专题08 解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项习题练(原卷版)

单元质检八解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.已知方程x2x2+x −x23x2-x=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)3.若双曲线C:x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√334.已知直线过点A(0,3),圆(x-1)2+y2=4被该直线截得的弦长为2√3,则该直线的方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=-43x+3C.x=0或y=43x+3D.x=05.(2018全国Ⅱ,理12)已知F1,F2是椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率为√36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.146.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2√3D.47.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.428.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N.若|xx||xx|的最小值为1,则α=()A.π6B.π4C.π3D.π2二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若双曲线x2-x2x=1的离心率为√3,则实数m= .10.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x212−x24=1的渐近线的距离为.11.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2x-y2=1的左顶点为A.若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a= .12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点.若三角形OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.13.已知双曲线C:x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.14.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. (13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.16.(13分)已知椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的离心率为√154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2√15.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.17.(13分)(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+x23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-12;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明:2|xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.18.(13分)已知双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x,且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-√3,求双曲线的离心率.19.(14分)(2018上海,20)设常数t>2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A,与Γ交于点B,P,Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.20.(14分)设椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 的面积为√62,求直线AP 的方程.单元质检八 解析几何1.D 解析设所求直线方程为3x-4y+m=0(m ≠1),由|x -1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.A 解析由题意得(m 2+n )(3m 2-n )>0,解得-m 2<n<3m 2.又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m 2+n+3m 2-n=4,即m 2=1,所以-1<n<3.3.A 解析可知双曲线C 的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为√=√22-12=√3,即2xx=√3,所以c=2a ,所以e=2,故选A .4.B 解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线的方程为x=0, 此时圆(x-1)2+y 2=4被截得的弦长为2√3.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l 的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0. 因为弦长为2√3,圆的半径为2,所以弦心距为√22-(√3)2=1.由点到直线距离公式, 得√x 2+(-1)2=1,解得k=-43.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-43x+3. 5.D 解析∵A (-a ,0),△PF 1F 2为等腰三角形,∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c.过点P 作PE ⊥x 轴. ∵∠F 1F 2P=120°,∴∠PF 2E=60°. ∴|F 2E|=c ,|PE|=√3c ,∴P (2c ,√3c ). ∵k PA =√36,∴PA 所在直线的方程为y=√36(x+a ).∴√3c=√36(2c+a ).∴e=x x =14.6.B 解析由条件知F (2,0),渐近线方程为y=±√33x ,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°, 则|MN|=√3|OM|.又|OF|=2,在Rt △OMF 中,|OM|=2cos30°=√3, 所以|MN|=3.7.B 解析因为双曲线的离心率为2, 所以e2=x 2x 2=x 2+x 2x 2=4,即b 2=3a 2,所以双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±√3x ,代入y 2=2px (p>0),得x=23p 或x=0,故x A =x B =23p.又因为|AF|=x A +x2=23p+x2=7,所以p=6.8.C 解析如图,过点A ,B 分别作准线的垂线AQ ,BP ,垂足分别是Q ,P. 设|AF|=a ,|BF|=b ,连接AF ,BF.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|. 在梯形ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得,|AB|2=a 2+b 2-2ab cos α.∵|xx ||xx |的最小值为1, ∴a 2+b 2-2ab cos α≥(x +x )24,当α=π3时,不等式恒成立.故选C .9.2 解析由题意知a=1,b=√x ,m>0,c=√x 2+x 2=√1+x ,则离心率e=xx =√1+x =√3,解得m=2.10.1 解析抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x 212−x 24=1的渐近线x±√3y=0的距离d=√1+3=1.11.19 解析由题意可知,抛物线y 2=2px (p>0)的准线方程为x=-4, 则p=8,所以点M (1,4).因为双曲线x 2x -y 2=1的左顶点为A (-√x ,0), 所以直线AM 的斜率为1+x.由题意得1+x=√x,解得a=19. 12.8 解析设△OFM 的外接圆圆心为O 1,则|O 1O|=|O 1F|=|O 1M|,所以O 1在线段OF 的垂直平分线上. 又因为☉O 1与抛物线的准线相切,所以O 1在抛物线上,所以O 1(x4,√22x ). 