高二数学试卷附答案解析

高二数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线近似地刻画其相关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）A ．线性相关关系较强，的值为3.25B ．线性相关关系较强，的值为0.83C ．线性相关关系较强，的值为-0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值 2.已知函数在上满足，则曲线在处的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．3.关于复数，给出下列判断： ①；②；③；④.其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.直线被圆截得的弦长等于（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知函数的导数为，（）A． B． C． D．6.7.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（）A． B． C． D．8.已知实数、满足约束条件,则的最大值为( ) A．24 B．20 C．16 D．129.设满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A． B． C． D．10.设，，则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于。

A． B． C． D．12.已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于（）A．-4 B．-6 C．-8 D．813.下列命题中，真命题是（）A．B．C．的充要条件是D．是的充分条件14..已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,f(x)=a x×g(x)，(a>0且a¹1),,在有穷数列{}(n=1,2,¼,10)中,任取正整数k(1£k£10),则数列{}前k项和大于的概率是( )A． B． C． D．15.函数的图象在点处的切线的斜率等于（）A． B．1 C． D．16.设等差数列的前项和为，若，则（）A．63B．45C．36D．2717.设，，则的大小关系（）A． B． C． D．18.若a，b在区间［0，］上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是()A． B． C． D．1-19.“有些指数函数是减函数，是指数函数，所以是减函数”上述推理（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都不是20.（）A． B． C． D．二、填空题21.设n 为正整数，f (n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．22.若函数存在有零点，则m的取值范围是__________；23.200辆汽车经过某一雷达测速地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于的汽车数量为_________.24.已知数列的前项和，则数列的通项公式为___________.25.下列几个命题：①方程有一个正实根，一个负实根，则；②和表示相同函数;③ 函数是非奇非偶函数; ④方程有两解，则其中正确的有___________________. 26. 双曲线上的点P 到点（5，0）的距离为8．5，则点P 到左准线的距离为___ ____．27.函数的图象如图2所示，则。

高二数学试题答案及解析1.满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】略2.已知函数（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

【答案】解：（1）----------------------------------------------------------------1分令，解得，----------------------------------3分所以函数的单调递减区间为。

--------------------5分（2）因为所以------------------------------------------------7分又因为上，所以在上单调递增，而在区间上单调递减，所以分别是在区间上的最大值和最小值。

所以，解得。

------------------10分故，，------------------11分即函数在区间上的最小值为-7. ----------------------------12【解析】略3.数列满足，（k为常数）,则称数列是等比和数列，k称为公比和。

已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中则_______【答案】【解析】略4.一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足：（1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？【答案】解：（1），所以，生产750套此种品牌运动装可获得利润万元…………………………………4分（2）由题意，每生产（百件）该品牌运动装的成本函数，所以，利润函数…6分当时，，故当时，的最大值为．…9分当时，，故当时，的最大值为．…13分所以，生产600件该品牌运动装利润最大是3.7万元…………14分【解析】略5.（本题12分）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.【答案】（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以……………………1分由在处的切线方程是，知……………………3分……………………5分故所求的解析式是……………………6分（Ⅱ）解得……………………8分当当……………………10分故内是增函数，在内是减函数……………………12分，【解析】略6.某几何体的三视图及其尺寸如右图，求该几何体的表面积和体积．【答案】解：由图知：该几何体是一个圆锥，……..（2分）它的底面半径为3，母线长为5，高为4，……..（4分）则它的表面积为：，……..（7分）它的体积为：．……..（10分）【解析】略7.已知圆与抛物线(p＞0)的准线相切，则p= .【答案】2【解析】略8.已知点在椭圆上，则（）.点不在椭圆上. 点不在椭圆上.点在椭圆上.无法判断点、、是否在椭圆上【答案】C【解析】略9.4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，而6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要元．【答案】22【解析】略10.已知，且则= ．【答案】【解析】略11.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则满足的条件是（）.A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】略12.【答案】A【解析】略13.若，其中，记函数①若图像中相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围；②若的最小正周期为，且当时，的最大值是，求的解析式，并说明如何由的图像变换得到的图像。

高二数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用集合关系法。

因为，，所以，p是q的必要不充分条件，故选B。

【考点】本题主要考查充要条件的概念。

点评：简单题，充要条件的判断，涉及知识面较广，从方法来讲有三种思路：定义法，等价关系法，集合关系法。

2.已知条件p:x<1，条件q：<1，则p是q的条件．【答案】既不充分也不必要条件【解析】根据题意，由于条件p:x<1，条件q：<1，那么可知q：，因此根据集合之间的互不包含的关系，可知p是q的条件既不充分也不必要条件。

【考点】充分条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】可得；可得，由成立，反之不成立，所以“”是“” 必要不充分条件【考点】条件关系点评：若成立，则是的充分条件，是的必要条件4.设a∈R，则a＞1是＜1的 ()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意，由于,可知条件表示的集合是结论集合的真子集，那么可知条件可以推出结论，反之不成立，因此可知为充分但不必要条件，选A.【考点】充分条件点评：解决的关键是对于结论和条件表示的集合的关系的确定，属于基础题。

高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若A B的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆方程.【答案】（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）根据题意，由于椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上，2c=2,利用定义可知椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），A B的面积为3，不符合题意.②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k(x+1).代入椭圆方程得：，显然＞0成立，设A，B，则，，可得|AB|=又圆的半径r=，∴A B的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为【考点】直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题。

2.椭圆=1上一点M到左焦点F的距离为2, N是MF的中点,则=( )A．2B．4C．6D．【答案】B【解析】解：∵椭圆方程为,∴椭圆的a=5，长轴2a=10，可得椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于10．∴|MF1|+|MF2|=10，∵点M到左焦点F1的距离为2，即|MF1|=2，∴|MF2|=10-2=8，∵△MF1F2中，N、O分别是MF1、F1F2中点，∴|ON|= |MF2|=4．故选B．【考点】三角形中位线定理和椭圆的定义点评：本题考查了三角形中位线定理和椭圆的定义等知识点，考查学生的计算能力，属于基础题3.过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在直线方程。

【答案】x+2y-4=0，【解析】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵又A、B两点在椭圆上，则x12+4y12=16，x22+4y22=16，两式相减得(x12-x 22)+4(y12-y22)=0，于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，故所求直线的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0．【考点】直线与椭圆的位置关系点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．4.设分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由椭圆可知点的坐标代入得，将A,B代入椭圆得关于的方程组，解得【考点】椭圆方程及性质，向量运算点评：圆锥曲线题目中出现的向量关系式常化为坐标表示，本题将所求A点设出，利用向量求得B点，两点在椭圆上即可代入5.已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.【答案】（I）（II）【解析】（Ⅰ）由已知得解得，又所以椭圆G的方程为（3分）（Ⅱ）设直线l的方程为（ 4分）由得 5分设A、B的坐标分别为AB中点为E，则；（7分）因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。

