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第3章 系统分析稳定性与稳态误差

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第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据

第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1

《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算

《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算

两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施

自动控制原理_第3章2

自动控制原理_第3章2

令Gc (s)
通信技术研究所
G f ( s) G( s)
, 得C (s) G( s) R( s) C ( s)
13
<例3-15>r(t)=1,n(t)=1 ,求ess
通信技术研究所
14
1 2 <例3-16> r (t ) 1 t t ,求ess 2 注：E=R-C
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （1） 0, K p lim 0 1 K s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s 0
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) , ess 0 （2） 1, K p lim 1 s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 2, K p lim 2 , ess 0 （ 3） s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 0, Kv lims 0 0, ess （ 1） s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （2） 1, Kv lims 1 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tj s 1) K s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) （3） 2, Kv lims 2 , ess 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0

自动控制原理-第3章

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法

自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析

自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
设系统处于某一平衡状态，若此系统在干 扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰 动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这 就是系统的稳定性问题。
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)

《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算

《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算

伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算

自动控制原理3-2稳定性和误差


3. 加速度输入作用下的稳态误差
11
1
e s sl s 0 is m 1 G (s )H (s )s 3 lis 2 m G (s )H (s )
s 0
令K a ls 0 is2 m G (s)H (s) ls 0 ism N K 2静态加速度误差系数 1
ess Ka
0 型系统：
Ka = 0 ess = ∞
i
k
线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的
所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均
位于s左半平面（不包括虚轴）。
根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道
系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可
判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量
很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面
2 s13 + 4 s12 s1 1 =
0
s13 2
1
s12 4
1
s11 0.5
s10 1
劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号
改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系 统在垂直线 s = 1的右边有一个根。
16
3.6 稳态误差的定义及一般计算公式
3.6.1 误差的基本概念
的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。
5
3.5.2 线性系统的代数稳定判据
首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭
环特征方程为
n
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n a 0( s s i ) 0 i 1
式中，a0 >0 , si（i =1,2 , , n）是系统的n个闭环极

计算机控制技术第3章 计算机控制系统分析


第3章 计算机控制系统分析 y(t) 1.6 1.4
a b
1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t
第3章 计算机控制系统分析
(2) 现将图中的保持器去掉，k=1，T=τ=1；则
G (z)
W (z)
0 . 632 z (1 z
由此可见，离散系统的时间响应是它各个 极点时间响应的线性叠加。
第3章 计算机控制系统分析
设系统有一个位于zi的单极点，则在单位脉冲 作用下，当zi位于Z平面不同位置时，它所对应的 脉冲响应序列如图所示。
jIm j -1 0 -j 1 Re
第3章 计算机控制系统分析
极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应 分量y(kT)单调发散。 极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响 应y(kT)是等幅的。
第3章 计算机控制系统分析
离散系统的稳定性分析
jω [S] 0
1 对应关系
jIm j -1 0 [Z]
1
Re
2 直接稳定判断
δ
j
3 W变换，Routh稳定性判断
j
ω
0
[W]
δ
第3章 计算机控制系统分析
离散系统的过渡响应分析
一个控制系统在外信号作用下从原有稳定 状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为 控制系统的过渡过程。 一般认为被控变量进入新稳态值附近±5% 或±3%的范围内就可以表明过渡过程已经结束。 通常，线性离散系统的动态特征是系统在单 位阶跃信号输入下的过渡过程特性(或者说系统 的动态响应特性)。如果已知线性离散系统在阶 跃输入下输出的Z变换Y(z)，那么，对Y(z)进行Z 反变换，就可获得动态响应y*(t)。将y*(t)连成光 滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调 量σ%与过渡过程时间ts）。

