安徽省合肥市第三中学2019-2020学年高二上学期分班考试数学试题

2019-2020学年安徽省合肥一中高二（上）段考数学试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A. 是棱台B. 是圆台C. 是棱锥D. 不是棱柱2.下列关于圆锥的说法中，错误的是( )A. 圆锥的轴截面是等腰三角形B. 圆锥的侧面展开图是扇形C. 以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台3.已知正的边长为a，那么的平面直观图的面积为( )A. B. C. D.4.在正方体中O为底面ABCD的中心，E为的中点，则异面直线与EO所成角的正弦值为( )A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示则“堑堵”的左视图的面积( )A. B. C. D.6.已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是( )A. m，n是平面内两条直线，且，B. m，n是两条异面直线，，，且，C. 面内不共线的三点到的距离相等D. 面，都垂直于平面7.，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A.， B. ，C. ，，共面D. ，，共点，，共面8.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 2B.C.D.9.已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为( )A. B. 1 C. D.10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①；②；③MN与AB是异面直线；④BF与CD成角，其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④11.已知正方体，P为棱的动点，Q为棱的中点，设直线m为平面BDP与平面的交线，以下关系中正确的是( )A.B. 平面C.D.平面12.如图，在四面体ABCD，，，，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A.B.C. 3D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某圆台的正视图是上底与腰长均为2，下底边为4的等腰梯形，则此圆台的表面积为______. 14.如图，在棱长为的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则点G到平面的距离为______.15.已知球O与棱长为4的正四面体的各面都相切，则球O的体积______.16.如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面ABCD，且，，，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得平面ACN，则PN长度为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2019-2020学年度XXX入学分班考试数学试题-含详细解析3.①因为黑色阴影部分为一个半圆，而整个图形是一个圆形，所以黑色阴影部分占整个图形的面积比为1/2.因此，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为1/2，选项A正确。

②将直线y=−(1/3)(x−2)化简得到3y+x−6=0.将圆的方程(x-2)^2+y^2=1代入该直线的方程中，得到3y+x-6±2√10=0，因此直线与黑色阴影部分有两个交点，选项C错误。

5.根据题意，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，增加了28.7万亿元。

因此，年均增长率为(1+(28.7/54))^(1/5)-1≈7.65%。

因此，选项中的“年均增长7.1%”是错误的，应改为“年均增长7.65%”。

A.从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌。

B.从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较，1月涨幅最大。

C.从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌。

A.2016年第三季度和第四季度环比都有提高。

B.2017年第一季度和第二季度环比都有提高。

C.2016年第三季度和第四季度同比都有提高。

远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”这是明代数学家XXX所著的《九章詳註比纇算法大全》中的问题。