2023-2024学年安庆市等三市高二数学（下）期末联考试卷（试卷满分150分考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．根据成对样本数据建立变量y 关于x 的经验回归方程为 2.5 1.2y x =+.若y 的均值为6.2，则x 的均值为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．32．某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（）A ．24种B ．12种C ．8种D ．6种3．安徽年均降雨量ξ近似服从正态分布()21200,N σ，若()8000.15P ξ=≤，则()12001600P ξ<<=（）A ．0.15B ．0.25C ．0.35D ．0.74．在等比数列{}n a 中12a =，1236a a a ++=，则678a a a ++=（）A ．6B ．192C ．6-或192D ．6或192-5．已知圆心为()1,1的圆与x 轴交于A 、B 两点，2AB =，则该圆的方程是（）A ．22220x y x y +++=B ．222240x y x y +++-=C ．22220x y x y +--=D ．222240x y x y +---=6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，N 点在边AD 上且12DN =，将ABD △沿BD 翻折到A BD ' 的位置，使得A C '=空间四点A '，B ，C ，D 的外接球为球O ，过N 点作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为（）A ．3π4B ．π2C D ．3π27．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()20f x f x '->，()20241012e f =，则不等式1ln 2f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．()0,2024B ．()20240,eC ．()2024,+∞D ．()2024e ,+∞8．已知抛物线C ：24y x =内有一点()3,2A -，过点A 作直线l 与该抛物线交于P 、Q 两点，经过点()3,6B -和点Q 的直线与该抛物线交于另一点T ，则直线PT 过定点的坐标为（）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()3,0-D ．()3,0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个离散型随机变量ξ，η，满足31ηξ=+，其中ξ的分布列如下：ξ123Pab16其中a ，b 为非负数.若()53E ξ=，()59D ξ=，则（）A ．12a =B ．23b =C ．()5E η=D ．()5D η=10．定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数.若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数()324f x ax bx =++（0ab ≠）的对称中心为()1,2，则下列说法中正确的是（）A ．1a =，3b =-B ．函数()f x 有三个零点C ．()123202320254007124047202420242024202420242024f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．过()2,m 可以作三条直线与()y f x =图象相切，则m 的取值范围为()1,0-11．已知数列{}n a 满足11a =，121nn na a a +=+（*N n ∈），数列{}n a 前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A ．1n na a+<B ．2024163a <C ．n a ≤D ．n S n≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．7a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 的一次项系数为280-，则实数a 的值为.13．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F，直线y =与双曲线C 的左、右支分别交于P ，Q 点.若2OQ OF =，则该双曲线的离心率为.14．已知正实数x ，y 满足2ln2e x xy y=，则2e x y --的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知数列{}n a 中，12a =，数列32n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，且公比3q =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1134n n n n b a a -+=⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .16．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，ABP 为等边三角形，M 为AD 中点且PC BM ⊥.(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面BPM 与平面CPM 夹角的余弦值.17．已知椭圆C ：22221x y a b-=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =，过点2F 且与x轴不重合的直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，已知1PQF 的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 作直线2l 与直线1l 垂直，且与椭圆C 交于A ，B 两点，求AB PQ +的取值范围.18．某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9，现进行了n 次打靶射击，其中打中十环的数量为ξ.(1)若5n =，求恰好打中4次十环的概率（结果保留两位有效数字）；(2)要使()10P ξ=的值最大，求n 的值；(3)设随机变量X 的数学期望()E X 及方差()D X 都存在，则0∀>ò，(){}()2P X E X D X εε≥≤-，(){}()21P X E D X X εε≥--<，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：()X E X ε-≥的概率必然随ε的变大而缩小．为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间()0.85,0.95，请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n 的最小值.19．已知函数()sin x x x ϕ=-，()()ln 1e xf x a x =-+，其中a ∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)证明：当[)0,x ∈+∞时()306x x ϕ+≥；(3)对任意[]0,πx ∈，()()22f x x ϕ'≥+恒成立，求实数a 的取值范围.1．B【分析】利用经验在归方程经过点()x y ,即可求出结果.【详解】将 6.2y =代入方程 2.5 1.2y x =+，解得2x =.故选：B.2．D【分析】先排甲乙，再根据全排列结合分步乘法公式计算.【详解】根据题意，分2步进行分析：①甲，乙必须相邻且甲在乙的右边，将甲乙看成一个整体，有1种顺序，②将甲乙整体与丙丁全排列，有33A 6=种情况，则有166⨯=种排法.故选：D 3．C【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为()21200,N ξσ 且()8000.15P ξ=≤，则()()16008000.15P P ξξ≥=≤=，所以()()12800120016000.352P P ξξ-<<==≤.故选：C4．D【分析】利用等比数列的通项公式进行求解，即可求出答案.【详解】由题意，*n ∈N ，在等比数列{}n a 中，12a =，1236a a a ++=，设公比为q ，∴21116a a q a q ++=，即22226q q ++=，解得2q =-或1q =，∴()556781236a a a a a a q q ++=++=，当1q =时，6786a a a ++=，当2q =-时，678192a a a ++=-.故选：D.5．C【分析】设出圆的方程，令0y =，得22220x x r -+-=，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出22r =，得到圆的方程.【详解】由题意，可设圆的方程为()()22211x y r -+-=，令0y =，得22220x x r -+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122x x +=，2122x x r =-，122AB x x =-===，解得22r =，∴圆的方程是()()2211x y -+-2=，即22220x y x y +--=.故选：C 6．A【分析】先找出BD 的中点O 为四面体A BCD '的外接球球心，再分析当ON ⊥截面α时截面面积最小，求出截面面积即可.【详解】如图，取BD 的中点为O ，由正方形ABCD 的边长为2，则OB OD OA OC '====因此O 为四面体A BCD '的外接球球心，外接球半径R =，设球心到平面α的距离为d ，截面圆的半径为r ，则有222R r d =+，即r 当ON ⊥截面α时，d 最大，此时截面面积最小，且ON d =，在OND △中，OD 12DN =，π4ODN ∠=，由余弦定理可得，2ON ==，此时r =所以截面面积最小值为23ππ4r =.故选：A 7．B【分析】令1ln 2t x =，不等式转化为()21e t f t <，构造函数()()2e t f t g t =，求导得到单调性，结合()()2024101210121e f g ==，得到()()1012g t g <，根据单调性解不等式，求出解集.【详解】令1ln 2t x =，则2e t x =，所以不等式1ln 2f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭等价转化为不等式()2e tf t <，即()21e t f t <，构造函数()()2e t f t g t =，则()()()22e t f t f t g t '-'=，由题意，()()()220e tf t f tg t '-'=>，所以()g t 为R 上的增函数，又()20241012e f =，所以()()2024101210121e f g ==，所以()()()211012et f t g t g =<=，解得1012t <，即1ln 10122x <，所以20240e x <<.故选：B【点睛】思路点睛：利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e xg x f x =⋅，若()()0f x f x '->，则构造()()xf xg x =e ，若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f xg x x=.8．C【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出1212y y =，然后简化直线PT 的的直线方程为()1243y x y y =++，从而得解.【详解】由题意，,PQ QT 斜率都存在，设200,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的斜率0122010144QP y y k y y y y -==-+，直线l 方程：2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，化简得01014x y y y y y+=+同理直线QT 方程：02024x y y y y y +=+，直线PT 的方程：21214x y y y y y +=+，点()3,2A -，()3,6B -分别代入直线QP ，QT 方程，即01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消除0y ，得1212y y =，代入直线PT 方程：21214x y y y y y +=+，得()1243y x y y =++，直线PT 过定点()3,0-.故选：C 9．AD【分析】AB 选项，根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出12a =，13b =；CD 选项，根据期望和方差的性质得到()(),E D ηη，得到答案.【详解】AB 选项，由分布列的性质，可得116a b +=+①，因为()53E ξ=，所以1512363a b ⨯+⨯+⨯=②，联立①②解得12a =，13b =，A 正确，B 错误；CD 选项，因为31ηξ=+，所以()()316E E ηξ=+=，()()59959D D ηξ==⨯=，C 错误，D 正确.故选：AD 10．ACD【分析】对于A ，对函数连续两次求导，然后“拐点”的定义列方程组可求出,a b ，对于B ，对函数求后由导数的正可求出函数的单调区间，再结合零点的定义分析判断，对于C ，由函数的对称中心得()()()1121f x f x f ++-=，结合此结论求解即可，对于D ，设切点为(,)c d ，然后利用导数的几何意求出切线方程，转化为关于c 的方程3229124m c c c =-+-+有3个不等的根，结合图象求解即可.【详解】对于A ，由()324f x ax bx =++，可得()232f x ax bx '=+，则()62f x ax b ''=+，因为()1,2是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知，()1620f a b '=+='且()142f a b =++=，解得1a =，3b =-，所以A 正确；对于B ，由1a =，3b =-，可知()3234f x x x =-+，则()236f x x x '=-，令()0f x '=，可得0x =或2x =，当(),0x ∞∈-，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增；因为(1)0f -=，()04f =，()20f =，所以函数()f x 只有两个零点，所以B 错误；对于C ，因为()1,2是函数()f x 的对称中心，所以()()()1121f x f x f ++-=，令()123202320252026404712024202420242024202420242024S f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()40472026202520231120242024202420242024S f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以140472404640471244047202420242024202420242024S f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以24047S =⨯，即1232023202520264047(1)2024202420242024202420242024f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24047⨯，所以C 正确；对于D ，设切点为(,)c d ，由()3234f x x x =-+，得()236f x x x '=-，则切线的斜率为()2'36k f c c c ==-，所以切线方程为2(36)()y d c c x c -=--，即322(34)(36)()y c c c c x c --+=--，因为切线经过点()2,m ，所以322(34)(36)(2)m c c c c c --+=--，化简得3229124m c c c =-+-+，由题意可知关于c 的方程3229124m c c c =-+-+有3个不等的根，令32()29124g x x x x =-+-+，则2()61812g x x x '=-+-，由()0g x '=，得1x =或2x =，当1x <或2x >时，()0g x '<，当12x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(,1)-∞和(2,)+∞上递减，在(1,2)上递增，所以()g x 的极小值为(1)291241g =-+-+=-，极大值为(2)16362440g =-+-+=，所以()g x 的大致图象如图所示，由图象可知当10m -<<时，直线y m =与()g x 的图象有3个交点，所以当10m -<<时，关于c 的方程3229124m c c c =-+-+有3个不等的根，所以当10m -<<时，过()2,m 可以作三条直线与()y f x =图象相切，所以D 正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，根据新定义解决问题，考查理解能力和计算能力，属于较难题.11．