导学,自主解决
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问题导学解决方案介绍在学习过程中,我们经常会遇到各种问题和困难。
有时候我们可能会感到迷茫,不知道该如何解决问题,或者不清楚从哪里入手。
问题导学是一种帮助我们解决问题和学习的方法。
本文将介绍问题导学的概念,并提供一些解决问题的方案。
什么是问题导学问题导学是一种学习方法,通过提出问题引导学生主动思考和解决问题。
问题导学的目的是培养学生的问题意识、思维能力和创新能力。
在问题导学中,教师不再是简单地传授知识,而是扮演着问题引导者和学习资源提供者的角色。
学生可以通过自主探究和独立思考,积极主动地解决问题。
问题导学的步骤问题导学通常包括以下几个步骤:1.提出问题:教师提出一个问题,激发学生的思考和好奇心。
2.分析问题:学生分析问题的背景、相关知识和可能的解决方案。
3.收集信息:学生收集关于问题的信息,可以通过阅读书籍、查找互联网、采访专家等方式获取信息。
4.创造性思考:学生运用已有的知识和信息进行创造性地思考,尝试解决问题。
5.讨论和合作:学生可以与同学一起讨论问题,分享自己的思考和解决方法,进行合作学习。
6.撰写总结:学生将自己的思考和解决方案进行总结,可以通过撰写论文、报告或者展示等方式分享成果。
问题导学的优势问题导学具有以下几个优势:1.激发学生的学习兴趣:通过提出问题,可以激发学生的好奇心和求知欲,使学习变得更加有趣和有动力。
2.培养综合能力:问题导学注重培养学生的问题意识、分析能力和创新能力,促进学生的全面发展。
3.培养自主学习能力:问题导学鼓励学生主动思考和解决问题,培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
4.提高学习效果:问题导学可以使学生更加深入地理解和掌握知识,提高学习效果和学习成果的可持续性。
解决问题的关键技巧在问题导学中,解决问题的关键技巧是非常重要的。
以下是一些解决问题的关键技巧:1.引领性问题:提出引领性问题,激发学生的思考和探索欲望。
2.批判性思维:培养学生的批判性思维,鼓励学生质疑和思考问题的根本原因和解决方法。
孩子如何自主解决学习问题在孩子的学习过程中,遇到问题是不可避免的。
如何让孩子学会自主解决学习问题,是每个家长和教育者都面临的挑战。
下面将从培养自主解决问题能力的重要性、提升孩子自主解决问题能力的方法以及家长如何引导孩子自主解决学习问题等方面展开讨论。
培养自主解决问题能力的重要性培养孩子自主解决问题的能力对其未来发展至关重要。
首先,自主解决问题的能力是培养孩子独立思考和创造力的重要途径。
通过自主解决问题,孩子可以培养批判性思维和创新意识,从而更好地适应未来社会的发展需求。
其次,自主解决问题的能力有助于提升孩子的学习动机和学习效果。
当孩子能够独立解决问题时,他们会更加积极主动地参与学习,提高学习效率和成就感。
最后,培养孩子自主解决问题的能力有助于塑造其积极向上的人生态度和心理素质,使其更好地应对生活中的各种挑战和困难。
提升孩子自主解决问题能力的方法1. 培养批判性思维批判性思维是指对信息进行分析、评估和推理的能力。
家长可以通过鼓励孩子提出问题、质疑现象、寻找证据等方式培养孩子的批判性思维能力。
例如,在日常生活中,可以引导孩子提出“为什么”、“怎么样”等问题,帮助他们形成独立思考的习惯。
2. 培养解决问题的方法教导孩子掌握一些解决问题的方法和技巧也是提升其自主解决问题能力的有效途径。
比如,教导孩子如何分类整理信息、制定解决问题的步骤、寻找相关资料等。
这些方法和技巧可以帮助孩子更加有条理地思考和解决问题。
3. 鼓励尝试和失败在孩子尝试解决问题的过程中,可能会遇到困难和失败。
家长应该给予足够的支持和鼓励,让孩子敢于尝试、勇于面对失败,并从中吸取经验教训。
只有在不断实践中,孩子才能逐渐提升自主解决问题的能力。
家长如何引导孩子自主解决学习问题1. 创设良好学习环境家长可以为孩子营造一个良好的学习环境,包括安静整洁的学习空间、丰富多样的学习资源等。
一个良好的学习环境有利于激发孩子学习兴趣,提高学习效率。
2. 给予适当支持在孩子遇到学习困难时,家长可以给予适当支持,比如提供必要的指导、鼓励和帮助。