通过计算，答案是3.AQI数据 | AQI类别。

|0-50.| 优。

|51-100.| 良。

|101-150 | 轻度污染。

|151-200 | 中度污染。

|201-300 | 重度污染。

|A。

2014年有9个月的AQI类别属于“轻度污染”。

B。

2015年12月份AQI类别为“优”的天数一定为0.C。

2014年上半年AQI数据标准差大于2015年上半年AQI数据标准差。

运动员 | 平均环数x | 方差x² |甲。

| 9.1.| 5.7.|乙。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案答案一、选择题 CDDAB BBDAC CB 二、填空题 13．60° 14．61 15．2·3n －1(n ≤2010) 16．4 三、解答题17．解：设A ＝(x |x 2－4ax ＋3a 2＜o (a ＜o )]＝(x |3a ＜x ＜a (a ＜0)}B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |x ＜－4或x ＞2}． ……………4分 ∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 必要不充分条件， ∴A ≠⊂B ……………………6分 所以3a ≥2或a ≤－4，又a ＜0，所以实数a 的取值范围是a ≤－4． …………………10分 18．解：(1)a ＞0且a ≠1， 3－ax ＞0在x ∈[0，2]上恒成立，即ax ＜3 当x ＝0时，0＜3，则a ∈R 当x ∈(0，2]时，x a 3<，则23<a ∴230<<a 且a ≠1………4分 (2)假设存在这样的a设μ(x )＝3－ax ＞0，则μ(x )在[1，2]上为减函数， 且有μ(2)＞0，∴23<a ……6分 则y ＝log αμ在区间内为增函数，∴a ＞1即231<<a ………………8分 而f (x )max ＝log α(3－α)＝1＝log α ∴3－α＝α ∴23=a …………10分 ⎪⎭⎫⎝⎛=23123，不在区间a 内，所以这样的a 不存在……………12分 19．解：(Ⅰ)41451)410(212sin 21cos 22-=-=⨯-=-=C C ……………………………4分 (Ⅱ)∵C B A 222sin 1613sin sin =+，由正弦定理可得：2221613c b a =+ 由(Ⅰ)可知415cos 1sin ,0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π．4153sin 21==C ab S ABC △， 得ab ＝6．……8分由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 可得3161322+=c c c 2＝16，c ＞0，∴c ＝4……………………………………10分由⎩⎨⎧==+61322ab b a 得⎩⎨⎧==23b a 或⎩⎨⎧==32b a ………12分20．解：法一：(1)以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系， 则依题意可知相关各点的坐标分别是A (0，0，0)，B (2，0，0)， C (2，1，0)，D (0，1，0)，S (0，0，1)． ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛0122，，M ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212122，，N …………2分 ∴11(0,,),(2,0,0).22MN AB ∴=-=211(,)22AN =…………4分 ∴0=⋯=⋅，0=⋯=⋅∴⊥⊥, ∴MN ⊥平面ABN ……6分(2)设平面NBC 的法向量(),,n a b c =，则BC n ⊥ ，SC n ⊥且又易知()0,1,0=BC ，()1,1,2-=SC ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00SC n n 即⎩⎨⎧=-+=020c b a b ，∴⎩⎨⎧==a c b 20 令a ＝1，则()2,0,1=n………9分 显然，⎪⎭⎫⎝⎛-=21,21,0MN 就是平面ABN 的法向量． .33||||,cos ==⋅>=<∴ MN n ………………………………………10分.33---∴的余弦值是由图可知二面角C BN A …………………………12分 法二：(1)由题意知MN AB ⊥连AN BM ,则可求26,22,1===BM MN BN ， 则︒=∠90BNMABN MN B BN AB AB MN BN MN 平面⊥⇒=⋂⊥⊥,,……………………6分(2)因为SAB BC 平面⊥，在平面SAB 内作SBC AE E SB AE 面点，则与⊥⊥ 且36=AE ， 又在△ABN 中可求边BN 上的高为AF ＝1，所以∠AFE 就是所求的平面角的补角， 且cos ∠AFE ＝33 故所求的二面角的余弦值为33-……12分 21．解：(Ⅰ)由题意知21141nn a a +=+，∴221141n n a a +=+∴411221=-+nn a a 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21n a 是等差数列………2分 ∴()344411411212-=-+=-+=n n n a a n ∴3412-=n a n 又∵0>n a ∴341-=n a n ………6分 (Ⅱ)由题设知(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n ＋1)(4n －3)∴134141=--++n T n T n n ，设n n c n T =-34，则上式变为c n ＋1－c n ＝1． ∴{c n }是等差数列．…8分 ∴n n b n T n c c n =-+=-+=-+=1111111 ∴n n T n=-34，即T n ＝n (4n －3)＝4n 2－3n ……10分∴当n ＝1时，b n ＝T 1＝1；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4n 2－3n －4(n －1)2＋3(n －1)＝8n －7．经验证n ＝1时也适合上式．∴b n ＝8n －7(n ∈N *)…………………………12分22．解：(Ⅰ)由题意知e ＝c a ＝21，所以e 2＝22c a ＝222c b -a ＝41．即a 2＝43b 2． 又因为3116=+=b 所以3,422==b a故椭圆的方程为13422=+y x ……4分 (Ⅱ)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)．由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134422y x x k y ，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0． ①…6分设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=-- 令y ＝0，得()121222y y x x y x x +--=.将()411-=x k y ，()422-=x k y 代入，整理，得x ＝()842212121-++-x x x x x x ②…8分由①得34322221+=+k k x x ，3412642221+-=k k x x ……10分代入②整理，得x ＝1．所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1，0)．……12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线2x y =的准线方程是（ ）A ．014=+xB ．014=+yC ．012=+xD ．012=+y2．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ） A ．1x ∀>，210x -> B ．1≤∀x ，210x -≤C ．1>∀x，210x -≤ D ．1x ∃≤，210x -≤3．右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间20[，)30内的概率为（ ）A ．2.0B ．4.0C ．5.0D ．6.04．已知命题p ：若y x >，则y x -<-；命题q ：若y x <，则22y x>．在命题：①q p ∧；②q p ∨；③)(q p ⌝∧；④q p ∨⌝)(中，真命题是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆05422=--+x y x 相切，则p 的值为（ ）A ．10B ．6C ．4D ．2 6．“21≠≠b a或”是“3≠+b a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．若双曲线0122=--y tx的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25C ．23D ．38．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确1 2 3 8 90 2 3 7 9 0 1 3的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据1(，)0和2(，)2求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆˆ， B ．a a b b '<'>ˆˆ， C ．a a b b '>'<ˆˆ， D ．a a b b'<'<ˆˆ， 10．已知点P 是椭圆)00(181622≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是（ ）A ．0(，)3B ．0(，)22C ．22(，)3D ．0(，)4第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．圆0222=-+x y x与圆0422=++y y x 的公切线有_________条．12．已知实数0[∈x ，]8，随机输入x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为__________．13．若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的________命题． 14．过抛物线24y x =焦点的直线l 的倾斜角为3π，且l 与抛物线相交于A B、两点，O 为原点，那么AOB ∆的面积为 ．15．设椭圆12222=+b y a x 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>其中的离心率分别为1e ，2e ，有下列结论：①121<e e ；②22221=+e e ；③121>e e ；④121=e e ；⑤221<+e e ．其中正确的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知：0>a ，02082>--x x p ：，01222>-+-a x x q ：，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．17．(本小题满分12分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次． （Ⅰ）写出所有基本事件；（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；19．(本小题满分12分)已知点2(-P ，)3-，圆C ：9)2()4(22=-+-y x ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ．（Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程； （Ⅱ）求直线AB 的方程．20．(本小题满分13分) 已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A ，B 两点．（Ⅰ）求弦AB 的长度；（Ⅱ）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标．21．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 2(，)3， Q 2(，)3-在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．附加题：本题满分10分．已知21A A 、是平面内两个定点，且()02||21>=c c A A ，若动点M 与21A A 、连线的斜率之积等于常数)0(≠m m ，求点M 的轨迹方程，并讨论轨迹形状与m 值的关系． 一、选择题：三、解答题： 16.30≤<a ；17．3．（I ）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），． 【解析】试题解析：（I ）所有基本事件：（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）共8种．（Ⅱ）记“三次摸到的球恰有两次颜色相同”为事件A ：则Ａ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），共６种，所以P(A)＝4386=； （Ⅲ）记“三次摸到的球至少有1个白球”为事件Ｂ：则Ｂ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白），共７种，所以P(Ｂ)＝87． 