高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算导学案新人教A版94

第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2。

3.3 平面向量的坐标运算A级基础巩固一、选择题1．(2014·广东卷)已知向量a＝(1，2），b＝（3，1),则b－a＝( ) A．（－2，1) B．(2，－1)C．（2，0) D．（4，3）解析：由题意得b－a＝(3，1）－(1,2)＝(2,－1)．答案：B2．已知向量a＝（1,2),2a＋b＝(3，2),则b＝( )A．（1,－2) B．(1，2）C．(5，6）D．(2,0)解析：b＝（3，2）－2a＝（3，2）－（2，4）＝(1，－2）．答案:A3．已知点A(1，3），B(4,－1)，则与向量错误!同方向的单位向量为( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：错误!＝（3，－4），则与错误!同方向的单位向量为错误!＝错误! (3，－4）＝错误!.答案：A4．设向量a＝（1，－3)，b＝(－2,4），若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( ）A．(1,－1) B．（－1，1)C．(－4,6) D．(4，－6）解析：因为4a，3b－2a,c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b －2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2（1，－3)－3(－2，4)＝（4，－6)．答案：D5．已知向量a＝（1，2）,b＝(2，3），c＝（3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为（)A．－2，1 B．1，－2C．2，－1 D．－1，2解析：因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1,2）＋λ2(2,3）＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2），所以错误!解得λ1＝－1，λ2＝2.答案：D二、填空题6．设向量a，b满足a＝(1，－1）,｜b|＝|a｜,且b与a的方向相反，则b的坐标为________．解析：因为向量a与b的方向相反，且｜b|＝｜a|，所以b＝－a＝－（1，－1）＝（－1,1）．答案：(－1，1）7．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝（2,3)，为使它们平衡，需加力F3＝________．解析：因为F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－F1－F2＝－(1，1)－(2，3）＝(－3，－4）．答案：（－3，－4)8．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3），若错误!＝3a，则点B的坐标为________．解析:错误!＝（－1,－5），错误!＝3a＝（6，9），故错误!＝错误!＋错误!＝（5,4),故点B的坐标为（5，4)．答案:(5，4)三、解答题9．已知O 是坐标原点,点A 在第一象限，|错误!｜＝4错误!，∠xOA ＝60°.(1）求向量错误!的坐标；（2)若B （错误!，－ 1)，求错误!的坐标．解：（1)设点A (x ,y ），则x ＝4错误!cos 60°＝2错误!，y ＝4错误!sin 60°＝6，即A （23，6）,错误!＝(2错误!,6）．(2）错误!＝(2错误!，6)－（错误!,－1）＝(错误!，7）．10．已知向量错误!＝（4，3),错误!＝（－3，－1)，点A （－1，－2）．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；（2）若点P （2，y )满足PB →＝λ错误!(λ∈R),求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1）,因为错误!＝（4,3)，A （－1，－2)，所以（x 1＋1,y 1＋2）＝（4，3），所以错误!所以错误!所以B （3，1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M （x 2,y 2)，则x 2＝错误!＝－错误!,y 2＝错误!＝－1，所以M 错误!。

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示[教学目标]一、知识与能力：1． 了解平面向量基本定理。

2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？.在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2.把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（2）向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ(0︒≤θ≤180︒)叫做向量a 与b 的夹角，当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向.如果a 与b 的夹角是90︒，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .例1 （课本P94例1）已知向量e 1、e 2，求作向量-2.5e 1+3e 2。

2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。

2.3 平面向量的基本定理及其座標表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及座標表示一、教學分析平面向量基本定理既是本節的重點又是本節的難點.平面向量基本定理告訴我們同一平面內任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合,這樣,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼由平面向量基本定理可知,平面內的任意一點都可以通過兩個不共線的向量得到表示,也就是平面內的點可以由平面內的一個點及兩個不共線的向量來表示.這是引進平面向量基本定理的一個原因.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解,因為在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會給問題的研究帶來方便.聯繫平面向量基本定理和向量的正交分解,由點在直角坐標系中的表示得到啟發,要在平面直角坐標系中表示一個向量,最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j 作為基底,這時,對於平面直角坐標系內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=x i+y j.於是,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,而有序數對(x,y)正好是向量a的終點的座標,這樣的“巧合”使平面直角坐標系內的向量與座標建立起一一映射,從而實現向量的“量化”表示,使我們在使用向量工具時得以實現“有效能算”的思想.二、教學目標1、知識與技能：瞭解平面向量的基本定理及其意義；理解平面裡的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，掌握平面向量正交分解及其座標表示。

