15.3.2.中心对称

2023中心对称CATALOGUE 目录•中心对称的定义•中心对称的应用•中心对称的拓展01中心对称的定义定义：对于平面内任意一点$P$。

在平面内存在一点$M$。

使得$P$与$M$关于某一点$O$对称。

则称$O$为对称中心。

点$P$和点$M$关于点$O$对称1. 中心对称的两个图形全等；2. 中心对称的两个图形对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

性质：中心对称是关于对称中心$O$的对称，有以下性质中心对称的定义和性质在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转前后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形被称为中心对称图形。

中心对称图形在平面内，对于任意一个点$P$，在通过它的直线上任取两个点A、B，如果满足$A\sim B$或$B\sim A$，则称点$P$为该直线的对称点。

点对称中心对称图形和点对称的区分中心对称和轴对称的异同•相同点•都是关于某个轴或点的对称；•对称图形都是全等图形。

•不同点•轴对称图形是关于某条直线对称，对称轴可以是直线、曲线或任意曲线；•中心对称图形是关于某一点对称，对称点可以是一个点、两个点或任意多个点；•轴对称的两个图形沿对称轴方向相互折叠后重合，而中心对称的两个图形不一定重合。

02中心对称的应用平面几何在平面几何中，中心对称可以用来证明和构造一些复杂的几何图形，如蝴蝶定理、费马多边形定理等。

空间几何在空间几何中，中心对称可以用来构造一些具有特殊对称性的几何体，如正多面体、球等。

中心对称在几何中的应用图案设计中心对称的图案设计可以产生优美的视觉效果，如旋转对称、反射对称等。

艺术中心对称在很多艺术作品中都有应用，如文艺复兴时期的画作、雕塑等。

中心对称在图案设计和艺术中的应用中心对称的晶体结构具有较高的对称性，如立方体、八面体等。

晶体结构在分子结构中，中心对称可以用来描述分子的对称性，如直线型分子、平面型分子等。

分子结构中心对称在晶体结构和分子结构中的应用03中心对称的拓展群表示中心对称在群论中有着重要的应用，如对于对称群的表示，中心对称的操作可以构成一个子群，该子群可以用来描述分子对称性。

中心对称与中心对称图形知识点复习：必备的初三上册数学学好知识就需要平时的积累。

知识积累越多，掌握越熟练，查字典数学网编辑了中心对称与中心对称图形知识点复习：必备的初三上册数学，欢迎参考!1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

3.中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形;(2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

三、轴对称与中心对称的区别与联系：轴对称中心对称有一条对称轴——直线有一个对称中心——点图形沿对称轴对折(翻折180o)后重合图形绕对称中心旋转180 o后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分四、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线;等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线;等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线;菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线;中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆对称中心：线段的对称中心是线段的中点;平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。

