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应变率相关的橡胶本构模型研究魏家威;石霄鹏;冯振宇【期刊名称】《高压物理学报》【年(卷),期】2022(36)2【摘要】为研究橡胶在不同应变率下的响应特性,建立应变率相关的橡胶黏超弹性本构模型,分别采用超弹性本构模型和黏弹性本构模型表征其非线性弹性行为和应变率相关的弹性行为。
首先,对于超弹性模型,基于最小二乘法,对比了Mooney-Rivlin模型、修正的Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、修正的Yeoh模型、Ogden模型和Arruda-Boyce模型等超弹性本构模型的拟合能力。
结果表明,经修正的Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型的拟合优度与Ogden模型和Arruda-Boyce模型接近。
在此基础上,基于一种参数较少且拟合效果良好的修正Mooney-Rivlin模型和应变率相关的Maxwell模型,建立了橡胶黏超弹性本构模型,考察了该黏超弹性本构模型在单轴拉伸和单轴压缩情况下中高应变率时的拟合能力。
结果表明,对于这两种受力情况下的应变率相关的实验数据,该黏超弹性本构模型的拟合优度均在0.95以上。
研究结果为大应变率范围内单轴拉伸和单轴压缩下橡胶的本构模型选择提供了参考。
【总页数】11页(P105-115)【作者】魏家威;石霄鹏;冯振宇【作者单位】中国民航大学安全科学与工程学院;民航航空器适航审定技术重点实验室【正文语种】中文【中图分类】O345【相关文献】1.Al2O3陶瓷材料应变率相关的动态本构关系研究2.硅橡胶拉伸力学的应变率相关性研究3.高阻尼橡胶的动态压缩性能及其应变率相关的本构模型4.高应变率下硅橡胶的本构行为研究5.环氧基形状记忆聚合物超弹-黏弹性本构及大应变率相关性因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
橡胶材料本构模型及其在工程设计中的应用橡胶材料是一种具有特殊性能的高分子材料，在工程设计中具有广泛的应用。
橡胶材料的本构模型是工程设计中不可忽视的重要部分，它描述了材料的力学行为和性能，对于优化设计、预测材料寿命和性能至关重要。
1. 橡胶材料的力学特性橡胶材料具有高度的弹性和可塑性，能够在较大的应变范围内发生可逆变形。
这种特性使得橡胶材料在工程设计中广泛应用于缓冲、密封、减振等领域。
橡胶材料的力学特性与其分子结构密切相关。
橡胶分子链上的交联点使得材料具有高度的可拉伸性和回弹性，同时也决定了材料的耐磨性和耐化学性。
此外，橡胶材料中的填料还会影响其力学性能，如增强材料可以增加材料的强度和刚度。
2. 橡胶材料的本构模型橡胶材料的力学行为通常可以由本构模型来描述。
本构模型是基于一些假设和实验数据，通过数学公式来表达材料的应力与应变的关系。
常见的橡胶材料本构模型有胶粘弹性本构模型和超弹性本构模型。
胶粘弹性本构模型主要用来描述橡胶材料在低频振动或大变形条件下的力学行为。
它通过组合弹性、粘性和黏弹性部分，可以较好地描述橡胶材料的非线性、时变行为。
常见的胶粘弹性本构模型有Maxwell模型和Burgers模型等。
超弹性本构模型主要用来描述橡胶材料在小应变范围内的力学行为。
它假设材料满足能量守恒和等效应力功率关系，通过超弹性函数来描述应力与应变之间的关系。
常见的超弹性本构模型有Mooney-Rivlin模型和Ogden模型等。
3. 橡胶材料本构模型在工程设计中的应用橡胶材料的本构模型在工程设计中有着重要的应用价值。
首先，本构模型可以用来预测橡胶材料的性能和行为。
通过对材料进行拉伸、压缩、剪切等实验，得到的实验数据可以用来拟合本构模型参数，从而预测材料在特定载荷下的应力和应变分布。
其次，橡胶材料的本构模型可以用于优化设计。
在工程设计中，橡胶材料通常需要满足一定的性能要求，如承载能力、耐磨性等。
通过建立合适的本构模型，并结合优化算法，可以得到最优的材料形状和结构，以满足设计要求。
橡胶材料本构模型的有限元分析及参数拟合
谢伟
【期刊名称】《福建建材》
【年(卷),期】2022()4
【摘要】橡胶是典型的超弹性材料,在外力作用下会发生非常大的变形,外力卸载后可以完全恢复至初始状态,且具有几乎不可压缩的性质,这使得其力学性能非常复杂,难以用常规的材料属性去描述。
因此,对橡胶材料的力学行为进行数值模拟分析具有十分重要的工程意义。
以橡胶材料的基础力学试验为基础,介绍了几种常见的超弹性本构模型,通过ABAQUS软件建立了相应的计算模型,得到了橡胶材料应力应变曲线,验证了有限元分析的合理性,为进一步研究橡胶材料的性质打下了基础。
