2023年华东师大版备考 中考数学二轮复习 专题14 二次函数
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中考数学二轮专题复习之一:配方法与换元法把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的,这种解题方法叫配方法.所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
【范例讲析】: 例1: 填空题:1).将二次三项式x 2+2x -2进行配方,其结果为 。
2).方程x 2+y 2+4x -2y+5=0的解是 。
3).已知M=x 2-8x+22,N=-x 2+6x -3,则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ,且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ,则△ABC 的形状为 。
例3.解方程:422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=.则221x x+的值为__________. 2.若a 、b 、c 是三角形的三边长,则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 ( ) A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知:a 、b 为实数,且a 2+4b 2-2a+4b+2=0,求4a 2-b1的值。
4. 解方程: 211()65()11x x +=--对于某些数学问题,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果.通过变形与比较.建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组),并求出相应字母系数(或参数)的值,进而使问题获解.这种方法称为待定系数法. 【范例讲析】:【例1】二次函数的图象经过A(1,0)、B(3,0)、C(2,-1)三点.(1)求这个函数的解析式.(2)求函数与直线y=-x+1的交点坐标.【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点,且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
(1)求这个一次函数的解析式;(2)若一条抛物线经过点A 、B 及点C (1,7),求抛物线的解析式。
备考2024年中考数学二轮复习-二次函数y=a(x-h)^2+k的性质-综合题专训及答案二次函数y=a(x-h)^2+k的性质综合题专训1、(2018阜新.中考真卷) 如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.(1)求这个二次函数的表达式;(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求△BCP面积的最大值;(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时,直接写出m的值.2、(2011连云港.中考真卷) 如图,抛物线y= x2﹣x+a与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其顶点在直线y=﹣2x上.(1)求a的值;(2)求A,B的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作▱ACBD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由.3、(2016镇江.中考真卷) 如图1,二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),其对称轴l与x轴交于点C,它的顶点为点D.(1)写出点D的坐标.(2)点P在对称轴l上,位于点C上方,且CP=2CD,以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A.试说明二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B;(3)点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上,到x轴的距离为d,当点R的坐标为时,二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d;(4)如图2,已知0<m<2,过点M(0,m)作x轴的平行线,分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)、y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧),过点H作x轴的垂线,垂足为点N,交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q,若△GHN∽△EHQ,求实数m的值.4、(2017东城.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1(1)当抛物线的顶点在x轴上时,求该抛物线的解析式;(2)不论m取何值时,抛物线的顶点始终在一条直线上,求该直线的解析式;(3)若有两点A(﹣1,0),B(1,0),且该抛物线与线段AB始终有交点,请直接写出m的取值范围.5、(2018奉贤.中考模拟) 已知抛物线y=﹣2x2﹣4x+1.(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)将这个抛物线平移,使顶点移到点P(2,0)的位置,写出所得新抛物线的表达式和平移的过程.6、(2018.中考模拟) 已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A(1,0)和点B(5,0),顶点为M.点C在x轴的负半轴上,且AC=AB,点D的坐标为(0,3),直线l经过点C、D.(1)求抛物线的表达式;(2)点P是直线l在第三象限上的点,联结AP,且线段CP是线段CA、CB的比例中项,求tan∠CPA的值;(3)在(2)的条件下,联结AM、BM,在直线PM上是否存在点E,使得∠AEM=∠AMB.若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.7、(2017.中考模拟) 已知:抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A(7,﹣3),与x轴正半轴交于点B(m,0)、C(6m、0)两点,与y轴交于点D.(1)求m的值;(2)求这条抛物线的表达式;(3)点P在抛物线上,点Q在x轴上,当∠PQD=90°且PQ=2DQ时,求点P、Q的坐标.8、(2019温州.中考模拟) 如图,直角坐标系中,抛物线y=a(x-4)2-16(a>0)交x轴于点E,F(E在F的左边),交y轴于点C,对称轴MN交x轴于点H;直线y=x+b分别交x,y轴于点A,B.备用图(1)写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标(用含a的代数式表示).(2)若AF=AH=OH,求证:∠CEO=∠ABO.(3)当b>-4时,以AB为边作正方形,使正方形的另外两个顶点一个落在抛物线上,一个落在抛物线的对称轴上,求所有满足条件的a及相应b的值.(直接写出答案即可)9、(2017安徽.中考模拟) 已知抛物线y=﹣x2+2x+2(1)求该抛物线的对称轴、顶点坐标以及y随x变化情况;(2)在如图的直角坐标系内画出该抛物线的图象.10、(2018福建.中考真卷) 空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米.(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙AD的长;(2)已知0<α<50,且空地足够大,如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值.11、(2018滨州.中考模拟) 已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;(3) a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.12、(2019宜昌.中考真卷) 在平面直角坐标系中,正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4),B(-2,-2),C(4,-2),D(4,4).(1)填空:正方形的面积为;当双曲线与正方形ABCD有四个交点时,的取值范围是:;(2)已知抛物线L:顶点P在边BC上,与边AB,DC分别相交于点E,F,过点B的双曲线与边DC交于点N.①点是平面内一动点,在抛物线L的运动过程中,点Q随m运动,分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标;②当点F在点N下方,AE=NF,点P不与B,C两点重合时,求的值;③求证:抛物线L与直线的交点M始终位于轴下方.13、(2018柳北.中考模拟) 如图,抛物线过点,交x轴于A,B两点点A在点B的左侧.(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;(2)连接OC,CM,求的值;(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当时,求点P的坐标.14、(2020建水.中考模拟) 如图所示,已知抛物线y= x2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0).(1)求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标;(2)若点C在抛物线上,且点C的横坐标为8,求四边形AMBC的面积.15、(2020牡丹江.中考真卷) 已知抛物线y=a(x-2)2+c经过点A(-2,0)和点C(0, ),与x轴交于另一点B,顶点为D.(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(点E不与点A,B重合),且∠DEF=∠DAB,DE=EF,直接写出线段BE的长.二次函数y=a(x-h)^2+k的性质综合题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:。
2023年中考数学总复习一轮讲练测()专题14二次函数的图象与性质(讲练)1.理解二次函数的意义,掌握二次函数的表达式,熟练应用待定系数法求二次函数的表达式;2.会画二次函数的图象,掌握二次函数的性质1.二次函数的定义:一般地,形如(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.2.二次函数的三种表达式:(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0).(2)顶点式:(a,h,k是常数,a≠0),顶点坐标是.(3)交点式:(a,x1,x2是常数,a≠0),其中x1,x2是二次函数与x轴的交点的横坐标,图象的对称轴为直线.3.二次函数的图象与性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,当a>0时,抛物线的开口,这时当x≤-b2a时,y随x的增大而;当x≥-b2a时,y随x的增大而;当x=-b2a时,y有最值.当a<0时,抛物线开口,这时当x≤-b2a时,y随x的增大而;当x≥-b2a时,y随x的增大而;当x=-b2a时,y有最值.该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标是4.二次函数的图象的平移:平移规律:左右平移由h值决定:左加右减;上下平移由k值决定:上加下减.二次函数与x轴交点情况5.对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数:①△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;②△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;③△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.考点一、二次函数的定义例1(2022秋•义乌市月考)若函数y=是二次函数,即m的值是()A.﹣1B.﹣1或3C.2D.3【变式训练】1.(2022•苏州模拟)下列各式中,y是关于x的二次函数的是()A.y=4x+2B.y=ax2+1C.y=3x2+5﹣4x D.y=2.(2021秋•林口县期末)是二次函数,则m的值是()A.m≠0B.m=±1C.m=1D.m=﹣13.(2022秋•禹州市期中)若函数y=(m﹣3)x|m|﹣1+5是关于x的二次函数,则m=()A.﹣3B.3C.3或﹣3D.2考点二、二次函数的图象例2(2022秋•舟山月考)在同一直角坐标系中,函数y=ax+a和函数y=ax2+x+2(a是常数,且a≠0)的图象可能是()A.B.C.D.【变式训练】1.(2022秋•巧家县期中)直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.2.(2022秋•洪山区校级月考)在同一坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(b>0)与一次函数y=ax+c的大致图象可能是()A.B.C.D.3.(2022秋•凉州区校级月考)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为()A.B.C.D.考点三、二次函数的性质例3(2022秋•淳安县期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0)的图象经过点(﹣2,0)和(2,3),该函数图象的对称轴为直线x=m,则下列说法正确的是()A.0<m≤2B.m<0C.m>0D.﹣2≤m<0【变式训练】1.(2021秋•新会区期末)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表.下列结论错误的是()x…﹣10123…y…03430…A.函数图象开口向下B.当x=1时,y取最大值4C.对称轴是直线x=1D.当x>1时,y的值随x的增大而增大2.(2021秋•孝义市期末)对于二次函数y=﹣x2﹣2x+m(m为常数),当y随x的增大而减小时,x的取值范围是()A.x>﹣1B.x>﹣2C.x>1D.x>03.(2021秋•榆阳区期末)如表中所列的x,y的5对值是二次函数y=ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标:x…﹣2﹣1034…y…1163611…若(x1,y1),(x2,y2)是该函数图象上的两点,根据表中信息,以下说法正确的是()A.该函数的最小值为3B.这个函数图象的开口向上C.当x1<x2时,y1<y2D.当y1>y2时,x1<x24.(2022春•沙坪坝区校级月考)一列自然数0,1,2,3,⋯,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是()①当原数取50时,原数与对应新数的差最大②原数与对应新数的差不可能等于零③原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大④当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30和70A.①②B.①③C.①④D.②③考点四、二次函数的图象与系数关系例4(2022•金华模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,与x轴有个交点(﹣1,0),有以下结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(其中m≠1).其中所有正确结论的个数是()A.3个B.2个C.1个D.0个【变式训练】1.(2021秋•昌吉市校级期末)已知抛物线y=ax2+bx+c(a=0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是()A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>02.