又因为圆面积为36π,所以半径为6, 所以x 216+12p 2=36,所以p=8. 13.2√33解析如图所示,由题意可得|OA|=a ,|AN|=|AM|=b.∵∠MAN=60°,∴|AP|=√32b ,|OP|=√|xx |2-|xx |2=√x 2-34x 2.设双曲线C 的一条渐近线y=x x x的倾斜角为θ,则tan θ=|xx ||xx |=√32x √x 2-4x 2.又tan θ=xx ,∴√32x √x 2-4x 2=xx ,解得a 2=3b 2,∴e=√1+x 2x 2=√1+13=2√33.14.2 解析设直线AB :x=my+1, 联立{x =xx +1,x 2=4x⇒y 2-4my-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 而xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1-1)=(my 1+2,y 1-1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2-1)=(my 2+2,y 2-1). ∵∠AMB=90°,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+2)(my 2+2)+(y 1-1)(y 2-1) =(m 2+1)y 1y 2+(2m-1)(y 1+y 2)+5 =-4(m 2+1)+(2m-1)·4m+5 =4m 2-4m+1=0. ∴m=12.∴k=1x =2.15.解(1)由{x =2x -4,x =x -1,得圆心C (3,2).又因为圆C 的半径为1,所以圆C 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1. 显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C 的切线方程为y=kx+3, 即kx-y+3=0,则√=1,所以|3k+1|=√x 2+1, 即2k (4k+3)=0. 所以k=0或k=-34.所以所求圆C 的切线方程为y=3或y=-34x+3, 即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C 的圆心在直线l :y=2x-4上,可设圆心C 为(a ,2a-4), 则圆C 的方程为(x-a )2+[y-(2a-4)]2=1. 设M (x ,y ), 又因为|MA|=2|MO|,所以√x 2+(x -3)2=2√x 2+x 2,整理得x 2+(y+1)2=4.设方程x 2+(y+1)2=4表示的是圆D ,所以点M 既在圆C 上又在圆D 上,即圆C 和圆D 有交点,所以2-1≤√x 2+[(2x -4)-(-1)]2≤2+1,解得a 的取值范围为[0,125]. 16.解(1)由题意,得e=xx =√154=√x 2-x 2x,可知a=4b ,c=√15b.∵△PF 1F 2的周长是8+2√15, ∴2a+2c=8+2√15,∴a=4,b=1. ∴椭圆C 的方程为x 216+y 2=1.(2)椭圆的上顶点为M (0,1),由题意知过点M 与圆T 相切的直线存在斜率,则设其方程为l :y=kx+1. 由直线y=kx+1与圆T 相切可知=23,即32k 2+36k+5=0,∴k 1+k 2=-98,k 1k 2=532.由{x =x 1x +1,x 216+x 2=1,得(1+16x 12)x 2+32k 1x=0,∴x E =-32x11+16x 12.同理x F =-32x21+16x 22,k EF =x x -xx x x-x x=x 1x x -x 2x x x x -x x =x 1+x 21-16x 1x2=34.故直线EF 的斜率为34.17.证明(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 124+x 123=1,x 224+x 223=1.两式相减,并由x 1-x 2x 1-x 2=k ,得x 1+x24+x 1+x 23·k=0.由题设知x 1+x 22=1,x 1+x 22=m ,于是k=-34x .由题设得0<m<32,故k<-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0. 又点P 在C 上,所以m=34, 从而P (1,-32),|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.于是|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+x 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x 12.同理|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x 22.所以|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3. 故2|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 18.解(1)双曲线x 2x 2−x 2x 2=1的渐近线方程为y=±x xx.由双曲线的一条渐近线方程为y=x , 可得xx =1,解得a=b.因为c=√x 2+x 2=2,所以a=b=√2. 故双曲线的方程为x 22−x 22=1.(2)设A 的坐标为(m ,n ),可得直线AO 的斜率满足k=xx =,即m=√3n. ①因为以点O 为圆心,c 为半径的圆的方程为x 2+y 2=c 2, 所以将①代入圆的方程,得3n 2+n 2=c 2, 解得n=12c ,m=√32c.将点A (√32x ,12x )代入双曲线方程,得(√32x )2x 2−(12x )2x 2=1,化简得34c 2b 2-14c 2a 2=a 2b 2.又因为c 2=a 2+b 2,所以上式化简整理得34c 4-2c 2a 2+a 4=0. 两边都除以a 4,整理得3e 4-8e 2+4=0, 解得e 2=23或e 2=2.因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=√2(负值舍去). 故双曲线的离心率为√2.19.解(1)(方法一)设B (t ,2√2x ),则|BF|=√(x -2)2+8x =t+2.(方法二)设B (t ,2√2x ), 由抛物线的定义可知,|BF|=t+2. (2)由题意,得F (2,0),|FQ|=2,t=3,∴|FA|=1,∴|AQ|=√3,∴Q (3,√3).设OQ 的中点为D , 则D (32,√32),k PF =√32-032-2=-√3, ∴直线PF 的方程为y=-√3(x-2).由{x =-√3(x -2),x 2=8x ,整理,得3x 2-20x+12=0, 解得x=23或x=6(舍去).∴△AQP 的面积S=12×√3×(3-23)=7√36.(3)存在.设P (x 28,x ),E (x 28,x ),则k PF =x x 28-2=8xx 2-16,k FQ =16-x 28x,直线QF 的方程为y=16-x 28x(x-2),∴y Q =16-x 28x(8-2)=48-3x 24x,Q (8,48-3x 24x).∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴E (x 28+6,48+x 24x).∴(48+x 24x)2=8(x 28+6),解得y 2=165.∴存在以FP ,FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上,且P (25,4√55). 20.解(1)设F 的坐标为(-c ,0).依题意,x x =12,x 2=a ,a-c=12, 解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34.所以椭圆的方程为x 2+4x 23=1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P (-1,-2x), 故Q (-1,2x). 将x=my+1与x 2+4x 23=1联立,消去x ,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0或y=-6x 3x 2+4.由点B 异于点A ,可得点B (-3x 2+43x 2+4,-6x 3x 2+4). 由Q (-1,2x ),可得直线BQ 的方程为(-6x 3x 2+4-2x )(x+1)-(-3x 2+43x 2+4+1)(x -2x )=0. 令y=0,得x=2-3x 23x 2+2,故D (2-3x 23x 2+2,0). 所以|AD|=1-2-3x 23x 2+2=6x 23x 2+2. 又因为△APD 的面积为√62,故12×6x 23x 2+2×2|x |=√62, 整理得3m 2-2√6|m|+2=0,解得|m|=√63,所以m=±√63.所以直线AP 的方程为3x+√6y-3=0或3x-√6y-3=0.。

