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一、点、直线、平面的投影1.1 点的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第24～24页习题1.2 直线的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第25～27页习题1.3 平面的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第28～29页习题1.4 直线与平面、平面与平面相对关系∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第30～32页习题1234题号：题号：56789101112131415题号：161718192021题号：2223242526272829303132333435363738391.5 换面法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第33～35页习题1.6 旋转法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第36～36页习题1.7 投影变换综合题∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第37～37页习题点、直线、平面的投影题号：404142434445464748495051题号：525354555657题号：58596061621. 已知A、B、C三点的直观图，画出它们的投影图，并将各点的坐标值填入表中。
2. 已知A、B、C各点对投影面的距离，画出它们的三面投影图和直观图。
3. 已知点Ａ的坐标（40，15，0），画出其三面投影并作出点Ｂ和点Ｃ的三面投影。
（a）点B ——在点Ａ右面20mm，前面15mm，上面20mm；（b）点C ——在点Ａ左面10mm，后面15mm，上面15mm。
第一部分点与直线一、已知各点的空间位置，画出其投影图（尺寸由立体图量取，并取整）。
知识点：点的投影规律1、1、点的投影规律（一般点、投影轴上点、投影面内点）——高平齐（Z）；长对正（X）；宽相等（Y）（相对原点）。
2、2、立体图的画法（轴向测量；轴向平行作图法——各线都分别平行于轴线）3、3、答案见下图：二、已知点的一个投影和下列条件，求其余两个投影。
（1）（1） A点与V面的距离为20mm。
（2） B点在A点的左方10mm。
知识点：1、点的投影规律（一般点、投影轴上点、投影面内点）——高平齐（Z）；长对正（X）；宽相等（Y）（相对原点）。
2、立体图的画法（轴向测量；轴向平行作图法——各线都分别平行于轴线）3、答案见下图：三、已知点A（35、20、20），B（15、0、25），求作它们的投影图。
答案见下图：四、已知各点的两个投影，求作出第三投影。
答案见下图：五、判断下列各点的相对位置。
知识点：点的相对位置（X—大左小右；Y—大前小后；Z—大上小下）；坐标的量取。
答案见下图：六、已知点B在点A的左方10mm，下方15mm，前方10mm；点C在点D的正前方10mm，作出点B和点C的三面投影。
答案见下图：七、已知A点（10，10，15）；点B距离投投影面W、V、H分别为20、15、5；点C在点A左方10，前方10，上方5，作出A、B、C的三面投影。
答案见下图：距离相等，点B的三个坐标值有什么关系，作出点B的各投影。
知识点：1、点的投影规律:高平齐（Z ）；长对正（X ）；宽相等（Y ）（相对原点）——点到H 、V 、W 面的距离分别为：Z 、Y 、X 。
2、若点B 到H 、V 、W 面的距离相等，则：Z b =Y b =X b 。
2、答案见下图：九、判断下列各直线对投影面的相对位置，并画出三面投影。
答案见下图：个解）。
答案见下图：十一、求线段AB的实长及其与H、V面的倾角α、β知识点：直角三角形法求直线的倾角及线段实长。
第1章 点、直线、平面的投影在生产实际中，设计和制造部门普遍使用图样来表达物体。
工程图样是利用投影的方法获得的。
本章介绍投影的一些基本知识以及点、直线、平面的投影规律和作图方法。
1.1投影法的基本知识由光的投射成影这一物理现象，人们创造了用投影来表达物体形状的方法——投影法。
由国家标准（GB/T16948）定义：投射线经过物体，向选定的面投射，在该面上得到图形的方法称为投影法。
从图1-1可知，投射线、被投射物和投影平面是进行投射时不可缺少的条件，称投影三要素。
在表示投影的图样中，空间几何元素用大写字母（斜体）表示，而投影用同名小写字母表示。
P图1-1投影三要素 图1-2中心投影法1.1.1中心投影法投射线都从投射中心出发的投影法称为中心投影法。