(2022春•成都月考)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是直线x=﹣1,且过点(﹣3,0),下列说法不正确的是()A.abc<0B.2a﹣b=0C.3a+c=0D.若(﹣5,y1),(3,y2)是抛物线上两点,y1>y23.(2022•东港区校级二模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=﹣1,则下列结论:①abc>0,②a+b<﹣c,③4a﹣2b+c>0,④3b+2c<0,⑤a﹣b>m(am+b)(其中m为任意实数).中正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个考点五、二次函数的点的坐标特征例5(2022秋•宁波月考)已知点(﹣1,y1),(﹣2,y2),(﹣4,y3)在二次函数y=﹣2x2﹣8x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y3<y2B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y3<y1【变式训练】1.(2022春•九龙坡区校级月考)已知A(﹣,y1),B(,y2),C(﹣,y3)是二次函数y=﹣x2+4x ﹣k的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1=y2>y3B.y2>y1>y3C.y2>y3>y1D.y3>y1>y22.(2022秋•范县期中)设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=a(x+1)2+k(a>0)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y1>y23.(2022秋•林州市校级月考)在函数y=x2﹣2x+a(a为常数)的图象上有三个点(﹣1,y1),(﹣2,y2),(1,y3),则函数值y1,y2,y3的大小关系为()A.y3<y1<y2B.y1<y2<y3C.y3<y2<y1D.y2<y1<y34.(2022秋•闽清县校级月考)已知抛物线y=x2﹣1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论中,不正确的是()A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两个角为45°C.存在实数k,使得△ABC为直角三角形D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形考点六、二次函数与几何变换例6(2022秋•拱墅区校级期中)抛物线y=x2﹣4x+3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移方法正确的是()A.先向左平移2个单位,再向上平移7个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位,再向上平移7个单位D.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位【变式训练】1.(2022•珙县模拟)抛物线y=x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后,再向右平移一个单位后的坐标为()A.(4,﹣1)B.(2,﹣1)C.(﹣1,﹣4)D.(1,﹣4)2.(2022秋•庐阳区校级期中)将抛物线y=x2先向右平移4个单位,再向下平移3个单位,所得抛物线表达式为()A.y=(x﹣4)2﹣3B.y=(x﹣4)2+3C.y=(x+4)2+3D.y=(x+4)2﹣33.(2022秋•林州市月考)在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x﹣3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)(x﹣5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向左平移8个单位长度D.向右平移8个单位长度4.(2022秋•林州市校级月考)将抛物线y=(x+1)2的图象位于直线y=4以上的部分向下翻折,得到如图图象,若直线y=x+m与此图象只有四个交点,则m的取值范围是()A.B.C.D.考点七、二次函数的最值例7(2022秋•萧山区月考)已知非负数a,b,c,满足a﹣b=2且c+3a=9,设y=a2+b+c的最大值为m,最小值为n,则m﹣n的值是()A.1B.2C.3D.4【变式训练】1.(2022秋•宁明县月考)二次函数y=﹣(x+2)2﹣5的最大值是()A.5B.﹣5C.2D.﹣22.(2022秋•思明区校级期中)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是()A.函数有最小值1,有最大值3B.函数有最小值﹣1,有最大值0C.函数有最小值﹣1,有最大值3D.函数有最小值﹣1,无最大值3.(2022秋•番禺区校级期中)二次函数y=﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5,则c的值()A.3或﹣1B.﹣1C.﹣3或1D.3考点八、二次函数与坐标轴交点例8(2022秋•舟山期中)在研究函数图象的性质时,若将自变量x变为|x|,则函数图象变化为:保留y轴右侧的图象,y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形.已知抛物线y=﹣x2+2x+3的图象,则对于y=﹣x2+2|x|+3,当y>0时,x的取值范围是()A.﹣1<x<3B.﹣1<x<1C.﹣3<x<3D.x<﹣1或x>3【变式训练】1.(2022秋•庐阳区校级期中)抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为()A.﹣B.﹣4C.D.42.(2022•海陵区校级三模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(﹣3,0),顶点是(﹣1,m),则以下结论:①若y≥c,则x≤﹣2或x≥0;②b+c=m.其中正确的是()A.①B.②C.都对D.都不对3.(2022秋•庐阳区校级期中)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是(﹣n,0)和(n+2,0),且抛物线还经过点(2,y1)和(﹣2,y2),则下列关于y1,y2的大小关系判断正确的是()A.y1=y2B.y1>y2C.y1<y2D.y1与y2的大小无法比较考点九、二次函数与方程不等式例9(2022秋•桐庐县期中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式a(x﹣2)2+b(x﹣2)+c <0的解集为()A.x<1或x>3B.x>3C.x<﹣1D.x<3或x>5【变式训练】1.(2022秋•朝阳区校级期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,有下列4个结论:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣2,x2=3;④关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是x>﹣2.其中正确的结论有()个.A.1B.2C.3D.42.(2022•罗庄区二模)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于(1,1)和(3,3)两点,有以下结论:①b2﹣4c>0;②3b+c+6=0;③当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0;④当x>2时,x2+bx+c>.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.43.(2021秋•微山县期末)如图,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y=x+b的图象相交于点A,B.若点A的坐标是.那么不等式x2﹣2x﹣3<x+b的解集是()A.B.或C.﹣1<x<3D.x<﹣1或x>34.(2021秋•梁山县期末)如图是抛物线图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1;其中正确的是()A.①②③B.①③④C.②④⑤D.①③⑤考点十、待定系数法求二次函数解析式例10(2022秋•温州校级月考)如图,抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),且图象经过点(3,0).(1)求抛物线的表达式;(2)若在y轴正半轴上取一点P(0,m),过点P作x轴的平行线,分别交抛物线于A,B两点(A在B 点左侧),若P A:PB=1:2,求m的值.【变式训练】1.(2022秋•林州市月考)如图,已知直线y=﹣2x+m与抛物线相交于A,B两点,且点A(1,4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求m的值;(2)求抛物线的解析式.2.(2022秋•朝阳区校级月考)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(6,0)两点.(1)请求出抛物线的解析式;(2)当0<x<4时,请直接写出y的取值范围.3.(2022秋•宁明县月考)已知抛物线经过点(3,﹣1),顶点坐标为(2,﹣2).(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)若点P(t,y1),(t+3,y2)都在抛物线上,且y1=y2,求P,Q两点的坐标.4.(2022秋•西城区校级月考)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x…﹣101 2.53…y=ax2+bx+c…m1﹣2n﹣2…根据以上列表,回答下列问题:(1)直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴;(2)求此二次函数的解析式;(3)在(2)条件下,求当﹣1≤x≤3.8时,函数值y的取值范围.考点十一、二次函数的推理计算与证明例11(2022秋•西湖区月考)设二次函数y=(x+1)(ax+2a+2)(a是常数,a≠0).(1)若a=1,求该函数图象的顶点坐标.(2)若该二次函数图象经过(﹣1,1),(﹣2,3),(0,﹣2)三个点中的一个点,求该二次函数的表达式.(3)若二次函数图象经过(x1,y1),(x2,y2)两点,当x1+x2=2,x1<x2时,y1>y2,求证:a<﹣.【变式训练】1.(2022•永嘉县模拟)已知二次函数y=2x2﹣bx+c的图象经过A(1,n),B(3,n).(1)用含n的代数式表示c.(2)若二次函数y=2x2﹣bx+c的最小值为,求n的值.2.(2022•绍兴)已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).(1)求b,c的值.(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.3.(2021•河西区一模)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(﹣2,4).(Ⅰ)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;(Ⅱ)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;(Ⅲ)若该函数的图象不经过第三象限,当﹣3≤x≤4时,函数的最大值与最小值之差为40,求b的值.。
中考总复习:二次函数—知识讲解(基础)【考纲要求】1.二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等; 2.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;3.抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难,在解答题中出现.【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地,如果2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,a ≠0),那么y 叫做x 的二次函数. 要点诠释:二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的结构特征是:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.(2)二次项系数a ≠0.考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象是一条抛物线,顶点为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.2.当a >0时,抛物线的开口向上;当a <0时,抛物线的开口向下.3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小.|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大. ②c 的大小决定抛物线与y 轴的交点位置.c =0时,抛物线过原点;c >0时,抛物线与y 轴交于正半轴;c <0时,抛物线与y 轴交于负半轴.③ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置.当ab =0时,对称轴为y 轴;当ab >0时,对称轴在y 轴左侧;当ab <0时,对称轴在y 轴的右侧.4.抛物线2()y a x h k =++的图象,可以由2y ax =的图象移动而得到.将2y ax =向上移动k 个单位得:2y ax k =+. 将2y ax =向左移动h 个单位得:2()y a x h =+.将2y ax =先向上移动k(k >0)个单位,再向右移动h(h >0)个单位,即得函数2()y a x h k =-+的图象.要点诠释:求抛物线2y ax bx c =++(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.考点三、二次函数的解析式1.一般式:2+y ax bx c =+(a ≠0).若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为2y ax bx c =++,将已知条件代入,求出a 、b 、c 的值.2.交点式(双根式):12()()(0)y a x x x x a =--≠.若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0),(x 2,0),设所求二次函数为12()()y a x x x x =--,将第三点(m ,n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式. 3.顶点式:2()(0)y a x h k a =-+≠.若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为2()y a x h k =-+,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.4.对称点式:12()()(0)y a x x x x m a =--+≠.若已知二次函数图象上两对称点(x 1,m),(x 2,m),则可设所求二次函数为12()()(0)y a x x x x m a =--+≠,将已知条件代入,求得待定系数,最后将解析式化为一般形式.要点诠释:已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系:).考点四、二次函数2y ax bx c =++(a ≠0) 的图象的位置与系数a 、b 、c 的关系 1.开口方向:a >0时,开口向上,否则开口向下. 2.对称轴:02b a ->时,对称轴在y 轴的右侧;当02ba-<时,对称轴在y 轴的左侧. 3.与x 轴交点:240b ac ->时,有两个交点;240b ac -=时,有一个交点;240b ac -<时,没有交点. 