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式． 【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB＝a，AD＝b，则A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，设P (x ，y )，则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)． (1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程． 解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)． (3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )40)2(2++-=a ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y xA ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( ) A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______． 6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______． 7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______．图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD 满足AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝AC 2＋BD 2．AB 21414110．求证：以A (4，3，1)，B (7，1，2)，C (5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A (1，3)，B (4，5)，点P 在x 轴上，求|P A |＋｜PB ｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．． 2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)． 3．直线方程的几种形式 点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)； 斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)． 4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x xx y y y y =/=/--=--(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或(2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则 l 1与l 2相交k 1≠k 2； l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2； l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2． 5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1． 6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C CB B A AC A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212121222111C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔⋅+++=2211||BA C By Ax d 082=-+y x范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角(2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ， 由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β， 故l 斜率k 的取值范围为． 【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种： ①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α；②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝；③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |． 例2 根据下列条件求直线方程：082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈Y k 1212x x y y --BA -(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1． 解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)， 令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0； (2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2， 当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， 所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意． 所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0， (1)若l 1∥l 2，求实数m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)， 解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4， 验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0， 解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k 03534=---y x当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝，若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4， 若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4 综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2； (2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0；②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点 22－+m m m m 42-21+m m3-⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k kk k由题意，得，解得解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)， 因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k⋅<<250k ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x ay l得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) A ． B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( ) A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______． 6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______． 7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______． 8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 5343-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+(1)求｜P A｜的最小值；(2)若|P A|＝|PB|，求点P坐标．