【总页数】4页(P11-14)
【作者】谢伟
【作者单位】安徽理工大学土木建筑学院
【正文语种】中文
【中图分类】TQ3
【相关文献】
1.柔性接头弹性件超弹性本构参数拟合和低压摆动非线性有限元分析
2.本构方程对橡胶材料裂纹尖端J积分有限元分析结果的影响
3.填充橡胶材料循环加载的本构行为及数值拟合
4.一次拟合法与二次拟合法求解模型参数的研究——以林分密度控制图等上层高线模型拟合为例
5.基于Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型的橡胶材料有限元分析
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岩石流变的一种非线性黏弹塑性流变模型研究张英【摘要】将黏滞系数视为非定常量,建立黏滞系数的非线性函数关系,提出一种能描述岩石蠕变全过程的非线性流变力学模型,且在一定条件下模型可蜕变为Burgers 模型或西原正夫模型.推导了岩石在常应力和常应变条件下的流变方程;研究了岩石的非线性蠕变特性和松弛特性.对不同应力条件下的岩石蠕变试验结果进行拟合,并将本文的非线性岩石流变力学模型与试验结果进行比较.结果表明,试验曲线与理论曲线较吻合,从而证明了本模型的正确性与合理性.【期刊名称】《湖南工业大学学报》【年(卷),期】2015(029)003【总页数】5页(P10-14)【关键词】非线性流变模型;流变特性;弹黏塑性【作者】张英【作者单位】重庆地质矿产研究院外生成矿与矿山环境重庆市重点实验室,重庆400042;煤炭资源与安全开采国家重点实验室重庆研究中心,重庆400042【正文语种】中文【中图分类】TU451在外部环境作用下，岩石类材料的应力应变表现出随时间变化而发生变化的现象称为流变。
作为常用的工程材料，岩石的流变力学特性对工程应用影响深远。
工程实例和理论分析表明，岩土工程的变形破坏与时间有密不可分的关系。
流变模型是流变力学理论的研究基础，但由于实际试验条件的限制，岩石流变力学模型研究并不深入，特别是非线性流变力学模型的研究至今尚未有统一共识。
目前对衰减蠕变和稳态蠕变的认识较成熟，多种力学模型如广义凯尔文模型、Burgers模型等，都能较好地描述岩体衰减蠕变和稳态蠕变，而不能对岩体加速蠕变进行准确描述。
关于非线性流变力学模型的研究，人们常对线性流变元件进行改进，通过非线性函数的流变元件来建立非线性流变力学模型，或者基于损伤力学理论、内时理论等新的理论建立流变力学模型。
孙钧[1-2]将黏滞系数视为变量，表示为应力与持续时间的函数。
陈沅江等[3]建立2种非线性元件，并将它们和开尔文体及虎克体相结合，得到了一种新的可较好描述软岩加速蠕变特性的复合流变力学模型。
⼏种典型的橡胶材料超弹性本构模型及其适⽤性橡胶材料具有良好的粘弹性，被⼴泛⽤作密封、减振部件。
橡胶作为⼀种超弹性材料，其物理化学性能与⾦属材料有很⼤差别。
橡胶材料的主要特点不可压缩性：橡胶材料的泊松⽐µ⼀般在0.45～0.4999范围内变化，接近于液体的泊松⽐(1) 不可压缩性：0.5，因此橡胶可以看作是⼀种体积近似不可压缩的材料。
⼤变形特性：橡胶⾼分⼦材料变形很⼤，⽽其弹性模量与⾦属材料相⽐却⼩很多。
橡胶材料(2) ⼤变形特性：的变形范围⼀般在200%～500%，甚⾄能够达到1000%，很多⾦属材料的变形则不⾜0.5%。
(3) ⾮线性：⾮线性：橡胶材料具有三重⾮线性，即⼏何⾮线性、材料⾮线性和边界⾮线性。
橡胶材料的应⼒-应变关系具有明显的⾮线性，其⼒学性能与环境条件、应变历程、加载速率等因素有很⼤关联，且随时间延长⽽不断变化。
本构模型及其适⽤性从20世纪40年代⾄今，国内外许多学者提出了许多橡胶材料的本构模型，⼤致可分为两⼤类：基于应变能函数的唯象模型和基于分⼦链⽹络的统计模型。
基于应变能函数的唯象模型⼜可分为两类。
⼀类是以应变不变量表⽰的应变能密度函数模型，这类模型在处理橡胶弹性时，可以把橡胶材料的变形看成是各向同性的均匀变形，从⽽将应变能密度函数表⽰成变形张量不变量的函数，⽐如：Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等。
另⼀类是以主伸长表⽰的应变能函数模型，⽐如：Valanis-Landel模型、Ogden模型等。
基于分⼦链⽹络的统计模型按照分⼦链的统计特性可分为两类：⾼斯链⽹络模型和⾮⾼斯链⽹络模型。
其中最具代表性的分⼦统计学模型包括Treloar模型以及Arruda-Boyce的8链模型。