要点诠释:当x =1时,函数y =a+b+c ; 当x =-1时,函数y =a-b+c ;当a+b+c >0时,x =1与函数图象的交点在x 轴上方,否则在下方; 当a-b+c >0时,x =-1与函数图象的交点在x 轴的上方,否则在下方.考点五、二次函数的最值1.当a >0时,抛物线2y ax bx c =++有最低点,函数有最小值,当2bx a=-时,244ac b y a -=最小.2.当a <0时,抛物线2y ax bx c =++有最高点,函数有最大值,当2bx a=-时,244ac b y a -=最大.要点诠释:在求应用问题的最值时,除求二次函数2y ax bx c =++的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围.【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1.二次函数y=x 2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,且图象的对称轴在y 轴的右侧,则k 的值是 . 【思路点拨】因为图象的对称轴在y 轴的右侧,所以对称轴x=k+1>0,即k >-1;又因为二次函数y=x 2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,所以y 最小值= 442(k+3)-(2k+2)=-4,可以求出k 的值.【答案与解析】解:∵图象的对称轴在y 轴的右侧, ∴对称轴x=k+1>0, 解得k >-1,∵二次函数y=x 2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,∴y 最小值= 442(k+3)-(2k+2)=k+3-(k+1)2=-k 2-k+2=-4,整理得k 2+k-6=0, 解得k=2或k=-3,∵k=-3<-1,不合题意舍去, ∴k=2.【总结升华】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.举一反三:【变式】已知24(3)kk y k x +-=+是二次函数,求k 的值.【答案】∵24(3)k k y k x+-=+是二次函数,则242,30k k k ⎧+-=⎨+≠⎩,由242k k +-=得260k k +-=,即(3)(2)0k k +-=,得13k =-,22k =.显然,当k =-3时, 原函数为y =0,不是二次函数. ∴ k =2即为所求.类型二、二次函数的图象及性质的应用2.把抛物线2y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为( ).A .2(1)3y x =--- B .2(1)3y x =-+-C .2(1)3y x =--+ D .2(1)3y x =-++【思路点拨】抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线y=-x 2顶点坐标为(0,0),向左平移1个单位,然后向上平移3个单位后,顶点坐标为(-1,3),根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式. 【答案】 D ;【解析】根据抛物线的平移规律可知:2y x =-向左平移1个单位可变成2(1)y x =-+,再向上平移3个单位后可变成2(1)3y x =-++.【总结升华】(1)2y ax =图象向左或向右平移|h|个单位,可得2()y a x h =-的图象(h <0时向左,h>0时向右). (2)2y ax =的图象向上或向下平移|k|个单位,可得2y ax k =+的图象(k >0时向上,k <0时向下). 举一反三:【变式】将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图象的函 数表达式是( )A .2(1)2y x =-+ B .2(1)2y x =++C .2(1)2y x =-- D .2(1)2y x =+-【答案】按照平移规律“上加下减,左加右减”得2(1)2y x =-+.故选A.类型三、求二次函数的解析式3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0),(-5,0),顶点纵坐标为92,求这个二次函数的解析式. 【思路点拨】将点(1,0),(-5,0)代入二次函数y=ax 2+bx+c ,再由4942ac a =2-b ,从而求得a ,b ,c 的值,即得这个二次函数的解析式. 【答案与解析】解法一:由题意得0,2550,942,2a b c a b c a b c ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-+=⎩ 解得1,22,5.2a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩所以二次函数的解析式为215222y x x =--+. 解法二:由题意得 (1)(5)y a x x =-+.把2x =-92y =代入,得9(21)(25)2a --⨯-+=,解得12a =-. 所以二次函数的解析式为1(1)(5)2y x x =--+,即 215222y x x =--+.解法三:因为二次函数的图象与x 轴的两交点为(1,0),(-5,0),由其对称性知, 对称轴是直线2x =-.所以,抛物线的顶点是92,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 可设函数解析式为29(2)2y a x =++.即215222y x x =--+. 【总结升华】根据题目的条件,有多种方法求二次函数的解析式.举一反三:【高清课程名称:二次函数与中考 高清ID 号:关联的位置名称(播放点名称):经典例题1】 【变式】已知:抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --,. (1)求b c +的值;(2)若3b =,求这条抛物线的顶点坐标;(3)若3b >,过点P 作直线PA y ⊥轴,交y 轴于点A ,交抛物线于另一点B ,且2BP PA =,求这条抛物线所对应的二次函数关系式.(提示:请画示意图思考) 【答案】解:(1)依题意得:2(1)(1)(1)2b c b -+--+=-,2b c ∴+=-.(2)当3b =时,5c =-,2225(1)6y x x x ∴=+-=+- ∴抛物线的顶点坐标是(16)--,.(3)解法1:当3b >时,抛物线对称轴112b x -=-<-, ∴对称轴在点P 的左侧.因为抛物线是轴对称图形,(12)P b --,且2BP PA =.(32)B b ∴--,122b -∴-=-. 5b ∴=.又2b c +=-,7c ∴=-.∴抛物线所对应的二次函数关系式247y x x =+-.解法2:当3b >时,112b x -=-<-, ∴对称轴在点P 的左侧.因为抛物线是轴对称图形, (12)P b --,,且2(32)BP PA B b =∴--,,2(3)3(2)2b c b ∴---+=-.又2b c +=-,解得:57b c ==-,∴这条抛物线对应的二次函数关系式是247y x x =+-.解法3:2b c +=-,2c b ∴=--,2(1)2y x b x b ∴=+---BP x ∥轴,2(1)22x b x b b ∴+---=-即:2(1)20x b x b +-+-=.解得:121(2)x x b =-=--,,即(2)B x b =-- 由2BP PA =,1(2)21b ∴-+-=⨯.57b c ∴==-,∴这条抛物线对应的二次函数关系式247y x x =+-.类型四、二次函数图象的位置与a 、b 、c 的关系yxOBP A4.如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过A 点(3,0),对称轴为x=1,给出四个结论:①b 2-4ac >0;②2a+b=0;③a+b+c=0;④当x=-1或x=3时,函数y 的值都等于0.把正确结论的序号填在横线上 .【思路点拨】根据函数图象得出抛物线开口向下得到a 小于0,且抛物线与x 轴交于两个点,得出根的判别式大于0,即选项①正确;对称轴为x=1,利用对称轴公式列出关于a 与b 的关系式,整理后得到2a+b=0,选项②正确;由图象得出x=1时对应的函数值大于0,将x=1代入抛物线解析式得出a+b+c 大于0,故选项③错误;由抛物线与x 轴的一个交点为A (3,0),根据对称轴为x=1,利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1,从而得到x=-1或x=3时,函数值y=0,选项④正确,即可得出正确的选项序号. 【答案与解析】解:由图象可知:抛物线开口向下,对称轴在y 轴右侧,对称轴为x=1, 与y 轴交点在正半轴,与x 轴有两个交点,∴a <0,b >0,c >0,b 2-4ac >0,选项①正确; 当x=1时,y=a+b+c >0,选项③错误; ∵图象过A 点(3,0),对称轴为x=1,∴另一个交点的横坐标为-1,即坐标为(-1,0), 又12ba-=,∴2a+b=0,选项②正确; ∴当x=-1或x=3时,函数y 的值都等于0,选项④正确, 则正确的序号有①②④. 故答案为:①②④. 【总结升华】此题考查了抛物线图象与系数的关系,其中a 由抛物线的开口方向决定,a 与b 同号对称轴在y 轴左边;a 与b 异号对称轴在y 轴右边,c 的符合由抛物线与y 轴的交点在正半轴或负半轴有关;抛物线与x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负,此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断. 举一反三:【变式】如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分,图象经过点A(-3,0),对称轴为1x =-.给出四个结论:①24b ac >;②20a b +=;③0a b c -+=;④5a b <.其中正确结论是( ).A .②④B .①④C .②③D .①③【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a 、b 、c 的和、差、积的符号问题,其中利用直线1x =,1x =-交抛物线的位置来判断a b c ++,a b c -+的符号问题应注意理解和掌握.由图象开口向下,可知a <0,图象与x 轴有两个交点,所以240b ac =->△,24b ac >, ① 确.对称轴为12bx a=-=-,所以2b a =,又由a <0,b =2a ,可得5a <b ,④正确. 故选B.类型五、求二次函数的最值5.某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为)y 元.(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围.(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上的结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元? 【思路点拨】(1)每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件,当每件商品的售价上涨x 元时,每个月可卖出(210-10x )件,每件商品的利润为x+50-40=10+x ;(2)每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积,即(210-10x )(10+x ),当每个月的利润恰为2200元时得到方程(210-10x )(10+x )=2200.求此方程中x 的值. 【答案与解析】(1)y =(210-l0x)(50+x-40)=-10x 2+110x+2100(0<x ≤15且x 为整数). (2)y =-10(x-5.5)2+2402.5.∵ a =-10<0,∴ 当x =5.5时,y 有最大值2402.5. ∵ 0<x ≤15,且x 为整数,∴ 当x =5时,50+x =55,y =2400(元);当x =6时,50+x =56,y =2400(元).∴ 当售价定为每件55元或56元时,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元. (3)当y =2200时,-10x 2+110x+2100=2200, 解得x 1=1,x 2=10.∴ 当x =1时,50+x =51;当x =10时,50+x =60.∴ 当售价定为每件51元或60元时,每个月的利润为2200元. 【总结升华】做此类应用题时,要明确题目中所给的信息,并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程. 举一反三:【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高l 元,平均每天少销售3箱。
备考2024年中考数学二轮复习-二次函数y=ax^2+bx+c的性质-综合题专训及答案二次函数y=ax^2+bx+c的性质综合题专训1、(2019上海.中考真卷) 在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=x2-2x,其顶点为A.(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况;(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标;②平移抛物线y=x2-2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求新抛物线的表达式.2、(2019朝阳.中考模拟) 在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2-2mx-3m(1)当m=1时,①抛物线的对称轴为直线,②抛物线上一点P到x轴的距离为4,求点P的坐标③当n≤x≤ 时,函数值y的取值范围是- ≤y≤2-n,求n的值(2)设抛物线y=x2-2mx-3m在2m-1≤x≤2m+1上最低点的纵坐标为y0,直接写出y0与m之间的函数关系式及m的取值范围.3、(2017普陀.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2﹣2x+m(m>0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.(1)求点A的坐标;(2)求直线AC的表达式;(3)点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.4、(2019永康.中考模拟) 定义:若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时.则称此抛物线为正抛物线.概念理解:(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC的中点.试证明:以点A为顶点,且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线;问题探究:(2)已知一条抛物线经过x轴的两点E、F(E在F的左边),E(1,0)且EF=2若此条抛物线为正抛物线,求这条抛物线的解析式;(3)将抛物线y1=﹣x2+2 x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2.抛物线y2的顶点为P,与x轴的两个交点分别为M、N(M 在N左侧),把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚,当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚,当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚,依此类推…,请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标.5、(2018鹿城.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴正半轴于点A,M是抛物线对称轴上的一点,,过点M作x轴的平行线交抛物线于点B,在C的左边,交y轴于点D,连结OB,OC.(1)求OA,OD的长.(2)求证:.(3) P是抛物线上一点,当时,求点P的坐标.6、(2018福建.中考模拟) 已知二次函数y=ax2﹣4ax+1(1)写出二次函数图象的对称轴:;(2)如图,设该函数图象交x轴于点A、B(B在A的右侧),交y轴于点C.直线y=kx+b经过点B、C.