ABD【分析】根据数列的单调性判断A ，应用累加法求通项范围判断B,C 选项，应用前n 项和判断D.【详解】∵11a =，111n n na a a +=+，又110a =>，可得0n a >，∴110n n n n n a a a a a ++-=>，∴1n n a a +>，数列{}n a 单调递减，故选项A 正确；当1n =时，11S =；当2n ≥时，12111n n S a a a a a a n =+++<+++=L L ，故选项D 正确；∵111n n n a a a +=+，∴222221111122n n n n n n a a a a a a +⎛⎫=+=++>+ ⎪⎝⎭，∴221112n n a a +->，()2211121n n a a ->-，∴2121n n a >-，∴n a <，2024163a <<，故选项B 正确；又222221111123n nn n n n a a a a a a +⎛⎫=+=++≤+ ⎪⎝⎭，∴221113n n a a +-<，∴2221113a a -=，2232113a a -<，…，221113n n a a --<，∴()2211131n n a a -<-，∴2132n n a <-，∴n a >2n ≥）；当1n =时，n a =.综上，n a 故选项C 错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：根据已知化简裂项，结合累加法得出通项公式的不等关系判断选项.12．2【分析】求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为1，求出r ，从而可表示出一次项系数，列方程可求出a 的值【详解】7a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()772177C C rr r r r rr a T x a x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭）（07r ≤≤，r ∈N ），∴令721r -=，解得3r =，∴7a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为()3376347C 35280T a xa x x -=-=-=-，∴38a =，2a =.故答案为：213．13+##31+【分析】由题意可得四边形12QF PF 为矩形，在直角三角形12F QF 中，利用勾股定理列方程化简可求出离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，可得22OP OQ QF OF c ====，即有四边形12QF PF 为矩形，由双曲线的定义可得12QF a c =+，在直角三角形12F QF 中，2221212F F QF QF =+，即有()22242c a c c =++，可得23a c c +=，即21331c e a ===+-.故答案为：13+14．312e 【分析】等价变形已知条件为ln 22eln e xxy x x y=⋅，构造函数()e xf x x =，然后利用单调性，由()2ln x f x f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得出2e x x y =，从而可以将所求式子构造新的函数()21e x x g x -=，再一次借助导数求最值即可.【详解】等式两边同乘x y ，得2ln 2e x x x x y y =，则ln 22e ln e xxy x x y=⋅，因为0x >，e 0x >，ln e 0xy >，所以ln 0x y>，令()e x f x x =（0x >），则()()e 10xf x x ='+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，所以由ln 22e ln e xxyx x y =⋅，即()2ln x f x f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2ln x x y =，所以2e x x y =，所以222211e e e e xx x xx x y ---=-=，令()21e x x g x -=（0x >），则()232e xxg x -'=，令()0g x '>，得302x <<；令()0g x '<，得32x >，所以()g x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()3max 3122eg x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2e x y --的最大值为312e .故答案为：312e 15．(1)()11332n n a -=+(2)118236n -⋅+【分析】（1）根据等比数列的通项公式，即可求得答案；（2）结合（1）可得1134n n n n b a a -+=⋅的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.【详解】（1）由题意知12a =，13122a -=，所以等比数列32n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的首项为12，公比为3，故131322n n a --=⨯，所以()11332n n a -=+；（2）由（1）得()()11113343333n n n n n n n b a a ---+==⋅++111123333n n -⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，故123n nS b b b b =++++ 111111112466123333n n -⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭1111124338236n n ⎛⎫=-=- ⎪+⋅+⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到两次线面垂直，再利用面面垂直的判定定理求解即可.（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接OC，12∠=∠，2390∠+∠=︒，故1+3=90∠∠︒，所以BM OC ⊥，因为PC BM ⊥，,OC PC ⊂面POC ，OC PC C ⋂=，所以BM ⊥平面POC ，又因为PO ⊂平面POC ，所以PO BM ⊥，又因为ABP 为等边三角形，所以PO AB ⊥，因为BM AB B ⋂=，,BM AB ⊂面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）设CD 中点为E ，以,,OB OE OP 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2PA AB BP ===，则()1,0,0B ，()1,2,0C，(P ，()1,1,0M -，()2,1,0BM =-，(1,1,PM =- ，()2,1,0CM =--，设平面PMB 的法向量为(),,m x y z =，00PM m BM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则2y =，z =，所以1,m ⎛= ⎝⎭，设平面PMC 的法向量为(),,n a b c =，00PM n CM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020a b a b ⎧-+-=⎪⎨--=⎪⎩，令1a =，则2b =-，c =，所以(1,2,n =-，设平面PMB 与平面PMC 的夹角为θ，故cos cos ,m n m n m n θ⋅=〈〉=17．(1)22143x y +=(2)48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据椭圆的定义即可求a b c ，，的值，从而得解；（2）分1l 的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用弦长公式求出两个弦长，然后用二次函数知识求出范围即可得解.【详解】（1）已知22c =，故1c =，1PQF 的周长为12124PF PF QF QF a +++=，故48a =，2a =，故椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）①当1l 的斜率不存在时，则2l 的斜率为0，设P 的坐标为()1,p y ，Q 的坐标为()1,Q y ，代入方程221143p y +=，解得32p y =，同理可得32Q y =-，所以3PQ =，AB 为长轴24a =，∴7AB PQ +=；②当1l 的斜率存在时且不为0，则2l 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线2l 的方程为()1y k x =-，则直线1l 的方程为()11y x k=--，将直线2l 的方程代入椭圆方程中，并整理得：()22223484120k xk x k +-+-=，()()()()22222Δ843441214410k k kk =--+-=+>，∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，∴()212212134k AB x k +=-==+，同理，()222211211214343k k PQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，∴()()()()()2222222212112184134343434k k k AB PQ k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴()()22228484844131121114924t t AB PQ t t t t t +===-++-⎛⎫--+⎪⎝⎭，∵1t >，∴101t <<，∴211494912244t ⎛⎫<--+≤⎪⎝⎭，∴24114912114924t ≤<⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴2488477114924t ≤<⎛⎫--+⎪⎝⎭，即4877AB PQ ≤+<.综上①②可知，AB PQ +的取值范围为48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．(1)0.33(2)11n =(3)360【分析】（1）应用n 次独立重复实验求出概率即可；（2）把概率最大列出不等式组计算即可得出范围；（3）根据二项分布的期望和方差结合由切比雪夫不等式计算即得.【详解】（1）()4454C 0.90.10.328050.33P ξ==⨯⨯=≈；（2）()10101010C 0.90.1n n P ξ-==⨯⨯，由题意有101010999101010111111C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n n n ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，则()()0.9910.910 1.1n n ⎧-≥⎪⎨-≤⎪⎩，解得9110199n ≤≤，由于n 为整数，故11n =；（3）()~,0.9B n ξ，则()0.9E n ξ=，()0.09D n ξ=.由题意，0.850.95nξ<<，即0.850.95n n ξ<<，0.050.90.05n n n ξ-<-<，也即0.90.05n n ξ-<.由切比雪夫不等式，有(){}()20.090.0510.05nP E n n ξξ-<-≥，从而()20.0910.90.05nn -≥，解得360n ≥，故估计n 的最小值为360.19．(1)1y =(2)证明见解析(3)(],1-∞【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）令()()36x F x x ϕ=+，对函数求导，再令()2()cos 12x G x F x x '==-+，求导后无法判断导数的正负，再令()()H x G x '=，对其求导后可判断()H x 单调递增，从而可判断()G x 单调递增，()F x 单调递增，进而可证得结论；（3）令()()()22g x f x x ϕ'=--，求导后可判断0a ≤时，()g x 在[]0,π上单调递增，满足题意，当0a >时，再分01a <≤，()ππ1e a +≥和()π1π1e a <<+讨论即可.【详解】（1）解：1a =时，()()e ln 1xf x x =-+，()01f =，则切点为()0,1，()1e 1x f x x ='-+，()00f '=，故切线方程为1y =；（2）证明：令()()33sin 66x x F x x x x ϕ=+=-+，()2cos 12'=-+x F x x ，令()2cos 12x G x x =-+，则()sin G x x x '=-+，令()sin H x x x =-+，()cos 10H x x '=-+≥恒成立，故()H x 单调递增，()()00H x H ≥=，即()0G x '≥，所以()G x 单调递增，()()00G x G ≥=，即()0F x '≥，得()F x 单调递增，()()00F x F ≥=，所以原不等式成立；（3）解：令()()()()222e 2ln 1cos 1xg x f x x a x x ϕ'=--=-+--，()002e 2ln1cos 010g a =---=，求导得()22e sin 1xag x x x '=-++，当0a ≤时，[]0,πx ∈，()0g x '>，则()g x 在[]0,π上单调递增，()()00g x g ≥=，满足题意，当0a >时，设()()h x g x '=，则()()222e cos 01xah x x x '=++>+，因此函数()h x ，即()g x '在[]0,π上单调递增，而()002e 2sin 022g a a '=-+=-，①当01a <≤时，()()0220g x g a ''=-≥≥，()g x 在[]0,π上单调递增，于是()()00g x g ≥=，满足题意；②当()π2π2e sin π0π1ag '=-++≤，即()ππ1e a +≥时，对[]0,πx ∀∈，()0g x '≤，则()g x 在[]0,π上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意，③当()π1π1e a <<+时，因为()g x '在[]0,π上单调递增，且()()()π20π222e 01a g g a π⎛⎫''=--< ⎪+⎝⎭，于是[]00,πx ∃∈，使()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()g x '单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意，所以实数a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立的问题，第（3）问解题的关键是根据题意构造函数()()()22g x f x x ϕ'=--，然后利用导数求出其最小值大于等于零即可，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.。