下⾯对⼏种常见的本构模型进⾏简要介绍：Mooney-Rivlin模型Mooney-Rivlin模型是⼀个⽐较常⽤的模型，⼏乎可以模拟所有橡胶材料的⼒学⾏为。
其应变能密度函数模型为：对于不可压缩材料，典型的⼆项三阶展开式为：式中：N、Cij和dk为材料常数，由实验确定。
橡胶材料的本构模型橡胶材料的本构模型是描述橡胶材料力学行为的数学模型。
本构模型是材料力学研究中的重要理论工具，通过数学方程形式对材料的应力-应变关系进行描述。
橡胶是一类具有高可拉伸性和高回弹性的材料，其力学行为与其他材料有很大的不同，因此需要特别的本构模型进行描述。
在橡胶材料力学行为的研究中，最广泛应用的两个本构模型是针对小变形的线性弹性模型和针对大变形的高度非线性模型。
线性弹性模型是最简单的橡胶本构模型，假设橡胶材料的应力和应变之间是线性关系。
这个模型适用于小变形范围内的橡胶材料力学行为分析，可以方便地通过材料的弹性常数进行描述。
线性弹性模型的基本形式为：σ=Cε其中，σ表示应力，ε表示应变，C为弹性常数。
线性弹性模型可以通过杨氏模量和泊松比来描述橡胶材料的力学性质。
然而，橡胶材料的应力-应变关系在大变形情况下会呈现高度非线性行为。
在这种情况下，采用线性弹性模型进行描述就不合适了。
因此，需要使用高度非线性的本构模型。
高度非线性的本构模型主要有聚合物链模型、统计力学模型、应变能密度函数模型和粘弹性模型等。
这些模型的共同特点是考虑了橡胶材料的非线性变形，并可以用来描述大变形下橡胶材料的应力-应变关系。
聚合物链模型是最简单的非线性本构模型之一、它通过一维线性弹簧链表示聚合物链，考虑了链的拉伸、弯曲和扭转等非线性效应。
通过调整弹簧的弹性系数和链的长度可以得到不同力学行为的橡胶材料的本构关系。
统计力学模型基于聚合物链模型进一步发展，考虑了链的各向异性和随机性。
该模型通过统计力学方法，描述橡胶材料中具有不同平衡态的链的分布情况，并计算出平衡态下的应力-应变关系。
应变能密度函数模型是一种常用的非线性本构模型。
它将应变能密度函数表示为材料的位移梯度和位移梯度的统计平均，通过这个函数可以计算得到材料的应力-应变关系。
粘弹性模型是描述橡胶材料在弹性行为和粘性行为之间转变的一种本构模型。
在这个模型中，应力和应变同时取决于弹性效应和粘性效应，并通过两个弹性模量和一个粘性模量来描述材料的力学行为。
橡胶输送带迟滞特性分析与恢复力模型参数预测陈洪月;王鑫;钟声;张瑜【摘要】橡胶输送带非线性恢复力模型的建立与参数识别是研究输送带动力学特性的关键,采用椭圆函数描述输送带的非线性阻尼力,采用傅里叶级数描述其非线性弹性恢复力,通过对比不同阶数的弹性恢复力模型拟合结果,选取二阶傅里叶级数描述弹性恢复力;采用果蝇优化算法对RBF网络的扩展参数进行全局优化,再对不同激励下弹性恢复力模型系数进行预测,最后通过实验对神经网络预测结果进行验证,研究结果可为节能型橡胶输送带的研发提供参考.【期刊名称】《煤炭学报》【年(卷),期】2015(040)012【总页数】6页(P2995-3000)【关键词】输送带;迟滞特性;参数识别;果蝇优化算法【作者】陈洪月;王鑫;钟声;张瑜【作者单位】辽宁工程技术大学机械工程学院,辽宁阜新123000;辽宁工程技术大学国家地方联合矿山液压技术与装备工程研究中心,辽宁阜新123000;辽宁工程技术大学机械工程学院,辽宁阜新123000;北京天地玛珂电液控制系统有限公司,北京100013;辽宁工程技术大学机械工程学院,辽宁阜新123000【正文语种】中文【中图分类】TD528橡胶输送带是由橡胶覆盖层和内部纤维组成的复合材料，其具有橡胶与增强纤维双重的物理力学特性，当输送带受到交变的工况载荷作用时，由于应变与应力不同相而呈现迟滞效应，产生能量耗散[1]。
据资料显示，输送带的迟滞能耗占长距离带式输送机运行能耗的50%左右[2]，因此，对橡胶输送带迟滞特性进行分析，建立其非线性恢复力模型已成为开发节能型输送带的一个重要理论基础。
国内外对橡胶及其类似材料的迟滞特性和辨识模型的研究有：文献[2]对输送带的动力学参数进行测试；文献[3-4]建立了橡胶传送带的一维动态流变模型，比较了Kelvin,GHM和五元素流变学模型的特点和参数化方法；文献[5]对丁基橡胶黏弹性材料进行了不同温度、不同载荷下的蠕变实验,分析材料的非线性蠕变行为；文献[6]以Winkler黏弹性假设为基础，建立了橡胶输送带二维本构模型；文献[7-8]将黏弹性材料动态恢复力视为由非线性弹性恢复力和非线性阻尼力叠加而成的，并提出钢轨扣件减振橡胶的动态力学模型；文献[9-10]提出了一种金属橡胶的广义恢复力模型，并通过实验对模型中的参数进行了辨识；文献[11]建立了金属橡胶与弹簧组合型隔振器弹性迟滞回线的数学模型，通过对最初加载曲线及一个循环周期的弹性迟滞回线进行变换，得到隔振器的任意加载和卸载过程的弹性迟滞回线；文献[12]采用泊松分布来描述金属橡胶材料内部金属丝之间的接触点运动状态，并针对不同振幅下金属橡胶力学本构关系中的参数进行了求解；文献[13]采用Yeoh超弹性模型和Bergstro模型研究了橡胶的力学性能，并利用ABAQUS对迟滞特性进行分析；文献[14]基于 ADINA，采用引入微动力阻尼系数的非线性Full Newton-Raphson 方法，进行了节点滞回承载能力数值分析。