①如果k=﹣,求a的值②设点P在抛物线对称轴上,PC+PB的最小值为,求点P的坐标.7、(2019河南.中考模拟) 根据下列要求,解答相关问题:(1)请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程①构造函数,画出图象:根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x;抛物线的对称轴x=﹣1,开口向下,顶点(﹣1,2)与x轴的交点是(0,0),(﹣2,0),用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示;②数形结合,求得界点:当y=0时,求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为;③借助图象,写出解集:由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为.(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤,求不等式x2﹣2x+1<4的解集.①构造函数,画出图象;②数形结合,求得界点;③借助图象,写出解集.(3)参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的求根公式,直接写出关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集.8、(2019西安.中考模拟) 已知抛物线y=x2+mx+n的图象经过点(﹣3,0),点(1,0)(1)求抛物线解析式(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.9、(2020乌鲁木齐.中考模拟) 如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A()和B(4,6),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)当C为抛物线顶点的时候,求的面积.(3)是否存在质疑的点P,使的面积有最大值,若存在,求出这个最大值,若不存在,请说明理由.10、(2020松滋.中考模拟) 已知抛物线G:y=x2+(k﹣5)x+1﹣k,其中k为常数.(1)求证:无论k为何值,抛物线G总与x轴有两个交点;(2)若抛物线G的图象不经过第三象限,求k的取值范围;(3)对于一个函数,当自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的对等值.若函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k 有两相异的对等值x1,x2,且x1<2<x2,求k的最大整数值.11、(2020迁安.中考模拟) 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形。
备考2023年中考数学二轮复习-二次函数y=ax^2+bx+c的性质-填空题专训及答案二次函数y=ax^2+bx+c的性质填空题专训1、(2019白山.中考模拟) 如图,点A的坐标为(﹣1,0),点C在y轴的正半轴上,点B在第一象限,CB∥x轴,且CA=CB,若抛物线y=a(x﹣1)2+k经过A,B,C三点,则此抛物线的解析式为________.2、(2019德惠.中考模拟) 如图,已知正方形中,,有一抛物线向上平移个单位()与正方形的边(包括四个顶点)有交点,则的取值范围是________.3、(2017青浦.中考模拟) 抛物线y=﹣ax2+2ax+3(a≠0)的对称轴是________.4、(2018惠山.中考模拟) 已知抛物线y=-x2-2x+3,当-2≤x≤2时,对应的函数值y的取值范围为________ .5、(2019.中考模拟) 在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有________个.6、(2019郫都.中考模拟) 对于一个函数,如果它的自变量 x 与函数值 y 满足:当−1≤x≤1 时,−1≤y≤1,则称这个函数为“闭函数”.例如:y=x,y=−x 均是“闭函数”.已知 y = ax2+ bx + c(a¹0) 是“闭函数”,且抛物线经过点A(1,−1)和点 B(−1,1),则 a 的取值范围是________.7、(2011嘉兴.中考真卷) 如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(﹣1,0),(1,﹣2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是________.8、(2019亳州.中考模拟) 如图,菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2+2ax+2(a<0)的图象上,点A,B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,则点D的坐标为________.9、(2017濮阳.中考模拟) 已知二次函数y=x2+(m﹣2)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是________.10、(2018成都.中考模拟) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣2,0)、B(x1, 0),且1<x1<2,与y轴正半轴的交点在(0,2)的上方,顶点为C.直线y=kx+m(k≠0)经过点C、B.则下列结论:①b>a;②2a ﹣b>﹣1;③2a+c<0;④k>a+b;⑤k<﹣1. 其中正确的结论有________(填序号)11、(2018遵义.中考模拟) 已知x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x2+4x+6的值相等,且m﹣n+2≠0,则当x=3(m+n+1)时,多项式x2+4x+6的值等于________.12、(2019东台.中考模拟) 已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,且经过点P(3,1),则a+b+c的值为________.13、(2020谯城.中考模拟) 已知二次函数,如果x > 0,那么函数值y随着自变量x的增大而________.(填“增大”或“减小”).14、(2022黄冈.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,点C是y轴正半轴上的一个动点,抛物线y=ax2-6ax+5a(a是常数,且a>0)过点C,与x轴交于点A、B,点A在点B的左边.连接AC,以AC为边作等边三角形ACD,点D与点O在直线AC两侧,连接BD,则BD的最小值是________.15、(2020平昌.中考模拟) 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋,AB+BC=10m,拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处,小狗在不能进入小屋内的条件下活动,其可以活动的区域面积为S(m2).(1)如图1,若BC=4m,则S=m2.(2)如图2,现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE 区域,使之变成落地为五边形ABCED的小屋,其他条件不变,则在BC的变化过程中,当S取得最小值时,边BC的长为m.16、(2021宿迁.中考模拟) 已知函数满足下列两个条件:①当时,随的增大而减小;②它的图象经过坐标原点,请写出一个符合上述条件的函数的表达式________.17、(2020亳州.中考模拟) 二次函数的图像的顶点坐标是________.18、(2020秦安.中考模拟) 如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n (m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是。
备考2024年中考数学二轮复习-二次函数y=a(x-h)^2+k的性质-单选题专训及答案二次函数y=a(x-h)^2+k的性质单选题专训1、(2012葫芦岛.中考真卷) 已知二次函数y=a(x+2)2+3(a<0)的图象如图所示,则以下结论:①当x>﹣2时,y随x的增大而增大;②不论a为任何负数,该二次函数的最大值总是3;③当a=﹣1时,抛物线必过原点;④该抛物线和x轴总有两个公共点.其中正确结论是()A . ①②B . ②③C . ②④D . ①④2、(2017房山.中考模拟) 二次函数的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,则下列结论中正确的个数有( )①4+b=0;②;③若点A(-3, ),点B(-, ),点C(5, )在该函数图象上,则<<;④若方程的两根为和,且<,则<-1<5< .A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、(2019西岗.中考模拟) 二次函数y=﹣(x﹣1)2+3图象的对称轴是( )A . .直线x=1B . 直线x=﹣1C . 直线x=3D . 直线x=﹣34、(2017和平.中考模拟) 在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(x+1)2﹣的顶点是()A .(﹣1,﹣) B . (﹣1,) C . (1,﹣) D . (1,)5、(2018哈尔滨.中考模拟) 二次函数y=2(x-3)2-1的顶点坐标是().A . (3,1)B . (3,-1)C . (-3,1)D . (-3,-1)6、(2019乐清.中考模拟) 关于抛物线,下列说法正确的是()A . 对称轴是直线,有最小值是B . 对称轴是直线,有最大值是C . 对称轴是直线,有最大值是D . 对称轴是直线,有最小值是7、(2018西湖.中考模拟) 已知二次函数y=﹣x2+2mx,以下点可能成为函数顶点的是()A . (﹣2,4)B . (1,2)C . (﹣1,﹣1)D . (2,﹣4)8、(2018绍兴.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,下列结论:①c<0;②b>0;③4a+2b+c>0;④(a+c)2<b2.其中不正确的有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9、(2016慈溪.中考模拟) 在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象顶点为A,与y轴交于点B.若在该二次函数图形上取一点C,在x轴上取一点D,使得四边形ABCD为平行四边形,则D点的坐标为()A . (﹣9,0)B . (﹣6,0)C . (6,0)D . (9,0)10、(2015台州.中考真卷) 设二次函数y=(x﹣3)2﹣4图象的对称轴为直线l,若点M在直线l上,则点M的坐标可能是( )A . (1,0)B . (3,0)C . (﹣3,0)D . (0,﹣4)11、(2017全椒.中考模拟) 二次函数y=x2﹣2x的顶点为()A . (1,1)B . (2,﹣4)C . (﹣1,1)D . (1,﹣1)12、(2017青岛.中考模拟) 已知抛物线y=a(x﹣3)2+ 过点C(0,4),顶点为M,与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆,记作⊙D,下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=3;②点C在⊙D外;③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形;④直线CM与⊙D相切.正确的结论是()A . ①③B . ①④C . ①③④D . ①②③④13、(2017潍坊.中考模拟) 二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,下列说法错误的是()A . 点C的坐标是(0,1)B . 线段AB的长为2C . △ABC是等腰直角三角形D . 当x>0时,y随x增大而增大14、(2018青岛.中考真卷) 已知一次函数y= x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是()A .B .C .D .15、(2016广州.中考真卷) 对于二次函数y=﹣ +x﹣4,下列说法正确的是()A . 当x>0时,y随x的增大而增大B . 当x=2时,y有最大值﹣3C . 图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7)D . 图象与x轴有两个交点16、(2019鄂州.中考真卷) 二次函数的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc﹤0②3a+c﹥0③(a+c)2-b2﹤0④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个17、(2017娄底.中考模拟) 抛物线y=2(x﹣3)2的顶点在()A . 第一象限B . 第二象限C . x轴上D . y轴上18、(2016深圳.中考模拟) 关于二次函数y=﹣(x﹣3)2﹣2的图象与性质,下列结论错误的是( )A . 抛物线开口方向向下B . 当x=3时,函数有最大值﹣2C . 当x>3时,y随x的增大而减小D . 抛物线可由y=x2经过平移得到19、(2019河池.中考模拟) 抛物线y=﹣(x﹣8)2+2的顶点坐标是()A . (2,8)B . (8,2)C . (﹣8,2)D . (﹣8,﹣2)20、(2013南宁.中考真卷) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是( )A . 图象关于直线x=1对称B . 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4C . ﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根D . 当x<1时,y随x的增大而增大21、(2018资中.中考模拟) 抛物线y=﹣(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是()A . (4,﹣5),开口向上B . (4,﹣5),开口向下C . (﹣4,﹣5),开口向上D . (﹣4,﹣5),开口向下22、(2020虹口.中考模拟) 抛物线y=3(x+1)2+1的顶点所在象限是()A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限23、(2020苏州.中考模拟) 二次函数y=(x﹣4)2+3 的最小值是()A . 2B . 3C . 4D . 524、(2020哈尔滨.中考模拟) 抛物线y=(x+3)²+4的顶点坐标为()A . (-3,4)B . (3,4)C . (4,3)D . (4, -3)25、(2020呼和浩特.中考模拟) 下列命题是真命题的是( )A . 多边形的内角和为360°B . 若2a﹣b=1,则代数式6a﹣3b﹣3=0C . 二次函数y=(x﹣1)2+2的图象与y轴的交点的坐标为(0,2)D . 矩形的对角线互相垂直平分26、(2020东城.中考模拟) 若点在抛物线上,则下列结论正确的是()A .B .C .D .27、(2020温州.中考模拟) 下列抛物线中,其顶点在反比例函数y= 的图象上的是( )A . y=(x-4)2+3B . y=(x-4)2-3C . y=(x+2)2+1D . y=(x+2)2-128、(2021长沙.中考模拟) 下列关于二次函数的说法,正确的是()A . 对称轴是直线B . 当时有最小值-5C . 顶点坐标是(3,5)D . 当时,y随x的增大而减小29、已知抛物线y=a(x﹣3)2+过点C(0,4),顶点为M,与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆,记作⊙D,下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=3;②点C在⊙D外;③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形;④直线CM与⊙D相切。