考点：列举法计算基本事件及事件发生的概率． 18．（1）03.0；（2）4.76；（3）7.0；19. 【答案】（1）()46121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-y x ；（2）02556=-+y x【解析】试题分析：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4, ∴|AB|=12||x x -=法二：解方程得：x=1或4，∴A 、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB|==(Ⅱ)设点2(,)4o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则d S △PAB =21·，∴2482o o y y --=． ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）． 考点：直线与椭圆的位置关系点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路21．（Ⅰ）2211612x y +=;（Ⅱ）①max S =②21． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，可知b =．由2221,2c a c b a ==+，即可求出求解a ，b ，进而求得标准方程．（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决．①设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t ，由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，可知当0=t ，max S ．②当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-，将其与椭圆方程联立整理得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= ，可得2143)32(82kkk x +-=+ 同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得228(23)234k k x k ++=+，2121222161248,3434k k x x x x k k --+=-=++，12121212()4AB y y k x x kk x x x x -+-==--，化简即可求得AB 的斜率为定值． 试题解析：解：(1）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x，则b =．由2221,2c a c b a ==+，得4a =∴椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=∴当0=t，max S =②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=- 由223(2)(1)1(2)1612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案学 校：曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a 、b 、c 是两两不等的实数，点(P b ，)b c +，点(Q a ，)c a +，则直线PQ 的倾斜角为（ ）A .30B .45C .60D .1352．第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如右图所示，则下列说法中正确的是（ ）A .甲、乙两人单场得分的最高分都是9分；B .甲、乙两人单场得分的中位数相同；C .甲运动员的得分更集中，发挥更稳定；D .乙运动员的得分更集中，发挥更稳定第2题3.用“除k 取余法”将十进制数259转化为五进制数是（ ）A ．(5)2012B ．(5)2013C ．(5)2014D ．(5)20154.已知圆M 的一般方程为22860x y x y +-+=，则下列说法中不正确．．．的是（ ） A .圆M 的圆心为(4,3)- B .圆M 被x 轴截得的弦长为8C .圆M 的半径为25D .圆M 被y 轴截得的弦长为65.如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（ ）A ．16B ．5634+C ．6D ．5617+6.已知变量x 与y 呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（ ）A .ˆ 1.314 1.520y x =-+B .ˆ 1.314 1.520yx =+C .ˆ 1.314 1.520yx =- D .ˆ 1.314 1.520yx =-- 7.下列说法中正确的是（ ）A .若事件A 与事件B 是互斥事件，则()()1P A P B +=； 第6题B .若事件A 与事件B 满足条件：()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与事件B 是 对立事件；C .一个人打靶时连续射击两次，则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件；D .把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.8.如果直线m 、n 与平面α、β、γ满足：n βγ=⋂，n ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有（ ）A .α∥β且αγ⊥B .αγ⊥且m n ⊥C .m ∥β且m n ⊥D .αγ⊥且m ∥β9.将一个棱长为4cm 的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm 的小正方体．从涂有红色面的小正．．．．．．．．方体．．中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于22cm 的概率是（ ） A .47 B .12 C .37 D .1710.已知二次函数2()(f x x mx n m =++、)n R ∈的两个零点分别在(0,1)与(1,2)内，则22(1)(2)m n ++-的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,5]D ．(2,5)第II 卷二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.12.在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上有一点M 到已知点(4,3,2)A 和点(2,5,4)B 的距离相等，则点M 的坐标是 .a 即为优，15题图17.已知圆1C ：22(cos )(sin )4x y αα+++=，圆2C ：22(5sin )(5cos )1x y ββ-+-=，,[0,2)αβπ∈，过圆1C 上任意一点M 作圆2C 的一条切线MN ，切点为N ，则||MN 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点． ⑴若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程； ⑵若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．19.（本小题满分13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．⑴学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？ ⑵根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？第19题20.（本小题满分13分）图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14.（1）从正方形ABCD 的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的2倍的概率；AEBCDM H（2求此长方体的体积.第20题21．（本小题满分13分）已知平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形，2AD AE BE ===， M 、H 分别是DE 、AB 的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD 时，左（侧）．⑴求证：MH ∥平面BCE ； ⑵求证：平面ADE ⊥平面BCE ．第21题22．（本小题满分14分）已知圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，且圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，过点(0,1)P -作直线l ． ⑴求圆M 的标准方程；⑵当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；⑶当直线l 与圆M 相交于A 、B 两点，且满足向量PA PB λ=，[2,)λ∈+∞时，求||AB 的取值范围．1－10： B D C C A B D B A DAE B CDM HPN11.15 12. (0,4,0)M 13.(2,)-+∞ 14. 3 15.135 16.3π17.18.⑴由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得32x y =⎧⎨=⎩即直线280x y +-=和210x y -+=的交于点(3,2)，所以直线l 经过点(3,2)，…………4分因为直线l 平行于直线3240x y -+=，可设直线l 的方程为320x y m -+=，则有33220m ⨯-⨯+=得5m =-，所以直线l 的方程为3250x y --=．…………8分⑵因为直线l 垂直于直线4370x y --=，可设直线l 的方程为340x y n ++=，则有33420n ⨯+⨯+=得17n =-，所以直线l 的方程为34170x y +-=．…………………12分 19.解：⑴40.02480.084120.094160.034200.03411.52x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以，走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟．………………6分段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB 和BC ， AB 和AC ，AB 和CD ， AB 和AD ，AB 和BD ，BC 和CD ，BC 和BD ，BC 和AC ，BC 和AD ，CD 和AC ，CD 和AD ， CD 和BD ，AD 和AC ，AD 和BD ，AC 和BD …3分其中事件M 包含8种结果：AB 和AC ，AB 和BD ，BC 和AC ，BC 和BD ，CD 和AC ，CD 和BD ，AD 和AC ， AD 和BD ……………………………………… 4分8()15P M =，因此，所求事件的概率为815………………………6分 （2）记事件N ：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内． 设长方体的高为h ，则图2中虚线围成的矩形长为22h +，宽为12h +，面积为(22)(12)h h ++ ……………9分长方体的平面展开图的面积为24h +；……………10分 由几何概型的概率公式知241()(22)(12)4h P N h h +==++，得3h =，…………12分所以长方体的体积是1133V =⨯⨯=. ……………13分 21.⑴证明：方法一、取CE 的中点N ，连接BN ， 因为CDE ∆中，M 、N 分别是DE 、CE 的中点，AEBCDFH所以MN ∥CD 且MN ＝12CD ；……………………1分 因为矩形ABCD 中，H 是AB 的中点，BH ∥CD 且BH ＝12CD ； 所以MN ∥BH 且MN ＝BH ，得平行四边形BHMN ，MH ∥BN ……2分 因为MH ⊄平面BCE ，BN ⊂平面BCE ，所以MH ∥平面BCE ；……4分 方法一、取AE 的中点P ，连接MP 、HP ，因为ABE ∆中，P 、H 分别是AE 、AB 的中点，所以HP ∥BE ，因为HP ⊄平面BCE ， BE ⊂平面BCE ，所以HP ∥平面BCE ；………1分 同理可证MP ∥平面BCE ；………………………………………………2分 因为MP ⋂HP ＝P ，所以平面MPH ∥平面BCE ；…………………3分 因为MH ⊂平面MPH ，所以MH ∥平面BCE ；……………………4分 ⑵证明：取CD 中点F ，连接EH 、EF 、FH ，则矩形ABCD 中，FH AB ⊥，2FH AD ==，………………5分 因为ABE ∆中2AE BE ==，所以EH AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，交线为AB ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH FH ⊥，所以Rt EFH ∆的面积等于几何体E ABCD-左（侧）视图的面积，得11222EH FH EH⨯=⨯=即EH =；…………………8分 所以ABE 中，22222222AH EH BH EH AE DE +=+===，AH BH ==AB =2228AE DE AB +==，AE BE ⊥；……………………10分因为平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥平面ABE ， 因为BE ⊂平面ABE ，所以AD BE ⊥；……………………11分 因为AD AE A ⋂=，所以BE ⊥平面ADE ；…………………12分因为BE ⊂平面BCE ，所以平面ADE ⊥平面BCE ． ……………………13分22．