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.6名旅客，安排在3个客房里，每个客房至少安排1名旅客，则不同方法有（ ）种A ．360B ．240C ．540D ．210 2.若抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为（ ）A ．B ．C ．1D ．2 3.若的内角满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．4.下列四个命题中，正确的是( ) A ．第一象限的角必是锐角 B ．锐角必是第一象限的角 C ．终边相同的角必相等D ．第二象限的角必大于第一象限的角5.已知集合，．则命题：“若，则”的逆命题是（ ）A ．若则B ．若则C ．若则D ．若则6.设的最小值是（ ）A ．10B ．C ．D ．7.已知函数若对任意的实数，存在实数，使得，则的最小值为（ ）A． B． C． D．8.函数，则导数=（）A．B．C．D．9.曲线在处的切线倾斜角是（）A． B． C． D．10.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．11.条件有意义，条件，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（）年报废最划算。

A．3 B．5 C．7 D．1013.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是（）A．60% B．30% C．10% D．50%14.已知曲线在处的切线方程是，则及分别为（）A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－115.已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（）A． B． C． D．16.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（）A． B． C． D．17.已知随机变量服从正态分布，，则的值等于（）A．0．1 B．0．2 C．0．4 D．0．518.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）19.圆上到直线的距离为的点共有（）A．个B．个C．个D．个20.若函数在（0，1）内有极小值，则实数的取值范围是（）A．（0，1） B．（－∞，1） C．（0，+∞） D．（0，）二、填空题21.设向气球内以每秒100立方厘米的速度注入气体，假设气体的压力不变，那么当气球半径为20厘米时，气球半径增大的速度为每秒▲厘米22.各项为正数的等比数列中，成等差数列，则的值为____．23.一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为__________.24.已知函数的单调递减区间为，则的值为__________．25.已知x和y之间的一组数据,若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝x＋a，则a的值为___________ .26.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为______；体积为______．27.100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02， (09)第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第组中抽取其号码的个位数与的个位数相同的个体，其中是第1组随机抽取的号码的个位数，则当m=4时，从第7组中抽取的号码是．28.如果x-1+yi,与i-3x 是共轭复数则实数x 与y 分别是＿＿＿＿＿＿.29.观察下面一组等式：，，，，根据上面等式猜测，则 __________．30.在三棱锥中，,，两两互相垂直，且，，则的取值范围是__________.三、解答题31.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.32.已知函数．（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？33.设复数，（Ⅰ）若是实数，求的值；（Ⅱ）若对应的点位于复平面第四象限，求的取值范围．34.设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.①求f(x)的单调区间；②求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．35.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.参考答案1 .C【解析】略2 .D【解析】试题分析：设，抛物线准线，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为，由抛物线的定义得，利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号，所以，故选D．考点：抛物线的定义及其性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中利用抛物线的准线方程，表示出，再根据抛物线的定义，可知，根据利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号是解答的关键，着重考查了抛物线的定义的灵活应用和学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．3 .D 【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.4 .B【解析】解：因为根据象限角的定义可知，锐角必是第一象限的角，选项A，C,D不符合象限角的定义，因此错误选B5 .C【解析】试题分析：因为命题的逆命题就是将原命题的条件与结论调换位置即可，所以命题：“若，则”的逆命题是“若则”，故选C．考点：命题的逆命题．6 .【解析】试题分析：，当且仅当，即时，等号成立．故答案选．考点：基本不等式．7 .A【解析】设，则，，时，递增，时，递减，，即的最小值为，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最小值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8 .D【解析】试题分析：根据基本初等函数的导数公式可知，，因此可知答案为，选D.考点：导数的运算点评：解决的关键是根据导数的基本初等函数的导数公式来求解，属于基础题。