对“六步导学”的认识我们学校在学习新理念、总结新教法的基础上,大胆创新总结出“六步导学”,以此来打造我校的高效课堂。
所谓“六步导学”就是在教学上采取问题导学、自主学习、互动探究、探究展示、评价归纳、深化拓展的六步教学法。
所谓问题导学就是教师在新授课之前营造氛围;把本节课所要学的知识以问题的形式提出来,引导学生去自主学习,互动探究就是在课堂上,让学生以自主学习解决不了的问题,同学之间互相研究互相商量以自学的形式初步完成教学内容;探究展示就是学生在小组内或全班内将所学知识进行展示,突出特色,张扬个性的过程;评价归纳就是让学生对本节知识进行归纳小结;深化拓展就是教师或学生对难点或疑难进行点拨,解答大家疑问的过程。
我将具体做法总结为如下:一、自主探究,温故知新,发现问题,独立思考,通过这一环节培养学生发现问题的能力。
爱因斯坦说过:“学习就是培养学生发现问题的能力,学生发现问题越多,就说明他的学习能力越强。
”我们在课前指导学生依据自主探究中的问题预习课文,温故而知新。
使学生将所学知识设计成学习的蓝本,依据知识的难易程度,由浅入深,循序渐进,强化练习。
让学生在练习中巩固新知,发现问题,独立思考,将解决不了的问题带进课堂,现在小组内解决,为互动探究奠定了基础。
二、科学分组,互动探究,大胆展示,彰显个性,让高效课堂成为学生张扬个性的精彩舞台。
课堂应鼓励学生自主探究,鼓励学生自己发现问题,探索解决问题的方法。
“应指导学生具体深入地思考知识之间的联系与区别,鼓励他们运用自己的想象力和思维能力,对知识的结构、进行解剖分析。
”这样,让学生去感知知识的发生,发展,形成。
三、传授科学的学习方法,指导学生学会学习。
俗话说:“授之以鱼,不若授之以渔”。
教师告诉学生“是什么”,学生照单全收,但不知其“为什么”,告诉学生“为什么”,学生可以有所领悟,但最重要的从“是什么”到“为什么”的思维过程却给忽略了。
坚持让学生自主学习,哪怕学生的自得自悟的能力还不够全面、深刻,但对提高其解决问题的能力是有着不可估量的意义。
如何培养孩子的自主学习与解决问题能力孩子的自主学习能力和解决问题能力是培养孩子终身发展的重要素质之一。
在现代社会中,知识的获取与处理能力是个人成功的关键。
因此,如何培养孩子的自主学习与解决问题能力成为家长和教育者们共同关注的话题。
本文将从培养兴趣和创设学习环境、激发思考和独立思维、提倡实践和积极行动三个方面来探讨如何培养孩子的自主学习与解决问题能力。
一、培养兴趣和创设学习环境兴趣是学习的最好老师,因此,培养孩子的兴趣至关重要。
首先,家长和教育者应该了解孩子的兴趣和特长,尊重孩子的选择,并积极创建相关的学习环境。
比如,如果孩子对科学有浓厚的兴趣,可以带孩子参观科学展览,或者一起进行简单的科学实验,激发孩子的学习热情。
其次,家长和教育者应该提供丰富多样的学习资源,包括图书、音像资料、互联网等,让孩子有更多选择和发挥空间。
最重要的是,在学习过程中,要给予孩子充分的自主权和决策权,让他们可以根据自己的兴趣和需要进行学习。
二、激发思考和独立思维要培养孩子的自主学习与解决问题能力,就要激发他们的思考和独立思维能力。
首先,家长和教育者应该鼓励孩子提出问题,并引导他们从多个角度思考问题。
可以通过讨论、提问等方式,激发孩子的思维,培养他们的批判性思维能力。
其次,家长和教育者不应该过分提供答案,而是要引导孩子自己去寻找解决问题的方法。
通过让孩子亲自动手、思考解决问题的步骤和方法,培养他们的解决问题的能力。
最后,家长和教育者要尊重孩子的想法和观点,不要轻易地给予批评或否定,而是要鼓励他们表达和思考,培养他们的自信心和自主性。
三、提倡实践和积极行动培养孩子的自主学习与解决问题能力需要在实践中进行。
首先,家长和教育者要鼓励孩子在学习过程中进行实践。
比如,在学习历史知识时,可以组织孩子进行一次历史考察或者实地考察,让他们亲自感受历史的魅力。
其次,家长和教育者要鼓励孩子积极参与社会实践活动,例如志愿者活动、社区服务等,让孩子从实践中学习、成长,并锻炼他们的解决问题的能力。
谈张思明的“导学探索,自主解决”教学模式【摘要】张思明是一位教育学家,提出了“导学探索,自主解决”教学模式。