备考2023年中考数学二轮复习-函数_二次函数_二次函数图象与系数的关系二次函数图象与系数的关系专训单选题:1、(2017永修.中考模拟) 如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,其中B 点坐标为(4,0),直线DE是抛物线的对称轴,且与x轴交于点E,CD⊥DE于D,现有下列结论:①a<0,②b<0,③b2﹣4ac>0,④AE+CD=4下列选项中选出的结论完全正确的是()A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ①②2、(2015武汉.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的xX ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论:(1)ac<0;(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.其中正确的个数为()A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个3、(2011崇左.中考真卷) 已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是()A . ①⑤B . ①②⑤C . ②⑤D . ①③④4、(2011玉林.中考真卷) 已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax﹣1经过的象限是()A . 第一、二、三象限B . 第二、三、四象限C . 第一、二、四象限D . 第一、三、四象限5、(2020上海.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的图像大致为( )A .B .C .D .6、(2020涪城.中考模拟) 在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2-bx 的图象可能是()A .B .C .D .7、(2020来宾.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c(a子0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>3b;③若点A(-3,0)、B( ,y2)、C( ,y3)在该函数图象上则y1<y3<y2;④若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1≤-1<5<x2,其中正确的结论有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8、(2021邵阳.中考模拟) 在同一平面直角坐标系中,函数与的大致图象可能为()A .B .C .D .9、(2021枣庄.中考真卷) 二次函数的部分图象如图所示,对称轴为,且经过点.下列说法:① ;② ;③ ;④若,是抛物线上的两点,则;⑤ (其中).正确的结论有()A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个10、已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:①;② ;③ ;④();⑤若方程=1有四个根,则这四个根的和为2,其中正确的结论有()A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个填空题:11、(2018河东.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠﹣1),其中正确结论的是________(只填序号).12、(2017盘锦.中考模拟) 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣其中正确的结论个数有________ (填序号)13、(2017威海.中考模拟) 如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④4a﹣2b+c>0,其中正确的个数为________.14、(2018黄冈.中考真卷) 在-4,-2,1,2四个数中,随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a,b的值,则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为________.15、(2018岳阳.中考模拟) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:① c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am +bm+a>0(m≠﹣1);⑤设A(100,y),B(﹣100,y )在该抛物线上,则y>y .其中正确的结论有________ .(写出所有正确结论的序号)16、(2019河池.中考模拟) 抛物线的部分图象如图所示,与轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴是直线,下列结论:① ;② ;③方程有两个不相等的实数根;④抛物线与轴的另一个交点坐标为,其中正确的结论有________.17、(2020铁西.中考模拟) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>3b;③,3a+c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.⑤ (m为任意实数)其中正确的结论有________.(填序号)18、(2021怀化.中考模拟) 已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点.给出下列结论:① ;② ;③ ,是关于的一元二次方程的两个实数根.其中正确的结论是(填写序号).解答题:19、(2013杭州.中考真卷) 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点1= x+n的图A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2随着x的增大而减小时,求自变象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1量x的取值范围.20、(2014杭州.中考真卷) 复习课中,教师给出关于x的函数y=2kx2﹣(4k+1)x﹣k+1(k是实数).教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选出以下四条:①存在函数,其图象经过(1,0)点;②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;③当x>1时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数.教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.21、(2019巴中.中考真卷) 如图,抛物线经过x轴上的点A(1,0)和点B及y轴上的点C,经过B、C两点的直线为.①求抛物线的解析式.②点P从A出发,在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动,同时点E从B 出发,在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t秒,求t为何值时,△PBE的面积最大并求出最大值.③过点A作于点M,过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点N的横坐标.22、(2018杭州.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2-(2m+1)x+m -5的图象与x轴有两个公共点.()求m的取值范围;()若m取满足条件的最小的整数,①写出这个二次函数的表达式;②当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是-6≤y≤4-n,求n的值;③将此二次函数图象平移,使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x-h)2 +k,当x<2时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.23、(2019五华.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0(其中k为常数).(1)求证无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.二次函数图象与系数的关系答案1.答案:C2.答案:B3.答案:A4.答案:D5.答案:C6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:16.答案:17.答案:18.答案:19.答案:20.答案:21.答案:22.答案:23.答案:。
(全国通用)专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.【例1】(2022•武汉模拟)抛物线y=x2﹣2x+m的顶点A在x轴上,与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,直线CD∥AB交抛物线于C,D两点,若,求△COD的面积;(3)如图2,P为抛物线对称轴上顶点下方的一点,过点P作直线交抛物线于点E,F,交x轴于点M,求的值.【例2】(2022•黄石)如图,抛物线y=﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A,B,C三点,P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.(1)A,B,C三点的坐标为,,.(2)连接AP,交线段BC于点D,①当CP与x轴平行时,求的值;②当CP与x轴不平行时,求的最大值;(3)连接CP,是否存在点P,使得∠BCO+2∠PCB=90°,若存在,求m的值,若不存在,请说明理由.【例3】(2022•河南三模)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4交x轴于A,B两点,交y轴于点C,OB=2OC=4OA,连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式;(2)点D是抛物线y=ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点,DE⊥x轴于点E,交BC于点F.设点D的横坐标为m.①请用含m的代数式表示线段DF的长;②已知DG∥AC,交BC于点G,请直接写出当时点D的坐标.【例4】(2021•大庆)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1).(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=﹣2的距离总相等.①证明上述结论并求出点F的坐标;②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点.证明:当直线l绕点F旋转时,+是定值,并求出该定值;(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,直接写出P,Q的坐标.1.(2020•道里区二模)已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=﹣+bx+3交x轴于A、B两点(点B在点A的右边)交y轴于点C,OB=3OC.(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点E是第一象限抛物线上的点,连接BE,过点E作ED⊥OB于点D,tan∠EBD=,求△BDE的面积;(3)如图3,在(2)的条件下,连接BC交DE于点Q,点K是第四象限抛物线上的点,连接EK交BC于点M,交x轴于点N,∠EMC=45°,过点K作直线KT⊥x轴于点T,过点E作EL∥x轴,交直线KT于点L,点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点,连接ET、LF,LF的延长线交ET于点P,连接DP并延长交EL于点S,SE=2SL,求点F的坐标.2.(2020•三明二模)如图,抛物线y=x2+mx(m<0)交x轴于O,A两点,顶点为点B.(Ⅰ)求△AOB的面积(用含m的代数式表示);(Ⅱ)直线y=kx+b(k>0)过点B,且与抛物线交于另一点D(点D与点A不重合),交y轴于点C.过点C作CE∥AB交x轴于点E.(ⅰ)若∠OBA=90°,2<<3,求k的取值范围;(ⅱ)求证:DE∥y轴.3.(2022•杜尔伯特县一模)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3),抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)若点E在x轴上,且∠ECB=∠CBD,求点E的坐标.(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M.①求线段PM长度的最大值.②在①的条件下,若F为y轴上一动点,求PH+HF+CF的最小值.4.(2020•江岸区校级一模)已知:抛物线y=x2+x+m交x轴于A,B两点,交y轴于点C,其中点B在点A的右侧,且AB=7.(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点D在第一象限内抛物线上,连接CD,AD,AD交y轴于点E.设点D的横坐标为d,△CDE的面积为S,求S与d之间的函数关系式(不要求写出自变量d的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DH⊥CE于点H,点P在DH上,连接CP,若∠OCP=2∠DAB,且HE:CP=3:5,求点D的坐标及相应S的值.5.(2020•涡阳县一模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(﹣1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).(1)求抛物线的解析式.(2)点P是直线上方的抛物线上的一个动点,求△ABP的面积最大时的P点坐标.(3)若点P是抛物线上的一个动点(不与点A点B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB 于点E.当PE=2ED时,求P点坐标;(4)设抛物线与y轴交于点F,在抛物线的第一象限内,是否存在一点M,使得AM被FC平分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,说明理由.6.(2021•桂林)如图,已知抛物线y=a(x﹣3)(x+6)过点A(﹣1,5)和点B(﹣5,m),与x轴的正半轴交于点C.(1)求a,m的值和点C的坐标;(2)若点P是x轴上的点,连接PB,P A,当=时,求点P的坐标;(3)在抛物线上是否存在点M,使A,B两点到直线MC的距离相等?若存在,求出满足条件的点M的横坐标;若不存在,请说明理由.7.(2021•甘肃)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积;(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值.8.(2021•丽水)如图,已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(0,﹣5),B(5,0).(1)求b,c的值;(2)连结AB,交抛物线L的对称轴于点M.①求点M的坐标;②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L1.过点M作MN∥y轴,交抛物线L1于点N.P是抛物线L1上一点,横坐标为﹣1,过点P作PE∥x轴,交抛物线L于点E,点E在抛物线L对称轴的右侧.若PE+MN=10,求m的值.9.(2020•陕西)已知抛物线L:y=﹣x2+bx+c过点(﹣3,3)和(1,﹣5),与x轴的交点为A,B(点A 在点B的左侧).(1)求抛物线L的表达式;(2)若点P在抛物线L上,点E、F在抛物线L的对称轴上,D是抛物线L的顶点,要使△PEF∽△DAB (P的对应点是D),且PE:DA=1:4,求满足条件的点P的坐标.10.