说明：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。

五、坐标系中的轴对称变换与中心对称变换：点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。

15.3.1 中心对称（二）教学目标知识与技能：通过实践理解两次翻折与中心对称图形之间的关系．过程与方法：经历认识中心对称图形的过程，熟练地掌握画图方法．情感态度与价值观：培养良好的动手操作能力，体会中心对称图形的内在美以及实际价值．重点、难点重点：熟练地画出已知图形关于某一点成中心对称的图形．难点：一个图形经过两次翻折与中心对称的关系．教学过程一、复习1．什么叫中心对称图形？2．成中心对称的两个图形有何性质？教师在巡视中帮助同学订正一些错误的认识．二、阅读课本P82 对弈策略学生在认真阅读的基础，教师问：为什么要占中间的位置，根据什么原理？在议论交流中加深学生对“中心对称”的理解．这与魔术师认牌其原理是一致的．三、试一试出示投影课本P81图15．3．5上述两个图形成中心对称，如何找出对称中心呢？现在我们一起来回顾一下：对称中心在哪里？它在连结两对称点线段的中点，只要能找到这两个图形的对称点，通过直尺和圆规就可以找到它们的“对称中心”了，或者可以从连结对称点的线段交点得到．四、做一做已知△A″B″C″和△ABC关于P成中心对称．点P在两三角形外，过P的直线MN，画出△ABC关于MN对称的三角形A′B′C′，如图所示．学生进行认真的作图，对完成有困难的同学老师可以进行提示，也可以复习轴对称作图．在学生动手操作十分钟后，可以让同学上台板演，或老师协助进行作图．1．作AD⊥MN于D，并延长到A′，使DA′=AD．2．作BE⊥MN于E，并延长到B′，使EB′=EB．3．作CF⊥MN于F，并延长到C′，使EC′=EC．顺次连结A′B′，B′C′，A′C′．则△A′B′C′与△ABC是关于MN对称的三角形．这里的作图的写法较繁但对于巩固“轴对称”作图是有好处的．现在大家一齐来探索：△A′B′C′与△A″B″C″，这两个三角形对称吗？•如果成对称，它们属于哪一类的对称？如果不对称请说明理由．同学们在操作中可以得到PA=PA′=PA″PB=PB′=PB″PC=PC′=PC″说明P在A′A″在垂直平分线上，也在B′B″的垂直平分线上，也在C′C•″的垂直平分线上，那么A′A″∥B′B″∥C′C″，设A′A″的垂直平分线于PQ．则△A′B′C′和A″B″C″是关于PQ成轴对称的两个三角形．五、范例分析已知：△ABC及点C′（如图所示）．求作：△ABC以线段CC′的中点为对称中心的对称图形．分析：要画△ABC以线段CC′的中点为对称中心的对称图形．第一步先要解决这个对称中心问题，连CC′用刻度尺就可以取CC′的中点O．第二步要找到A关于O的对称点A′，B关于O的对称点B′，C关于O的对称点C′．顺次连结A′B′，B′C′，C′A′，就可以得出△ABC的线段CC•′的中点为对称中心的对称图形了．解：1．连CC′，取CC′的中点O．2．连AO并延长到A′，使OA′=OA；连BO并延长到B′，使OB′=OA；连CO并延长到C′，使OC′=OC．3．顺次连结A′B′，B′C′，A′C′，△A′B′C′就是所要画的三角形．六、随堂练习课本P83练习第1，2题．参考答案：1．解：（1）连AO并延长到A′，使OA′=OA；连BO并延长到B′，使OB′=OB；连CO并延长到C′，使OC′=OC；连DO并延长到D′，使OD′=OD．（2）顺次连结A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D•′和四边形ABCD关于点O成中心对称．2．解：（1）作AM⊥x于M，并延长AM到A′使MA′=AM；作BN⊥x于N，并延长BN到B′使B′N=BN；作CQ⊥x于Q，并延长CQ到C′使QC′=QC．（2）顺次连结A′B′，B′C′，C′A，则△A′B′C′和△ABC关于x成轴对称．同样也可以画出△A″B″C″和△A′B′C′关于y成轴对称，△A″B″C•″和△ABC 是否关于O成中心对称？这一问题与做一做的那题，有些类似，在操作的过程中可以发现OC′=OC=OC′，•不难得出C、O、C″共线，同样BB″，AA″都过O点，且B″O=BO，A″O=AO，所以说△A″B″C″和△ABC是关于O成中心对称．七、作业布置1．课本P84习题15．3第3，4题．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、判断题1．两个会重合的四边形一定是中心对称图形．（）2．轴对称图形也是中心对称图形．（）3．旋转对称图形也是中心对称图形．（）4．如图是中心对称图形．（）5．若A和A′关于点O对称则O为线段AA′的中点．（）二、选择题6．△ABC和△A′B′C′关于点O对称，下列结论不正确的是（）．A．AO=A′O B．AB∥A′B′C．CO=BO D．∠BAC=∠B′A′C′7．下列说法中正确的是（）．A．会重合的图形一定是轴对称图形B．中心对称图形一定是会重合的图形C．两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心D．两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称三、配置题下面多边形是怎样的对称图形？将A、B、C、D选一填入后面的括号内．8．平行四边形（）9．菱形（）10．正方形（）11．等腰梯形（）12．矩形（）13．一个底角为60°的等腰三角形（）14．一个内角为30°的直角三角形（）15．五边形（）A．只是中心对称图形B．只是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形四、解答题16．已知：如图所示，平行四边形ABCD及等边△ADE．求证：点F，使多边形ABFCDE为中心对称图形，只要正确画图，不要说明理由．17．已知：如图所示，点P为五边形ABCDE的边CD上一点．求作：五边形ABCDE关于P的对称图形．答案:一、1．× 2．× 3．× 4．× 5．∨二、6．C 7．C三、8．A 9．C •10．C 11．B 12．C 13．B 14．D 15．D四、16．以BC为边向形外作等边△BCF，•这样就可以获得点F17．略.。

