等边三角形提高练习题

全等三角形提高练习1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。

2. 如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A ′OB ′，边A ′B ′与边OB 交于点C （A ′不在OB 上），则∠A ′CO3. 如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC、BC EDC ，则∠C 的度数是多少？4.如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC=90°，则∠A=5. 已知，如图所示，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ，则AD是多少？6. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE= 7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。

8. 如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC的面积是28cm 2,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。

A B'C A B9. 已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E ，∠BAC=∠EAD ，∠CAF=∠DAF ，求证：AF10. 如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？11. 如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC12. △DAC 、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，求证：（1）AE=BD（2）CM=CN （3）△CMN 为等边三角形 （4）MN13. 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F （1） 求证：AN=BM（2） 求证：△CEF 为等边三角形14. 如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③BH平分∠AHD ；④∠AHC=60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ，其中正确的有（ ） A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个15. 已知：BD 、CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC ，点G 在CE 的延长线上，CG=AB ，求证：A G ⊥AFC B B A A B16. 如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG求证：（1）AD=AG （2）AD 与AG 的位置关系如何17．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE求证：AF=AD-CF18．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且DE=DB ，求证：AC=BE+BC19．如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC ，DF ⊥AC ，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF20．已知如图：AB=DE ，直线AE 、BD 相交于C ，∠B+∠D=180°，AF ∥DE ，交BD 于F ，求证：CF=CD21．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 是OC 上一点，连接DF 和EF ，求证：DF=EF22．已知：如图，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，且BD=CD ，求证：（1）△BDE ≌△CDF （2） 点D 在∠A 的平分线上BDB23．如图，已知AB ∥CD ，O 是∠ACD 与∠BAC 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离是多少？24．如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN ，按下列要求画图并回答： 画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E （1）∠AEB 是什么角？（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由。

