2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第八章 解析几何(含两年高考一年模拟)

60°，则BD→·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 22．(2015·新课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD→，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →3．(2015·陕西)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 24．(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π5．(2014·新课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →6．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM→ B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 7．(2014·浙江)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定8．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a|，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |29．(2014·山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 310．(2014·广东)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)11．(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)12．(2014·北京)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)13．(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6 D ．014．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．515．(2014·新课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________． 16．(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.17．(2014·江西)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.1．，|a －b |＜|a |＋|b |，则綈p 为( )A ．∀平面向量a 和b ，|a －b |≥|a |＋|b |B ．∃平面向量a 和b ，|a －b |＜|a |＋|b |C ．∃平面向量a 和b ，|a －b |＞|a |＋|b |D ．∃平面向量a 和b ，|a －b |≥|a |＋|b |2．(2015·北京四中模拟)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．103．(2015·朝阳区模拟)设a ，b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是( )①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |； ②|a ·b |＝|a ||b |；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |； ④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb . A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④4．(2015·吉林长春模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ·b ＝－3，则|a ＋2b |＝( )A ．1 B.7 C ．4＋ 3 D ．275．(2015·甘肃模拟)已知平面向量a 与b 的夹角为π3，且|b |＝1，|a ＋2b |＝23，则|a |＝( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．26．(2015·广东三门模拟)若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |＞|2a ＋b | B ．|2a |＜|2a ＋b | C ．|2b |＜|a ＋2b | D ．|2b |＞|a ＋2b |7．(2015·四川雅安模拟)已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( )A ．0 B.12 C.32 D ．18．(2015·安徽安庆模拟)已知a 、b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，则|a ||b |＝( )A.33B.64C.53D.639．(2015·江南十校模拟)已知点A (1，－1)，B (4，0)，C (2，2)平面区域D 是由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤a ，1≤μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域，若区域D 的面积为8，则4a ＋b 的最小值为( )A ．5B ．4 2C ．9D ．5＋4 210．(2015·湖南常德模拟)已知AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，则向量AB→在CD →方向上的投影为________． 11．(2015·江苏启东模拟)已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：(AB →－AC →)·(2AD →－BD →－CD →)＝0，则△ABC 的形状是________．12．(2015·皖江名校模拟)在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，P 0是边AB 上的一个定点，P 0B ＝14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①当P 与A ，B 不重合时，PB →＋PC →与PD →共线； ②PB→·PC →＝PD 2→－DB 2→； ③存在点P ，使|PD →|＜|P 0D →|； ④P 0C →·AB →＝0； ⑤AC ＝BC .13．(2015·江苏四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，1，θ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan θ的值；(2)若a ∥b ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求θ的值．1.(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM→＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B. 15 C ．9 D ．62．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB→＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC→ 3．(2015·福建)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．214．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC ，若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23 C.56 D.7125．(2014·四川)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.106．(2014·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF→|的最小值为________． 8．(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.9．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．10．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中， 已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3 PD →，AP →·BP →＝2，则AB→·AD →的值是________．11．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．12．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC→(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP→|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．1．(2015·沈阳质检)已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 2．(2015·辽宁五校联考)已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．[－3，3)3．(2015·广东肇庆模拟)已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( )A ．－1B ．0 C.12 D.224．(2015·天津一中模拟)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线， 则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0 5．