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海涅定理的六种形式及其证明海涅定理，又称为多功能定理，是初中数学中的重要定理，其主要用途是求出一个被拆成若干小份的整数的和。
其六种形式及证明如下：第一种形式：若a,b,m,n为任意整数，且 m,n 均为正整数且（a,m)=(b,n)=1 ，则有：ab ≡ (a mod n)×(b mod n) mod n证明：由于(a,m)=1,所以存在整数x,y，使得ax+my=1。
同理，由于(b,n)=1，所以存在整数u,v,使得bu+nv=1。
考虑下面的式子：ab mod n = [(ax+my)×(bu+nv)]×ab mod n由于模运算具有可加性，因此可将上式拆成：ab mod n = [(ax×bu+ax×nv+my×bu+my×nv)]×ab mod n因为模运算下，a,b,m,n 之间相互独立，所以：ab mod n = [(ax mod n)×(bu mod n)]+[(ax modn)×(n×v)]+[(m×y)×(bu mod n)]+[(m×y)×n×v)] mod n 观察上式，因为(a,m)=(b,n)=1，因此每个含有 n 的部分都为0，所以上式变成：ab mod n = [(ax mod n)×(bu mod n)] mod n通过类似的方式，可以证明a×b ≡ (a mod m)×(b mod m) mod m第二种形式：若a 和 n 为任意正整数，m 为任意非负整数，则有：(a+b) mod n = [(a mod n)+(b mod n)] mod n证明：根据a+b的定义，我们有：(a+b) mod n = [(a+b)-n×[(a+b)÷n]] mod n推导中注意，对于整个表达式，两边同时 mod n，然后利用模运算可加可减性。
海涅定理六种形式简单写海涅定理是一种数学定理，也被称为“海涅-博尔定理”，它是一个关于有限域上多项式的重要结果。
这个定理在许多应用中都非常有用，包括在编码理论、密码学、数字信号处理和计算机科学等领域。
在本文中，我们将介绍海涅定理的六种形式，并简单地讨论它们的应用。
形式一：海涅定理海涅定理的最基本形式如下：设F是一个有限域，p是F上的一个不可约多项式，f(x)是F上的一个n次多项式，则f(x)在F[x]/p[x]中的每个零点的重数之和都等于n。
这个定理的证明是基于有限域上多项式除法的事实，它表明在有限域上多项式的根的个数是固定的，并且它们的重数之和等于多项式次数。
形式二：拉格朗日插值海涅定理的第二种形式是拉格朗日插值，它是一种用于在给定一些点的函数值的情况下估计函数的方法。
具体地说，设f(x)是一个n 次多项式，给定n+1个不同的点x0,x1,…,xn和相应的函数值y0,y1,…,yn，则拉格朗日插值公式如下：f(x)=Σi=0n yi Li(x)其中Li(x)是拉格朗日插值基函数，它定义为：Li(x)=Πj≠i (x-xj)/(xi-xj)这个公式的证明基于海涅定理的第一种形式，它表明在有限域上多项式的每个零点的重数之和等于多项式次数。
形式三：多项式幂级数海涅定理的第三种形式是多项式幂级数，它是一种用于计算多项式幂级数的方法。
具体地说，设f(x)是一个n次多项式，给定F上的一个元素a，则f(x)在a处的幂级数展开式如下：f(x)=Σi=0∞ (f^(i)(a)/(i!))(x-a)^i其中f^(i)(a)是f(x)在a处的i阶导数，它可以用有限域上多项式除法来计算。
形式四：快速傅里叶变换海涅定理的第四种形式是快速傅里叶变换，它是一种用于计算多项式乘法的方法。