【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：①AD ⊥BC ；②AD 平分∠BAC ；③∠B ＝∠C ；④△ABC 是等边三角形.其中正确的是（ ）.A.①②B. ②③C. ①②③D. ③④2．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF 、CE ，下列说法：①CE BF =；② ABD ∆和ACD ∆的面积相等；③//BF CE ；④ BDF ∆≌CDE ∆，其中正确的有（ ）．A.1个B.2个C.3个D.4个3. AD 为△ABC 中BC 边上的中线, 若AB ＝2, AC ＝4, 则AD 的范围是( )A .AD ＜6 B. AD ＞2 C. 2＜AD ＜6 D. 1＜AD ＜34．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（ ）A ．SSSB ． SASC ． ASAD ． AAS5. 根据下列条件能唯一画出△ABC 的是（ ）A.AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8B.AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°C.AB ＝5，AC ＝6，∠A ＝45°D. ∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°6.（2016•洛阳模拟）已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为（ ）秒时，△ABP 和△DCE 全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.9. （2016•微山县二模）如图，四边形ABCD中，∠1=∠2，请你补充一个条件，使△ABC≌△CDA．10.（2014春•鹤岗校级期末）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件____________时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）11. 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝°.AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），12. 把两根钢条','如图，若测得AB＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13.（2014秋•天津期末）如图在△ABE中，已知AB=AE，AD=AC，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED．14. 如图, ∠B＝∠C, BD＝CE, CD＝BF.求证: ∠EDF ＝ 90︒－12∠A15. 已知：如图，BE、CF是△ABC的高，且BP＝AC，CQ＝AB，求证：AP⊥AQ.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C【解析】由SSS证全等可得①②③是正确的.2. 【答案】D；3. 【答案】D；【解析】用倍长中线法；4. 【答案】A；【解析】解：从角平分线的作法得出，△AFD 与△AED 的三边全部相等，则△AFD≌△AED．故选A ．5. 【答案】C ；【解析】A 不能构成三角形，B 没有SSA 定理，D 没有AAA 定理.6. 【答案】C ；【解析】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD ，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS 证得△BAP ≌△DCE ，由题意得：AP=16﹣2t=2，解得t=7．所以，当t 的值为1或7秒时．△ABP 和△DCE 全等． 故选C ．二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝82412︒=︒，所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°8. 【答案】4；【解析】在DE 的两侧可以各画2个.9.【答案】AD=BC ；【解析】由题意知，已知条件是△ABC 与△CDA 对应角∠1=∠2、公共边AC=CA ，所以根据全等三角形的判定定理SAS 来证△ABC ≌△CDA 时，需要添加的条件是AD=BC.10.【答案】BC=ED 或∠A=∠F .11.【答案】27；【解析】可证△ADB ≌△CDB ≌△CDE.12.【答案】5；三.解答题13.【解析】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，∴∠BAC=∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，，∴△ABC ≌△AED （SAS ）．14.【解析】证明：在△ABC 中，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝90︒-12∠A 在△DBF 和△ECD 中BD CE B C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBF ≌△ECD （SAS ）∴∠BFD ＝∠CDE∴∠EDF ＝180°－∠BDF －∠CDE ＝180°－（∠BDF ＋∠BFD ）＝∠B ＝90︒－12∠A .15.【解析】证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB （已知）∴∠ACF ＋∠BAC ＝90°，∠ABE ＋∠BAC ＝90°，（三角形内角和定理）∠ACF ＝∠ABE （等式性质）在△ACQ 和△PBA 中 ∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AC ABP ACF AB CQ∴△ACQ ≌△PBA （SAS ）∴∠Q ＝∠BAP （全等三角形对应角相等）∵CF ⊥AB （已知）∴∠Q ＋∠QAF ＝90°，（垂直定义）∴∠BAP ＋∠QAF ＝90°，（等量代换）∴AP ⊥AQ.（垂直定义）附录资料：【巩固练习】一、选择题1. （2016•长沙模拟） 如图所示，△ABC ≌△DEC ，则不能得到的结论是（ ）A. AB ＝DEB. ∠A ＝∠DC. BC ＝CDD. ∠ACD ＝∠BCE2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（ ）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（ ）①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ，△DEF ≌△MNP ，△ABC ≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC ≌△A ′B ′C ，∠ACB=90°，∠A ′CB=20°，则∠BCB ′的度数为（）A.20°B.40°C.70°D.90°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．8. （2016•成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23cm，BC＝4cm，则△DEF的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】因为△ABC ≌△DEC ，可得：AB=DE ，∠A=∠D ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，故选C ．2. 【答案】B ；【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等.3. 【答案】C；【解析】③和④是正确的；4. 【答案】C；【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°．故选C．5. 【答案】A；【解析】EF边上的高＝1826 6⨯=；6. 【答案】C；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.二.填空题7. 【答案】∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD；【解析】解：∵△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，∴∠D=∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD，故答案为：∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD．8. 【答案】120°；【解析】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°．9. 【答案】4cm或9.5cm；【解析】DE＝DF＝9.5cm，EF＝4cm；10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF， 46°；11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等；12.【答案】40°；【解析】见“比例”设k，用三角形内角和为180°求解.三.解答题13.【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B，又∠A＝30°，∠B＝50°，所以∠ACB＝100°.又因为△ABC≌△DEF，所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）所以∠DFE＝100°EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2.14. 【解析】解：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；（3）BC∥EF，AB∥DE，理由是：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF．15. 【解析】 AE＝DE ,且AE⊥DE证明：∵△ABE≌△ECD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE又∵AB⊥BC∴∠A＋∠AEB＝90°，即∠DEC＋∠AEB＝90°∴AE⊥DE∴AE与DE垂直且相等.。

等边三角形培优专项练习题双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，ΔEFC的周长= 。

3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。

纵向应用1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE 交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。

3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。

4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：ΔCMN为等边三角形。

5. 如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。

6. 如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：ΔADE是等边三角形。

7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。

求证：ΔMNP是等边三角形。

8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。

9. 如图14-56，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。

13.3.2 等边三角形（一）练习题一、基础题1．不能判定两个等边三角形全等的是（ ）A ．一条边对应相等B ．一个内角对应相等C ．一边上的高对应相等D ．有一内角的角平分线对应相等2．下面给出的几种三角形：①三个内角都相等；②有两个外角为120°；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线；④三条边上的高相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．已知等边三角形ABC 的高AD ，BE 交于点O ，则∠AOB=________．4．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥BC 于E ，若∠A=30°，BE=•1，•则AB=________．5．△ABC 是等边三角形，分别延长AB ，BC ，CA 到D ，E ，F ，•使BD=•CE=AF ，连接DE ，EF ，FD ，求证△DEF 是等边三角形．6．如图所示，在等边△ABC 中，在边BC ，AC 上取BD=CE ，连接AD ，BE 交于F ，求证∠AFE=600 CE B AD F二、提高训练1．下面的图形是轴对称图形，而且对称轴最多的是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形2．O 是等边△ABC 两条高的交点，若△AOB 的面积为1，则△ABC 的面积为_____．3．如图所示，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，垂足为D ，E ，则CE AE=______．4．△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，求证BD=12DC ．5．如图所示，等边△ABC 和等边△DCE 在直线BCE 的同一侧，AE 交CD 于P ，BD 交AC 于Q ，求证△PQC 为等边三角形．12BAQ DPC EB AD。