这一模式注重学生自主学习和解决问题能力的培养,强调引导和探索。
张思明认为,学生应该在老师的引导下,自主地学习和解决问题,培养自己的思维能力和创新能力。
具体实践方法包括提出问题、寻找资料、分析研究等。
这种教学模式的优点在于激发学生的学习兴趣,培养他们的自主学习能力和解决问题能力,适用范围广泛。
张思明的教学模式给我们启示,教师应该注重培养学生的自主学习能力和解决问题能力,引导他们进行独立思考,促进其全面发展。
通过“导学探索,自主解决”教学模式,学生可以更好地学习和成长。
【关键词】张思明,导学探索,自主解决,教学模式,理解,核心理念,具体实践方法,优点,适用范围,启示,总结1. 引言1.1 介绍张思明张思明,清华大学教育学院的教授,是教育领域的一位知名学者。
他在教学实践中倡导并实践了“导学探索,自主解决”教学模式,受到了广泛关注和赞赏。
张思明教授擅长注重培养学生自主学习和问题解决能力,提倡引导学生独立思考和主动探究,而非简单地灌输知识。
他认为,教师应该扮演引导者和启发者的角色,让学生在学习中自觉地发现问题、解决问题,从而真正地理解和掌握知识。
张思明教授长期从事教育教学研究,深谙教学理论和实践经验。
在教学过程中,他积极倡导学生利用各种资源和工具进行学习,注重培养学生的动手实践和团队合作能力。
他的教学风格深受学生和同行的喜爱,被誉为“教育界的明星”。
张思明教授不仅在教学上有着卓越的贡献,还在教育改革和创新方面有着独到的见解和实践经验。
他的“导学探索,自主解决”教学模式不仅在国内受到广泛推崇,也在国际教育领域产生了积极的影响。
他的教学理念和实践经验为广大教育工作者提供了宝贵的参考和借鉴。
1.2 概述“导学探索,自主解决”教学模式张思明是一位教育领域的专家,他提出了一种创新的教学模式——“导学探索,自主解决”。
幼儿园教学反思如何引导幼儿培养自主学习和解决问题意识教育的目标是培养学生健全的人格,促进其全面发展。
幼儿园作为教育的起点,扮演着非常重要的角色。
在幼儿园阶段,引导幼儿培养自主学习和解决问题意识是一项挑战性的任务。
本文将从课堂设计和教师角色两方面探讨如何引导幼儿培养自主学习和解决问题意识。
I. 课堂设计1. 创设情境在课堂上,教师可以创设各种情境,激发幼儿的学习兴趣。
例如,在学习形状的课程中,教师可以提供五颜六色的制作纸、剪刀和胶水,引导幼儿根据自己的想象力制作不同形状的物品。
这样的情境可以激发幼儿的创造力和解决问题的能力。
2. 提供资源为了培养幼儿的自主学习,教师可以提供丰富的资源,使幼儿能够独立探索和解决问题。
例如,在学习动物的课程中,教师可以提供图书、图片和玩具等多种资源,让幼儿自主选择学习的内容,并通过观察和互动来了解动物的特征和习性。
3. 引导提问教师应该充分利用提问来引导幼儿思考和解决问题。
合适的提问可以促进幼儿的思维发展,培养其解决问题的能力。
例如,在学习水的性质的课程中,教师可以问:“为什么水可以变成冰和蒸汽?”,引导幼儿思考和探索水的不同状态及其原因。
II. 教师角色1. 观察和记录教师应该认真观察幼儿在学习中的表现,并及时记录下他们的思考和解决问题的过程。
这样可以帮助教师及时反馈和指导幼儿的学习,同时也为幼儿自我评估和反思提供依据。
2. 提供指导尽管要鼓励幼儿自主学习和解决问题,但合适的指导也是必要的。
教师应该根据幼儿的能力和发展水平,提供适当的引导和支持。
例如,在幼儿绘画活动中,教师可以鼓励幼儿表达自己的想法,并提供绘画技巧和素材的建议。
3. 培养合作意识教师应该鼓励幼儿之间的合作学习,培养他们合作解决问题的能力。
例如,在团队游戏中,教师可以引导幼儿相互协作,共同解决问题,从而培养他们的合作精神和解决问题意识。
总结:通过课堂设计和教师角色的合理安排,可以有效引导幼儿培养自主学习和解决问题意识。
帮助孩子树立自主解决问题的意识在孩子的成长过程中,培养他们独立解决问题的能力是非常重要的。
自主解决问题的意识不仅可以帮助孩子更好地适应社会生活,还可以提升他们的自信心和解决实际问题的能力。
本文将探讨如何帮助孩子树立自主解决问题的意识,从而促进他们全面发展。
1. 培养孩子的思维能力要帮助孩子树立自主解决问题的意识,首先需要培养他们的思维能力。
思维能力是孩子解决问题的基础,包括逻辑思维、创造性思维、批判性思维等。