如图1-2所示，通过投射中心S 作出△ABC 在投影面P 上的投影：投射线SA 、SB 、SC 分别与投影面交于a 、b 、c ，直线ab 、bc 、ca 分别是直线AB 、BC 、CA 的投影，而△ABC 的投影就是△abc 。
中心投影法主要用于建筑物或产品的立体图。
以中心投影法为依据所作的投影称透视投影。
由于透视投影所画的图形符合于视觉印象，空间立体感强，形象生动逼真，所以广泛用于科学、艺术和工程技术等领域。
用透视投影所画得的图形，也称透视图。
1.1.2平行投影法若投射中心S 移到无穷远处，投射线相互平行，称平行投影法，所得投影称平行投影。
平行投影法又分正投影法和斜投影法：投射方向（即投射线的方向）垂直于投影面的是正投影法，如图1-3（a ），投射方向倾斜于投影面的是斜投影法，如图1-3（b ）。
由于正投影图的作图较其他图视法简便，又便于度量，在工程上得到广泛应用，机械图样主要是用正投影法绘制。
为叙述简单，今后将“正投影”简称“投影”。
（a ）正投影法（b ）斜投影法图1-3平行投影法平行投影有下述若干投影特性：（1）实形性：与投影面平行的物体，如平面、直线，投射后所得投影反映该物体的实形，如图1-4（a ）所示；（2）积聚性：与投射线平行的平面或直线，投射后所得投影积聚为直线或点，如图1-4（b ）所示；（3）从属性：直线上的点或平面上的点和线，投射后所得投影仍在直线或平面的投影上，如图1-4（c ）所示；（4）等比性：点分线段所成的比例，投影后不变，如图1-4（d ）所示，ac :cb =AC :CB 。
(d)等比性(c)从属性 (b )积聚性(a)实形性图1-4平行投影特性1.1.3投影体系如图1-5所示，由空间点A 向平面P 作正投射，得惟一的投影a 。
反之，若已知点B 的投影b ，就不能惟一确定点B 的空间位置。
换句话说，一个投影无法描述一个物体。
因此，常把几何形体放在相互垂直的两个或三个投影面之间，并在这些投影面上形成多面投影。
如图1-6（a ）所示，设立相互垂直的正立投影面V （简称正面）和水平投影面H ，组成两投影面体系，将空间划分为四个角：第一角、第二角、第三角和第四角，V 面和H 面交于投影轴（两投影面的交线）OX 。
如图1-6（b ）所示，再设立一个与V 面、H 面都垂直的侧立投影面W （简称侧面），组成三投影面体系，将空间划分为八个角，每两个投影面的交线，形成OX 、OY 和OZ 三根投影轴，且互相垂直。
无论是两面体系、三面体系，本书着重讲述第一角中的几何形体的投影。
(b)三投影面体系(a)两投影面体系图1-5点的一个投影图1-6投影体系1.2点的投影1.2.1点的两面投影和三面投影1．点的两面投影如图1-7（a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa′、Aa，分别与V面、H 面交得点A的正面投影（V面投影）a′和水平投影（H面投影）a。
为区分空间点和投影点，我们规定：空间点用大写（斜体）字母表示，如A、B、C……，H面上的投影点用小写字母表示，如a、b、c……，V面上的投影点用小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′……。
由于平面Aa′a分别垂直于H面、V面，则平面Aa′a⊥OX轴并交于a x点，因此a′a x⊥OX，aa x⊥OX。
又因四边形Aaa x a′是矩形，所以a x a′=aA，反映点A到面H的距离；a x a=a′A，反映点A到V面的距离。
V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，与V面展成一个平面，如图1-7（b）所示。
展开后，a′a形成一条投影连线（交OX轴于a x点），且a′a垂直于OX轴。
在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x，图1-7（c）即为点A的投影图。
(c)点的投影图（b）投影面展开后（a）直观图a Xa′VaO Oa′X X图1-7点在两面体系中的投影由此可概括出点的两面投影特性：（1） 点的投影连线垂直于投影轴，即a′a ⊥OX ；（2） 点的投影与投影轴的距离，反映点与投影面的距离，即a x a ′反映点到H 面的距离，a x a 反映点到V 面的距离。
已知一点的两面投影，就可惟一地确定该点的空间位置。
读者自行想象：若将图1-7（c ），中OX 轴以下的H 面自前向上抬起90°，由a 作H 面的垂线，由a ′ 作V 面的垂线,两垂线的交点，即空间点A 的惟一位置。
2．点的三面投影三面体系第一角如图1-8所示，其展开的方法是V 面不动，H 面绕OX 轴自前向下，W 面绕OZ 轴自前向右各转90°后与V 面重合，OY 轴则分为H 面上的OY H 和W 面上的OY W ，如图1-8（b ）。