小学数学等边三角形练习题一、选择题1. 一个等边三角形的内角是多少度？A. 60度B. 90度C. 120度D. 180度2. 在一个等边三角形ABC中，角ABC的度数为60度，那么角ACB的度数是多少？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度3. 在一个等边三角形ABC中，边AC的长度为6 cm，那么边AB 和边BC的长度分别是多少？A. 3 cmB. 6 cmC. 9 cmD. 12 cm4. 在一个等边三角形ABC中，角B的度数为120度，那么角A和角C的度数分别是多少？A. 60度，60度B. 30度，150度C. 120度，120度D. 150度，30度二、填空题1. 一个等边三角形的所有内角度数之和是多少度？2. 在一个等边三角形ABC中，边AB的长度为8 cm，那么边AC 和边BC的长度分别是多少？3. 一个等边三角形的外角度数是多少度？4. 在一个等边三角形ABC中，角A的度数是60度，那么角B和角C的度数分别是多少？三、解答题1. 画出一个等边三角形，并标出其中的所有角度和边长。

2. 一个等边三角形ABC中，边AB的长度为10 cm，通过角B的顶点画出边DE，使得DE与BC平行，且DE的长度为6 cm。

求出AD 的长度。

四、应用题1. 一个等边三角形ABC中，边AB和边AC的长度分别为x cm和y cm。

如果边BC的长度是13 cm，求x和y的值。

2. 一个等边三角形ABC中，边AB和边BC的长度分别为x cm和y cm。

如果角ABC的度数是120度，求x和y的值。

以上是一些关于小学数学等边三角形的练习题和试题，希望能够帮助学生巩固和提高对该知识点的理解和掌握。

α+∠β的度数是（的度数是（ ）A ．180° B ． 220° C ． 240° D ． 300° 2C ．D ． 35．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（的长为（ ） A ． B ． C ． D ． 不能确定能确定 6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（的度数为（ ）A ．60° B ． 45° C ． 40° D ． 30° 7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，BE 、CE 分别交AD 于G 、2S 1=S 2 D ． S 1=2S 2《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（的边长为（） A ．6 B ． 12 C ． 32 D ． 64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形四边形，则图中∠ 3．（2012•荆门）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为（的长为（ ） A ． 2 B ． 4．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（的高为（ ）A ．2 B ． 4 C ． D ． 2H ，设△CDH 、△GHE 的面积分别为S 1、S 2，则（，则（） A ． 3S 1=2S 2 B ． 2S 1=3S 2 C ． 8．（2007•娄底）如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中被截成三等分，则图中阴影阴影部分的面积为（部分的面积为（ ）A ． 4cm 2B ． 2cm 2C ． 3cm 2D ． 3cm 230° C ． 45° D ． 60° 13．（2011•茂名）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= _________ 度．度．14．（2008•日照）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作同侧分别作正正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC ，沿x 轴向左平移2个单位后，得到△A ′B ′C ′，则点A 9．（2006•天津）如图，A 、C 、B 三点在同一条三点在同一条直线直线上，△DAC 和△EBC 都是都是等边三角形等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM=CN ；③AC=DN ．其中，正确结论的个数是（．其中，正确结论的个数是（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上爬行（A ，C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（ ）A ． d ＞h B ． d ＜h C ． d =h D ． 无法确定法确定11．（2007•南充）一艘一艘轮船轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（两地相距（ ） A ． 30海里海里 B ． 40海里海里 C ． 50海里海里 D ． 60海里海里12．（2006•曲靖）如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（等于（ ）A ．25° B ．′的坐标为′的坐标为 _________ ．16．（2004•茂名）如图，正三角形A 1B 1C 1的边长为1，△A 1B 1C 1的三条的三条中位线中位线组成△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2的三条的三条中线中线又组成△A 3B 3C 3，…，如此类推，得到△A n B n C n ．则：．则：（1）△A 3B 3C 3的边长a 3= _________ ； （2）△A n B n C n 的边长a n = _________ （其中n 为正为正整数整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC 为等边三角形，为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为 _________ 三角形．三角形．；②；② _________ ；③；③ _________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．．并对②，③的判断，选择一个给出证明．18．（1999•广州）如图，以A ，B 两点为其中两个顶点作位置不同的两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形等边三角形，最多可以作出作出 _________个．19．如图所示，P 是等边三角形ABC 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP ′，若PB=3，则PP ′= _________ ．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为一边向右作正三角形ADE ．（1）求△ABC 的面积S ；（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明．的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC 为正三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作正三角形CDE ，连接AE ，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由．的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上，且BM=CN ，AM ，BN 交于点Q ．求证：∠BQM=60度．度．（1）请你完成这道思考题；）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN ”与“∠BQM=60°”的位置的位置交换交换，得到的是否仍是真命题？，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ ③若将题中的条件“点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上”改为“点M ，N 分别在正方形ABCD 的BC ，CD 边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①：① _________23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角．