10．若直线l夹在两条直线l1：x－3y＋10＝0与l2：2x＋y－8＝0之间的线段恰好被点P(0，1)平分，求直线l 的方程．211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等． 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组． 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解． 可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域． (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①分析并将已知数据列出表格； ②确定线性约束条件； ③确定线性目标函数； ④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解． 【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______； (2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反， 则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，,223a x y +=23231a+⨯>所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值； (2)z 2＝x －y 的最大值；，0221⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值； (4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5； (2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值(4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)． 【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80(B)85(C)90(D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．如图8－3－4．14-=x yz 2)52(;541-x y⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥0y x图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值， 所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ． 【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M，此时z 取到最大值),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx )720,712(71290⨯答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4． (1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围． 解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)， 此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10．.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba ),21,23(C .5212234=⨯-⨯【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( ) A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7A ．B ．C ．D ．二、填空题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤α⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______．7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％()，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=%100⨯(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切； ＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离．)2,2(E D --21.422F E D -+⇔⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则d ＞R ＋r 两圆相离；d ＝R ＋r 两圆外切；R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交；d ＝R －r 两圆内切；d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上；(3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径 所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则⇔⇔⇔⇔⇔)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．(3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆过点A ，B ，所以4D ＋2E ＋F ＋20＝0，①－D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ．在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系．解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x x y方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b2＝r 2，故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2．(2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4．(1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3，验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，0=⋅OP PQ .||22222r r r b a r d =>+=3圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3．(2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)，设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1， 于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM 11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA ｜＝故当d ＝时，，此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)，所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，且点A 到圆C 的圆心的距离等于所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ，所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点．(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k ,522)2()11(22<=-+--).1,62((2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)．则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合．所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25．