2、過程與方法：初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達。

3、情感態度與價值觀：通過平面向量的正交分解及座標表示，揭示圖形（向量）與代數（座標）之間的聯繫。

三、重點難點教學重點:平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的座標表示.教學難點:平面向量基本定理的運用.四、教學設想（一）導入新課思路 1.在物理學中我們知道,力是一個向量,力的合成就是向量的加法運算.而且力是可以分解的,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來,會產生什麼樣的結論呢？又如一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G,可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直於斜面且壓緊斜面的力F2.我們知道飛機在起飛時若沿仰角α的方向起飛的速度為v ,可分解為沿水準方向的速度vcosα和沿豎直方向的速度vsinα.從這兩個實例可以看出,把一個向量分解到兩個不同的方向,特別是作正交分解,即在兩個互相垂直的方向上進行分解,是解決問題的一種十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,那麼a 與e 1、e 2之間有什麼關係呢？在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,是否會給我們帶來更方便的研究呢?思路2.前面我們學習了向量的代數運算以及對應的幾何意義,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼平面內的任意一個點或者任意一個向量是否都可以用這兩個同起點的不共線向量來表示呢？這樣就引進了平面向量基本定理.教師可以通過多對幾個向量進行分解或者合成,在黑板上給出圖像進行演示和講解.如果條件允許,用多媒體教學,通過相應的課件來演示平面上任意向量的分解,對兩個不共線的向量都乘以不同的係數後再進行合成將會有什麼樣的結論？（二）推進新課、新知探究、提出問題圖1①給定平面內任意兩個不共線的非零向量e 1、e 2,請你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如圖1,設e 1、e 2是同一平面內兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,我們通過作圖研究a 與e 1、e 2之間的關係.活動:如圖1,在平面內任取一點O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .過點C 作平行於直線OB 的直線,與直線OA;過點C 作平行於直線OA 的直線,與直線OB 交於點N.由向量的線性運算性質可知,存在實數λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由於ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是說,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述過程可以發現,平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量e 1、e 2表示出來.當e 1、e 2確定後,任意一個向量都可以由這兩個向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任意向量a ,有且只有一對實數λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理說明:(1)我們把不共線向量e 1、e 2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底; (2)基底不唯一,關鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量a 在給出基底e 1、e 2的條件下進行分解; (4)基底給定時,分解形式唯一. 討論結果:①可以. ②a =λ1e 1+λ2e 2. 提出問題①平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？②對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？活動:引導學生結合向量的定義和性質,思考平面中的任意兩個向量之間的關係是什麼樣的,結合圖形來總結規律.教師通過提問來瞭解學生總結的情況,對回答正確的學生進行表揚,對回答不全面的學生給予提示和鼓勵.然後教師給出總結性的結論:不共線向量存在夾角,關於向量的夾角,我們規定:圖2已知兩個非零向量a和b(如圖2),作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b 的夾角.顯然,當θ=0°時,a與b同向;當θ=180°時,a與b反向.因此,兩非零向量的夾角在區間[0°,180°]內.如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直,記作a⊥b.由平面向量的基本定理,對平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常見的一種情形.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會為我們研究問題帶來方便.討論結果:①存在夾角且兩個非零向量的夾角在區間[0°,180°]內;向量與直線的夾角不一樣.②可以.提出問題①我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的座標)表示.對直角坐標平面內的每一個向量,如何表示呢?②在平面直角坐標系中,一個向量和座標是否是一一對應的？圖3活動:如圖3,在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量ｉ、j作為基底.對於平面內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=xｉ+y j①這樣,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a的座標,記作a=(x,y)②其中x叫做a在x軸上的座標,y叫做a在y軸上的座標,②式叫做向量的座標表示.顯然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教師應引導學生特別注意以下幾點:(1)向量a 與有序實數對(x,y)一一對應.(2)向量a 的座標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關係,只與其相對位置有關係.如圖所示,11B A 是表示a 的有向線段,A 1、B 1的座標分別為(x 1,y 1)、(x 2,y 2),則向量a 的座標為x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的座標為(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)為簡化處理問題的過程,把座標原點作為表示向量a 的有向線段的起點,這時向量a 的座標就由表示向量a 的有向線段的終點唯一確定了,即點A 的座標就是向量a 的座標,流程表示如下:討論結果:①平面內的任一向量a 都可由x 、y 唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a 的座標,記作a =(x,y).②是一一對應的.（三）應用示例思路1例1 如圖4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中點,F 使BF=31BC,以a ,b 為基底分解向量HF AM 和.圖4活動:教師引導學生利用平面向量基本定理進行分解,讓學生自己動手、動腦.教師可以讓學生到黑板上板書步驟,並對書寫認真且正確的同學提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同學給予提示和鼓勵.