材料力学中的非线性本构模型材料力学是许多工程领域的基础，它研究材料受力后的力学行为，包括力的大小、方向、分布和变形等问题。
不同材料的力学行为需要采用不同的本构模型来描述，常见的材料本构模型有线性弹性模型、非线性本构模型等。
本文将重点介绍材料力学中的非线性本构模型。
一、非线性本构模型的概念在材料力学中，当受力材料的变形与施加的力之间呈非线性关系时，就需要采用非线性本构模型来描述其力学行为。
非线性本构模型可以分为弹塑性模型、粘弹塑性模型、本质非线性模型等不同类型，其中弹塑性模型在实际应用中被广泛采用。
二、弹塑性模型弹塑性模型又称弹塑性本构模型，它是一种介于线性弹性模型和塑性本构模型之间的模型。
弹塑性模型假设材料的力学行为在一定范围内是线性弹性的，但在超出一定应力范围后就会出现不可逆变形，这种不可逆变形称为塑性变形。
弹塑性模型可分为单轴应力状态下的本构模型和多轴应力状态下的本构模型。
其中单轴应力状态下的本构模型包括拉伸本构模型、压缩本构模型等，多轴应力状态下的本构模型包括Mises本构模型、Drucker-Prager本构模型等。
三、拉伸本构模型拉伸本构模型是弹塑性模型中最简单的模型之一，它假设材料的力学行为在拉伸状态下是线性弹性的，且材料的强度随着应力增大而增大。
在达到材料的屈服点后，材料的强度就不再随应力增大而增大了，这时材料开始出现塑性变形。
拉伸本构模型将材料的应力-应变曲线分为弹性阶段和塑性阶段来描述材料的力学行为。
四、Mises本构模型Mises本构模型也称为圆锥形模型，它是多轴应力状态下最常用的弹塑性模型之一。
该模型假设材料的塑性行为是由等效应力和应力状态判据决定的，等效应力可以通过应力张量得到，应力状态判据则基于材料力学的实验性质，通过外部应力来得到。
Mises本构模型能够较为准确地描述材料在多轴应力状态下的力学行为，并在应用中获得广泛的应用。
五、Drucker-Prager本构模型Drucker-Prager本构模型是一种常用的粘塑性模型，它假设材料有两种塑性机制：一种是塑性流动，另一种是摩擦滑移。
第18卷 第4期应用力学学报Vol.18 No.4 2001年12月CHINESE JOURNAL OF APPLIED MEC HANICS Dec.2001文章编号:1000-4939(2001)04-0037-05一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型安群力 危银涛 杨挺青(华中科技大学 武汉 430074)摘 要借助非线性流变模型建立大变形情况非线性粘弹材料的本构关系,考虑到大多数橡胶类材料具有的几乎不可压缩性,以及体积响应和剪切响应的流变性能不同,将变形梯度乘法分解为等容部分和体积变形部分,给出了一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型,并模拟了粘滞效应。
对于极快或极慢的过程,该模型退化为橡胶弹性理论;在小变形情况下退化为经典的广义Ma xwell粘弹性材料。
模型与热力学第二定律相容,适合于大规模数值分析。
关键词:橡胶;粘弹性;有限变形;本构关系中图分类号:O345;TQ33 文献标识码: A1 引 言在橡胶结构的设计与分析中因橡胶类材料力学性能的复杂性使得数值方法起着越来越重要的作用[1]。
目前,应用数值方法时缺乏适于大规模计算用的本构关系,本构模型成为解决问题的关键[2～10]。
构造粘弹材料的本构模型,一种方法是从连续介质力学本构理论的基本原理出发,经过简化而得到[10～12]。
另外一种常用的方法是基于内变量理论,借助于连续介质热力学和流变模型来确定材料的本构模型[4～9,13～16]。
在通常的内变量理论中,自由能的构造、内变量的选取及演化方程的确定有一定的困难。
本文利用非线性流变模型,认为总应力等于弹性应力与非弹性应力的和,通过平衡应变能函数表述其演化方程,绕过了通常内变量理论的困难,在参考位形内建立了以Piola-Kirchhoff 应力和Green应变表示的大变形非线性粘弹性本构关系,给出了一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型,物理意义简明。