(2020•盘锦)如图1,直线y=x﹣4与x轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C(0,4),△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移,平移后的三角形记为△DEF (点A,B,O的对应点分别为点D,E,F),平移时间为t(0<t<4)秒,射线DF交x轴于点G,交抛物线于点M,连接ME.(1)求抛物线的解析式;(2)当tan∠EMF=时,请直接写出t的值;(3)如图2,点N在抛物线上,点N的横坐标是点M的横坐标的,连接OM,NF,OM与NF相交于点P,当NP=FP时,求t的值.11.(2022•深圳三模)如图1,抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣5,0),点B(﹣1,﹣2).(1)求抛物线解析式;(2)如图2,点P为抛物线上第三象限内一动点,过点Q(﹣4,0)作y轴的平行线,交直线AP于点M,交直线OP于点N,当点P运动时,4QM+QN的值是否变化?若变化,说明变化规律,若不变,求(3)如图3,长度为的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上),连接OD,过点C作CE∥OD交抛物线于点E,线段CD在移动的过程中,直线CE经过一定点F,直接写出定点F的坐标与的最小值.12.(2022•阿克苏地区一模)如图1.抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,已知点B(4,0).(1)若C(0,3),求抛物线的解析式.(2)在(1)的条件下,P(﹣2,m)为该抛物线上一点,Q是x轴上一点求的最小值,并求此时点Q的坐标.(3)如图2.过点A作BC的平行线,交y轴与点D,交抛物线于另一点E.若DE=7AD,求c的值.13.(2022•松江区二模)如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.(1)求抛物线的表达式;(2)P是抛物线上一点,且位于直线AB上方,过点P作PM∥y轴、PN∥x轴,分别交直线AB于点M、①当MN=AB时,求点P的坐标;②联结OP交AB于点C,当点C是MN的中点时,求的值.14.(2022•游仙区模拟)如图,抛物线与坐标轴分别交于A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在点P,使得∠CBP=∠ACO,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)如图2,Q是△ABC内任意一点,求++的值.15.(2022•龙岩模拟)抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,4)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式(用含a的式子表示);(2)当a>0时,连接AB,BC,若tan∠ABC=,求a的值;(3)直线y=﹣x+m与线段AB交于点P,与抛物线交于M,N两点(点M在点N的左侧),若PM•PN =6,求m的值.16.(2022•雷州市模拟)如图(1),抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(﹣6,0)、B(2,0),与y轴交于点C,抛物线对称轴交抛物线于点M,交x轴于点N.点P是抛物线上的动点,且位于x轴上方.(1)求抛物线的解析式.(2)如图(2),点D与点C关于直线MN对称,若∠CAD=∠CAP,求点P的坐标.(3)直线BP交y轴于点E,交直线MN于点F,猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系,并证明.17.(2022•马鞍山二模)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3交x轴于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于C点,直线y=kx(k<0)交线段BC下方抛物线于D点,交BC于E点(1)分别求出a、b的值;(2)求出线段BC的函数关系式,并写出自变量取值范围;(3)探究是否有最大值,若存在,请求出此时k值,若不存在,请说明理由.18.(2022•南岗区校级二模)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=﹣ax2+6ax+6与y 轴交于点B,交x轴的负半轴于点A,交x轴的正半轴于点C,且S△ABC=30.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点P为第一象限抛物线上一点,其横坐标为t,PD⊥x轴于点D,设tan∠P AD等于m,求m与t之间的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,当m=时,过点B作BN⊥AB交∠P AC的平分线于点N,点K在线段AB上,点M在线段AN上,连接KM、KN,∠MKN=2∠BNK,作MT⊥KN于点T,延长MT交BN 于点H,若NH=4BH,求直线KN的解析式.19.(2022•江汉区校级模拟)如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)若C(0,﹣3),求抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,E是线段BC上一动点,AE交抛物线于F点,求的最大值;(3)如图2,点N为y轴上一点,AN、BN交抛物线于E、F两点,求•的值.20.(2022•成都模拟)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y 轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标及抛物线的对称轴;(2)如图1,点P(1,m),Q(1,m﹣2)是两动点,分别连接PC,QB,请求出|PC﹣QB|的最大值,并求出m的值;(3)如图2,∠BAC的角平分线交y轴于点D,过D点的直线l与射线AB,AC分别于E,F,当直线l 绕点D旋转时,是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.21.(2022•沈阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(点A 在点B左侧),与y轴交于点C,直线l:y=kx+b经过点B,点C,点P是抛物线上一动点,连接OP交直线BC于点D.(1)求直线l的解析式;(2)当=时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,点N是直线BC上一动点,连接ON,过点D作DF⊥ON于点F,点F在线段ON上,当OD=DF时,请直接写出点N的坐标.22.(2022•沈阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣过点A(3,2)和点B (,0),与x轴的另一个交点为点C.(1)求抛物线的函数表达式.(2)判断△ABC的形状,并说明理由.(3)点D在线段BC上,连接AD,作DE⊥AD,且DE=AD,连接AE交x轴于点F.点F不与点C 重合,射线DP⊥AE,交AE于点P,交AC于点Q.①当AD=AF时,请直接写出∠CAE的度数;②当=时,请直接写出CQ的长.。
备考2023年中考数学二轮复习-函数_二次函数_二次函数的实际应用-销售问题二次函数的实际应用-销售问题专训1、(2017岱岳.中考模拟) 山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%,其中尤其是乡村旅游最为火爆.泰山脚下的某旅游村,为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出,若每张床位每天收费提高20元,则相应的减少了10张床位租出,如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是()A . 140元B . 150元C . 160元D . 180元填空题:2、(2016扬州.中考真卷) 某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t 为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为________.3、(2017天津.中考模拟) 某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为________元时,该服装店平均每天的销售利润最大.4、(2013衢州.中考真卷) 某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种________棵橘子树,橘子总个数最多.5、(2018贺州.中考真卷) 某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为________元.6、(2021新蔡.中考模拟) 某商品进货单价为30元,按40元一个销售能卖40个;若销售单价每涨1元,则销量减少1个.为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为________元.7、(2020天门.中考真卷) 某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为________元.8、某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为元时,才能使每天所获销售利润最大.9、(2021连云港.中考真卷) 某快餐店销售A、B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是元.解答题:10、(2017盘锦.中考真卷) 端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况,请根据小梅提供的信息,解答小慧和小杰提出的问题.(价格取正整数)11、(2017宁波.中考模拟) 宁波某公司经销一种绿茶,每千克成本为元.市场调查发现,在一段时间内,销售量(千克)随销售单价(元/千克)的变化而变化,具体关系式为:.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为(元),解答下列问题:(1)求与的关系式;(2)当销售单价取何值时,销售利润的值最大,最大值为多少?(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元/千克,公司想要在这段时间内获得元的销售利润,销售单价应定为多少元?12、(2017湖州.中考模拟) 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:销售量n(件)n=50﹣x销售单价m(元/件)当1≤x≤20时,当21≤x≤30时,(1)请计算第15天该商品单价为多少元/件?(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?13、(2017顺德.中考模拟) 某商店购买一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半月内可以售出400件.据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高一元,销售量相应减少20件.如何提高销售价,才能在半月内获得最大利润?14、(2019天宁.中考模拟) 某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时,每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润:方案一:提高价格,但这种商品每个售价涨价1元,销售量就减少10个;方案二:售价不变,但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时,每月销售量将是原销售量的p倍,且p= .试通过计算,请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案?请说明你判断的理由!15、(2017义乌.中考模拟) 某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y (万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:价格x(元/个)…30 40 50 60 …销售量y(万个)… 5 4 3 2 …同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式.(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?16、(2014台州.中考真卷) 某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A 类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s (单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.二次函数的实际应用-销售问题答案1.答案:C2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:16.答案:。
2023年中考数学专题复习:二次函数综合压轴题(动点问题)1.抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -,,()30B ,,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点,作DE x ⊥轴于点E ,交BC 于点F ,过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴、x 轴、y 轴分别交于点G ,N ,H ,设点D 的横坐标为m .①当DF HF +取最大值时,求点F 的坐标;②连接EG ,若45GEH ∠=︒,求m 的值.2.如图,已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -,()5,0B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ,使得PA PC +的值最小,求此时点P 的坐标;(3)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点(不与点C 、B 重合),过点D 作DF x ⊥轴于点F ,交直线BC 于点E ,连接BD ,直线BC 把BDF V 的面积分成两部分,若:3:2BDE BEF S S =V V ,请求出点D 的坐标.3.如图1,对于平面内小于等于90︒的MON ∠,我们给出如下定义:若点P 在MON ∠的内部或边上,作PE OM ⊥于点E ,PF ON ⊥于点F ,则将PE PF +称为点P 与MON ∠的“点角距”,记作(),d MON P ∠.如图2,在平面直角坐标系xOy 中,x 、y 正半轴所组成的角为xOy ∠.(1)已知点()5,0A 、点()3,2B ,则(),d xOy A ∠=______ ,(),d xOy B ∠=______.(2)若点P 为xOy ∠内部或边上的动点,且满足(),5d xOy P ∠=,在图2中画出点P 运动所形成的图形.(3)如图3,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线212y x mx n =-++经过()5,0A 与点()3,4D 两点,点Q 是A 、D 两点之间的抛物线上的动点(点Q 可与A 、D 两点重合),求当(),d xOD Q ∠取最大值时点Q 的坐标.4.如图,抛物线2134y ax bx =++与x 轴交于点()30A -,和点B ,点D 是抛物线1y 的顶点,过点D 作x 轴的垂线,垂足为点()10C -,.(1)求抛物线1y 所对应的函数表达式;(2)如图1,点M 是抛物线1y 上一点,且位于x 轴上方,横坐标为m ,连接MC ,若MCB DAC ∠=∠,求m 的值;(3)如图2,将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y .点P 为抛物线1y 上的一个动点,过点P 作y 轴的平行线,交抛物线2y 于点Q ,过点Q 作x 轴的平行线,交抛物线2y 于点R .