解：⑴因为圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，得知圆M 的圆心在x 的正半轴上； (1)分由圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，得知圆M 的圆心为(2，0)，半径为2．……2分 所以圆M 的标准方程为22(2)4x y -+=．………………4分⑵若直线l 的斜率存在，设l 的斜率为k ，则直线l 的方程为10kx y --=， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心M 到直线l 2=，解得34k =-，直线l 的方程：3440x y ++=；若直线l 的斜率不存在，由直线l 与圆M 相切得直线l 的方程： 0x =………………6分 所以，直线l 的方程为0x =或3440x y ++=．…………………8分⑶由直线l 与圆M 相交于A 、B 两点知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则直线l 的方程为10kx y --=，由22(2)410x y kx y ⎧-+=⎨-+=⎩得22(1)(24)10k x k x +-++=， 16120k ∆=+>即34k >-，122241k x x k ++=+，12211x x k ⋅=+， 由向量1122(,1)(,1)PA PB x y x y λλ=⇒+=+，得12x x λ=， 由122241k x x k ++=+，12211x x k ⋅=+，12x x λ=消去1x 、2x 得2222241()(1)11k k k λλ+⋅=+++， 即2243(1)1944212k k λλλλ+++⋅==++≥+，[2,)λ∈+∞，化简得243118k k +≥+．…11分||2AB ==≥=且||24AB R ≤=，即||4]2AB ∈． ………………………13分所以||AB 的取值范围是,4]2．…………………………14分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.如果b a >，那么下列不等式一定成立的是（ ）A ．c b c a +>+B ．b c a c ->-C ．b a 22->-D ．22b a > 2.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.不等式0)12)(1(≤+-x x 的解集为（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,4.已知ABC ∆中，2=a ,3:3sin :sin =B A ,则边b=（ ）A.3B.32C.33D.3 5.已知等差数列{n a }，满足398a a +=，则此数列的前11项的和11S =（ ）A ．44B ． 33C ．22D ．116.在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，若2sin b a B =，则A 等于（ ）A. 30︒或60︒B.45︒或60︒C. 60︒或120︒D.30︒或150︒ 7.,…,那么是数列的（ ）A .第12项B .第13项C ．第14项D ．第15项8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -89.数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则它的通项公式是（ ）A ．12+=n a nB ．n a n 2=C ．n a n 3=D ．22+=n a n10.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且25932a a a =，22=a ，则=1a （ ）A ．21 B ．22 C ．2D ．211.设,1,2m m m ++是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围（ ）A ．03m <<B ．13m <<C ．34m <<D ．46m <<12.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C ,在函数())0(1>+=x x x x f 的图象上.若点n B 的坐标()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，则=+++1032a a a （ ）A ．208 B.216 C.212 D.220二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为14.在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则角C = .15.在等比数列{}n a 中，若3339,22a S ==，则q = ． 16.对于)2,,,(≥∈n m N n m mn且可以按如下的方式进行“分解”,例如72的“分解”中最小的数是1,最大的数是13,若3m 的“分解”中最小的数是651,则m=_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明17（本题满分12分）设不等式2430x x -+<的解集为A ，不等式260x x +->的解集为B.求A∩B.18（本题满分12分）在△ＡＢＣ中，已知ｃ＝10，Ａ＝30°，Ｃ＝120°， （1）求a. （2）求△ＡＢＣ的面积.19（本题满分12分）在等比数列{n a }中，1625=a ，公比3=q ，前n 项和242=n S ，求首项1a 和项数n ．20(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为n S ，且66,2112==S a(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a )41(.求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .21（本题满分12分）如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60︒方向、港口B 北偏西30︒方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30︒的OA 方向以20海里/时的速度驶离港口O .一艘快船从港口B 出发，以60海里/时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？22（本题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.数学(文)试题答案 一．选择题：ABBBA DBCBC BB 二．填空题：13.23 14. 45o15.121或- 16.26 三．解答题：17【2，3】19.解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得12a =． …………9分将12a =代入②得2(13)24213n-=- ， 即 3243n=，解得 n ＝5． ………11分 ∴数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5． ………12分…3分20.解：(1)∵212=+=d a a ,662101111111=⨯+=d a S ,解得n a d a n =∴==,1,11 (2)∵41,)41(1=∴=-n n n n b b b ，∴{b n }是以411=b 为首项，41为公比的等比数列，前n 项和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn T 4113141141141 21. 解：设快艇驶离港口B 后，最少要经过x 小时，在OA 上点D 处与考察船相遇，连结CD ，则快艇沿线段BC 、CD 航行．在OBC ∆中，30BOC ∠=︒，60CBO ∠=︒， ∴90BCO ∠=︒.又120BO =， ∴60BC=，OC =∴快艇从港口B 到小岛C 需要1小时．……5分在OCD ∆中，30COD ∠=︒，20OD x =，60(2)CD x =-． 由余弦定理，得2222cos CD OD OC OD OC COD =+-⋅⋅∠.∴222260(2)(20)220cos30x x x -=+-⨯⨯︒. 解得3x =或38x=.∵1x >，∴3x =.……11分 答：快艇驶离港口B 后最少要经过3小时才能和考察船相遇．……12分22．【答案】解(1)由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13b q=,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=.设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =(舍去负根).35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈,64mn =,∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =所以,最大的3a =2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是A. A B < B. A B > C. A B = D.11A B< 2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 等于A ．30B ．60C ． 30或150 D.60或1203．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是 A ．2m ≤-或2m ≥ B. 22m -≤≤ C.2m <-或2m > D.22m -<<4．下列各函数中，最小值为2的是 A ．1y x x =+, 0x ≠且x R ∈ B ．sin 22sin x y x=+，(0,)x π∈ C．y =, x R ∈ D ．x x ye e -=+ , x R ∈5.等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为常数,则下列各数中恒为常数的是A ． 6SB ． 11SC ．12SD ． 18S6.已知变量,x y 满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为A ．2-B ．1-C ．2D ．7. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40° 的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮 在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向 是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里8.关于x 的不等式20x px q -+<的解集为(,)(0)a b a b <<，且,,2a b -这三个 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．99. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b ()a b <，其全程的平均时速为v ，则A.a v<<2a bv+<<v b<< D.2a bv+=10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为297，则这样的数列共有 A.2个B.3个 C.4个 D.5个第1页（共4页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 在等比数列{}n a中，4525a a==，，则128lg lg lga a a+++等于▲ .12. 已知ABC∆的等比数列，则其最大角的余弦值为▲ .13.设函数(1)()1(1)x xf xx>⎧=⎨-≤⎩，则不等式()2f xx x-≤的解集是▲ .14.要制作一个容积为34m，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是▲ (单位：元)．15.已知方程220x ax b++=(,)a Rb R∈∈，其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则31ba--的取值范围为▲ .16．平面内有()n n N*∈个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成()f n个区域，那么()f n=▲ .三、解答题：本大题共6小题，共76分。