在一定条件下模型可以退化为相应的弹性或线粘弹性模型,讨论了材料的粘滞现象。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(19632030) 来稿日期:2000-04-03 修回日期:2000-11-17第一作者简介:安群力,男,1968年生,博士,华中科技大学力学系;研究方向:粘弹塑性理论及其应用.2 非线性粘弹模型2.1 模型的普通形式在线性粘弹性理论中,对一维广义Maxwell 体,设总应变为εs ,平衡应变能为W∞=1/2E ∞ε2s ,第k 个Maxwell 单元的松驰时间为τk (文中用上标k 表示与第k 个Maxwell 单元相关的量),初始应变能为W k ,其应力q k s 满足﹒q k s +q k s /τk =d [d W k (εs )/d εs ]/d t , (k =1,2,…,N ),(1) 对非线性情况,Christensen 利用应变能函数建立了一种非线性粘弹性本构关系[17]。
因此可以认为(1)式在形式上仍然成立,而W k 为右Cauchy -Green 变形张量的函数,令W k =E k /E ∞W ∞=βk W ∞。
非平衡应力Q k s 的演化方程为[4]﹒Q k s +Q k s /τk =d [d W k (εs )/d εs ]/d t , (k =1,2,…,N ),Q k s |s =0=Q k 0=2 C (W K (C (0)))(2)总应力由平衡应力和各内部应力的加和得到,即S =2 C W ∞(C (0))+∑N k =1Q k t=2 C W ∞(C (0))+∑N k =1Exp [-t /τk ]βk ∞[2 C W ∞(C (0))]+∫t 0Exp [-(t -s )/τk ]βk ∞d d s[2 C W ∞(C (s ))]d s (3)其中松驰函数写为g (t )=1+∑N k =1{Exp [-t /τk ]βk ∞}(4)并采用Stieltjes 卷积缩写形式,将(3)式改写成S (t )=2g (t ) C W ∞(C (0))+g (t )＊[2 C W ∞(C (t ))](5) 此即本构关系的一般表达,它符合本构公理。
平衡应变能函数的不同选择可以得到不同的粘弹性应力公式。
2.2 适合于橡胶类材料的模型橡胶材料在体积变形和剪切变形时表现出完全不同的性质。
一般表现出几乎不可压缩性,但却能表现出很大的剪切变形,而一般认为橡胶的体积变形是非耗散的。
所以应对体积变形和剪切变形单独加以考虑。
为此,本文采用乘法分解将变形梯度分解成等容部分与体积部分,相应地将应变能加法地分解成畸变能和体积能[2]W s =U s (I ＊1,I ＊2)+W p s(6)其中I ＊1=δIJ C IJ =J -23I 1,I ＊2=12(δI J δKL C I J C KL -δIJ δKL C IK C JL )=J -43I 2, C IJ =J -23C IJ ,I 1I 2为C 的第一、第二不变量。
由上节的理论,考虑到解耦的体积及剪切变形,设其相应的非平衡体积应力和剪切应力分别为:{q j s ,j =1,2,…M }和{Q k s ,k =1,2,…N },则总的Piola -Kirchhoff 应力为S (t )=J t J U ∞(J t )+∑N k =1q k t ]C -1t +J -2DEV [2 C W ∞( C t )+∑N k =1 Q k t (7) 类似(2),等容非平衡应力Q k 的演化方程为38应用力学学报第18卷Q k s +1 τk Q k s = βk ∞d d t [2DEV (d d C s W ∞(εs ))], Q k s |s =0= Q k 0 (k =1,2,…,N )(8)其中 τk 和 βk ∞定义了与材料等容响应相应的N 个松驰过程的特征时间和存储应变能系数。
同样对体积非平衡应力q j 有﹒q k s +1τk q k s =βk ∞1d d t [d d J U (J )], q k s |s =0=q k 0 (k =1,2,…,M )(9)其中τk 和βk ∞定义了与材料体积响应相应的M 个松驰过程的特征时间和存储应变能系数。
