（ ）A ．9n −8n 9nB ．8n −3n 5⋅3n C ．8n −17⋅9nD ．8n −7n9n二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。