家长可以通过启发性问题、思维导图、逻辑推理游戏等方式,激发孩子的思维潜能,让他们学会分析问题、提出解决方案。
2. 培养孩子的独立性独立性是培养孩子自主解决问题意识的重要环节。
家长可以在日常生活中给予孩子适当的独立空间和责任,让他们学会自己处理一些小问题,如整理书包、洗碗等。
通过这些小事情,培养孩子的独立性和解决问题的信心,让他们逐渐习惯独立思考和行动。
3. 鼓励孩子勇于尝试在孩子尝试解决问题的过程中,可能会遇到困难和挫折。
家长应该给予孩子足够的支持和鼓励,让他们勇于尝试、不怕失败。
失败并不可怕,关键是从失败中吸取经验教训,不断总结经验,提升解决问题的能力。
4. 培养孩子的合作精神在现实生活中,很多问题需要通过团队合作来解决。
因此,培养孩子的合作精神也是非常重要的。
家长可以组织一些团队活动或者小组讨论,让孩子学会倾听他人意见、协商解决问题,在与他人合作中提升自己的解决问题能力。
5. 激发孩子对知识的热爱知识是解决问题的基础,激发孩子对知识的热爱可以帮助他们更好地理解和解决问题。
家长可以通过引导孩子阅读、参加科普活动、探索自然等方式,激发他们对知识的好奇心和求知欲,从而提升解决问题的能力。
结语在当今社会,培养孩子自主解决问题的意识已经成为教育的重要任务之一。
家长应该注重引导和培养孩子独立思考、勇于尝试、合作共赢的品质,让他们在成长过程中逐渐具备解决各种问题的能力,为未来做好准备。
希望每个家庭都能够关注并重视这一点,共同努力培养出更加独立自信、具有创造力和实践能力的下一代!。
构建教师导学与学生自主求知平衡的初中数学课堂发布时间:2021-07-30T14:50:02.853Z 来源:《中国教师》2021年第4月第10期作者:胡明盛[导读] 新时代的教育对教师与学生的地位有着不一样的定义胡明盛广东省开平市第六中学529300摘要:新时代的教育对教师与学生的地位有着不一样的定义,教师与学生应当是互相平等的,教与学二者应当是平等的。
在课堂中教师与学生之间的平等才能够更好的营造民主、和谐的教学氛围,优化人才培养的基本条件。
新时代、新内容、新要求,教师应当革新教学理念,完善教学措施,实现数学课堂的平衡。
关键词:教师导学与学生;求知平衡;数学课堂引言:在未来的社会中,不认识汉字的人不是由于外界的客观因素,不是他没有学习的机会,而是不会阅读书籍;在未来的社会中,不懂得科学知识的人,是那种不善于对事物进行探究的人;未来的弱者也不是没有智慧,而是缺乏相应的合作意识。
教师开展对学生的教育,理应当让学生学会读书,懂得探究,并且有着良好的合作意识,这是教师教书育人的根本目标。
但是在新时代,教师的任务有了新的要求,需要根据自己的教学经验,总结出一套适应时代发展的教学策略,让自己的数学导学能与学生的自主求知达到一定的平衡性。
一、教师导学的作用(一)引导学生学习在信息时代,知识不断的涌入社会,实现了知识的不断爆炸。
在信息社会,教师应当正确的发挥对学生的导学作用,让素质教育能够不断的深入开展,把学生未来发展的潜在基础提到重要位置。
教师开展教学的过程也是对学生进行引领的过程,学生在教师的引导下学习数学知识,掌握基本学习技巧。
这也要求着教师必须对学生起到一个良好的引领作用,能激发学生的学习欲望,勾起学生的好奇心,让学生主动的学习。
(二)培养学生智能教师开展对学生的导学,其中最重要的意义就是能培养学生的智能。
德国的一位著名教育家曾经说过,教育的根本目标不仅仅是教书育人,更重要的是在教授学生基础知识的过程中,能够让学生的大脑潜力得以充分挖掘,从而能够灵活的运用理论知识,提升其自身的分析、判断能力。
导学自主四环八步教学模式感悟
在教育教学领域,教育方式和教学方法一直在不断地改变和更新。
其中,导学自主四环八步教学模式是一种很受欢迎的教学方法。
通过这种教学方式,学生们可以更加自主地学习,达到更好的教育效果。
导学是这种教学模式的核心。
导学是指老师引导学生自主学习,通过提出问题等方式,让学生自己去发现和解决问题。
这种方式可以让学生更加主动地学习,同时也可以更好地激发学生的学习兴趣和积极性。
自主学习是这种教学模式的重要组成部分。
自主学习是指学生自己主动地去学习,通过自己的思考和探究,去发现和解决问题。