具体地说，设f(x)和g(x)是F上的两个n次多项式，则它们的乘积可以通过FFT算法在O(n log n)的时间内计算出来。
这个公式的证明基于海涅定理的第二种形式，它表明在给定一些点的函数值的情况下，可以通过拉格朗日插值来估计函数。
海涅-掬水月在手日日深杯酒满朝朝小蒲花开自歌自舞自开怀无拘无束无碍青史几番春梦红尘多少奇才不消计较与安排领取而今现在主页博客相册|个人档案 |好友查看文章Heinrich Heine2007-10-31 22:24我不知道这意味着什么Dass ich so traurig bin 我的心如此忧愁Ein Märchen aus alten Ze iten 一首远古的诗Das kommt mir nicht aus dem Sinn 不知不觉在我心中涌流Heinri ch Heine 亨利希·海涅海涅 (Heinrich Heine, 1797-1856)，德国革命民主主义诗人。
1797年12月13日出生于杜塞尔多夫一个犹太商人家庭。
中学毕业后，父母要他经商。
1816年去汉堡叔父所罗门·海涅处，爱上了堂妹阿玛丽，开始写抒情诗。
1819年秋入波恩大学学习法律，听奥·威·施莱格尔的德国语言史课，并经常与之来往，因而受浪漫派的影响。
接下来他又到哥廷根大学和柏林大学学习。
在柏林时他听过黑格尔的哲学课程，结识了浪漫派作家沙米索、富凯等，并积极参加争取犹太人解放的工作。
1825年获法学博士学位。
在1821至1830年期间，海涅曾到德国各地和波兰、英国、意大利旅行。
1822年出版第一部“诗集”，次年又出版“悲剧—抒情插曲”。
1827年他把早期抒情诗汇集在一起出版，题名“歌集”，引起轰动，奠定了他在文坛上的地位。
这期间，他还创作了“哈尔茨山游记”等散文作品，也引起巨大反响。
海涅这个时期的抒情诗和游记，大多抒写他个人的经历、感受、憧憬，感情真挚，语言优美，具有明显的浪漫主义色彩。
1830年法国爆发七月革命，海涅深受鼓舞，决定前往巴黎。
在这儿他结识了大仲马、贝朗瑞、乔治·桑、巴尔扎克、雨果等作家和李斯特、肖邦等音乐家，并与空想主义者圣西门的信徒交往，也受到这方面的影响。
海涅简介海涅（Heine），全名亨利克·海涅（Heinrich Heine），是德国浪漫主义时期最重要的诗人之一，也是欧洲文学史上的重要代表之一。
他的诗歌作品以独特的艺术风格和情感表达而闻名，并对后世的文学产生了深远的影响。
生平与背景海涅出生于1797年12月13日，出生地为德意志联邦共和国的杜塞尔多夫。
他出身于一个犹太家庭，家庭是一个典型的中产阶级家庭。
海涅的父亲是个富裕的商人，这使得他在早年得以享受相对优越的经济条件。
在青年时期，海涅开始展现出文学才华和对诗歌的热爱。
他触摸到了浪漫主义运动的精神，并对自然界，爱情和人类命运等主题进行了深入的思考和探索。
然而，由于身份背景和家族的期望，他最初并不被鼓励从事文学创作。
事实上，在当时的德国社会中，犹太人在文化和社会领域仍然面临许多限制和歧视。
尽管如此，海涅决心追求自己的梦想，并开始积极发表自己的作品。
文学成就海涅的诗歌被认为是德国浪漫主义运动最重要的成就之一，其作品充满了对自然和人类情感的深入观察和表达。
他的诗歌创作通常具有讽刺和批判的特点，对当时的政治和社会现实持有独特的见解。
在他的作品中，海涅经常使用象征主义手法和隐喻来传达他对于人类存在和社会问题的思考。
他对爱情的描写也常常以痛苦和无望为主题，表达了他对于现实生活的深刻反思。
此外，海涅的作品还涉及到了宗教和政治问题。