定义如下的相应于等容响应和体积响应的正则化松驰函数g (t )=1+∑Nk =1{Exp [-t / τk ] βk ∞}(10)g (t )=1+∑M k =1{Exp [-t /τk ]βk ∞}(11)得到解耦的Piola -Kirchhoff 应力表达式为:S (t )=J t C -1[ J U ∞(J (0))g (t )+g (t )＊ J U ∞(J (t ))]+ J -23DEV [2 C W ∞(C (0)) g (t )+ g (t )＊(2 C W ∞(C (t )))](12) 至此得到了粘弹性材料的体积变形和等容相应的本构关系,可以看出在极快和极慢情况下(12)式退化到橡胶弹性理论。
3 连续介质热力学方面的一点说明将自由能分解成平衡部分和非平衡部分。
非平衡部分为存储在Maxwell 链中弹簧的能量W =W (C ,Γ)=W ∞(C )+γ(C ,Γ)(13)其中Q α和Γ为非平衡应力和相应的对偶变量,且有Q αt =- Γγ(C t ,Γα)(14) Clausius -Duhem 不等式ρ0T σ＊=ρ0(﹒ε-s ﹒T -﹒W )-Q k T T ,k ≥0(15)在等温情况下为ρ0(﹒ε-﹒W )≥0(16)进一步可以将上式写为(S -2 W C )∶12﹒C - γ Γ∶﹒Γα≥0(17)得到S =2 C W (C ,Γα)(18)和耗散不等式D int =∑[- Γαγ(C ,Γα)]∶﹒Γα=∑Q a ∶﹒Γα≥0(19)﹒Γα代表内部应变率,关于Q a 和Γα的关系以及γ(C t ,Γα)的构造本文不讨论,可参阅文[4,7,8]。
由(18)和(19)式得到S =2 C ψ∞(C (t ))+∑N k =1 γ(C t ,Γ) C =S ∞+∑N k =1Q k t (20)Q k =- Γαγ(C ,Γ)=2 C γ(C ,Γ)可以看出上式与(12)式一致。
39第4期 安群力,等:一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型4 数值算例本节运用上述模型模拟材料的粘滞响应。
W ∞取为Ogden 型应变能函数[3,11]:W ∞=∑N p =1m p αp [λp 1+λp 2+λp 3-3](21)其中m p 和αp 为材料参数,λi 为主伸长率。
算例所用的材料参数列于表1,耗散参数列于表2。
另外认为材料的体积响应为纯弹性的,即无耗散,剪切变形是粘弹性耗散的。
表1 Ogden 材料参数Pm p /10-1M pa αp 11.112.3520.000587.0330.731.28表2 本构模型中的耗散参数K τk βk ∞10.50.320.250.130.1250.1由(12)式,得不可压缩情况下单轴压轴向Cauchy 应力为σ11(t )=λ2∫t 0g (t -s )d d s {λ-2[m 1λα1+m 2λα2+m 3λα3]}d s -λ-1∫t 0g (t -s )d d s {λ[m 1λ-α12+m 2λ-α22+m 3λ-α32]}d s (22)其中λ为轴向的拉伸比,为模拟交变载荷下材料的滞后性能,令λ=λ0+Δεsin ωt (23) 在给定的材料参数情况下,变化预拉伸值λ0和应变幅Δε,对材料在各种变形情况下的粘弹滞后行为进行了模拟。
图1～图4给出了工程应力和拉伸比表示的Ogden 材料的大变形滞后行为。
可以看出在大变形非线性情况下滞后圈已不再是椭圆形,滞后圈的中心线代表材料的弹性行为,这与该模型在弹性情况下退化到橡胶弹性理论相适应。
图1 平均伸长比为1.0时的应力循环,动态振幅0.3图2 平均伸长比为1.4时的应力循环,动态振幅0.35 结 语本文结合非线性流变模型,给出了一种适合橡胶类材料的大变形粘弹性本构模型。
总应力40应用力学学报第18卷图3 平均伸长比为1.7时的应力循环,动态振幅0.3图4不同平均伸长比(从1.0至1.7)下应力循环,动态振幅0.3可以分解成平衡部分和非平衡部分。
非平衡应力的演化由一组储能函数和偏微分方程确定。
该模型可以认为是流变模型从一维线性至三维非线性的推广。
因而可以退化到经典的线性粘弹性理论和橡胶弹性理论。
模型具有简洁和物理意义明确的优点,分析和数值算例表明了该模型的合理性。