当以点P ,Q ,R 为顶点的三角形与ACD V 全等时,请直接写出点P 的坐标.5.如图,抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点()0,6C ,顶点为D ,且()1,8D .(1)求抛物线的解析式;(2)若在线段BC 上存在一点M ,过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ,且MO HO =,求点M 的坐标;(3)点P 是y 轴上一动点,点Q 是在对称轴上一动点,是否存在点P ,Q ,使得以点P ,Q ,C ,D 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -,与x 轴负半轴交于点B ,与y 轴交于点C ,连接AB ,BC .(1)填空:b =______;(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点,过点P 作PT x ⊥轴,垂足为T ,PT 交AB 于点Q ,求线段PQ 的最大值;(3)点D 是y 轴正半轴上一点,若∠=∠BDC ABC ,求点D 的坐标.7.如图,抛物线2y x bx c =++(b ,c 是常数)的顶点为C ,与x 轴交于A ,B 两点,()1,0A ,4AB =(1)求该抛物线的解析式;(2)点P 为线段AB 上的动点,过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ,求CPQ V 面积的最大值,并求此时P 点坐标;(3)如图,设抛物线与y 轴交于点D ,平行于BD 的直线MN 交抛物线于点M ,N ,作直线MB ND 、交于点G ,问点G 是否在某一定直线上运动,若在求此直线的解析式,若不在说明理由.8.如图,已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10,和B ()30,,与y 轴交于点C ,D 是抛物线的顶点,对称轴与x 轴交于E .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ,使A M C V 的周长最小,M 的坐标__________周长的最小值______.(3)如图2,点P 是x 轴上的动点,过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G .设点P 的横坐标为m .是否存在点P ,使FG 最长?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.9.如图1,抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ,B (点A 在点B 左侧),交y 轴于点C ,且3O B O C O A ==,点D 为抛物线上第四象限的动点.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,直线AD 交BC 于点P ,连接AC BD ,,若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ,当12S S -的值最小时,求直线AD 的解析式.(3)如图2,直线BD 交抛物线的对称轴于点N ,过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ,当点D 运动时,线段MN 的长度是否会改变?若不变,求出其值;若变化,求出其变化的范围.10.已知抛物线23y ax bx =++(0a ≠)交x 轴于()0A 1,和()30B -,,交y 轴于C .(1)求抛物线的解析式;(2)若M 为抛物线上第二象限内一点,求使MBC V 面积最大时点M 的坐标;(3)若F 是对称轴上一动点,Q 是抛物线上一动点,是否存在F 、Q ,使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q 的坐标.11.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于()20A -,,()40B ,,()08C ,三点,点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)动点P 运动到什么位置时,PBC V 的面积最大,求此时P 点坐标及PBC V 面积的最大值;(3)在y 轴上是否存在点Q ,使以O ,B ,Q 为顶点的三角形与AOC V 相似?若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.12.如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -,()3,0B 两点,与y 轴交于点C .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E 是线段BC 上的一个动点,平行于y 轴的直线EF 交抛物线于点F ,求FBC V 面积的最大值;(3)设点P 是(1)中抛物线上的一个动点,是否存在满足6PAB S =△的点P ?如果存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图,抛物线2y ax bx =+经过()()3,0,2,10A B -两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点,求PAB V 面积的最大值;(3)点M 是直线AB 上的一个动点,将点M 向左平移3个单位长度得到点N ,设点M 的横坐标为m ,若线段MN 与抛物线只有一个公共点,请直接写出m 的取值范围.14.如图,在平面直角坐标系中,直线122y x =-与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线212y x bx c =++经过A ,C 两点,与x 轴的另一交点为点B ,点P 为抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当ACP △的面积与ABC V 的面积相等时,求点P 的坐标;(3)是否存在点P ,使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠,若存在,请直接写出点P 的横坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,已知拋物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A ,()3,0B -,与y 轴交于点()0,3C -.点P 是抛物线上一动点,且在直线BC 的下方,过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ,交直线BC 于点E .(1)求抛物线的函数解析式;(2)连接CP ,若45CPD ∠=︒,求点P 的坐标;(3)连接BP ,求四边形OBPC 面积的最大值.16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线28y x bx =-++与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,直线y x t =-过点B ,与y 轴交于点D ,点C 与点D 关于x 轴对称.点P 是线段OB 上一动点,过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ,交直线BD 于点N .(1)求抛物线的解析式;(2)当MDB △的面积最大时,求点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,在y 轴上是否存在点Q ,使得以Q ,M ,N ,D 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在;说明理由17.如图,抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ,与y 轴相交于点C .(1)请直接写出点A ,B ,C 的坐标;(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点,当PBC V 的面积最大时求出点P 的坐标,并求出PBC V 面积的最大值.(3)点F 是抛物线上的动点,作FE AC ∥交x 轴于点E ,是否存在点F ,使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请写出所有符合条件的点F 的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线21=2y x bx c ++经过点()4,0A -,点M 为抛物线的顶点,点B 在y 轴上,直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C .(1)求抛物线的解析式;(2)连接OC ,点Q 是直线AC 上不与A 、B 重合的点,若2OAQ OAC S S =V V ,请求出点Q 的坐标;(3)在x 轴上有一动点H ,平面内是否存在一点N ,使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N 的坐标,若不存在,请说明理由.参考答案:1.(1)223y x x =-++(2)①点F 的坐标为⎝⎭;②1或952.(1)245y x x =-++(2)()2,3P (3)335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.(1)5,5 (3)54,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4.(1)21113424y x x =--+(2)2-(3)304⎛⎫ ⎪⎝⎭,或524⎛⎫- ⎪⎝⎭,5.(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6.(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.(1)223y x x =+-(2)CPQ V 面积的最大值为2,此时P 点坐标为()1,0-(3)在,3y x =--8.(1)2=+43y x x --(2)()21-,(3)存在,m 的值为329.(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变,值为810.(1)223y x x =--+ (2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭, (3)存在,点Q 的坐标为()23-,或()45-,-或()25,-11.(1)228y x x =-++(2)当P 点坐标为()28,时,PBC V 的最大面积为8; (3)存在,点Q 的坐标为()016,或()016-,或()01,或()01-,.12.(1)2=23y x x -- (2)278(3)存在,点P 的坐标为()1或()1或()0,3-或()2,3-13.(1)23y x x =-(2)PAB S V 最大值为1258(3)23m -≤<或34m <<或338m =14.(1)抛物线的函数表达式为213222y x x =-- (2)点P 的坐标为(5,3)P(3)存在,点P 的横坐标为2911或7.15.(1)223y x x =+- (2)(14)--, (3)63816.(1)278y x x =-++(2)()3,0(3)存在,()0,17Q 或()0,33-17.(1)()2,0A -,()6,0B ,()0,6C - (2)点P 的坐标为153,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时,PBC S V 有最大值272(3)存在,点F 的坐标为()4,6-或()2+或()2-18.(1)21=22y x x + (2)()8,12或()16,12--(3)()2N +或()2N -或()2,6N -或()4,6-。
华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题14 二次函数一、综合题1.(2022九上·青田期中)如图,抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于点A ,点B ,与y 轴交于点C ,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是抛物线上的一个动点.(1)求直线BD 的解析式;(2)当点P 在第一象限时,求四边形BOCP 面积的最大值,并求出此时P 点的坐标;(3)在点P 的运动过程中,是否存在点P ,使△BDP 是以BD 为直角边的直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2022九上·莲都期中)已知,点M 为二次函数y =﹣(x ﹣b )2+4b+1图象的顶点,直线y =mx+5分别交x 轴正半轴,y 轴于点A ,B.(1)判断顶点M 是否在直线y =4x+1上,并说明理由.(2)如图1,若二次函数图象也经过点A ,B ,且mx+5>﹣(y ﹣b )2+4b+1,根据图象,写出x 的取值范围.(3)如图2,点A 坐标为(5,0),点M 在△AOB 内,若点C (14,y 1),D (34,y 2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.3.(2022九上·定海期中)设抛物线y=(x−m)(x−n)(m、n是实数).(1)若m=2,n=1,求二次函数的对称轴,并求出该函数的最小值;(2)当m=−3,n=1时,已知抛物线y=(x+3)(x−1)与x轴交于A,B两点(点A在点B 的左侧),将这条抛物线向右平移a(a>0)个单位,平移后的抛物线于x轴交于C,D两点(点C 在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,求a的值;(3)当0<m<n<1时,已知二次函数的图象经过(0,p),(1,q)两点(p,q是实数),求证:0<pq<1 16 .4.(2022九上·南湖期中)如图,二次函数y1=−x2+bx+c的图象与一次函数y2的图象交于点A(a,1),B(3,4).(1)若y2的解析式为y2=32x−12,求点A的坐标和y1的函数表达式;(2)在(1)的条件下若点P(m,0)是x轴上一点,过点P做直线l垂直x轴于点P,直线l与函数y1,y2交于点M,N,当线段MN=1时,求m的值;(3)若点C(n,1)(n>a)是二次函数y1上的点,且AC=5,请直接写出二次函数y1的对称轴. 5.(2022九上·嘉兴期中)如图1,已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O,它的对称轴是直线x=2,动点P从抛物线的顶点A出发,在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动,设动点P运动的时间为t 秒,连接OP并延长交抛物线于点B,连接OA,AB.(1)求抛物线的函数解析式;(2)当△AOB为直角三角形时,求t的值;(3)如图2,⊙M为△AOB的外接圆,在点P的运动过程中,点M也随之运动变化,请你探究:在1≤t≤5时,求点M经过的路径长度.6.(2022九上·津南期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(4,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式及对称轴;(2)直线l为该抛物线的对称轴,点D与点C关于直线l对称,点P为直线AD下方抛物线上一动点,连接PA,PD,求△PAD面积的最大值.7.(2022九上·浦江期中)如图,在平面直角坐标系中,经过点A(4,0)的直线AB与y轴交于点B (0,4).经过原点O的抛物线y=﹣x2+bx+c交直线AB于点A,C,抛物线的顶点为D.(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;(2)M是线段AB上一点,N是抛物线上一点,当MN△y轴且MN=2时,求点M的坐标;(3)P是抛物线上一动点,Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.8.(2022九上·舟山月考)如图,抛物线y=−x2+mx+n交x轴于点A(−2,0)和点B,交y轴于点C(0,2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点M在抛物线上,且S△AOM=2S△BOC,求点M的坐标.9.