图形的平移轴对称（图形）中心对称（图形）对称轴——直线对称中心——点图形沿某方向平移一定距离图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合图形绕对称中心旋转180°后重合对应点的连线平行或在同一直线上，对称点的连线被对称轴垂直平分对应点的连线段相等。

对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分中心对称图形（一）知识点一．图形旋转1．图形旋转的有关概念：图形的旋转、旋转中心、旋转角；在平面内,将一个图形一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转。

这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

注意点：旋转角通常与旋转方向有关，因此在写旋转角时通常要说明旋转方向。

2．旋转图形的性质：（1）旋转前、后的图形全等。

（2）对应点到旋转中心的距离相等。

（3）每一对对应点与旋转中心的边线所成的角彼此相等。

二．中心对称 1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．中心对称的基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

三．中心对称图形1.中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180 °，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点就是它的对称中心。

2.中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

3.图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比四．平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

初中数学之中心对称与中心对称图形知识点中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点对称.中心对称的性质:（1）关于中心对称的两个图形是全等形（2）关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分已知四边形ABCD和点O（下图），画四边形A’B’C’D’，使它与已知四边形关于点O对称.画法：（1）.连结AO并延长到A’，使OA’=OA，得到点A的对称点A’.（2）同样画B、C、D的对称点B’、C’、D’.（3）顺次连结A’、B’、C’、D’各点.四边形A’B’C’D’就是所求的四边形.3.中心对称的判定:如果两个图形对应点连线都经过某一点,并且被在个点平分那么这两个图形关于这一点对称。

4.中心对称图形的定义把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合,那么这个图形叫中心对称图形。

5.中心对称与中心对称图形的联系和区别区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系中心对称图形指一个图形本身成中心对称联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称。

6.中心对称图形与轴对称图形的不同之处为:1判断下列各图形是否是中心对称图形？为什么？⑴平行四边形⑵等边三角形⑶线段解:⑴∵平行四边形的对角线互相平分∴相对的两个顶点都关于对角线交点对称∴平行四边形是中心对称图形⑵∵等边三角形设有对称中心∴等边三角形不是中心对称图形⑶∵线段的中心是对称中心∴线段是中心对称图形。

中心对称的概念总结与分类中心对称是几何学中的一种重要概念，指的是某个物体或图形可以通过某个中心点进行对称变换，使得变换前后的物体或图形完全重合。

这个中心点被称为对称中心。

中心对称具有许多特点和性质，可以依据不同的标准进行分类。

一、基本概念1. 对称中心：中心对称的物体或图形经过对称变换后保持不变的点称为对称中心。

2. 对称轴：与对称中心相对应的是对称轴，即经过对称中心的直线，对称轴两侧的物体或图形完全重合。

3. 对称图形：能够通过对称中心进行对称变换，使得变换前后的图形完全重合的图形称为对称图形。

4. 非对称图形：不能通过对称中心进行对称变换，使得变换前后的图形完全重合的图形称为非对称图形。

二、分类根据对称中心的位置和性质，可以将中心对称分为以下几种类型。

1. 单中心对称：在单中心对称中，只有一个对称中心和一个对称轴，对称轴既可以是直线也可以是曲线。

例如：圆、正方形、三角形等都是单中心对称图形。

2. 多中心对称：多中心对称中，存在多个对称中心和多个对称轴。

多个对称中心可以在平面内的任意位置，并且相互之间可能连成曲线。

例如：瓶子、花朵等都是多中心对称图形。

3. 线对称：线对称指的是对称中心在一个直线上的对称。

这条直线被称为对称轴，对称轴两侧的物体或图形完全重合。

线对称可以是垂直的、水平的，也可以是任意倾斜的。

例如：字母X和字母H都是线对称图形。

4. 点对称：点对称指的是对称中心在一个点上的对称。

这个点就是对称中心，围绕该点进行旋转180度可以使图形重合。

例如：字母O和字母A都是点对称图形。

5. 图案对称：图案对称是指图案在平面内的任意位置都具有对称性，既没有特定的对称中心也没有特定的对称轴。

例如：墙纸、花纹等都是图案对称。

三、应用与性质中心对称在生活和工作中有着广泛的应用，具有以下一些重要性质：1. 保持不变性：经过中心对称变换后的图形或物体，与变换前完全一样，具有完全相同的性质和特征。

2. 美感和协调性：中心对称图形往往给人以美感和协调感，被广泛应用于设计、艺术创作等领域。