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a .ADAD AB ADBC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-==a 61-b . 點評:以a 、b 為基底分解向量AM 與HF ,實為用a 與b 表示向量AM 與HF . 變式訓練圖5已知向量e 1、e 2(如圖5),求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如圖,任取一點O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.圖6例2 如圖6,分別用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,並求出它們的座標.活動:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其關鍵是把a 、b 、c 、d 表示為基底i 、j 的線性組合.一種方法是把a 正交分解,看a 在x 軸、y 軸上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出來,進而得到向量a 的座標.另一種方法是把向量a 移到座標原點,則向量a 終點的座標就是向量a 的座標.同樣的方法,可以得到向量b 、c 、d 的座標.另外,本例還可以通過四個向量之間位置的幾何關係:a 與b 關於y 軸對稱,a 與c 關於座標原點中心對稱,a 與d 關於x 軸對稱等.由一個向量的座標推導出其他三個向量的座標.解:由圖可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).點評:本例還可以得到啟示,要充分運用圖形之間的幾何關係,求向量的座標. 變式訓練i ,j 是兩個不共線的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三點共線,試求實數λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j , 又∵A 、B 、D 三點共線,∴向量AB 與BD 共線.因此存在實數υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j . ∵i 與j 是兩個不共線的向量, 故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴當A 、B 、D 三點共線時,λ=3.例 3 下面三種說法:①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個平面內有無數多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活動:這是訓練學生對平面向量基本定理的正確理解,教師引導學生認真地分析和理解平面向量基本定理的真正內涵.讓學生清楚在平面中對於基底的選取是不唯一的,只要是同一平面內的兩個不共線的向量都可以作為基底.解:平面內向量的基底是不唯一的.在同一平面內任何一組不共線的向量都可作為平面內所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述,②③正確.答案:B點評:本題主要考查的是學生對平面向量定理的理解.思路2圖7例1 如圖7,M 是△ABC 內一點,且滿足條件=++CM BM AM 320,延長CM 交AB 於N,令CM =a ,試用a 表示CN .活動:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解決平面向量計算問題的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面兩個推論:推論1:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,則λ1=λ2=0.推論2:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,則⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三點共線,C 、M 、N 三點共線, 由平行向量基本定理,設,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230. ∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由於BN 和NM 不共線, ∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .點評:這裡選取NM BN ,作為基底,運用化歸思想,把問題歸結為λ1e 1+λ2e 2=0的形式來解決. 變式訓練設e 1與e 2是兩個不共線向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若實數λ、μ滿足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由題設λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1.圖8例2 如圖8,△ABC 中,AD 為△ABC 邊上的中線且AE=2EC,求GEBGGD AG 及的值. 活動:教師讓學生先仔細分析題意,以明瞭本題的真正用意,怎樣把平面向量基本定理與三角形中的邊相聯繫？利用化歸思想進行轉化完後,然後結合向量的相等進行求解比值.解:設μλ==GEBGGD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ),∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC .① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC .② 比較①②,∵AB 、AC 不共線,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 點評:本例中,構造向量在同一基底下的兩種不同表達形式,利用相同基向量的係數對應相等得到一實數方程組,從而進一步求得結果. 變式訓練過△OAB 的重心G 的直線與邊OA 、OB 分別交於P 、Q,設OP =h OA ,OB k OQ =,試證:311=+kh 解:設OA =a ,OB =b ,OG 交AB 於D,則OD =21(OB OA +)=21(a +b )(圖略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k-b ,OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三點共線,∴QP QG λ=.∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 兩式相除,得.3311hk h k khk =+⇒-=-,∴kh 11+=3.（四）知能訓練1.已知G 為△ABC 的重心,設AB =a ,AC =b ,試用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)與AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.圖9解答: 1.如圖9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b .點評:利用向量加法、減法及數乘的幾何意義.2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或∴x=-1.點評:先將向量AB 用座標表示出來,然後利用兩向量相等的條件就可使問題得到解決.（五）課堂小結1.先由學生回顧本節學習的數學知識:平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義,平面向量的正交分解,平面向量的座標表示.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,如待定係數法,定義法,歸納與類比,數形結合,幾何作圖. （六）作業。