(2022九上·新昌期中)已知菱形OABC的边长为5,且点A(3,4),点E是线段BC的中点,过点A,E的抛物线y=ax2+bx+c与边AB交于点D,(1)求点E 的坐标;(2)连接DE ,将△BDE 沿着DE 翻折.①当点B 的对应点B ′恰好落在线段AC 上时,求点D 的坐标;②连接OB ,BB ′,若△BB ′D 与△BOC 相似,请直接写出此时抛物线二次项系数a = . 10.(2022九上·舟山期中)已知抛物线y =ax 2−3ax −4a 与x 轴交于A 、B 两点(A 左B 右),交y 轴负半轴点C ,P 是第四象限抛物线上一点.(1)若S △ABC =5,求a 的值;(2)若a =1,过点P 作直线垂直于x 轴,交BC 于点Q ,求线段PQ 的最大值,并求此时点P 的坐标;(3)直线AP 交y 轴于点M ,直线BP 交y 轴于点N ,求4OM+ON OC的值. 11.(2022九上·龙港期中)如图,抛物线y =−x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),点B (3,0),与y 轴交于点C ,点D 在射线CO 上运动.(1)求该抛物线的表达式和对称轴.(2)过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,F(点E在点F的左侧),若EF=2OC,求点E的坐标.(3)记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P,当点P到x轴的距离等于1时,求出所有符合条件的线段EF的长.12.(2022·攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为坐标原点),A两点,且二次函数的最小值为−1,点M(1,m)是其对称轴上一点,y轴上一点B(0,1).(1)求二次函数的表达式;(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连结PA,PB,设点P的横坐标为t,△PAB的面积为S,求S与t的函数关系式;(3)在二次函数图象上是否存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有符合条件的点N的坐标,若不存在,请说明理由.答案解析部分1.【答案】(1)解:对于y=−x2+2x+3①,令x=0,则y=3,令y=−x2+2x+3=0,解得x=−1或3,故点A、B、C的坐标分别为(−1,0)、(3,0)、(0,3),∵点D与点C关于x轴对称,故点D(0,−3),设直线BD的表达式为y=kx+b,则{b=−30=3k+b,解得{k=1b=−3,故直线BD的表达式为y=x−3(2)解:连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,由点B、C的坐标,同理可得,直线BC的表达式为y=−x+3,设点P(x,−x2+2x+3),则点H(x,−x+3),则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB=12×OB⋅OC+12×PH×OB=12×3×3+12×3×(−x 2+2x+3+x−3)=−32x2+92x+92,∵−32<0,故四边形BOCP面积存在最大值,当x=32时,四边形BOCP面积最大值为458,此时点P(32,154);(3)解:存在,理由:①当∠PBD为直角时,如上图所示,此时点P与点C重合,过点P的坐标为(0,3);②当∠PDB为直角时,由BD的表达式知,直线BD与x轴的倾斜角为45°,当∠PDB为直角时,即PD⊥BD,则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°,故设直线PD的表达式为y=−x+t,将点D的坐标代入上式得,−3=0+t,解得t=−3,故直线PD的表达式为y=−x−3②,联立①②并解得:x=3±√332,故点P的坐标为(3+√332,−9+√332)或(3−√332,−9−√332),综上,点P的坐标为(3+√332,−9+√332)或(3−√332,−9−√332)或(0,3).【知识点】待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;直角三角形的性质;二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】(1)利用y=−x2+2x+3求出B、C的坐标,由点D与点C关于x轴对称可求出D 坐标,利用待定系数法求出直线BD解析式即可;(2)连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,先求出直线BC解析式为y=−x+3,设点P(x,−x2+2x+3),则点H(x,−x+3),则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB,据此求出关于x关系式,再利用二次函数的性质求解即可;(3)分两种情况:①当∠PBD为直角时,②当∠PDB为直角时,据此分别求解即可.2.【答案】(1)解:点M在直线y=4x+1上,理由:∵点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,∴M的坐标是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上;(2)解:如图1,直线y=mx+5交y轴于点B,∴B点坐标为(0,5),又B在抛物线上,∴5=﹣(0﹣b)2+4b+1=5,解得b=2,二次函数的解析是为y=﹣(x﹣2)2+9,当y=0时,﹣(x﹣2)2+9=0,解得x1=5,x2=﹣1,∴A (5,0),由图象,得当mx+5>﹣(x ﹣b )2+4b+1时,x 的取值范围是x <0或x >5;(3)解:把A (5,0)代入y =mx+5得,0=5m+5,解得m =﹣1,∴y =﹣x+5,∵M (b ,4b+1)在△AOB 内部,∴{0<b <50<4b +1<−b +5, 解得0<b <45, 当点C ,D 关于对称轴对称时,b =14+342=12, ∴0<b <12时,y 1>y 2, b =12时,y 1=y 2, 12<b <45,y 1<y 2. 【知识点】一次函数的图象;二次函数与不等式(组)的综合应用;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【分析】(1)先求出顶点M 的坐标,再代入y =4x+1中检验即可;(2)由y =mx+5求出B (0,5) ,再将其代入y =﹣(x ﹣b )2+4b+1 中求出b 值,即得y =﹣(x ﹣2)2+9, 从而求出A (5,0),由图象可知当x <0或x >5时,直线y =mx+5的图象在y =﹣(x ﹣b )2+4b+1 图象的上方,据此即得结论;(3)由(2)可得y =﹣x+5, 由M (b ,4b+1)在△AOB 内部, 可求出0<b <45, 当点C ,D 关于对称轴对称时可求出b =12, 从而得出当0<b <12时,y 1>y 2,当b =12时,y 1=y 2,当12<b <45,y 1<y 2.3.【答案】(1)解:将m =2,n =1代入y =(x −m)(x −n),得y =(x −2)(x −1)=x 2−3x +2=(x −32)2−14, 则该二次函数的对称轴是x =32,且当x =32时,有最小值为−14; (2)解:分为两种情况:①如图,当C 在B 的左侧时,B ,C 是线段AD 的三等分点,∴AC =BC =BD ,∵抛物线向右平移a 个单位,∴AC =BD =a ,当y =0时,(x +3)(x −1)=0, 解得x 1=−3,x 2=1,∵点A 在点B 的左侧,∴A(−3,0),B(1,0),∴AB =1−(−3)=4,∴AC =BC =2,∴a =2;②同理,当C 在B 的右侧时, ∵AB =1−(−3)=4,∴AB =BC =CD =4,∴a =AB +BC =4+4=8;(3)解:∵y =(x −m)(x −n)图象经过(0,p),(1,q)两点, ∴p =mn ,q =(1−m)(1−n), ∴pq =mn(1−m)(1−n),=(m −m 2)(n −n 2),=[−(m −12)2+14][−(n −12)2+14],∵0<m <n <1,结合y =−(x −12)2+14的函数图象, ∴0<−(m −12)2+14≤14,∴0<−(n−12)2+14≤14,∵m<n,∴m、n不能同时等于14,∴0<pq<116.【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数的最值;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】(1)将m=2与n=1代入y=(x-m)(x-n)可得该函数的解析式,进而将解析式配成顶点式,即可得出答案;(2)分为两种情况:①如图,当C在B的左侧时,B,C是线段AD的三等分点,令解析式中的y=0算出对应的自变量的值可得点A、B的坐标,可得AB的长,据此即可求出答案;②当C在B的右侧时,同理可得AB的长,进而即可根据a=AB+BC算出答案;(3)根据函数图象上的点的坐标特征可得p=mn,q=(1-m)(1-n),进而可表示出pq并配方成顶点式的乘积形式,由0<m<n<1,结合y=−(x−12)2+14的函数图象,可得m、n不能同时等于14,据此即可得出答案.4.【答案】(1)解:将A点坐标代入得:1=32a−12,解得:a=1,∴A(1,1),将A、B点代入二次函数解析式得:{−12+b+c=1−32+3b+c=4,解得:{b=112c=−72,∴二次函数解析式为:y1=−x2+112x−72.(2)解:将x=m代入一次函数和二次函数解析式得:y 1=−m2+112m−72,y2=32m−12,∵线段MN=1,∴|y1−y2|=1,即|−m2+112m−72−32m+12|=1,∴−m2+4m−3=1或−m2+4m−3=−1,解得:m1=2+√2;m2=2−√2;m3=m4=2.(3)对称轴为x=6±√132【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解:(3)将点B代入二次函数解析式得:4=−9+3b+c,则c=13−3b,∵A(a,1),C(n,1)(n>a),在二次函数图象上,得c=13-3b,∴a、n是方程−x2+bx+c=1的两个根,根据韦达定理得,n+a=b,na=1−c=1−(13−3b)=3b−12,∵AC=5,∴n−a=5,∵(n−a)2=(n+a)2−4an,∴25=b2−4(3b−12)=b2−12b+48,解得:b=6±√13,.∴对称轴为直线x=6±√132【分析】(1)将点A(a,1)代入y2的解析式,求出a的值,从而可得点A的坐标,将A、B两点的坐标分别代入y1=-x2+bx+c得出关于字母b、c的方程组,求解可得b、c的值,从而求出y1的解析式;(2)将x=m分别代入两个函数解析式算出y1与y2,根据MN=1可得|y1−y2|=1,求解得出m 的值;(3)将点B代入二次函数y1=-x2+bx+c得c=13-3b,根据二次函数与一元二次方程的关系,结合A、C两点的纵坐标相同可得A、C两点的横坐标是方程-x2+bx+c=1的解,根据一元二次方程根与系数的关系得n+a=b,na=1-c=3b-12,再结合AC=5可得n-a=5,进而利用完全平方公式变形可得关于字母b的方程,求解得b的值,最后根据抛物线的对称轴直线公式即可得出抛物线的解析式. 5.【答案】(1)解:∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O,且对称轴是直线x=2,,∴c=0,−b2=2则b=−4、c=0,∴抛物线解析式为y=x2−4x(2)解:设点B(a,a2−4a),∵y=x2−4x=(x−2)2−4,∴点A(2,−4),则OA2=22+42=20、OB2=a2+(a2−4a)2、AB2=(a−2)2+(a2−4a+4)2,①若OB2=OA2+AB2,则a2+(a2−4a)2=20+(a−2)2+(a2−4a+4)2,解得a=2(舍)或a=5 2,∴B(52,−154),则直线OB解析式为y=−32x,当x=2时,y=−3,即P(2,−3),∴t=(−3+4)÷1=1;②若AB2=OA2+OB2,则(a−2)2+(a2−4a+4)2=20+a2+(a2−4a)2,解得a=0(舍)或a=9 2,∴B(92,94),则直线OB解析式为y=12x,当x=2时,y=1,即P(2,1),∴t=[1−(−4)]÷1=5;③若OA2=AB2+OB2,则20=(a−2)2+(a2−4a+4)2+a2+(a2−4a)2,整理,得:a3−8a2+21a−18=0,a3−3a2−5a2+15a+6a−18=0,a2(a−3)−5a(a−3)+6(a−3)=0,(a−3)(a2−5a+6)=0,(a−3)2(a−2)=0,则a=3或a=2(舍),∴B(3,−3),∴直线OB解析式为y=−x,当x=2时,y=−2,即P(2,−2),∴t=[−2−(−4)]÷1=2;综上,当△AOB为直角三角形时,t的值为1或2或5(3)解:∵⊙M为△AOB的外接圆,∴点M在线段OA的中垂线上,∴当1≤t≤5时,点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段,当t=1时,如图1,由(2)知∠OAB=90°,∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点,∵B(52,−154),∴M(54,−158);当t=5时,如图2,由(2)知,∠AOB=90°,∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点,∵B(92,94)、A(2,−4),∴M(134,−78);当t =2时,如图3,由(2)知,∠OBA =90°,∴此时Rt △OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点,∵A(2,−4),∴M(1,−2);则点M 经过的路径长度为√(54−1)2+(−158+2)2+√(1−134)2+(−2+78)2=√58+9√58=5√54. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;三角形的外接圆与外心;直角坐标系内两点的距离公式【解析】【分析】(1)将(0,0)代入y=x 2+bx+c 中可得c=0,根据对称轴为直线x=2可得b=-4,据此可得抛物线的解析式;(2)设B (a ,a 2-4a ),根据抛物线的解析式可得A (2,-4),由两点间距离公式表示出OA 2、OB 2、AB 2,然后结合勾股定理求出a 的值,得到点B 的坐标,利用待定系数法求出直线OB 的解析式,令x=2,求出y 的值,得到点 P 的坐标,进而可得t 的值;(3)由题意可得点M 在线段OA 的中垂线上,故当1≤t≤5时,点M 的运动路径是在线段OS 中垂线上的一条线段,当t=1时,Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OB 的中点,据此可得点M 的坐标;当t=5时,Rt△OAB 的外接圆圆心M 是AB 的中点,利用中点坐标公式可得点M 的坐标;当t=2时,Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点,同理可得点M 的坐标,然后结合两点间距离公式可求出点M 经过的路径长度.6.【答案】(1)解:将A(−1,0),B(4,0)代入y =ax 2+bx −4得{a −b −4=016a +4b −4=0解得{a=1b=−3∴y=x2−3x−4,对称轴为直线x=3 2(2)解:过点P作PH∥y轴交直线AD于H当x=0时,y=−4,∴点C(0,−4),∵点D与点C关于直线l对称,且对称轴为直线,∴D(3,−4),∵A(−1,0),∴直线AD的函数关系式为:y=−x−1,设P(m,m2−3m−4),则H(m,−m−1),∴PH=−m−1−(m2−3m−4)=−m2+2m+3,∴SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m2+4m+6,当m=−42×(−2)=1时,SΔAPD最大为8.【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】(1)将点A、B的坐标代入y=ax2+bx−4求出a、b的值即可;(2)过点P作PH∥y轴交直线AD于H,先求出直线AD的解析式y=−x−1,设P(m,m2−3m−4),则H(m,−m−1),再求出SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m 2+4m +6,最后利用二次函数的性质求解即可。