自动控制原理课后答案第3章

第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。

微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。

对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。

本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。

根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。

这里先引入时域分析法的基本概念。

所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。

由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。

当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。

3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。

下面先介绍常用的典型输入信号。

3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。

为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。

自动控制原理第3章控制系统的稳定性及特性

解：列劳斯表为
s5
1
2
1
s4
2
4
1
s3
0
1
2
s2 4 1 1 1
s1
1
2
s0
1
劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统 不稳定，有2个特征根位于s
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 例3-11 给定控制系统特征方程为 s 6 s 5 6 s 4 5 s 3 9 s 2 4 s 4 0
劳斯判据的特殊情况1 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。
例3-9：考虑系统特征方程如下：
( s ) s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 0
试分析系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s5
1
2
s4
2
4
s3
12
s2
41
1
s1 (2 1 2 2 ) (4 1) 0
3.3.1 稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的
推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若 在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不 稳定。
3.3.2 线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设系统的运动方程为
s4 1
s3 2
s2
23-4 2
1
s1
1 4 -2 5 1
6
s0 5
35 40 5 0
符号改变一次 符号改变一次
Rout阵 h 列第一列符号 次,改变二 故有两个实部为 。正的
例 3-8 已知系统的特征方程 s34s260 ，
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2
3.1.1 S平面到Z平面之间映射关系
s平面与z平面映射关系： z esT s j z e( j )T eT e jT eT / T
R | z | eT
z T
1. s平面虚轴映射为z平面单位圆，左半平面映射在z平面单位圆内
系统稳定必要条件 (z) a0 zn a1zn1 an1z an 0 或者
判断系统稳定性步骤： 1. 判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定 2. 若必要条件成立，构造朱利表
17
二阶系统稳定性条件
(z) z2 a1z a2 0
必要条件： (1) 0 (1) 0
在z平面
z e e e sT
T cos jT sin z esT e e Tn cos jTn sin
n
n
R eTn cos ,z Tn sin
等自然频率轨迹
图3-10 等 自然频率轨 迹映射
11
12
图形对横轴是对称的：
z平面
j
2 3
5
n ,
cos( ) n
| z | eT enT cos z T
8
9
10
6. 等自然频率轨迹的映射
ωn =常数
在s平面 s j ne j n cos jn sin cot1( /)

lim(1
z 1
z 1 ) 1
1 D(z)G(z)
R(z)
es*s 与输入信号R(z)及系统 D(z)G(z) 结构特性均有关
29
1．输入信号为单位阶跃函数 r(t) 1(t)
R(z) 1/(1 z1)
es*s

lim(1
z 1
z 1 ) 1
1 D(z)G(z)


1
lim(z
1 1) D( z )G( z )

1/
Kv
T z1
1
Kv

T
lim(z
z 1
1)D(z)G(z)
称为稳态速度误差系数
对“0”型系统，D(z)G(z) 在z=1处无极点,Kv 0, ess
对“I”型系统，D(z)G(z)
在z=1处有1个极点,Kv

常值, ess

比例控制器：D(z)=kd
(z)

1
D( z )G ( z )

1
Kd

z2
0.003 6(z 1) 1.814 4z 0.821
6

0
z2 (1.814 4 0.003 6Kd )z (0.821 6 0.003 6Kd ) 0
19
由二阶系统稳定的条件：
| (0) || 0.821 6 0.003 6Kd | 1 0 Kd 49
D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn ) 系统稳定的充分必要条件是所有极点分布在S左平面。
对于离散系统：
F (z) KN (z) K (z z1) (z zm ) D(z) (z p1) (z pn )
mn
可通过S平面到Z平面之间映射关系确定
试分别求图所示的两个系统的阶跃响应采样序列，并比较其结果可得什么 结论 (设T=1秒)
22
3.1.4 零阶保持器与系统稳定性
对比无零阶保持器的结果：
C(z) 0.632z1 1.096z2 1.205z3 1.2z4 1.104z5 0.98z6
比较可见：加入零阶保持器后，系统响应升起较慢，振 荡性加强，稳定性变差。
z esT将s平面上实部相同而虚部相差 s整倍数的点映射到z平面同一点上
6
4. S平面上的等频率线和等衰减系数线
z esT s j
R | z | eT
z T
等频率线
等衰减系数线
7
5. S平面上等阻尼比线 S平面上极点 s j
(s j)(s j) s2 2 s 2 2 s2 2ns n2

z
1
)E(
z)


lim(1
z1

z
1
)CN
(
z
)
干扰稳态误差利用终值定理计算
35
例：试求使天线控制系统稳态误差 1．r (t) 1(t) 2．r (t) t 3．un (t) 1
D(z) Kd 20
Kp

lim D(z)G(z)
1 (1 z1)

lim z1 1
1 D( z )G( z )
1
1


1 lim D(z)G(z) z 1
1 Kp
Kp
lim D(z)G(z) z1
称为稳态位置误差系数
对“0”型系统，D(z)G(z) 在z=1处无极点,Kp为有限值
对“I”型系统，D(z)G(z) 在z=1处有1个极点,K p , ess 0

lim
t
e*
(t)

lim
k
e*
(kT)
给定R(z)情况下的离散系统稳态误差的计算：
e (z)