他对犹太人身份和犹太教的探讨，以及对德国社会和民主制度的思考，使得他的作品更加丰富多样。
影响与遗产海涅的诗歌作品不仅在当时引起了广泛的关注和赞誉，而且对后世的文学产生了深远的影响。
他的作品在诗歌形式、艺术语言和思想内涵等方面都具有重要的创新意义。
海涅所表达的浪漫主义情感和对人类命运的思考，也对后来的诗人和作家产生了重要的影响。
他的作品被翻译成多种语言，传播到全球，并对世界各国的文学发展和思想启示产生了积极的作用。
海涅的思想和观点对于19世纪后期的德国知识分子和思想家来说仍然具有启发和借鉴意义。
海涅的许多诗篇都广为人知，但是很难确定哪三首是最出名的。
不过，以下是三首海涅的著名诗篇：
1. 《青春的烦恼》
我要用金箔、蔷薇和柏枝，
把这本书装饰得可爱而美丽，
把它装饰得像一口棺材，
然后把我的诗歌放在里边掩埋。
啊，但愿我也能把爱情殉葬！
在爱情的墓畔有安息草生长，
它开出了花，被人们摘下，
——可是要等我身人墓中，它才为我开花。
这儿是我过去的放荡的诗篇，
它像埃特纳火山一样燃烧起我的情欲，
把这烈火带进我情人的眼帘，
让她坐在我的床上，让她成为我的皇后。
2. 《罗曼采罗》
月亮升起来，照耀在海波之上；
我抱紧我的爱人，我们的心在跳荡。
我躺在爱人的怀里，在海滨独自小休；风声里你听到什么？是我的情话在流淌。
3. 《黄昏的和谐》
我的心上人坐在我的身旁，
她的魅力无法抗拒，光芒四射；
她的双手温柔地抚摩着我，
让我沉醉在幸福的天堂。
夕阳的余晖还在照耀着大地，
我的灵魂已经飞向了远方；
我的心上人吻着我心中的爱，
让我感受到生命的美好。
海涅写的诗歌精选海因里希-海涅(1797年12月13日～1856年2月17日) ，外国诗人，德国著名抒情诗人和散文家，被称为德国古典文学的最后一位代表。
海涅诗歌作品：《青春的烦恼》《献给我的母亲》《星星们动也不动》《还乡集》《北海集》《抒情插曲》《祝福你，你伟大的》《荷花心惊胆战》《时事诗》《什锦诗》等等。
下面就是本店铺给大家带来的海涅的诗，希望能帮助到大家!海涅的诗1抒情插曲驾着歌声的羽翼，亲爱的，我带你飞去，飞向恒河的原野，有个地方风光绮丽。
花园里姹紫嫣红——沐浴着月色幽微，莲花朵朵在等待——她们亲爱的妹妹。
抬头仰望星空;玫瑰花悄声耳语，说得香雾迷。
驯良聪慧的羚羊——跳过来侧耳倾听，圣河的滚滚波涛——在远方奔流喧腾。
我们要在那里降落——憩息在棕榈树下面，畅饮爱情、宁静，做着美梦香甜。
海涅的诗2祝福你，你伟大的祝福你，你伟大的充满神秘的都城。
当初在你的城里曾居住过我的恋人。
告诉我，塔楼和城门，何处是我最亲爱的人? 我曾把她委托给你们，你们应当做我的保人。
我的恋人携箱负箧，这样匆匆离开都城，塔楼不能移动寸步，它当然不负任何责任。
可是那城门。
它不声不响让我的恋人潜逃;那位女傻子的心意，这傻瓜总该知道。
海涅的诗3荷花心惊胆战荷花心惊胆战——害怕烈日光辉，低垂粉颈入梦——静待夜幕低垂。
她的情郎月亮——倾泻清光唤她，花儿亲热地冲他——揭去脸上的轻纱。
荷花盛开怒放——默默仰望高处，她哭得直颤香气四溢——因为爱情和相思之苦。
海涅的诗4时事诗因为我的闪电是这样出色你们就以为，我不能雷鸣你们搞错了，因为我同样有一种打雷的本领一旦那正当的日子来到这本领就恐怖地得到证明你们将要听到我的声音是长空霹雳，风雨雷霆暴风雨将要在那一天甚至把一些懈树击倒一些教堂的高塔将要倒塌! 一些宫殿也将要动摇!海涅的诗5什锦诗花儿容易碰到人的脚，大多数都会被人践踏;不管它是羞怯或者是胆大，人们走过时总会踩碎它。
珍珠藏在大海宝箱里，可是也会被人们发现，给它们钻孔，把它们扣住，牢牢地扣在丝绳上面。