高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则它的导函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，【考点】复合函数的导数.2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=2xf′（2）+x3，则f′（2）等于（）. A．﹣8B．﹣12C．8D．12【答案】B.【解析】，；令，则，得.【考点】导数的计算.3.已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若在处取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．【解析】解题思路：（1）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解；（2）先根据在处取得极值求得值，再将恒成立问题转化为求，解关于的不等式即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立；求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析:（1）因在上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．＝，∴b≥.设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)＝f(2)＝2＋c，max∴2＋c＜c 2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).【考点】1.函数的单调性；2.函数的极值、最值；3.不等式恒成立问题.4.记，，…，．若，则的值为 .【答案】【解析】由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx﹣xsinx，f（2）（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f（3）（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007，故答案为：1007．【考点】导数的运算．5.为实数，(1)求导数；(2)若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值.【答案】⑴ (2) 最大值为最小值为【解析】⑴将括号打开函数变成多项式函数来求导数;也可利用积的导数法则来求解;(2)由结合(1)的结果可求出a值，从而获得的具体解析式，进而获得导数，令其等于零，求得其可能极值，并求出端点的函数值，比较其大小就可求出在[－2，2] 上的最大值和最小值.试题解析：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x="-1" ,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为【考点】1.函数求导;2.函数的最值.6.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以或，或，故选A.【考点】函数的单调性与导数.7.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

高二数学正弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，、、分别是角、、的对边，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理并化简得，又，所以，因为为三角形的内角，所以.（Ⅱ）将已知条件代入余弦定理得 ac=3，所以.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即即∵∵∵为三角形的内角，∴.（Ⅱ）将代入余弦定理得，∴∴.【考点】1.解三角形的正弦定理与余弦定理；2.三角形的面积公式2.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a2=b2+c2﹣bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求bsinB+csinC的最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）利用余弦定理可解得cosA=,因此A=;（Ⅱ）由正弦定理可知2r==，所以bsinB+csinC=（b2+c2）,又b2+c2﹣4=bc≤得b2+c2≤8,所以bsinB+csinC=（b2+c2）≤2,所求的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，∴A=．（Ⅱ）若a=2，则2r==，∴bsinB+csinC=（b2+c2）．∵b2+c2﹣4=bc≤，∴b2+c2≤8，∴（b2+c2）≤2，即bsinB+csinC的最大值为2．【考点】1.正弦定理与余弦定理;2.基本不等式的应用3.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件结合正弦定理，构建关于的方程，从而解出的值.（2）求的取值范围，通过正弦定理转化为角或角的三角函数，运用三角函数的知识解决问题，注意角的范围.在三角函数中求式子的取值范围，通常是运用正、余弦定理转化为某个角的三角函数来求范围，很少转化为某条边的代数函数来求范围的.试题解析：（1）由已知条件结合正弦定理有：，从而有：，.（2）由正弦定理得：，，，即：.【考点】1.解三角形；2.三角函数图象与性质.4.在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量,,若（1）求角A的大小；（2）若的面积.【答案】（1）;(2)16．【解析】解题思路：(1)利用平面向量的模长公式将条件转化为，再结合角的范围求角A；（2）由正弦定理将边的关系化成角的正弦的关系，进而判定三角形的形状和求三角形的面积.规律总结：以平面向量为载体考查三角函数问题，体现了平面向量的工具性，要灵活选择平面向量知识合理化简，出现三角函数关系式；根据三角函数值求角的，要注意结合所给角的范围；解三角形要根据条件合理选择正弦定理、余弦定理、面积公式.试题解析：(1)又，，，为等腰三角形，.【考点】1.平面向量的模长；2.解三角形.5.中，,,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得即，所以，因为，，所以为锐角，所以由可得，所以，选C.【考点】正弦定理.6.在中，，则等于A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150【答案】C【解析】由正弦定理得：，∴，∴60°或120°.【考点】正弦定理.7.在中，角A．Ｂ．Ｃ所对的边分别是．．，若，，则等于（）A．B．Ｃ．Ｄ．【答案】B【解析】由正弦定理与题中条件可得即，而为三角形的内角，所以，所以，故选B.【考点】1.正弦定理；2.正弦的二倍角公式.8.辽宁广播电视塔位于沈阳市沈河区青年公园西侧，蜿蜒的南运河带状公园内，占地8000平方米.全塔分为塔座、塔身、塔楼和桅杆四部分.某数学活动小组在青年公园内的A处测得塔顶B处的仰角为45°. 在水平地面上，沿着A点与塔底中心C处连成的直线行走129米后到达D处(假设可以到达)，此时测得塔顶B处的仰角为60°.（1）请你根据题意，画出一个ABCD四点间的简单关系图形；（2）根据测量结果，计算辽宁广播电视塔的高度(精确到1米).【答案】305米【解析】由题意知，，可用正弦定理求出或的边长，最后在或中用三角函数求的边长。