一等腰直角边在一条直顶点为F，一条直角边与AC边在一条直所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角线上，另一条直角边恰好经过点B．数量关满足的数量关（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的，然后证明你的猜想；系，然后证明你的猜想；平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，（2）当三角尺沿AC方向方向平移另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB 至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；的长．（2）若D为AC的中点，求BP的长．度．． ①②③⑤①②③⑤ ．.16；△ （或2） 17． 等边等边 三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ． 20． 解：（1）在正△ABC 中，AD=4×，（2分）分）∴S=BC ×AD=×4×2=4．（3分）分）（2）AC 、DE 的位置关系：AC ⊥DE ．（1分）分）在△CDF 中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）分）∴∠CFD=180°﹣∠C ﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC ⊥DE ．（3分）分）（注：其它方法酌情给分）．21． E= 15解：AE ∥BC ．理由如下：．理由如下：∵△ABC 与△CDE 为正三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD ，即∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴∠B=∠EAC ，∵∠B=∠ACB ，∴∠EAC=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①：① 是 ；②；② 是 ；③；③ 否 ．并对 （1）证明：在△ABM 和△BCN 中，中，，∴△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM=∠CBN ，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．）①是；②是；③否．②的证明：如图，②的证明：如图，在△ACM 和△BAN 中，中，，∴△ACM ≌△BAN ，∴∠AMC=∠BNA ，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，③的证明：如图，中，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23 解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC ∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG ∴∠GBC=∠HDC ∵AB=AC ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；）仍然成立．（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG 为矩形，∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．为正三角形．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．中，∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．是矩形，∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD22=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD 2=AC •DB ，由PC=PD=CD 可得：PC •PD=AC •DB ， 即=， 则根据相似三角形的则根据相似三角形的判定定理判定定理得△ACP ∽△PDB （2）当△ACP ∽△PDB 时，∠APC=∠PBD ∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB 的度数为120°． 27． 证明：（1）∵△ACD 和△BCE 是等边三角形， ∴AC=DC ，CE=CB ，∠DCA=60°，∠ECB=60°， ∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE ，∠ACE=∠DCB ， 在△ACE 与△DCB 中，中，∵，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）∵由（1）得，△ACE ≌△DCB ，∴∠CAM=∠CDN ，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A 、C 、B 三点三点共线共线， ∴∠DCN=60°，在△ACM 与△DCN 中，中，∵，∴△ACM ≌△DCN ，∴MC=NC ，∵∠MCN=60°，∴△MCN 为等边三角形，为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA ，∴MN ∥AB ．。

全等三角形提高题角度转化问题1．已知:如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B,DE＝CB．求证：AD＝AC．2．已知:如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．求证：BD＝CE．3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证:HN＝PM.4。

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．5．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB,ED＝AC．求证：ED⊥AC．二次全等问题1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．求证：BO＝DO．2．已知:如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点,求证:OE＝OF。

3．如图,E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4．已知:如图,DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证:AB∥DC。

5、已知：如图，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,DB=DC，求证:EB=FC【练习】1、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD。

求证：△ADC是等腰三角形。

2、如图:AB=AC,ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

求证:MB=MCM FEC BA3、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证:BE=AD4、如图:在△ABC 中,∠C =90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 交AB 于E ，BC=30， BD ：CD=3：2,则DE= 。

5、如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题.(只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG ∥AF ，________,__________ 求证：_________6、如图，在Rt △ABC 中,∠ACB=45°，∠BAC=90°,AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ， 求证：BC 垂直且平分DE.【思维拓展】EDCA BEDCBAG FEDC BA证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短"等方法，构造全等三角形。