安徽省合肥市六校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理(考试时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1. 直线l 的方程为222y x +=-，则（ ）A.直线l 过点(2,2)-，斜率为12 B. 直线l 过点(1,2)-，斜率为12C. 直线l 过点(1,2)-，斜率为2D. 直线l 过点(2,2)-，斜率为22.双曲线22145x y -=的离心率是（ ）A.52B. 32C. 2D.943. 已知定点)0,3(B ，点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ）A.22(1)1x y ++=B.22(2)4x y -+=C.22(1)1x y -+=D.22(2)4x y ++=4. 双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为 （ ）A.940x y -=B.490x y -=C.320x y +=D.230x y -= 5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ） A.862+ B.842+ C.482+ D.682+ 6. “12m =-”是“直线2(1)10m x y --+=与直线2(1)10x m y +--=互相垂直”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2C 的位置关系为（ ）A.相切B.内含C.外离D.相交8. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，球O 与圆锥的底面和侧面均相切，设球O 的体积为1V ，圆锥的体积为2V ，则12V V =（ ） A.18 B.38 C.14 D.8279.下列命题是真命题的是（ ）. A.“若>a b ,则22>a b ”的逆命题 B.“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定C. “若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题D. “若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()+f x g x 是R 上的奇函数”的逆否命题10.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ，与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =，则抛物线的准线方程为（ ） A.2y =- B. 1y =- C. 2x =- D.1x =-11.如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，,E F 分别在棱,AC AD 上，且BE AC ⊥于E ， BF AD ⊥于F ，则下列说法正确的有（ ）①ACD ∠是直角②BEF ∠是异面直线BE 与CD 所成角③CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角 ④BFE ∠是二面角B AD C --的平面角A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12．已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起，使点A 和C 重合于点P ，则三棱锥P EFD -的外接球表面积为（ ）A. 26πB. 13π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为： .14.离心率12e =，且过的椭圆的标准方程为 或 .15.已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -，若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+，则点M 的轨迹方程为 . 16.已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2019年安徽省合肥三中新高一入学分班考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-1是1的（ ）A ． 倒数B ．相反数C ．绝对值D ．立方根2.下列各式的运算正确的是（ ）A ．3a a a= B ．232a a a += C ．22(2)2a a -=- D ．326()a a = 3.已知//a b ，一块含30角的直角三角板如图所示放置，245∠=，则1∠=（ ）A ．0100 B ．135 C ．155 D ．1654.据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达6.8亿元，将6.8亿用科学记数法表示为（ ）A ．90.6810⨯B ．76810⨯ C. 86.810⨯ D ．96.810⨯5.积极行动起来，共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下：节水量（单位：吨） 0.51 1.52 家庭数（户） 234 1 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（ ）A ． 240吨B ． 360吨 C. 180吨 D ．200吨6.如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）A ． 5个B ．6个 C. 7个 D ．8个7.2015年某县GDP 总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP 总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP 总量的年平均增长率为（ ）A ．1.21%B ．8% C. 10% D ．12.1%8.已知ABC ∆的三边长分别为4,4,6，在ABC ∆所在平面内画一条直线，将ABC ∆分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条（ ）A ． 3B ．4 C. 5 D ．69.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则正比例函数()y b c x =+与反比例函数a b c y x -+=在同一坐标系中的大致图像是（ ）A ．B ．C. D ． 10.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=，点M 是AD 边的中点，连接MC ，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为（ ）A ．71+B ．71- C. 51+ D ．51-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.函数1y x =+的自变量x 的取值范围为 ．12.分解因式：22288x xy y -+-= ．13.如图，平行四边形ABCD 中，70B ∠=，6BC =，以AD 为直径的圆O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为 ．14.如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，E 为CD 边的中点，点,P Q 为BC 边上两个动点，且2PQ =，当四边形APQE 的周长最小时，BP = ．三、解答题 （本大题共2小题，共16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.计算：10112()(3)|14cos30|2π-+----.16.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(2,2)，请解答下列问题：（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆，并写出1A 的坐标.（2）画出ABC ∆绕点B 逆时针旋转90后得到的22A BC ∆，并写出2A 的坐标.（3）画出和22A BC ∆关于原点O 成中心对称的333A B C ∆，并写出3A 的坐标.四、（本大题共2小题，共16分.）17.小明和爸爸周末到湿地公园进行锻炼，两人上午9:00从公园入口出发，沿相同路线匀速运动，小明15分钟后到达目的地，此时爸爸离出发地的路程为1200米，小明到达目的地后立即按原路匀速返回，与爸爸相遇后，和爸爸一起从原路返回出发地.小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程与小明出发的时间的函数关系如图.（1）图中m = ，n = ；（2）求小明和爸爸相遇的时刻.18.观察下列等式：第一个等式：122211132222121a ==-+⨯+⨯++， 第二个等式：22222232111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++， 第三个等式：33332342111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++，第四个等式：44442452111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++， 按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：6a = = ；用含n 的代数式表示第n 个等式：n a = = ；（2）123456a a a a a a +++++= （得出最简结果）；（3）计算：12n a a a +++.五、（本大题共2小题，共20分.）19.如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座0.60BC =米，底座BC 与支架AC 所成的角75ACB ∠=，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离 1.35FD =米，篮板底部支架HE 与支架AF所成的角60FHE ∠=，求篮筐D 到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：0cos750.2588≈，0sin 750.9659≈，0tan 75 3.732≈，2 1.414≈，3 1.732≈）20.已知，四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，DE EC =，以AE 为直径的圆O 与边CD 相切于点D ，B 点在圆O 上，连接OB .（1）求证：DE OE =；（2）若//CD AB ，求证：四边形ABCD 是菱形.六、（本大题满分12分.）21.为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图.请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：（1）求出,,,a b x y 的值； （2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用：列表法或树状图求出小明、小敏同时被选中的概率.（注：五位同学请用,,,,A B C D E 表示，其中小明为A ，小敏为B ）七、（本大题满分12分.）22.如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=，//AD BC ，E 为AB 的中点，连接,CE BD ，过点E 作EF CE ⊥交AD 于点F ，连接CF ，已知2AD AB BC ==.（1）求证：CE BD =；（2）若4AB =，求AF 的长度；（3）求sin EFC ∠的值.八、（本大题满分12分.）23.某市某水产养殖户进行小龙虾销售，已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p （元/千克）与时间第t （天）之间的函数关系为： 116(140,)4146(4180,)2t t t p t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩为正数为整数，日销售量y （千克）与时间第t （天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y 与时间t 的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？m m 元给村里的特困户，在这（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠(7)前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.2019年安徽省合肥三中新高一入学分班考试试卷答案一、选择题1-5: BDDCA 6-10: ACBCB 二、填空题11. 1x ≥- 12. 22(2)x y -- 13.23π 14. 415.原式2112=--=16.（1）正确画出对称后的图形. 1(2,2)A -（2）正确画出旋转后的图形，2(4,0)A（3）正确画出成中心对称的图形，3(4,0)A -17.（1）由图像可以看出图中15m =，1200n =.（2）设：小明从返程到与爸爸相遇经过x 分钟.由图像可以得出爸爸与小明相遇前的速度是：12001580÷=（米/分） 小明返程的速度是：3000(4515)100÷-=（米/分） 801001800x x +=，∴10x =∴小明从出发到与爸爸相遇经过(1510)+分钟∴小明和爸爸相遇的时间是9:2518.（1）666221322(2)+⨯+⨯，67112121-++； 221322(2)n n n +⨯+⨯，1112121n n +-++； （2）1443（3）原式2231111111212121212121n n +=-+-++-++++++ 1112121n +=-++ 11223(21)n n ++-=+ 19.延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG FM ⊥于G ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB BC∠=，∴tan 750.60 3.732 2.2392AB BC =•=⨯=，∴ 2.2392GM AB ==， 在Rt AGF ∆中，∵60FAG FHD ∠=∠=，sin FG FAG AF ∠=， ∴3sin 60 2.52FG ==，∴ 2.165FG = ∴ 3.0542 3.05DM FG GM DF =+-≈≈答：篮筐D 到地面的距离是3.05米.20.（1）如图，连接OD ，∵CD 是圆O 的切线，∴OD CD ⊥，∴23190COD ∠+∠=∠+∠=，∵DE EC =，∴12∠=∠，∴3COD ∠=∠，∴DE OE =（2）∵OD OE =，∴OD DE OE ==，∴360COD DEO ∠=∠=∠=，∴2130∠=∠=∵OA OB OE ==，OE DE EC ==，∴OA OB DE EC ===∵//AB CD ，∴41∠=∠，∴12430OBA ∠=∠=∠=∠=∴ABO CDE ∆≅∆，∴AB CD =∴四边形ABCD 是平行四边形，∴1302DAE DOE ∠=∠= ∴1DAE ∠=∠，∴CD AD =，∴四边形ABCD 是菱形.21.（1）90.1850.500.084÷=⨯=，所以509204215a =----=，2500.04b =÷=，1550100.03x =÷÷=， 0.04100.004y =÷=（2）小王的测试成绩在7080x ≤<范围内（3）画树状图为：（五位同学用,,,,A B C D E 表示，其中小明为A ，小敏为B ）共有20种等可能的结果数，其中小明、小敏同时被选中的结果数为2， 所以小明、小敏同时被选中的概率212010==. 22.（1）∵E 为AB 的中点，∴2AB BE =，∵2AB AD =，∴BE AD = ∵90A ∠=，//AD BC ，∴90ABC ∠=在ABD ∆与BCE ∆中，AB BC =，A ABC ∠=∠，AD BE = ∴ABD BCE ∆≅∆，∴CE BD =（2）∵4AB =，∴2AE BE ==，4BC =，∵FE CE ⊥∴90FEC ∠=，∴90AEF AFE AEF BEC ∠+∠=∠+∠=， ∴AFE BEC ∠=∠∴AEF BCE ∆∆，∴AF AE BE BC =，∴1AF = （3）∵AEF BCE ∆∆，∴AF AE BE BC =，∴12AF AE = 设AF k =，则2AE BE k ==，4BC k =， ∴225EF AE AF k =+=，2225CE BE BC k =+= ∴225CF EF CE k =+=，∴25sin CE EFC CF ∠== 23.（1）设解析式为y kt b =+，将(1,198)，(80,40)代入，得： 1988040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴2200y t =-+（180t ≤≤，t 为整数） （2）设日销售利润为w ，则(6)w p y =-当140t ≤≤时，211(166)(2200)(30)245042w t t t =+--+=--+ ∴当30t =时，w 最大2450当4180t ≤≤时，21(466)(2200)(90)1002w t t t =-+--+=-- ∴当41t =时，w 最大为2301，∵24502301>∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元（3）设日销售利润为w ，根据题意，得 211(166)(2200)(302)200020042w t m t t m t m =+---+=-+++- 其函数图像的对称轴为230t m =+∵w 随t 的增大而增大，且140t ≤≤∴由二次函数的图像及其性质可知，23040m +≥，解得5m ≥ 又7m <，∴57m ≤<.。