海涅定理数列极限摘要：1.海涅定理简介2.海涅定理与数列极限的关系3.海涅定理的证明4.海涅定理的应用正文：【1.海涅定理简介】海涅定理，又称海涅- 波利亚定理，是数列极限理论中的一个重要定理。
该定理是由德国数学家海涅和波兰数学家波利亚于19 世纪末20 世纪初独立发现的。
海涅定理主要研究数列各项与数列极限之间的关系，为数列极限的求解提供了一种简便方法。
【2.海涅定理与数列极限的关系】在数列极限的求解过程中，我们通常关注数列各项与数列极限之间的关系。
海涅定理正是描述了这种关系。
简单来说，海涅定理表明，如果一个数列满足一定的条件，那么这个数列的极限存在，并且可以用数列中的某些项来表示。
具体而言，海涅定理给出了一个关于数列极限的等式，该等式包含数列的各项和某个子数列的极限。
【3.海涅定理的证明】为了更好地理解海涅定理，我们来看一下它的证明。
假设我们有一个数列{a_n}，其极限为L。
我们需要证明，当n 趋近于无穷时，存在一个子数列{b_n}，使得b_n 趋近于0，且有：L = lim(n→∞) (a_n - b_n)证明的关键在于如何构造这个子数列{b_n}。
我们假设a_n - b_n = c_n，其中c_n 是一个非负数列。
我们需要证明c_n 趋近于0。
为此，我们考虑c_n+1 - c_n，根据数列极限的定义，有：0 = lim(n→∞) (c_n+1 - c_n)这意味着，对于任意的ε> 0，存在N，当n > N 时，有：|c_n+1 - c_n| < ε进一步推导，我们得到：|a_n - b_n - (a_n - b_n)| < ε即：|b_n - b_n| < ε这意味着b_n 趋近于0，证毕。
【4.海涅定理的应用】海涅定理在数列极限求解中有广泛的应用。
通过运用海涅定理，我们可以简化求解过程，快速判断一个数列是否收敛，以及求出其极限值。
此外，海涅定理还可以用于研究更复杂的数列极限问题，如非单调数列、有界变差数列等。
海因里希·海涅——德国著名抒情诗人海涅介绍中文名：海因里希·海涅外文名：Heinrich Heine别名：海涅国籍：德国民族：犹太人出生地：德国杜塞尔多夫出生日期：1797年12月13日逝世日期：1856年2月17日职业：诗人，小说家毕业院校：波恩大学、格廷根大学、柏林大学主要成就：伟大的德语诗人、散文家代表作品：《罗曼采罗》、《佛罗伦萨之夜》、《游记》，《德国，一个冬天的童话》等海因里希·海涅(Heinrich Heine，1797年12月13日～1856年2月17日)，德国著名抒情诗人和散文家，被称为“德国古典文学的最后一位代表”。
1797年12月13日生于德国莱茵河畔杜塞尔多夫一个犹太人家庭。
童年和少年时期经历了拿破仑战争。
学过金融和法律。
1795年，拿破仑的军队曾开进莱茵河流域，对德国的封建制度进行了一些民主改革。
正如恩格斯所指出，拿破仑“在德国是革命的代表，是革命原理的传播者，是旧的封建社会的摧残人”。
法军的这些改革，使备受歧视的犹太人的社会地位得到了较全面改善，因此海涅从童年起就接受了法国资产阶级革命思想的影响。
1821年开始发表诗作，以4卷《游记》(1826-27,1830-31)和《歌集》(1827)而闻名文坛。
1825年为取得德国公民权而皈依基督教，但因此疏远了自己的犹太民族。
而他的革命思想又使他在德国无法找到工作。
1830年革命后自愿流亡巴黎，从诗歌写作转向政治活动，成为国家民主运动的领导人，同时对法国和德国文化有许多评述。
诗人以平常的词汇，普通的语句构造出思想深刻、生动优美的诗篇。