参考文献1 Wei Y in -Tao (危银涛),Tian Zhen -Hui (田振辉)and Du Xingwen (杜星文)A finite element model of rolling loss predication and frac -ture analysis for radial tires .Tire science and technology .1999,27(4)2 危银涛,杨挺青,杜星文.橡胶类材料大变形本构关系及其有限元方法.固体力学学报.1999,20(4):282～2903 Yeoh OH .On the ogden strain -energy function .R ubber chemis try and tec hnology .1997,70:175～1824 Si mo J C .On a fully three -di mens ional finite -s train visoel as tic da mage model :Formulation and computational aspects .Computer methodsin applied mechanics and engineering .1987,60:153～1735 Reese S ,Govindjee SA .Theory of finite viscoelasticity and numerical aspects .International journal of s olids and structures .1998,35(26-27):3455～34826 Lion A .On the large deformation behaviour of reinforced rubber at different temperatures .J .Mech .Phys .Sol ids .1997,45(11):1805～18347 Hol zapfel GA .On large strain vis coelasticity :Continum formulation and finite element application to elasto meric structures .Internationaljournal for numerical methods in engineering ,1996,39:3903～39268 Holzapfel GA ,Simo JC .A new viscoel as tic cons titutive model for continuous media at finite thermomechanical changes .Int .J .SolidsStructures ,1996,33(20-22):3019～30349 Govindj ee S ,Si mo J C .Mullins 'Effect and the strain amplitude dependence of the s torage modul us .Int J s olids structures ,1992,29(14/15):1737～175110Christens en R M .A nonlinear t heory of viscoelasticity for application to elas tomers .J Appl Mech .1980,47:762～76811匡震邦.非线性连续介质力学基础.西安:西安交通大学出版社,198912Bernstein B ,Kearsl ey EA .Zapas LJ .A s tudy of s tress relaxation with finite s train .Transactions of the sockty of rheology .1963,7:391～41013杨挺青.粘弹性力学.武汉:华中理工大学出版社,199014邓伟,杨挺青.基于内变量理论的一种广义粘弹性本构方程.固体力学学报.1997,18(1):11～1615杨挺青.粘弹塑性本构理论及其应用.力学进展.1992,22(1):10～1916范镜泓.内蕴时间塑性理论及其新进展(续).力学进展.1985,15(4):443～45717Christens en R M .Theory of viscoelas ticity .New York :Acade mic press .198241第4期 安群力,等:一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型Ⅳ C HI NESE JOURNAL OF APPLIE D MECHANICS Vol.18A Nonlinear Viscoelastic Constitutive Modelfor Finite Deformation Rubber-like MaterialsAn Qunli Wei Yintao Yang Tingqing(Huazhong Univers ity of Science and Technol ogy,Department of M echanics,430074)AbstractA large