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β；④若α，β不垂直，则不存在m⊂α，使m⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．设a∈R，则“a＝2”是“直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充他条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．5．若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A．8πB．16πC．D．6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．B．C．D．7．如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆x2+y2﹣2x ﹣3＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6）B．[4，6] C．（2，4）D．[2，4]8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为（）A．B．6C．D．39．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x10．正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A．B．C．D．11．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直12．已知双曲线（a，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线y2＝4x交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，着cos∠AFB＝﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为．14．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，E，F分别是PB，PC的中点，设异面直线AE与BF 所成角的大小为α，则cosα＝．15．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．如图，平面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，P为α内的动点，且P 到直线CD的距离为，则cos∠APB的最小值为．三、解答题17．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为，且与椭圆x2+4y2＝64有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．18．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点，截直线y＝5所得弦长为，直线l：ax+y+2a＝0．（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，△ABC的面积最大．20．如图所示，在五棱锥E﹣ABCDF中，侧面AEF⊥底面ABC，△AEF是边长为2的正三角形，四边形ABDF为正方形，BC⊥CD，且BC＝CD，G是△AEF的重心，O是正方形ABDF的中心．（Ⅰ）求证：OG∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．22．已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1（﹣2，0），A2（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β；④若α，β不垂直，则不存在m⊂α，使m⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故①错误；②若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β，故③正确；④若α，β不垂直，由面面垂直的判定可知，不存在m⊂α，使m⊥β，故④正确．∴其中正确的命题有2个．故选：B．2．设a∈R，则“a＝2”是“直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充他条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交的充分条件是，即a≠1，由于a＝2是a≠1的充分不必要条件，故选：A．3．一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或解：由题意可知：点（﹣2，﹣3）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+3＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3＝0．由相切的性质可得：＝1，化为：12k2﹣25k+12＝0，解得k＝或．故选：D．4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R），所以＝＜1，当m＝0时，．故，整理得．故选：C．5．若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A．8πB．16πC．D．解：由题意作出图象如右图，则OA＝R，AE⊥BC，OD⊥面ABC，AB＝BC＝AC＝AA1＝2，则AE＝，OD＝1，AD＝＝，R2＝OA2＝AD2+OD2＝（）2+12＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π•＝，故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．B．C．D．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝2，BE＝2，AG＝EF＝1．∴该几何体的体积V＝．故选：C．7．如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆x2+y2﹣2x ﹣3＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6）B．[4，6] C．（2，4）D．[2，4]解：由题意知抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y0），B（x2，y0），则|AF|＝x1+1．由，消去y整理得x2+2x﹣3＝0，解得x＝1，∵B在图中圆（x﹣1）2+y2＝4的实线部分上运动，∴1＜x2＜3．∴△FAB的周长为|AF|+|FB|+|BA|＝（x1+1）+2+（x2﹣x1）＝x2+3∈（4，6）．故选：A．8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为（）A．B．6C．D．3解：设E，F，G，分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则由题意可得，则平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形PEQFRG，又正六边形的边长QE＝＝，所以平面α被此正方体所截得截面图形的周长为6，故选：B．9．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴＝求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．10．正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A．B．C．D．解：正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O 对称，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱锥的体积（4个体积相等），其中每个小锥体积为．所以公共部分的体积为4×．故选：B．11．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直解：∵A′D＝A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2＝（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．12．已知双曲线（a，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线y2＝4x交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，着cos∠AFB＝﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线（a，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，由抛物线y2＝4x和y＝x，联立可得A（，），B（，﹣），由抛物线的方程可得F（1，0），设AF的倾斜角为α，斜率为tanα＝，而cos∠AFB＝cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝﹣，解得tanα＝2（负的舍去），设t＝，可得＝2，解得t＝，则e＝＝＝．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为4x﹣3y+5＝0 ．解：在直线l′上任取一点（x，y），此点关于直线x+y＝0的对称点（﹣y，﹣x）在直线l：3x﹣4y+5＝0上，∴3（﹣y）﹣4（﹣x）+5＝0，即4x﹣3y+5＝0，故答案为：4x﹣3y+5＝0．14．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，E，F分别是PB，PC的中点，设异面直线AE与BF 所成角的大小为α，则cosα＝．解：过P向底面ABCD作垂线，垂足为O，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝，则OA＝OB＝1，∵PA＝AB，∴PO＝1，∴A（1，0，0），B（0，1，0），E（0，，），F（﹣，0，）∴＝（﹣1，，），＝（，﹣1，）∴cos＜，＞＝＝＝﹣∵异面直线AE与BF所成角为锐角，∴cosα＝﹣cos＜，＞＝故答案为15．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 2 ．解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝，则d1+d2＝+a2+1＝，当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为216．如图，平面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，P为α内的动点，且P 到直线CD的距离为，则cos∠APB的最小值为．解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，b＝，a＝＝2，则c＝1，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，故为60°．故cos∠APB的最小值为cos60°＝；故答案为三、解答题（共6题，第17题10分，其余各题每题12分）17．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为，且与椭圆x2+4y2＝64有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．解：（1）椭圆方程可化为，焦点坐标为，故可设双曲线的方程为（a，b＞0），其渐近线方程为，则，又c2＝a2+b2＝48，所以可得a2＝36，b2＝12，所以所求双曲线的标准方程为；（2）由题意可设所求双曲线方程为，因为点在双曲线上，∴，解得，所以所求双曲线的标准方程为．18．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB＝2BC，∠ABC＝60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos60°＝3BC2，∴AC2+BC2＝4BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，FB∩BC＝B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB＝CD．设BC＝1，所以，．所以，．设平面EAC的法向量为＝（x，y，z），则，所以取z＝1，得＝（0，2，1）．假设线段ED上存在点Q，设，所以．设平面QBC的法向量为＝（a，b，c），则所以取c＝1，得＝．要使平面EAC⊥平面QBC，只需，即，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点，截直线y＝5所得弦长为，直线l：ax+y+2a＝0．（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，△ABC的面积最大．解：（1）设圆C的方程为：x2+（y﹣b）2＝r2，把代入得3+（3﹣b）2＝r2，…………………………①又∵圆C截直线y＝5所得弦长为∴（b﹣5）2+3＝r2…………………………②联立①②解得b＝4，r＝2∴圆C方程为：x2+（y﹣4）2＝4；（2）圆心C到直线l：ax+y+2a＝0的距离，∴，由，此时即时等号成立，解得a＝﹣7或a＝﹣1故a＝﹣7或a＝﹣1时，△ABC的面积最大．20．如图所示，在五棱锥E﹣ABCDF中，侧面AEF⊥底面ABC，△AEF是边长为2的正三角形，四边形ABDF为正方形，BC⊥CD，且BC＝CD，G是△AEF的重心，O是正方形ABDF的中心．（Ⅰ）求证：OG∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】解析：（Ⅰ）取AF中点M，BD中点N，连接MN，CN，易知C，N，O，M四点共线．由BC⊥CD，且BC＝CD，可知△BCD为等腰直角三角形，所以．因为O是正方形ABDF的中心，所以OM＝ON．所以CN＝NO＝MO，所以．又G是△AEF的重心，所以．所以，故OG∥CE．又因为EC⊂平面BCE，OG⊄平面BCE．所以OG∥平面BCE．（Ⅱ）：因为M为中点，△AEF是正三角形，所以ME⊥AF．因为侧面AEF⊥底面ABC，且交线为AF，所以ME⊥底面ABC．所以直线ME，MA，MC两两垂直．如图，以M为原点，以方向为x轴正方向，以方向为y轴正方向，以方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，2，0），．所以，，．设平面ABE的法向量为，则令z1＝1，则．设平面AED的法向量为，则，令z2＝1，则．所以．故二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．解：（Ⅰ）易得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，﹣1），设点P（x1，y1），则，所以又⊙M的面积为，∴，解得x1＝1，∴，∴PA所在直线方程为或（Ⅱ）因为直线AF1的方程为x+y+1＝0，且到直线AF1的距离为化简得y1＝﹣1﹣2x1，联立方程组，解得x1＝0或∴当x1＝0时，可得，∴⊙M的方程为；当时，可得，∴⊙M的方程为（Ⅲ）⊙M始终和以原点为圆心，半径为r1＝（长半轴）的圆（记作⊙O）相切证明：因为＝，又⊙M的半径r2＝MF2＝，∴OM＝r1﹣r2，∴⊙M和⊙O相内切．22．已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1（﹣2，0），A2（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解：（1）设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），∵a＝2，e＝，∴c＝，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（2）取m＝0，得P（1，），Q（1，﹣），直线A1P的方程是y＝，直线A2Q的方程是，交点为S1（4，）．若P（1，﹣），Q（1，），由对称性可知S2（4，﹣），若点S在同一条直线上，则直线只能为l：x＝4．以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：x＝4上，事实上，由，得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，记A1P与l交于点S0（4，y0），由，得，设A2Q与l交于点S′0（4，y′0），由，得，∵＝＝＝，∴y0＝y′0，即S0与S′0重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x＝4上．。