在德国文学中既是作家又是思想家的不乏其人，但像海涅那样将二者完美地统一起来，而又没有让诗歌负担哲学的沉重的，却不多见。
生平经历少年时代1797年12月13日生于德国杜塞尔多夫一个犹太商人家庭。
童年和少年时期经历过拿破仑战争。
1819年～1824年先後断续在波恩大学、格廷根大学、柏林大学学法律和哲学并从事创作。
海涅海因里希·海涅画像海因里希·海涅，德国著名抒情诗人。
著有《青春的苦恼》、《抒情插曲》、《还乡集》、《北海集》等组诗。
目录[隐藏]简介文学生涯诗歌创作的阶段及特色中文翻译影响[编辑本段]简介海因里希·海涅（Heinrich Heine，又译亨利希·海涅，1797-1856）1797年12月13日生于德国杜塞尔多夫，童年和少年时期经历了拿破仑战争。
海涅出生在莱茵河畔杜塞尔多夫一个破落的犹太商人家庭。
1795年，拿破仑的军队曾开进莱茵河流域，对德国的封建制度进行了一些民主改革。
正如恩格斯所指出，拿破仑“在德国是革命的代表，是革命原理的传播者，是旧的封建社会的摧残人”。
法军的这些改革，使备受歧视的犹太人的社会地位得到了较全面改善，因此海涅从童年起就接受了法国资产阶级革命思想的影响。
1819至1823年，海涅先后在波恩大学和柏林大学学习法律和哲学，他听过浪漫主义作家奥古斯特·威廉·施勒格尔和唯心主义哲学家黑格尔的讲课。
海涅早在20岁时就开始了文学创作，他的早期诗作：《青春的苦恼》、《抒情插曲》、《还乡集》、《北海集》等组诗，多以个人遭遇和爱情苦恼为主题，反映了封建专制下个性所受到的压抑以及找不到出路的苦恼。
1820年的冬季学期，他来到哥廷根大学，在那里，他参加了一个学生组织。
然而，仅仅在1821年1月，他就被迫离开了学校和这个组织。
还是在哥廷根，海涅1825年获得法学博士学位。
“我跟一些人一样，在德国感到同样的痛苦，说出那些最坏的苦痛，也就说出我的痛苦。
”（《每逢我在清晨》）这些诗句中所抒发的个人感受，具有一定的社会意义。
这些诗作于1827年收集出版时，题名为《诗歌集》。
它们表现了鲜明的浪漫主义风格，感情淳朴真挚，民歌色彩浓郁，受到广大读者欢迎，其中不少诗歌被作曲家谱上乐曲，在德国广为流传，是德国抒情诗中的上乘之作。
从1824年到1828年间，海涅游历了祖国的许多地方，并到英国、意大利等国旅行。
由于他广泛接触社会，加深了对现实社会的理解，写了四部散文旅行札记。
在第一部《哈尔茨山游记》里，海涅以幽默活泼的笔调描绘了20年代令人窒息的德国现状，讽刺嘲笑了封建的反动统治者、陈腐的大学、庸俗的市侩、反动的民族主义者、消极的浪漫主义者；以浓郁的抒情笔调描绘了祖国壮丽的自然景色，同时又以深厚的同情，描绘了山区矿工的劳动生活。
在第二部《观念——勒·格朗特文集》里，海涅描绘了法国军队进入故乡的情景，刻画了拿破仑的形象，表现了作者对法国革命的向往和对德国封建统治的憎恶。
在第三部《从慕尼黑到热那亚的旅行》等意大利游记里，描绘了意大利的风光和社会生活，揭露了贵族天主教的反动性，同时对贵族作家脱离现实的倾向进行了批判。
在第四部《英国片段》里，作家描绘了富豪的贵族和资产阶级与劳动人民的尖锐对立，揭露了大资产阶级的贪婪和掠夺。
这四部札记的主要倾向是抨击德国的封建反动统治，期望德国能爆发一场比较彻底的资产阶级革命，这四部旅行札记的创作表明，海涅在思想上已成长为一个革命民主主义者，在艺术上，海涅已从青年时代对个人遭遇与感情的描写，转向对社会现实的探讨，走向现实主义道路。
海涅晚年思想上的矛盾与怀疑突出的表现在他对共产主义的信念与理解上，他思想上的矛盾是那个时代的产物，正如列宁在纪念赫尔岑时所说，“是资产阶级民主派的革命性已在消亡，而社会主义无产阶级的革命性尚未成熟这样一个具有世界历史意义的时代的产物和反映”。