XOY HZY W（a ）直观图（b ）投影图（b)点的投影图（a)直观图OX Y H aa ′ a ″ Y W图1-8三面体系第一角 图1-9点的三面投影如图1-9（a ）所示，由空间点A 分别作垂直于V 面、H 面、W 面的投射线，交得点A 的正面投影a ′、水平投影a 和侧面投影a ″（W 面投影，规定用小写字母加两撇表示）。
与两面体系中一样，每两条投射线确定一个平面，分别垂直投影轴。
展开后就得如图1-9（b ）所示的投影图，且a ′a ⊥OX ，a ′a ″⊥OZ ，aa Y H ⊥OY H ，a ″a Y w ⊥OY W ，Oa Y H =Oa Y W 。
为保证a ″ 点的作图准确，即保证Oa Y H =Oa Y W ，可过O 点作一45°斜线，aa Y H 和a ″a Y w 的延长线必与该斜线交于一点，由此定出a ″(或a )。
由上分析，得出点的三面投影特性：（1）点的投影连线垂直于相应的投影轴，即a ′a ⊥OX ，a ′a ″⊥OZ ，aa ″⊥OY （投影图中表现为aa Y H ⊥OY H ，a ″a Y w ⊥OY W ）；（2) 点的投影与投影轴的距离，反映点与投影面的距离，即a ′a x （或a ″a Y w ）反映点到H 面的距离，aa x （或a ″a Z ）反映点到V 面的距离,aa Y H （或a ′a Z ）反映点到W 面的距离。
利用点的两投影，就可求得第三个投影。
1.2.2点的投影与该点直角坐标的关系如图1-10所示，若将三面体系看做直角坐标系，则投影轴、投影面、点O 分别是坐标轴、坐标面、原点。
点A （x A ,y A ,z A ）的投影与该点的坐标有下述关系：X 坐标x A （即Oa x ）=a z a ′=a Y H a =点A 到W 面距离a ″A ；Y 坐标y A （即Oa Y H =Oa Y W ）=a X a =a Z a ″=点A 到V 面距离a ′A ； Z 坐标z A （即Oa Z ）=a X a ′=a Y W a ″=点A 到H 面距离aA 。
点的一个投影可以反映空间点的两个坐标，因此，当空间点A 由坐标（x ，y ，z ）给定后，就可作出点A 的三个投影；反之，亦然。
(b)投影图(a)直观图H Wb'b' d' d"b dOY HX(b)点的投影图(a)直观图Zc"Y W图1-10点的投影与该点直角坐标的对应关系 图1-11投影面和投影轴上的点图1-11是位于V 面、H 面和OX 轴上的三点B 、C 、D 的直观图和投影图，由图可看出其坐标和投影具有下述特征：（1）投影面上的点有一个坐标为零，在该投影面上的投影与其空间点重合，其他两投影分别在相应的投影轴上（如点B 点C ）。
（2）投影轴上的点有两个坐标为零，在该轴上有两个投影与其空间点重合，其余的一个投影落在原点O 上（如点D ）。
【例】已知点A 的坐标为（15，10，20），点B 的坐标为（20，0，10），点C 的坐标为（0，15，0），分别求A 、B 、C 三点的投影图。
〖解〗步骤如下：(1) 画两条互相垂直的细实线作为投影轴，标上相应的字母，再作一条成45°的细实线为作图辅助线；(2) 从原点出发，沿OX 轴向左量取15mm 得一点，定为a X ，过该点作OX 轴的垂线（如图1-12（a ）所示）；(3) 在该垂线上，从a X 出发向上量取20mm 得一点，定为a ′，向下量取10mm 得一点，定为a （如图1-12（b ）所示）； (4) 由点A 的两投影（a ，a ′），用“二求三”的方法作图即可得点A 的第三投影a ″（如图1-12（c ）所示）。
B 、C两点的作图过程与点A 类似，见图1-12（d ）。
(d)(c) (a)(b)W Wa'a"b" b' b aXOY H c' c图1-12由给定的点的坐标值求点的投影图1.2.3两点的相对位置及重影点空间两点的相对位置是指它们的左右、前后及上下之间的关系，一般由X 、Y 、Z 三个方向上的坐标差来判断。
如图1-13所示，因为x A >x B ，y A <y B ，z A <z B ，所以点A 在点B 的左、后、下方。
它们之间在这三个方向上的坐标差，即为这两点对投影面W 、V 、H 的距离差。
若已知两点的相对位置及其中一个点的投影，就能作出另一个点的投影。
需要注意的是：对水平投影而言沿OY H 轴移动代表向前，而对侧面投影而言，沿OY W 轴移动也代表向前。
(a)直观图(b)投影图W图1-13两点相对位置当空间两点位于某一投影面的一条投射线上，则此两点在该面的投影必重合，称之为该投影面的重影点，如图1-14。
从相对位置分析，点C 在点A 之后y A -y C 处，因为x A =x C ，z A =z C ，所以点C 与点A 无左右距离差和上下距离差，点C 在点A 的正后方，正面投影相重合，点A 和点C 称为对正面的重影点。
(b)投影图(a)直观图c"Za'(c')Xc aY H Y Wa"图1-14重影点对V 面、H 面、W 面的重影点的可见性判断，分别应是前遮后、上遮下、左遮右。