E(z) R(z)

1
1 D(z)G(z)

1 1W
(z)
1 E(z) e (z)R(z) 1 D(z)G(z) R(z)
es*s

lim(1
z 1
z 1 ) E ( z )
20
3.1.4 采样周期与系统稳定性
G(s) k 0.1s 1
对连续系统，k>0即稳定；讨论采样周期对离散系统稳定性影响
G(s) k 0.1s 1
G(z)

(1
z1)Z

k s(0.1s
1)


k(1 e10T z e10T
)
(z) 1 G(z) 0
1 T2
lim( z
z 1
1)2
D(z)G(z)
es*s
0型系统 I型系统 II型系统
离散系统稳态误差
r(t) 1(t)
1/(1 K p )
0 0
r(t) t
1/ Kv
0
r(t) 1 t2 2


1/ Ka
33
关于稳态误差的说明
• 计算稳态误差前提条件是系统稳定 • 稳态误差无穷大不等于系统不稳定 • 稳态误差是系统原理性误差，只与系统结
对“II”型系统D，(z)G(z)
在z=1处有2个极点K,a

常值, ess

1 Ka
32
离散及连续系统稳态误差系数
误差系数
Kp Kv Ka
连续系统
lim D(s)G(s)
s0
lim sD(s)G(s)
s0
lim s2D(s)G(s)
s0
离散系统
lim D(z)G(z)
z1
1 lim(z 1)D(z)G(z) T z1
第3章
计算机控制系统分析
1
3.1 稳定性分析
一、稳定性定义 当作用于系统上的扰动作用消失以后，系统能恢复
到原来的平衡状态。系统稳定性是系统固有特性，与扰 动形式无关，只取决于系统本身固有参数。
对于连续系统：
G(s) M (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm ) m n
5
s1 1, s2,3 1 j10 s 10
z1 es1T e1.2 /s e1.2 /10 0.5330 z2 es2T e(1 j10)2 /10 0.5332 z3 es3T e(1 j10)2 /10 0.533 2
3
2. S平面角频率 平面上的主带和旁带
4
• s平面的点沿主带左半平面的周边走1圈时，其映射关系 可用图3-5表示.
图3-5平面主带 左半平面的映射
s
• s平面的点沿主带右平面的周边走1圈时，其映射关系可 用图3-6表示
图3-6平面主带 右半平面的映射
1

1 T2
lim(z
z 1
1)2
D(z)G(z)
1/
Ka
Ka

1 T2
lim(z
z 1
1)2 D(z)G(z)
称为稳态加速度误差系数
对“0”型系统，D(z)G(z) 在z=1处无极点,Ka 0, ess
对“I”型系统，D(z)G(z) 在z=1处有1个极点,Ka 0, ess
Ai pik
0
lim
k
Ai
pik
0
Ai 0
| pi | 1 i 1, 2, , n
15
3.1.3 朱利-阿斯特隆姆稳定判据
(z) a0 zn a1zn1 an1z an 0
系统稳定条件 a0 0, b0 0, c0 0,, l0 0, m0 016
等频率线 等阻尼比线
1
13
3.1.2 离散系统稳定性条件
G(z)

C(z) R(z)

b0 zm a0 zn
b1zm1 a1zn1

bm1z bm an1z an
m
bi zm1
瞬时扰动：R(z) 1
C(z)
G(z)R(z)

i0 n
ai zn1
即稳定；对离散系统，k必须限制在一定范围内，且依赖采 样周期。 采样周期T是影响稳定性的重要参数，一般来说，T减小， 稳定性增强