这种方式可以让学生更加深入地理解知识,并且可以更好地发挥学生的学习潜能。
然后,四环八步是这种教学模式的基本流程。
四环八步包括了问题导入、信息导入、自主探究、交流展示、总结反思、巩固拓展、评价反馈和实践应用八个步骤。
这些步骤可以很好地引导学生进行自主学习,并且可以帮助学生更好地掌握知识。
这种教学模式的优势是显而易见的。
首先,它可以更好地激发学生的学习兴趣和积极性,让学生更加主动地去学习。
其次,它可以更
好地发挥学生的学习潜能,让学生更加深入地理解知识。
导学自主四环八步教学模式是一种很受欢迎的教学方法。
通过这种教学方式,学生们可以更加自主地学习,达到更好的教育效果。
同时,这种教学模式也可以更好地激发学生的学习兴趣和积极性,让学生更加深入地理解知识,并且可以更好地培养学生的综合能力。
因此,教师们应该积极地采用这种教学方式,让学生们更加积极地投入到学习中。
导学探索,自主解决
数学教育历来有重视基础知识、基本方法,重视教师的主导作用的优秀传统。
但学生自主学习、探索、创造的能力和个性发展却不够。
因此新课标的纲要中明确提出要转变学生的学习方式,使学生在老师指导下主动参与,乐于探索,勤于动手,善于思考。
旨在学生在学习过程中主体参与,激发和培养学生的创新意识和创新精神。
对教法的探研成为我们教育者的当务之急,只有建构起与之相适应的教学模式,才能转化为有效的教学实践。
我们在教学实践中已初步形成了以“引导创设问题情境—师生平等探索讨论—学生自主解决问题—求异探新形成周转”为基本程序的教学模式。
“导学探索,自主解决”的教学模式对于教师和学生来说,都是一个学数学、用数学的过程。
特别对于教师来说,它的主旨应是通过这个过程让学生在发现问题、探索求解的实践活动中学习数学。
教师的“导”体现在为学生创设一个好的问题情境,激发学生的探索欲望,最终由学生“自主解决”面临的问题,并使获取的知识成为继续发现问题、获取新知识的起点和手段,形成新的问题情境和学习过程的循环。
一、“导学探索,自主解决”教学模式的特点
1.它是一种开放的教学模式。
它集中体现了发现法、引疑法等诸多教学模式的共同优点。
教师的主导作用和学生的主体作用在教学过程中得到了有机的结合。
教师的主导作用体现在创设好的问题情境,激发学生自主探索解决问题的积极性和创造性上,学生的主
体作用体现在问题的探索、发现、解决的深度和方法上。
2.它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。
教师从培养学生能力的目标出发组织教学,知识不再是由教师“批发”而来的“货物”,教师不应只是“演讲者”,课堂的主活动是学生自主的自学、探索、解决问题。
教师应平等地参与学生的探索、解决问题等学习活动。
教师在课堂上不仅演示正确的开始,也表现失误的开端和“拨乱反正”的思维技能;提出一些求解的建议,提供可参考的信息,但不代替学生做出决断;故作不知,问原因、找漏洞,让学生弄清楚、说明白;评判学生工作及成果的价值、意义、优劣,鼓励学生的有创造性的想法和做法,把教与学融为一体。
3.它是由他律向自律方向发展的教学模式。
学生的自习能力,探索精神、解决实际问题的能力的形成需要一个过程,而这个过程正是把教师的外部控制变成学生的自我控制的过程。
“导学”是为学生提供一种学习的“模本”,而学生自己学会学习、掌握学习的方法,才有“可持续发展”的可能,这才是“导学”的最终目标。
二、“导学探索,自主解决”教学模式的实施过程
我们在数学教学实践中结合学生的特点,总结出了如下的教学
模式:引导与问题的设置;探究讨论后或分解或化解;自主解决问题;自我评价练习小结;求异探新延伸。
这种模式实施的要点是:
1.设置问题或构建问题情境。
根据教学内容常常可以采用以下的方式设置问题:让学生通过自学课本提出、发现问题;根据学生在作业中出现的错误设置问题;根据学生在学习、讨论、研究中的发
现引出问题,有时教师也可让学生根据学习任务或待研究的课题,
自己设计或通过网络设计相应的问题。
2.通过探索讨论,形成猜想或分解成有目标的“小任务”。
对设置的问题通过类比、实验、对比、观察、联想、归纳、化归,形成更数学化、更抽象的问题,或者形成引人探索、有希望成立的猜想,或者分解成更小、更具体、更可操作、更熟悉、更清晰地表现出递进层次的问题。