同时，也反映了海涅本身资产阶级世界观的局限。
1856年2月27日，海涅逝世。
[编辑本段]文学生涯海涅出身在德国杜塞尔多夫市一个犹太商人的家庭里。
父亲萨姆荪•海涅经营呢绒生意失败，家道中落；母亲贝蒂•海涅是一位医生的女儿，生性贤淑，富有教养，喜好文艺。
在她的影响下，诗人早早地产生了对文学的兴趣，十五岁还在念中学时就写了第一首诗，可是他却不得不遵从父命走上经商的道路，十八岁时去法兰克福的一家银行当见习生，第二年又转到他叔父所罗门•海涅在汉堡开的银行里继续实习。
在富有的叔父家中，海涅不仅尝到了寄人篱下的滋味(《屈辱府邸》一诗便反映他当时的经历)，更饱受恋爱和失恋的痛苦折磨，因为他竟不顾门第悬殊，痴心地爱上了堂妹阿玛莉——一位他在诗里形容的“笑脸迎人，胸存诡诈”的娇小姐。
一八一九年秋，因为前一年在叔父资助下兴办的哈利•海涅纺织品公司经营失败，同时在杜塞尔多夫做生意的父亲也破了产。
年轻的海涅完全失去了经商的兴趣和勇气，遂接受叔父的建议进入波恩大学学习法律，准备将来做一名律师，然而从小爱好文艺的他无心研究法学，却常去听奥古斯特•威廉•施勒格尔的文学课。
施勒格尔是德国浪漫派的杰出理论家、语言学家和莎士比亚翻译家，海涅视他为自己“伟大的导师”，早期的文学创作受到了他的鼓励和指导。
除此而外，从浪漫派诗人阿尔尼姆和勃伦塔诺整理出版的德国民歌集《男童的奇异号角》中，从乌兰特和威廉•米勒等浪漫派诗人的作品中，年轻的诗人获得了不少启迪，汲取了很多营养；他崇拜歌德，并遵照“导师”施勒格尔的建议老老实实地读了歌德的作品；他把英国的浪漫主义诗人拜伦引为知己，不只把拜伦的诗歌翻译成德文，还模仿拜伦的衣着风度，在创作上接受拜伦的影响，以致在十九世纪二十年代一度被称做“德国的拜伦”。
这就难怪海涅的早期诗歌创作显示出不少浪漫派的特征，如常常描写梦境，喜欢以民间传说为题材，格调大多接近民歌等等。
不过也仅此而已，因为他本身并不属于这个当时在德国已经逐渐过时的文学流派。
后来，一八四六年，在为长诗《阿塔•特罗尔――一个仲夏夜的梦》所做的序里，海涅总结自己与浪漫派的关系道:“……我曾在浪漫派之中度过我的最愉快的青年时代，最后却把我的老师痛击了一顿……”因为他在一八三三年写成的《论浪漫派》中，已对这个包括自己“导师”施勒格尔在内的派别做了严厉的批评。
一八二○年秋天，海涅转学到了哥廷根大学。
跟在波恩时一样，他无心学业，却常参加一些学生社团的活动。
后因与一个同学决斗受到停学处分，不得已于第二年再转到柏林大学。
在柏林期间，海涅不但有机会听黑格尔讲课，了解了当时哲学所关注的所有问题，对辩证法有了初步的掌握，还经常出入当地的一些文学沙龙，结识了法恩哈根•封•恩泽夫妇以及沙密索、福凯等不少当时著名的文学家，大大地开阔了眼界，为日后成为一个思想深邃、敏捷的评论家打下了重要的基础。
同时，他还参加犹太人社团的文化和政治活动，表现出了对社会正义事业以及犹太人命运的同情和关注。
一八二四年，诗人重返哥廷根大学，坚持学习到第二年大学毕业，并于七月二十日获得法学博士的学位。
在此之前不到一个月，他已接受洗礼皈依基督教，成了一名路得派的新教徒。
在个人生活方面，由于初恋情人阿玛莉在一八二一年八月嫁给了一个有钱的地主，诗人遭受了巨大的心灵创痛。
而在一年多以后的一八二三年五月，他在汉堡又邂逅阿玛莉的妹妹特莱萨，再次坠入爱河，经受了恋爱和失恋的痛苦。
这样一些不幸的经历，都明显地反映在了他早年的抒情诗中。