高二数学函数试题答案及解析1. .给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称f（x）在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是_________．（把你认为正确的序号都填上）①；②；③；④．【答案】④【解析】对于①，，当时，恒成立，所以是凸函数；对于②，，当时，恒成立，所以是凸函数；对于③，，当时，恒成立，所以是凸函数；对于④，，当时，恒成立，所以不是凸函数.【考点】函数的二阶导数.2.对于∈N*,定义，其中K是满足的最大整数，[x]表示不超过x的最大整数，如，则（1）．（2）满足的最大整数m为．【答案】（1）223; （2）919.【解析】（1）由已知得；为不大于9的自然数，i=0,1, ，k，且≠0，则（2）设其中aif(m)=(10k-1+10k-2+ +1)+(10k-2+10k-3 +1)·+ + ,因为f(m)=100，而k=1时，f(m)<100，k>2时，f(m)>( 10k-1+10k-2+ +1) ·>100,故k的值为2，所以f(m)=11+，要使m最大，取=9，此时=1，再取=9，故满足f(m)=100的最大整数m为919．【考点】创新问题．3.已知是函数的零点，，则的值满足( )A．＝0B．＞0C．＜0D．的符号不确定【答案】C【解析】已知是函数的零点，即是方程的根，由函数及函数的图象知C选项正确.【考点】函数的零点.4.已知函数若，则【答案】【解析】当时，，解得；当时，，解得.【考点】分段函数的求法.5.函数的最大值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】一方面函数的定义域为，另一方面，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数在取得最大值，故选A.【考点】函数的最值与导数.6.已知函数.(1)求函数在上的最大值和最小值；(2)求证：当时，函数的图像在的下方．【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详见解析.【解析】(1)先求导函数，由导函数的符号确定在上的单调性，进而确定函数的最值即可；(2)本题的实质是证明在区间恒成立，然后利用导数研究其最大值即可.试题解析：(1)∵，∴∵时，，故在上是增函数∴的最小值是，最大值是(2)证明：令则当时，，而∴∴在上是减函数∴，即∴当时，函数的图像总在的图像的下方．【考点】函数的最值与导数.7.若连续函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值【答案】D【解析】依题可得，，且当时，由，当时，由，所以在取得极大值；当时，由，当时，由，所以在取得极小值，故选答案D.【考点】1.函数的图像；2.极值的概念.8.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.【答案】（I）.（Ⅱ）的取值范围为（-1，].【解析】（I）当=-2时，不等式＜化为，设函数=，=，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是. （Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，∴对∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范围为（-1，].【考点】绝对值不等式解法，不等式恒成立问题。