2019-2020学年安徽省示范中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|log 2A x x =<，{|2}B x x =<，则A B =( )A ．{|2}x x <B ．{|4}x x <C ．|02}x x 〈<<D ．{}|04x x <<【答案】C【解析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】因为{}2|log 2{|04}A x x x x =<=<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<.选C. 【点睛】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算． 2．在等比数列{}n a 中，24681,4a a a a +=+=，则2a =( ) A ．2 B ．4 C ．12D ．13【答案】D【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为()42468241,4a a a a a a q +=+=+=，解得22q =.因为()224211a a a q +=+=，所以213a =.选D. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于20的概率为( ) A ．14B ．516C ．12D ．1116【答案】B【解析】这个两位数不大于20，①若十位为1，个位可以从0，2，3，4中选择一个，故包含4个基本事件，②若十位为2，则个位必须为0．数出所有基本事件个数，和基本事件总数即可求概率．【详解】从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成的两位数有10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40，41,42,43，共16个，其中不大于20的有10,12,13,14,20，共5个，故所求概率516P =.选B. 【点睛】本题考查了古典概型的概率，计数原理，解题时要注意不要漏掉20．本题属于基础题．4．设,x y 满足约束条件304203260x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩………，则34z x y =-+的最小值是( ) A ．12- B ．10-C ．8-D ．6-【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为斜截式直线方程，数形结合得到优解，代入目标函数得答案． 【详解】 作出可行域，当直线34z x y =-+经过点()20，时，z 取最小值-6. 故选D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 5．已知平面向量,a b 满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意求得cos θ的值，可得θ的值． 【详解】因为2a b a b +=+，所以222a b a b +=-，即2222442a a b b a a b b +⋅+=+⋅-，因为113a b==，所以32a b⋅=-，记a与b的夹角为θ，则1 cos2a ba bθ⋅==-，解得23πθ=，即a与b的夹角为23π.故选C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n=( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1S=2，n=2满足条件S＜30，执行循环体，S=2+4=6，n=3满足条件S＜30，执行循环体，S=6+8=14，n=4满足条件S＜30，执行循环体，S=14+16=30，n=5此时，不满足条件S＜30，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6b =，6A π=，若该三角形有两解，则a 的取值范围是( )A ．（3,6）B ．（0,3）C ．()32,6D ．()32,+∞【答案】A【解析】利用正弦定理列出关系式，将a b sinA ，，的值代入表示出sinB ，根据B 的度数确定出B 的范围，要使三角形有两解确定出B 的具体范围，利用正弦函数的值域求出x 的范围即可． 【详解】解：∵在△ABC 中, 6,6b A π==，∴由正弦定理得16sin 32sin b A B a a a⨯===， ∵6A π=，∴506B π<<， 要使三角形有两解，得到：566B ππ<<，且2B π≠，即1sin 12B <<∴1312a<< 解得：36a <<， 故选：A ． 【点睛】此题考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．8．如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是( )A ．87,9.6B ．85,9.6C ．87,5,6D ．85,5.6【答案】D【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为82，84，84，86，89，由此能求出所剩数据的平均数和方差． 【详解】 平均数8284848689855x ++++==，方差()()()()()22222282858485848586858985 5.65s -+-+-+-+-==，选D.【点睛】本题考查所剩数据的平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．边长为m 的正方形内有一个半径为2m n n ⎛⎫<⎪⎝⎭的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为34，则圆周率π的值为( ) A ．34m nB ．2234m nC ．34n mD ．2234n m【答案】B【解析】由几何概型中的面积型概率的求法，求出圆周率π的值即可得解． 【详解】由几何概型可知2234n m π=，则2234m n π=.选B. 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属基础题． 10．已知,αβ为锐角，45tan ,cos()313a αβ=+=-，则()cos αβ-=( ) A ．253325B ．323325C ．253325- D ．323325-【答案】B【解析】直接利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果． 【详解】因为α为锐角，4tan 3α=所以43sin ,cos 55αα==，所以247sin2,cos22525αα==-.因为,αβ为锐角.且()5cos 13αβ-=-，所以()12sin 13αβ+=，则()()()()35288323cos cos 2cos2cos sin2sin 325325325αβααβααβααβ⎡⎤-=-+=⋅++⋅-=-=⎣⎦.选B. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．已知函数()2log f x x =，当0m n <<时，()()f m f n =，若()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则nm =( )A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可得22log log m n -=，从而化得1mn =；从而可得2222()log 2log 2f m m m ==-=，从而解得． 【详解】因为()2log f x x =，且当0m n <<时，()()f m f n =，所以1mn =，且1n >，01m <<，所以2m m <， 则()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()22222log log 2f mmm ==-=，解得12m =， 所以2n =，故4nm=.选D. 【点睛】本题考查了对数函数的应用，属于基础题．12．已知向量222sin 2222a αα⎛=- ⎭，cos ,2b m α⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的[]1,1m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是（ ）A ．()572,21212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．()7132,21212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．()52,21212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()72,21212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用数量积运算可将不等式化简为2sin cos 2m αα+>，根据恒成立条件可得不等式组2sin cos 2sin cos 2αααα⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，利用三角函数知识分别求解两个不等式，取交集得到结果. 【详解】22222sincos2cos 1sin cos 222222m m a b ααααα⎛⎫⋅=+-=+ ⎪⎝⎭12a b ⋅>s i n c o s m αα∴+>当[]1,1m ∈-时，2sin cos 2m αα+>恒成立，则2sin cos 22sin cos 2αααα⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩当2sin cos 2αα+>2242πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 1s i n 42πα⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭522646k k ππππαπ∴+<+<+，k Z ∈，解得：7221212k k πππαπ-<<+，k Z ∈当2sin cos 2αα->2242πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 1s i n 42πα⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭522646k k ππππαπ∴+<-<+，k Z ∈，解得：513221212k k πππαπ+<<+，k Z ∈∴2sin cos 2m αα+>在[]1,1m ∈-时恒成立可得：()572,21212k k k Z ππαππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：A 【点睛】本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，关键是能够根据数量积将恒成立不等式转化为两个三角不等式的求解问题，利用辅助角公式将问题转化为根据正弦型函数的值域求解角的范围的问题.二、填空题13．一组数据从小到大排列，依次为2,3,4,,9,10x ，若它们的中位数与平均数相等，则x =______. 【答案】8【解析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x 的方程，解方程得到x 的值. 【详解】因为数据2,3,4，x ，9,10的中位数与平均数相等，所以423491026x x ++++++=，解得8x =. 【点睛】主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题． 14．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，,43B C ππ==,32c =，则a =______.3【解析】由已知利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，进而根据正弦定理可求a 的值． 【详解】因为,,3243B C c ππ===232sin 23sin 3c Bb C===因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以12cos cos 23323322a b C c B =+=-=. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．若函数()32cos 21,,33f x x x x ππ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______.【答案】(3,2]--【解析】化简函数解析式为()2sin(2)16f x x π=-- ，可求范围52,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由题意方程2sin(2)16x m π--=在,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，作出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围．【详解】()cos212sin 216f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()f x 的图象，可得32m -<≤-. 