3.激励学生自主解决问题。
引导学生用学过的知识自己解决问题,特别鼓励学生的独创性。
解决问题的方式可以是“各自为战”,也可以搞“分组分群”,还可以“你一言,我一语地群起而攻之”。
遇“迷路”的学生,不要马上给方向,而是给“指南针”,让学生自己试着定向。
对“走错”的学生,也不要马上否定,要尽可能多地肯定学生思维的合理成分。
争取给更多学生参与的机会,使他们感受到成功的体验。
4.引导评价,及时总结巩固成果。
引导学生对2,3中探索、发现和问题解决的过程与成果进行自我评价,自我总结。
比如,探索发现得是否充分?问题解决得是否有效、彻底、简洁?得到的方法和结果有何意义,有何应用价值?对于学生的评价或小结,教师还可以让学生作“评价”的评价,也可以让学生设计一些练习来巩固学习成果。
5.求异探新,把问题的探索、发现和解决的过程延续到课外和后继课程。
例如:设a,b,c为△abc的三条边,
求证:a2+b2+c20或a-b-c∴a(a-b-c)c,b+c>a,c+a>b的关系,瞄准所证不等式中有a2,b2,c2及ab,bc,ca的乘积,则将
a+b>c,b+c>a,c+a>b式的两边分别乘以c,a,b,从而使条件与结论相互统一。
(从a+b>c,b+c>a,c+a>b着手+不等式的性质) 解:由a,b,c>0,a+b>c b+c>ac+a>b c(a+b)>c2
a(b+c)>a2b(c+a)>b2相加得:2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2,∴
a2+b2+c2c,b+c>a,c+a>b条件,通过用平方差公式分解因式,降次后可证。
(求差+配方+分解因式+“a+b>c,b+c>a,c+a>b”) 解:∵
a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ca)-a2-b2-c2 =(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(a2+c2-2+ca)- a2-b2-c2
=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-a2-b2-c2
=(a-b)2-c2+(b-c)2-a2+(c-a)2-b2
=(a-b-c)(a-b+c)+(c-a-b)(c-a+b)+(c-a-b)(c-a+b)
由a+b>c,b+c>a,c+a>b得:
a-b-c0,c-a-b0,c-a-b0
∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)a,c+a>b两边平方却无法得到结论,应将它进行等价的变形,注意不等式平方的条件,两边须为正数。
(不等式两边平方)
解:不妨设a≥b≥c,又由三角形性质
0(b-a)2+(b-c)2+(a-c)2<c2+a2+b2 a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)。
探究5:所证结论a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)的形式,与余弦定理相
近,因此设想从余弦定理出发,但多了cosa,cosb,cosc,可抓住cosa ≤1,cosb≤1,cosc≤1,从而巧妙地完成了证明。
(余弦定理+放缩法)
解:在三角形中,由余弦定理得:
b2+c2-a2=2bccosaa2+c2-b2=2accosba2+b2-c2=2abcosc 相加得:
a2+b2+c2=2abcosc+2bccosa+2cacosb<2(ab+bc+ca)
∴a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).
通过以上探究性学习过程,使学生达到:获得亲身参与研究探索的体验和获得成功的快乐;培养提出问题、解决问题、收集、分析和利用信息的能力,培养科学研究的志趣、态度和社会使命感,充分调动学生的创新意识和创新精神。
也只有不断加强研究力度,转变教学理念,调整教法才能更好地搞好数学研究性学习,收到良好的教学效果,达到新课标改革的真正目的。