(2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴ ∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a ,11k k -=Θ,,00001y x k x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( )A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C ． D ． 4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______．6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______． 7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点．(1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程；.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+by a x 11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 2(2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解；(2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只3255要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想．2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．【评析】动点轨迹法是求轨迹方程的重要方法，其一般步骤是：①建立平面直角坐标系；②设所求动点的坐标为(x ，y )；③找出动点满足的几何关系；④几何关系代数化，并将其化简；⑤检验以方程的解为坐标的点是否都在所求轨迹上．例2 已知P 为抛物线y ＝x 2＋1上一动点，A (2，3)，P 关于A 的对称点为点P ′，求动点P ′的轨迹方程．解：设P '(x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意，得所以x 0＝4－x ，y 0＝6－y ，因为点P (x 0，y 0)在抛物线y ＝x 2＋1上，所以6－y ＝(4－x )2＋1，即动点P '的轨迹方程为y ＝－(x －4)2＋5．例3 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ ｜的比等于常数2．求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：如图8－5－1，设直线MN 切圆于N ，⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x ,32,2200=+=+y y x x。

专题08 平面解析几何1．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ）A ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2- 2．在平面直角坐标系中，曲线C 上任意点P 与两个定点()2,0A -和点()2,0B 连线的斜率之和等于2，则关于曲线C 的结论正确的有（ ）A ．曲线C 是轴对称图形B ．曲线C 上所有的点都在圆222x y +=外 C ．曲线C 是中心对称图形D ．曲线C 上所有点的横坐标x 满足2x > 3．若双曲线C 的一个焦点(5,0)F ，且渐近线方程为43y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为221916x y -= B ．C 的离心率为54 C ．焦点到渐近线的距离为3 D ．两准线间的距离为1854．我们通常称离心率为51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条6．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为47．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ）A ．4p =B ．DF FA =C ．2BD BF = D ．4BF =8．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,1 9．已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）A ．234⋅=-OC OD pB ．四边形ACBD 面积最小值为216pC ．1112AB CD p+= D ．若24AF BF p ⋅=，则直线CD 的斜率为 10．已知三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为（ ）A B ．3 C ．2 D11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为y x =C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒ 12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线D ．在三棱锥中P ABC -，PA ⊥面ABC ，且3PA =，6BC =，2AC AB =，该三棱锥体积最大值为1213．下列选项正确的为（ ）A ．已知直线1l ：()()2110a x a y ++--=，2l ：()()12320a x a y -+++=，则12l l ⊥的充分不必要条件是1a =B ．命题“若数列{}2n a 为等比数列，则数列{}n a 为等比数列”是假命题C ．棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AC D 与平面1ACB 距离为3a D ．已知P 为抛物线22y px =上任意一点且(),0M m ，若PM OM ≥恒成立，则(],m p ∈-∞ 14．已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D ．12PF F ∆的面积为115．椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，以下说法正确的是（ ） A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8. B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=. C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆2214x y +=一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3.。

专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。

2020届二轮（理科数学） 解析几何专题卷（全国通用）1.已知椭圆P 的中心O 在坐标原点、焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12. (1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得b ＝23，e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在满足题意的直线l ，易知当直线l 的斜率不存在时，OR →·OT →<0，不满足题意.故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2).∵OR →·OT →＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0， 由Δ>0得(－32k )2－64(3＋4k 2)>0，解得k 2>14.① ∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝163＋4k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16，故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝167， 解得k 2＝1.②由①②解得k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±x －4.故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意.2.