deformation c onstitutive function of nonlinear viscoelastic materials is constructed with a sim-plified theory,which demonstrated by equilibrium strain energy.The visc oelastic constitutive formulation using Lagrangian description on the reference configuration completely is presented.The evolution of nonequilibrium stress is controlled by a set of stored energy.Account with volumetric and deviatoric re-sponse r espectively for rubber-like materials,an applied c onstitutive model has been described.The mod-el can be seen as a generation of the generalized Maxwell model from one-dimension small deformation to three-dimension large deformation case.Numerical simulation sho ws the reasonability of the proposed model.Keywords:rubber,visc oelasticity,finite deformation,c onstitutive model.Optimal Control Method for Seismic-Excited BuildingStructures with Time Delay in ControlCai Guoping Huang Jinzhi(Depart ment of Engineering M echanics,Shanghai Jiaotong University,200030)AbstractOptimal control method for seismically excited building structures with time dela y in c ontr ol is inves-tigated in this paper.Contr oller is designed directly from differential equation.In consideration of two cases that the time-delay is integer times and non-integer times of the sa mpling period respectively,the continuous-time systems with time-delay are transfor med into standard discrete for ms which contain no time-delay by using an zero-order holder.Then the controller can be designed.The deduced controller contains not only current step of state feedback but also linear combination of some former steps of con-trol.Simulation calculation is taken into account for a thr ee-degree-of-freedom model at the end of this paper.Simulation results demonstrate that contr ol effectiveness is affected by time delay obviously and small time-delay in control does not imply good control efficiency.Keywords:time delay,disc rete optimal c ontrol,building structure,earthquake response.。