2022-2023学年北京十七中高二（上）期末数学试卷1. 直线l 经过A(−1,3)，B(2,5)两点，那么其斜率k 为( ) A. 2B. 23C. 12 D. −32 2. 已知圆的方程(x +3)2+(y −2)2=4，那么圆心和半径分别为( ) A. (−3,2)，2 B. (3,−2)，2 C. (−3,2)，4 D. (3,−2)，4 3. 抛物线y 2=4x 的焦点到准线的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 双曲线x 2a 2−y 27=1(a >0)的离心率e =43，那么a 的值是( )A. 9B. 4C. 3D. 25. 如图，以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(5,4,3)，那么AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是( )A. (−5,4,3)B. (−5,4,−3)C. (−4,5,3)D. (5,−4,−3)6. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=an1+a n，则a 6的值为( )A. 16B. 14C. 3D. 67. 已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ 是“DE//平面ABC ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知圆O 1的方程为(x −a)2+(y −b)2=4，圆O 2的方程为x 2+(y −b +1)2=1，其中a ，b ∈R.那么这两个圆的位置关系不可能为( )A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切9. 世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率f10=440Hz，则与第四个单音的频率f4最接近的是( )A. 880HzB. 622HzC. 311HzD. 220Hz10. 若函数f(x)=x2e x−a恰有三个零点，则实数a的取值范围是( )A. (4e2,+∞) B. (0,4e2) C. (0,4e2) D. (0,+∞)11. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n+1，则a3=______.12. 若函数f(x)=e2x+1，则f′(x)=______；曲线y=f(x)在点P(0,e)处的切线的方程是______.13. 过抛物线y2=6x焦点作直线l，交抛物线于A，B两点．若线段AB中点M的横坐标为2，则|AB|等于______.14. 已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的方程可以为______(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为______.15. 已知直线l1：2x−y+2=0与直线l2：x−ay−2=0，a∈R，若l1//l2，则a=______；若直线l2与圆心为C的圆(x−a)2+(y−1)2=4相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则a=______.16. 如果数列{a n}满足a n+2a n+1−a n+1a n=k(k为常数)，那么数列{a n}叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：①若数列{a n}满足a n+1a n=2n，则该数列是等比差数列；②数列{n⋅2n}是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的序号是______.17. 已知等差数列{a n}满足a2=4，a3+a4=17.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅰ)若数列{b n}满足b1=2，再从①b n+1=2b n；②2b n+1=b n；③b n+1=−b n这三个条件中任选一个作为已知，求数列{a n+b n}的前n项和T n.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA=2，AB=1，AD=2.(Ⅰ)求证：PB//平面ACE；(Ⅰ)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；(Ⅰ)求点P到平面ACE的距离．19. 已知函数f(x)=x3+ax2−1在点(−1,f(−1))处的切线方程为3x+y+2=0. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅰ)求函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值与最小值；(Ⅰ)方程f(x)=m有三个不同的实根，求实数m的取值范围．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2√3.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)若直线l：x−my−4=0与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数m的值；(Ⅰ)设A，B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A，B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值．21. 设等差数列{a n}的各项均为整数，且满足对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+ a2+⋯+a n=a m，则称这样的数列{a n}具有性质P.(Ⅰ)若数列{a n}的通项公式为a n=2n，数列{a n}是否具有性质P？并说明理由；(Ⅰ)若a1=3，求出具有性质P的数列{a n}公差的所有可能值；(Ⅰ)对于给定的a1，具有性质P的数列{a n}是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线L 经过两点A(−1,3)，B(2,5)，则直线l 的斜率是：k =5−32−(−1)=23. 故选：B.直接利用斜率公式求出直线的斜率即可． 本题考查直线的斜率公式的应用，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：圆的方程(x +3)2+(y −2)2=4，则其的圆心为(−3,2)，半径为2. 故选：A.利用圆的标准方程的性质求解．本题考查圆的圆心坐标和半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的标准方程的性质的合理运用．3.【答案】B【解析】解：根据题意可知焦点F(1,0)，准线方程x =−1， ∴焦点到准线的距离是1+1=2 故选：B.根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线x 2a 2−y 27=1(a >0)的离心率e =43， 可得√a 2+7a=43，解得a =3， 故选：C.利用双曲线的离心率，列出方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．5.【答案】A【解析】解：以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(5,4,3)，∴B 1(5,4,3)， ∴DA =5，DC =4，DD 1=3， ∴A(5,0,0)，C 1(0,4,3)， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是(−5,4,3). 故选：A.由DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(5,4,3)，推导出DA =5，DC =4，DD 1=3，由此能求出AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标． 本题考查向量坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n1+a n ， ∴1a n+1=1+a n a n=1a n+1，即1a n+1−1a n=1，又1a 1=1，∴数列{1a n}是首项、公差均为1的等差数列， ∴1a n =n ，a n =1n ， ∴a 6=16， 故选：A. 先由题设推导出1an+1−1a n=1，进而说明数列{1a n}是首项、公差均为1的等差数列，求得其通项公式，再求得结果即可．本题主要考查等差数列定义及基本量的计算，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，若存在实数x ，y ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE//平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，反之，若DE//平面ABC ，则向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面，又由点A ，B ，C 不共线，故一定存在实数x ，y ，使得DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故“存在实数x ，y ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是“DE//平面ABC ”的必要不充分条件； 故选：B.根据题意，由充分必要条件的定义结合向量共面定理分析，即可得答案． 本题考查空间向量基本定理，涉及充分必要条件的定义和判断，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，圆O 1的圆心O 1(a,b)，半径r =2， 圆O 2的圆心O 2(0,b −1)，半径R =1， 所以r +R =3，r −R =1， 因为O 1O 2=√a 2+1≥1， 所以O 1O 2≥r −R ， 故两圆不可能是内含． 故选：C.利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用圆心距之间的距离和两圆半径的关系，结合两圆的位置关系的判断方法进行分析即可．本题考查了两圆位置关系的判断，解题的关键是确定圆心距和两圆半径之间的关系．9.【答案】C【解析】解：由题意，设十三个单音构成的等比数列{f n }的公比为q ， 则f13f 1=q 12=2，而f 4=f 10⋅q −6=440⋅√2=220√2≈311.08，故与220√2最接近的是311Hz ， 故选：C.设十三个单音构成的等比数列{f n }的公比为q ，从而得f 13f 1=q 12=2，再由f 4=f 10⋅q −6求得．本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：函数y =x 2e x 的导数为y′=2xe x +x 2e x =xe x (x +2)， 令y′=0，则x =0或−2，函数在(−2,0)上单调递减，在(−∞,−2)，(0,+∞)上单调递增， ∴0或−2是函数y 的极值点，函数的极值为：f(0)=0，f(−2)=4e −2=4e 2. 函数f(x)=x 2e x −a 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是：(0,4e2). 故选：B.求导函数，求出函数的极值，利用函数f(x)=x 2e x −a 恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．11.【答案】3【解析】解：由S n=n2−2n+1，则当n≥2时，S n−1=(n−1)2−2(n−1)+1=n2−4n+4，所以a n=S n−S n−1=2n−3，所以a3=3，故答案为：3.由数列的递推公式求得a n，再求a3即可．本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】2e2x+12ex−y+e=0【解析】解：∵f(x)=e2x+1，∴f′(x)=2e2x+1，∴f′(0)=2e，∴曲线y=f(x)在点P(0,e)处的切线的方程是y−e=2ex，即2ex−y+e=0，故答案为：2e2x+1；2ex−y+e=0.根据复合函数的求导法则，可得f′(x)，求出f′(0)，利用点斜式，即可得出答案．本题考查导数的运算和导数的几何意义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】7【解析】解：由题意知，p=3，∵线段AB中点M的横坐标为2，∴x A+x B=2x M=4，∴由抛物线的定义知，|AB|=x A+x B+p=4+3=7.故答案为：7.结合中位线的性质和抛物线的定义，即可得解．本题考查抛物线的定义，熟练利用抛物线解决焦点弦长问题是解题的关键，属于基础题．14.【答案】x2−y24=1√5【解析】解：因为双曲线的渐近线为y=2x，所以双曲线的方程为x2−y 24=λ(λ≠0)，故可取λ=1，可得双曲线的方程为x2−y 24=1，所以c=√5此时其离心率e=ca=√5，故答案为：x2−y 24=1；√5.