(2019·郑州质检)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点⎝⎛⎭⎫0，12.问：在y 轴上是否存在定点Q ，使得∠MQO ＝∠NQO ？若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2.取F ′(－1，0)，连接F ′P ，则|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点P 的轨迹是以F ′，F 为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在满足题意的定点Q .设Q (0，m )，当直线的斜率存在时直线MN 的方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立得方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋12. 消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋4kx －11＝0.由题意知Δ>0，∴x 1＋x 2＝－4k 3＋4k 2，x 1x 2＝－113＋4k 2. 由∠MQO ＝∠NQO ，得直线MQ 与直线NQ 的斜率之和为0，∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝kx 1＋12－m x 1＋kx 2＋12－m x 2＝2kx 1x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m （x 1＋x 2）x 1x 2＝0， ∴2kx 1x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m (x 1＋x 2) ＝2k ·－113＋4k 2＋⎝⎛⎭⎫12－m ·－4k 3＋4k 2＝4k （m －6）3＋4k 2＝0， 当k ≠0时，m ＝6，所以存在定点(0，6)，使得∠MQO ＝∠NQO ；当k ＝0时，定点(0，6)也符合题意. 易知直线MN 的斜率不存在时，定点Q (0，6)也符合题意.∴存在符合题意的定点Q ，且定点Q 的坐标为(0，6).综上，存在定点(0，6)使得∠MQO ＝∠NQO .3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上， 所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x 得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0， 故y 0＝y 1＋y 22＝t 9，且－3<t <3. 由PM →＝NQ →得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53. 又－3<t <3，所以－73<y 4<－1， 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾.因此椭圆C 上不存在这样的点Q .4.(2019·青岛质检)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点⎝⎛⎭⎫1，22. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2，0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 的面积的最大值.解 (1)由题意，得椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则b ＝c ， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的标准方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. ∵椭圆E 经过点⎝⎛⎭⎫1，22，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1. ∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵点(－2，0)在椭圆E 外，∴直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝k (x ＋2).设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 22＋y 2＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0，解得0≤k 2<12. ∴|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝21＋k 22－4k 2（1＋2k 2）2. ∵点F 2(1，0)到直线l 的距离d ＝3|k |1＋k 2， ∴△F 2MN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝3k 2（2－4k 2）（1＋2k 2）2. 令1＋2k 2＝t ，t ∈[1，2)，得k 2＝t －12. ∴S ＝3（t －1）（2－t ）t 2＝3－t 2＋3t －2t 2＝3－1＋3t －2t 2＝3－2⎝⎛⎭⎫1t －342＋18. 当1t ＝34，即t ＝43⎝⎛⎭⎫43∈[1，2）时，S 有最大值，S max ＝324，此时k ＝±66. ∴△F 2MN 的面积的最大值是324. 5.(2019·重庆二诊)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线PA 1与PA 2的斜率的乘积为－34.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 2作两条互相垂直的直线l 1与l 2(均不与x 轴重合)分别与椭圆E 相交于A ，B ，C ，D 四点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1. 整理，得x 20－a 2＝－a 2y 20b 2. 由题意，得y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝－34. 整理，得x 20－a 2＝－43y 20. ∴－a 2y 20b 2＝－43y 20， 又y 0≠0，即a 2＝43b 2. ∵c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设直线AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3. ∴x M ＝x 1＋x 22＝12·8k 24k 2＋3＝4k 24k 2＋3， ∴y M ＝k (x M －1)＝－3k 4k 2＋3. 用－1k替换点M 坐标中的k ， 可得x N ＝43k 2＋4，y N ＝3k 3k 2＋4. 若直线AB 关于x 轴对称后得到直线A ′B ′，直线CD 关于x 轴对称后得到直线C ′D ′，线段A ′B ′，C ′D ′的中点分别为M ′，N ′，则直线M ′N ′与直线MN 关于x 轴对称.∴若直线MN 经过定点，则该定点一定是直线M ′N ′与MN 的交点，该交点必在x 轴上.设该交点为T (s ，0)，则MT →＝(s －x M ，－y M )，NM →＝(x M －x N ，y M －y N ).由MT →∥NM →，得s＝x N y M －xM y N y M －y N . 代入点M ，N 的坐标并化简，得s ＝47. ∴经过的定点为⎝⎛⎭⎫47，0.6.(2018·洛阳二模)如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b2＝1(0<b <4)的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC .(1)求椭圆T 的标准方程；(2)过点M (0，1)分别作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，试判断直线EF 与圆G 的位置关系，并说明理由.解 (1)设B ⎝⎛⎭⎫83，y 0，y 0>0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，如图.由题意得△ADG ∽△AHB ，即GD AG ＝HB AB， 得236＝y 04009＋y 20.解得y 20＝59. ∵点B ⎝⎛⎭⎫83，y 0在椭圆T 上，∴64916＋y 20b 2＝49＋59b2＝1，解得b 2＝1. 故椭圆T 的标准方程为x 216＋y 2＝1.(2)直线EF 与圆G 相切.理由如下：设过点M (0，1)与圆G ：(x －2)2＋y 2＝49相切的直线的方程为kx －y ＋1＝0，则23＝|2k ＋1|1＋k2，即32k 2＋36k ＋5＝0.(*)设MF ，ME 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2为方程(*)的根，则k 1＋k 2＝－98，k 1k 2＝532. 将kx －y ＋1＝0代入x 216＋y 2＝1， 消去y 并整理，得(16k 2＋1)x 2＋32kx ＝0，解得x ＝－32k 16k 2＋1或x ＝0. 设F (x 1，k 1x 1＋1)，E (x 2，k 2x 2＋1)，则x 1＝－32k 116k 21＋1，x 2＝－32k 216k 22＋1. ∴直线EF 的斜率k EF ＝k 2x 2－k 1x 1x 2－x 1＝k 1＋k 21－16k 1k 2＝34. 从而直线EF 的方程为y ＋32k 2116k 21＋1－1＝34⎝⎛⎭⎫x ＋32k 116k 21＋1. 将32k 21＝－36k 1－5代入上式并化简，得y ＝34x －73. 则圆心(2，0)到直线EF 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23. 故直线EF 与圆G 相切.。