但是随着阅历的增长，见识的提高，海涅的文学创作也开始走向成熟，不但题材和体裁变得丰富多彩了，思想也更加深刻。
特别是一八二四年，他从大学城哥廷根出发往东北行，徒步漫游了哈尔茨山及其周围地区，一路上尽情饱览自然风光，细心观察世态民情，在此基础上写成了《哈尔茨山游记》，为自己的创作开辟了一条新路。
随后的四五年，他又写了大量的游记和散文作品。
在十九世纪二十年代，海涅事实上已把更多的精力放到了游记的写作上，因为在他看来，那搜集了他早年那些优美而感伤的爱情诗的《诗歌集》，只是一条“无害的商船”，而从《哈尔茨山游记》开始的游记作品，却是一艘艘装备着许多门大炮的“战舰”(见一八二七年十月三十日致摩西•摩色尔的信)。
无论是旅居北海之滨的诺德尼岛，或是在畅游南方的文明古国意大利途中，他都专注而细心地建造这样的“炮舰”。
在1821至1830年期间，海涅曾到德国各地和波兰、英国、意大利旅行。
1822年出版第一部“诗集”，次年又出版“悲剧—抒情插曲”。
1827年他把早期抒情诗汇集在一起出版，题名“歌集”，引起轰动，奠定了他在文坛上的地位。
这期间，他还创作了“哈尔茨山游记”等散文作品，也引起巨大反响。
海涅这个时期的抒情诗和游记，大多抒写他个人的经历、感受、憧憬，感情真挚，语言优美，具有明显的浪漫主义色彩。
1830年法国爆发七月革命，海涅深受鼓舞，决定前往巴黎。
在这儿他结识了大仲马、贝朗瑞、乔治·桑、巴尔扎克、雨果等作家和李斯特、肖邦等音乐家，并与空想主义者圣西门的信徒交往，也受到这方面的影响。
这时期他写了“论德国宗教和的历史”（1835）和“论浪漫派”（1836）两本著作。
为了和激进派诗人内容空洞的“倾向诗”进行斗争，他写了长诗“阿塔·特罗尔，一个仲夏夜的梦”（1843）。
1843年底，海涅和马克思在巴黎结识。
这个时期，他的诗歌创作达到了新的高峰，他发表了“新诗集”（1844），其中包括一部分以“时代的诗”命名的政治诗，和长诗“德国，一个冬天的童话”（1844）。
这些诗歌在思想内容和艺术两方面都取得很高的成就，成为1848年革命前夕时代的最强音。
海涅在1848年革命失败后，忍受瘫痪的痛苦，在“床褥墓穴”用口授方式创作了许多优秀诗篇，其中包括“罗曼采罗”（1851）、“1853至1854年诗集”和一些遗诗。
这些中虽有悲愤忧郁之作，但大多数仍充满战斗的豪情、对祖国和人类的未来具有坚定的信心。
1856年2月17日，海涅在巴黎逝世，葬于蒙马特公墓。
在巴黎这个革命中心和国际文化大都会，海涅结识了巴尔扎克、仲马、维克多•雨果和乔治•桑等法国大作家，以及肖邦、李斯特、柏辽兹等著名的音乐家和艺术家，经常有机会参加各种文艺聚会，观看演出和参观美术展览，过着紧张而充实的生活，眼界进一步地开阔了，思想也进一步地活跃起来。
在随后的十多年里，他虽也继续诗歌创作，但更多的时间和精力却用于为德国国内的报刊撰写通讯和时事评论，及时而又如实地报道法国和巴黎的各方面情况，想让法兰西革命的灿烂阳光去驱散笼罩着封建分裂的德意志帝国的浓浓黑暗，让资产阶级进步意识形态的熏风去冲淡弥漫在那儿的陈腐之气，于是产生了《法兰西现状》、《论法国画家》、《论法国戏剧》以及《路台齐亚》等一大批报道和文论。
与此同时，他也向法国读者介绍德国的宗教、历史、文化、哲学以及社会政治现状，写成了《论浪漫派》、《德国宗教和哲学的历史》等重要论著，帮助法国人民对德国精神生活的方方面面产生比较深刻的认识。
这样，海涅便开始了他写作生涯更紧密地联系现实和富有革命精神的第三个阶段。
在这个阶段，除去时评和文论，海涅还发表了小说《施纳波勒沃普斯基回忆录》、《佛罗伦萨之夜》和《巴哈拉赫的法学教师》。