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若376,28S S ==，则14nn a a S ++的最大值是______. 【答案】17【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ．由36S =,728S =,1336a d +=,1767282a d ⨯+=,联立解得：1,a d ,可得4,n n a S +,利用基本不等式的性质即可得出．【详解】因为36S =，728S =，所以11336,72128a d a d +=+=， 解得11a =，1d =，则()+1,2n n n n a n S ==，故()()()()()1421++1++4+5+4+52n n n a a nn n S n n +==，令*1,t n t N =+∈，()()142212+3+4+7n n a a t S t t t t++==+，当12+t t取最小值时，14+n n a a S +的最大，所以当3t =或4t =， 即2n =或3时，14n n a a S ++有最大值17. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[],t t -上单调递增，求t 的最大值. 【答案】（1）2π；（2）4π. 【解析】（1）由题意可得()f x 的图象关于直线4x π=对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据()f x在[-t ，t ]上单调递增，可得42t ππ-+≥-，且42t ππ+≤，由此解得t 的最大值．【详解】（1）因为()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以()442k k Z πππωπ⨯+=+∈，解得()14k k Z ω=+∈，又因为02ω<<，所以1ω=， 则()f x 的最小正周期22T ππω==.（2）因为()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 因为()f x 在[],t t -上单调递增，所以434t t t t ππ⎧⎪⎪⎪--⎨⎪>-⎪⎪⎩……，解得04t π<≤.故t 的最大值为4π. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题． 18．在等差数列{}n a 中，()*1363n n a a n n +=-+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若211243n n b a +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）3n a n =；（2）2235164832n nn n +++. 【解析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，以及恒等式的性质，可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）11182n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再由数列的裂项相消求和，可得所求和． 【详解】（1）因为()*1363n n a a n n N +=-+∈，所以213233,39aa a a =-=-，所以2133a a =-，3239a a =-因为{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，所以()111918233a a a --=-， 解得123,6a a ==，则数列{}n a 的公差313d a a ===， 故()113n a a n d n =+-=.（2）因为3n a n =，所以()131n a n +=+.因为211243n n b a +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()21111114282414n b n n n n n ⎛⎫==⨯=- ⎪++⎝⎭+-， 所以111111111111183243546112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即111118212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭2235164832n n n n +=++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和恒等式的性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题． 19．某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案： 方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元． （1）分别写出两种方案中推销员的月工资y （单位：元）与月销售产品件数x 的函数关系式；（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率．【答案】（1）3500,300,305500,300,x x y x x x ≤∈⎧=⎨->∈⎩N N；（2）方案一概率为16,方案二概率为38.【解析】（1）利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资y 与x 的关系式；（2）分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概率值． 【详解】解：（1）方案一：152000y x =+，x ∈N ；方案二：月工资为3500,300,30(300)3500,300,x x Ny x x x N∈⎧=⎨-+>∈⎩…, 所以3500,300,305500,300,x x y x x x ≤∈⎧=⎨->∈⎩NN .（2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则152********x +>，解得606x >， 所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为41249546P ==++++；方案二中推销员的月工资超过11090元，则30(300)350011090x -+>，解得553x >， 所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为543249548P +==++++．【点睛】本题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．20．已知△ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin (2)cos 02a B c b A π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若ABC ∆3a 取最小值时，求BC 边上的高. 【答案】（1）3π；（23【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C 不为0求出cos A 的值，即可确定出A 的度数．(2)三角形的面积公可求4bc =，由余弦定理,基本等式可求24a bc ≥=，当且仅2a b c ===时等号成立，当a 取小值时，设BC 边上高为h ，利用三角面公式即可求解． 【详解】（1）因为()sin 2cos 02a B c b A π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以cos 2cos cos 0a B c A b A -+-=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，()sin 2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =.在ABC ∆中，sin 0C ≠，故1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）因为△ABC 31sin 323bc π=4bc =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以22222224116162442442a c c c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯=+-⋅= ⎪⎝⎭…，当且仅当2216c c=，即2c =时取等号，此时a 的值为2. 所以当a 取最小值时，BC 边上的高为22332ABCSa==【点睛】此题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦弦定和余弦定理的应用，三形面积公式的应．熟练握相关公式理是解本题的关键，属于中档题． 21．函数2()(1)mx f x m n x n =>>+，满足()11f -=-，且()f x 在()0,∞+23. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,2)(2,3]x ∈-⋃时，()24()32tf x x x +-…恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()243xf x x =+；（2）[3,)+∞. 【解析】（1）利用基本不等式求最值，解出m ，n ，得到函数的解析式． （2）将恒成立问题转化为求最值问题，从而求出参数取值范围. 【详解】（1）因为()11f -=-，所以11mn-=-+，即1m n =+.①当0x >时，()2mx m f x n x n x x==++…，因为()f x 在()0,∞+232332n=，② 联立①②，且1m n >>，解得4m =，3n =. 故()243xf x x =+. （2）因为当[)(]1,22,3x ∈-⋃时，()()243|2|tf x x x +-…恒成立， 所以2t x x ≥-在[)(]1,22,3x ∈-⋃上恒成立. 令()222,2322,12x x x g x x x x x x ⎧-<=-=⎨-+-<⎩……. 由()g x 的图象可知，()g x 在（-1,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，在（2,3）上单调递增. 因为()11g =，()33g =，所以()()max 33g x g ==， 故()max 3t g x ≥=， 故t 的取值范围为[)3,+∞. 【点睛】本题考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力． 22．数列{}n a 中，11a =，12310n n a a n ++++=，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 是等比数列. （2）若2100m ≤≤，*m N ∈，且1122n m n m b m b b m b ++-+=-+，求m n +的值.【答案】（1）见解析（2）9或35或133【解析】（1）分别写出1n b +和n b ，做商，再用12310n n a a n ++++=表示出1n a +，代入1n nb b +即可得q ，由11a =可得1b ，得证；（2）由（1）得数列{}n b 的通项公式，代入1122n m n m b m b b m b ++-+=-+并整理，根据2100m ≤≤即得m+n 的值。

安徽省示范高中高二开学考试数学考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修1占15%，必修3占25%，必修4占20%，必修5 占40%。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{log 2},{2}A x x B x x =<=<，则AB =A.{2}x x <B.{4}x x <C.{02}x x << D {04}x x << 2.在等比数列{a n }中，a 2＋a 4＝1，a 6＋a 8＝4，则a 2＝ A.2 B.4 C.12 D.133.从数字0、1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于20的概率为 A.14 B.516 C.12 D.11164.设x 、y 满足约束条件304203260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则：z ＝－3x ＋4y 的最小值是A.－12B.－10C.－8D.－65. 已知平面向量a 、b 满足113a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为 A.6π B.3πC.23πD.56π6.执行如图所示的程序框图，则输出的n ＝A.3B.4C.5D.67.在△ABC 中。

角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知b ＝6，A ＝6π，若该三角形有两解，则a 的取值范围是A.(3，6)B.(0，3)C.(32，6)D.(32，＋∞)8.如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩(满分100分)的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是A.87，9.6B.85，9.6C.87，5.6D.85，5.6 9.边长为m 的正方形内有一个半径为n(n<2m)的圆。