专题八 解析几何1、直线50x +-=的倾斜角为（ ） A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2、过点(1,0)且与直线220x y --＝平行的直线方程是 ( ) A ．210x y --＝ B ．210x y -+＝ C ．220x y +-＝D ．210x y +-＝3、坐标原点到直线3450x y ++=的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.44、已知()(4,51)6,A B ---、，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．22132)9()(x y ++－＝ B ．22132)9()(x y -++＝ C ．221311()(6)x y +-+＝D ．221311()(6)x y -++＝530x y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于( ) A.33- B. 3-33C. 33-3D. 33-或336、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则椭圆E 的方程为( ) A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y +=D.221189x y +=7、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的渐近线方程为( )A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =±D.y x =±8、点(2,1)A 到抛物线2x ay =的准线的距离为3,则实数a 的值为( ) A.4B.14C.14或120- D.4或-209、已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．B ．1±C ．34±D ． 10、如图所示,已知椭圆方程为()222210,x y a b A a b+=>>为椭圆的左顶点, B C 、在椭圆上,若四边形OABC 为平行四边形,且45OAB ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.11、已知直线1l ：4230x y -+=与直线2l ：210ax y ++=垂直，则a = 。

专题八解析几何1、直线50x +-=的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2、过点(1,0)且与直线220x y --＝平行的直线方程是 ( )A ．210x y --＝B ．210x y -+＝C ．220x y +-＝D ．210x y +-＝3、坐标原点到直线3450x y ++=的距离是( )A.1B.2C.3D.44、已知()(4,51)6,A B ---、，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．22132)9()(x y ++－＝B ．22132)9()(x y -++＝C ．221311()(6)x y +-+＝D ．221311()(6)x y -++＝50y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于( )A.B.C. -D. -或6、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则椭圆E 的方程为( ) A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y += D.221189x y +=7、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的渐近线方程为( ) A.14y x =± B.13y x =± C.12y x =± D.y x =±8、点(2,1)A 到抛物线2x ay =的准线的距离为3,则实数a 的值为( )A.4B.14C.14或120-D.4或-209、已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．3±B ．1±C ．34±D ．3± 10、如图所示,已知椭圆方程为()222210,x y a b A a b+=>>为椭圆的左顶点, B C 、在椭圆上,若四边形OABC 为平行四边形,且45OAB ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A. 2B. 3C. 6D. 22 11、已知直线1l ：4230x y -+=与直线2l ：210ax y ++=垂直，则a = 。

专题08 平面解析几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．4．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅰ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．5．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．6．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.9．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM的斜率之积323AP PB =为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 12．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．13．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．14．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．15．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．16．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．17．【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．18．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．19．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．20．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．21．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．22．【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．。