有相同的渐近线的双曲线系为x2−y 24=λ(λ≠0)，故可令λ=1，可得一个双曲线方程，进而可求离心率．本题考查了共渐近线的双曲线的方程以及双曲线的离心率，属于基础题．15.【答案】12±1【解析】解：直线l1：2x−y+2=0与直线l2：x−ay−2=0，a∈R，l1//l2，则−2a=−1，则a=12，由题意，△ABC为直角三角形，故圆心到直线的距离是半径的√22倍，即圆心到直线的距离是√2，由圆心坐标是(a,1)，由点到直线的距离公式知，圆心到直线的距离是√1+a2，则√1+a2=√2，解得a=±1，所以a的值±1.故答案为：12，±1.根据两直线平行的条件建立方程，解方程得出参数的值；根据直线与圆的位置关系，计算出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而建立方程，解出参数的值．本题考查直线与直线、直线与圆的位置关系，根据所给的位置关系建立相应的方程是解答的关键，本题考查了方程的思想，属于中档题．16.【答案】①③④【解析】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1a n =2n，则a n+2a n+1−a n+1a n=2n+2−2n=2，所以数列是等比差数列，故选项①正确；对于数列{n⋅2n}，则a n+2a n+1−a n+1a n=(n+2)⋅2n+2(n+1)⋅2n+1−(n+1)⋅2n+1(n)⋅2n=2n+4n+1−2n+2n=2n2+4n−2n2−4n−2n(n+1)=−2n(n+1)不是常数，所以数列{n⋅2n}不是等比差数列，故选项②错误；由等比数列的定义可知，a n=a n−1q，所以a n+2a n+1−a n+1a n=q−q=0，所以所有的等比数列都是等比差数列，故选项③正确；设等差数列为{a n}，公差为d，所以a n+2a n+1−a n+1a n=a n+2da n+d−a n+da n=−d2a n(a n+d)，当d=0时，则a n+2a n+1−a n+1a n=0，所以存在等差数列是等比差数列，故选项④正确．故选：①③④．利于题中给出的等比差数列的定义，即数列{a n}满足a n+2a n+1−a n+1a n=k(k为常数)，结合等差数列和等比数列的定义以及通项公式对各个选项进行逐一分析判断，即可得到答案．本题考查了新定义问题，以新定义为载体考查了数列知识的应用，解题的关键是正确理解题意，结合所学过的数列的相关概念、公式、定理等知识进行研究．17.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，由a2=4，a3+a4=17，可得a1+d=4，2a1+5d=17，解得a1=1，d=3，则a n=1+3(n−1)=3n−2；(Ⅰ)若数列{b n}满足b1=2，选①b n+1=2b n，可得b n=2⋅2n−1=2n，a n+b n=(3n−2)+2n，前n项和T n=(1+4+...+3n−2)+(2+4+...+2n)=12n(1+3n−2)+2(1−2n)1−2=12(3n2−n)+2n+1−2；选②2b n+1=b n，可得b n=2⋅(12)n−1=22−n，a n+b n=(3n−2)+22−n，前n项和T n=(1+4+...+3n−2)+(2+1+...+22−n)=12n(1+3n−2)+2(1−12n)1−12=12(3n2−n)+4−22−n；选③b n+1=−b n，可得b n=2⋅(−1)n−1，a n+b n=(3n−2)+2⋅(−1)n−1，前n项和T n=(1+4+...+3n−2)+(2−2+...+2⋅(−1)n−1)=12n(1+3n−2)+2[1−(−1)n]1−(−1)=12(3n2−n)+1−(−1)n.【解析】(Ⅰ)由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；(Ⅰ)选①②③，运用等比数列的通项公式和数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】(Ⅰ)证明：连结BD交AC于O，连结OE，因为四边形ABCD是矩形，所以O为BD的中点．又因为E是PD的中点，所以PB//OE，………(2分)因为PB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以PB//平面ACE.……………(4分) 法二：证明：四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，因此以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，建立空间直角坐标系．所以P(0,0,2)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，B(1,0,0)，………(2分) 设平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，……………(3分) {n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即：{a +2b =0b +c =0⇒{a =−2b =1c =−1⇒n ⃗ =(−2,1,−1)，……………(5分)因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2+0+2=0，……………(6分) 又因为PB ⊄平面ACE ，所以PB//平面ACE.……………(7分) (Ⅰ)解：设直线CP 与平面ACE 所成角为θ，因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(−2,1,−1)，所以sinθ=|cos <PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=3√6=√69，即直线CP 与平面ACE 所成角的正弦值为√69.……………(11分) (Ⅰ)解：设点P 到平面ACE 的距离d ，则d =|PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |n⃗ ||=√6=√63，所以点P 到平面BDE 的距离√63.……………(14分)【解析】(Ⅰ)连结BD 交AC 于O ，连结OE ，证明PB//OE ，然后证明PB//平面ACE.法二：以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，建立空间直角坐标系．求出平面ACE 的一个法向量，求出PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，通过PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2+0+2=0，证明PB//平面ACE.(Ⅰ)求出PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，平面ACE 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线CP 与平面ACE 所成角的正弦值．(Ⅰ)设点P 到平面ACE 的距离d ，利用d =|PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |n⃗ ||求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，点到平面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：由函数f(x)=x 3+ax 2−1在点(−1,f(−1))处的切线方程为3x +y +2=0，故f(−1)=1，(Ⅰ)由f(−1)=−1+a −1=1，解得a =3；(Ⅰ)f(x)=x 3+3x 2−1，令f′(x)=3x 2+6x =0得x =0或−2， f′(x)>0⇒x <−2或x >0，f′(x)<0⇒−2<x <0，故f(x)在[−1,0]上单调递减，在(0,2]上单调递增，故f(x)min =f(0)=−1，又f(−1)=1，f(2)=19，故f(x)max =19；(Ⅰ)由(Ⅰ)知f(x)的极小值为f(0)=−1，f(x)的极大值为f(−2)=3，且f(x)在(−∞,−2)，(0,+∞)上单调递增，在[−2,0]上单调递减，x →−∞时，f(x)→−∞，x →+∞时，f(x)→+∞，故要使方程f(x)=m 有三个不同的实根，只需−1<m <3，故所求m 的范围是(−1,3).【解析】(Ⅰ)利用f(−1)=1，代入原函数求出a 的值；(Ⅰ)求出f(x)在[−1,2]上导数零点处的函数值、端点处函数值，比较即可；(Ⅰ)求出原函数的极值，构造出关于m 的不等式组求解．本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，并在此基础上进一步研究函数零点个数的问题，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)解：因为2a =2⋅2b ，2c =2√3，所以a =2b ，c =√3，又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(Ⅰ)解：设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，联立方程组{x −my −4=0x 24+y 2=1，可得(m 2+4)y 2+8my +12=0， ∴Δ=64m 2−48(m 2+4)>0，解得m 2>12，则由韦达定理可得，y 1+y 2=−8m m 2+4，y 1y 2=12m 2+4， 则x 1x 2=(my 1+4)(my 2+4)=m 2y 1y 2+4m(y 1+y 2)=64−4m 2m 2+4， 又以线段DE 为直径的圆经过原点，所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=12m 2+4+64−4m 2m 2+4=0，解得m =±√19；(Ⅰ)证明：由题意A(−2,0)，B(2,0)，设H(x 0,y 0)，则直线BH 的方程为y −0=y 0x 0−2(x −2)， 直线AH 的方程为y −0=y 0x 0+2(x +2)， 由中点坐标公式可得，P(1+x 02,y 02)，所以直线PQ 的方程为y −y 02=−x 0−2y 0(x −1−x02)，联立直线PQ 和直线AH 的方程可得x Q =3x 03+10x 02−12x 0−406x 02−24， 所以MN 2=|x Q −1−x 022|=(23)2， 故MN =23，所以线段MN 的长为定值．【解析】(Ⅰ)利用长轴以及短轴的定义，结合焦距，得到a ，b ，c 的关系，从而得到答案；(Ⅰ)联立直线和椭圆的方程，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，然后利用韦达定理以及OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求解即可得到答案；(Ⅰ)设H(x 0,y 0)，利用点斜式求出直线BH 和直线AH 的方程，得到点P 的坐标，从而得到直线PQ 的方程，联立直线PQ 和直线AH 的方程，解得Q 点的横坐标，求解MN 的长度即可证明．本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，主要考查了直线与椭圆的应用、椭圆的标准方程的求解、点斜式直线方程的求解，在涉及直线与圆锥曲线位置关系的时候，经常用“设而不求”的思想，结合韦达定理进行研究．21.【答案】解：(I)由a n =2n ，对任意正整数n ，a 1+a 2+⋯+a n =2×(1+2+3+⋯+n)， 说明a 1+a 2+⋯+a n 仍为数列{a n }中的项，∴数列{a n }具有性质P.(II)设{a n }的公差为d.由条件知：a 1+a 2=a k (k ∈N ∗)，则2a 1+d =a 1+(k −1)d ，即(k −2)d =a 1，∴必有k ≠2且d =a 1k−2=3k−2，则a n =a 1+(n −1)d =a 1+n−1k−2a 1=3+n−1k−2×3， 而此时对任意正整数n ，a 1+a 2+⋯+a n =na 1+n(n−1)2d =a 1+(n −1)[(k −2)+n 2]d ， 又n ，n −1为一奇一偶，即(n −1)[(k −2)+n 2]为整数，因此，只要d =3k−2为整数，那么a 1+[(n −1)(k −2)+n(n−1)2]d 为{a n }中的一项． 易知：k −2可取±1，3，对应得到3个满足条件的等差数列．(III)同(2)知：a 1+a 2=a k (k ∈N ∗)，则a 1=(k −2)d ，∴必有k ≠2且d =a 1k−2∈Z ，则a 1+a 2+⋯+a n =a 1+(n −1)[(k −2)+n 2]d ，故任意给定a 1，公差d 均为有限个，∴具有性质P 的数列{a n }是有限个．【解析】(I)由题意a 1+a 2+⋯+a n =2×(1+2+3+⋯+n)，由性质P 的定义，即可知{a n }是否具有性质P.(II)由题设，存在a 1+a 2=a k (k ∈N ∗)，结合已知得k ≠2且d =3k−2，则a 1+a 2+⋯+a n =a 1+[(n −1)(k −2)+n(n−1)2]d ，由性质P 的定义只需保证d 为整数即可确定公差的所有可能值； (III)根据(2)的思路，可得k ≠2且d =a 1k−2∈Z ，由a 1+a 2+⋯+a n 为整数，在a 1为定值只需d 为整数，即可判断数列{a n}的个数是否有限．本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．。