2020届二轮（理科数学）数列 解析几何 专题卷（全国通用）一、选择题1．在等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a 的值为（ ） A ．154B ．152C ．74 D ．722．已知双曲线2222:1x y C a b -=（a >0，0b >，则C 的渐近线为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±3．已知命题:p x ∀∈R ，23x x <，命题:q x ∃∈R ，使得321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝4．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-5．关于x 的不等式22280x ax a --<(0)a >的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1526．过抛物线24x y =的焦点F 作直线，交抛物线于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若126y y +=，则12||PP =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．107．曲线2ln y x x =在x e =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．24eB ．22eC ．2eD ．22e8．已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，若OMN △为直角三角形，则||MN =（ ） A ．32B ．3 C．D ．4二、填空题9．在数列{}n a 中，11a =，当n ∈*N ，1n n a a n +-=，则100a 的值为 ． 10．若定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式(ln )(1)0ef x xf -<的解集为 （结果用区间表示）．三、简答题11．设等差数列{}n a 的公差为1d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．12．已知动点M 到两定点1(,0)F m -，2(,0)F m 的距离之和为4(02)m <<，且动点M 的轨迹曲线C 过点1)2N ． （1）求m 的值；（2）若直线:l y kx =+与曲线C 有不同的两个交点,A B ，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点），求k 的值．13．已知函数23()ln 2f x x ax x =-+-（a 为常数，且a ∈R ） （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，求实数a 和极值0()f x 的取值范围．答案一、选择题 1．【答案】B【解析】等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，所以2112a a q a ==，4141(12)1512a S a -==-，所以42152S a =． 2．【答案】C【解析】由题知，c a =，即2222254c a b a a +==，∴2214b a =，∴12b a =， ∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ． 3．【答案】B【解析】取1x =-，推出1123-->，可知命题p 为假命题．令32()1f x x x =+-，∵()f x 图像连续，且(0)(1)0f f ⋅<，故()f x 有零点， 即方程3210x x +-=有解，即x ∃∈R ，使得321x x =-，故B 为真． 4．【答案】D【解析】121()22333()32()23313nn n n S --==-⋅=-⋅-，12()3n n a -=，对照两式可知选D ． 5．【答案】A【解析】由条件知1x ，2x 为方程设22280x ax a --=的两根，则212122,8x x a x x a +==-，由222222211212((4(2)4(836)5)1)x x x x x x a a a -=+-=-⨯-==，解得52a =． 6．【答案】C【解析】24x y =的焦点为(0,1)，准线为1y =-，因为111(,)P x y ，222(,)P x y 两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点， 所以111(,)P x y ，222(,)P x y 两点到准线的距离分别是11y +，21y +，所以由抛物线的定义知12121212||||||112628PP PF P F y y y y =+=+++=++=+=，故选C ． 7．【答案】B【解析】2ln y x x =，12ln 22ln 2y x x x x'=⨯+⨯=+， 所以|224x e y ='=+=，且()2y e e =，所以切线方程为24()y e x e -=-，即42y x e =-， 此直线与x 轴､y 轴交点坐标分别为(,0),(0,2)2e e -，所以切线与坐标轴围成的三角形面积是212222e e S e =⨯⨯=，故选B ．8．【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F ， 从而得到30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==．二、填空题9．【答案】4951【解析】因为1n n a a n +-=，所以211a a -=，322a a -=，433a a -=，L ，11n n a a n --=-（2n ≥）， 将以上个式子相加得1(1)(11)(1)123(1)22n n n n n a a n -+---=++++-==L ， 因为11a =，所以(1)12n n n a -=+，所以10010099149512a ⨯=+=．10．【答案】(0,)e【解析】令()()xf xg x e=，则2(()())()x x e f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数， 由(ln )(1)ef x xf <，得ln 1(ln )(1)x f x f e e<，即(ln )(1)g x g <， 因为函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数，所以ln 1x <．所以不等式的解集是(0,)e ． 故答案为(0,)e ．三、简答题11．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）由题得1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩，解得1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）或112a d =⎧⎨=⎩， 故21n a n =-，12n n b -=．（2）111(21)(21)n n n c a a n n +==-+， 所以122334111111111133557(21)(21)n n n T a a a a a a a a n n +=++++=++++⨯⨯⨯-+L L 1111111111(1)(1)233557212122121nn n n n =-+-+-++-=-=-+++L ． 12．【答案】（1）m =（2）． 【解析】（1）依题意(02)m <<，即42m >，知曲线C 是以两定点1(,0)F m -，2(,0)F m 为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以2a =，设曲线C 的方程为22214x y b+=，代入点1)2N ， 解得21b =，由222c a b =-，解得23c =，所以m =．（2）由（1）知曲线C 的方程为2214x y +=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y得221()104k x +++=，2410Δk =->，得214k >，12x x +=122414x x k =+，则12121212(OB x y x kx OA x x y x k ⋅=+=++u u u r u u u r221212264(1)()2214k k x x x x k-=++++==+，得21134k =>， 所以k的值为 13．【答案】（1）函数()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞；（2）(1,)a ∈+∞，03()(,)2f x ∈-∞-．【解析】（1）2121()21ax x f x ax x x-++'=-+=()0x >，当1a =时，221(21)(1)()x x x x f x x x -++-+-'==，由0()0x f x >⎧⎨'>⎩，解得01x <<，所以函数()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞．（2）记2()21g x ax x =-++，(0)1g =，函数()f x 在区间(0,1)上有唯一极值点0x ，则函数()g x 图像是开口向下的抛物线，且(1)0g <，即0,12110a a a >⎧⇔>⎨-++<⎩，所以a 的取值范围是(1,)+∞，0()0g x =20021ax x ⇔=+，所以20000000001331()ln ln ln 22222x f x x ax x x x x x +=-+-=-+-=+-， 因为0()f x 在0(0,1)x ∈上单调递增，且0→x 时，-∞→)(x f ，23)1(-=f ，所以0()f x 的取值范围是3(,)2-∞-．。