(2015·上海市浦东新区模拟)如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点，若OC→＝mOA →＋nOB →，则( ) A ．0＜m ＋n ＜1 B ．m ＋n ＞1 C ．m ＋n ＜－1 D ．－1＜m ＋n ＜06．(2015·天津市滨海新区模拟)在平行四边形ABCD 中，AE →＝EB →，CF→＝2FB →，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM →＝λAB →＋μAD →，则实数λ与μ的乘积为( )A.14B.38C.34D.437．(2015·广东肇庆市模拟)定义空间两个向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ，②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ，③(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )，④若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|.恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．(2015·山东济宁模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB→·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________． 9．(2015·湖北宜昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A的大小；(2)现给出以下三个条件：①B＝45°；②2sin C－(3－1)·sin B ＝0；③a＝2 .试从中再选择两个条件以确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积．第四章 平面向量 考点13 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】 1．D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]2．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD→， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.] 3．B4．A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]5．A [EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.]6．D [依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM→，故选D.] 7．B [|b ＋t a |2＝|a |2t 2＋2a·b ·t ＋|b |2 ＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 设f (t )＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 则二次函数f (t )的最小值为1， 即4|a|2|b|2－4|a|2|b|2cos 2θ4|a|2＝1，化简得|b |2sin 2θ＝1.∵|b |＞0，0≤θ≤π，∴|b |sin θ＝1， 若θ确定，则|b |唯一确定， 而|b|确定，θ不确定，故选B.]8．D [由三角形法则知min{|a ＋b |，|a －b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a ＋b |，|a －b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b |2，故选D.]9．B [根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意．]10．B [由于a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，于是b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.]11．B [若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.]12．A [因为a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)，选A.]13．B [设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a ·b ，则S ＝2a 2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a ·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a ·b ，则S ＝4a ·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a ·b ，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a ·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.]14．A [∵|a ＋b |＝10，∴(a ＋b )2＝10， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.① ∵|a －b |＝6，∴(a －b )2＝6， 即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.② 由①②可得a ·b ＝1.故选A.]15．90° [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB→与AC →的夹角为90°.] 16.5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]17.223 [因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]【一年模拟试题精练】1．D [根据全称命题的否定是特称命题，故选D.]2．B [因为a ⊥c ，b ∥c ，所以x ＝2，y ＝－2，a ＋b ＝(3，1)，所以|a ＋b |＝10，故选B.]3．B [①中利用平行四边形法则，可以得到以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，故|a ＋b |＝|a －b |；②直接利用数量积公式，不正确；③中只有a ，b 同向时才成立；④|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 反向，故正确，故选B.]4．B [|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝7，故选B.]5．D [|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝12，所以a 2＋2|a |－8＝0，所以|a |＝2，故选D.]6．D [因为|a ＋b |＝|b |，则|a ＋b |2＝|b |2，即a 2＋2a ·b ＝0，所以a ·b ＜0，因为|a ＋2b |2－|2b |2＝a 2＋4a ·b ＜0，故选D.]7．C [|t a －b |2＝t 2a 2－t |a |＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t |a |－122＋34，所以|t a －b |的最小值是32，故选C.]8．D [利用向量加法的几何意义，可以得到|a |，|b |为邻边的三角形的内角分别为π4和π3由正弦定理得到|a ||b |＝63.]9．C [如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得|AN |＝a |AB |，|AM |＝b |AC |，作CH ∥AN ，BF ∥AM ，NG ∥AM ，MG ∥AN ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分， 即四边形EHGF .∵AB→＝(3，1)，AC →＝(1，3)，BC →＝(－2，2)， ∴|AB→|＝10，|AC →|＝10，|BC →|＝2 2. 则cos ∠CAB ＝10＋10－82×10×10＝35，sin ∠CAB ＝45.∴四边形EHGF 的面积为(a －1)10×(b －1)10×45＝8. ∴(a －1)(b －1)＝1，即1a ＋1b ＝1，故4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝32，b ＝3时，等号成立，故4a ＋b 取得最小值为9.]10.322 [向量AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.] 11．等腰三角形12．①②⑤ [因为D 为BC 边的中点，所以PB→＋PC →＝2PD →，所以①正确；PB →·PC →＝(PD →＋DB →)·(PD →＋DC →)＝PD →2－DB →2，所以②正确；同理可得P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2，由已知PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|恒成立，所以故③错误；注意到P 0，D是定点，所以P 0D 是点D 与直线上各点距离的最小值，所以P 0D ⊥AB ，故P 0D →·AB →＝0，设AB 中点为O ，则CO ∥P 0D ，所以④错误；再由D 为BC 的中点，易得CO 为底边AB 的中线，故△ABC 是等腰三角形，有AC ＝BC ，所以⑤正确．综上可知，①②⑤正确．]13．解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以2sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，即52sin θ＋32cos θ＝0.因为cos θ≠0，所以tan θ＝－35.(2)由a ∥b ，得2sin θsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即2sin 2θcos π3＋2sin θcos θsin π3＝1， 即12(1－cos 2θ)＋32sin 2θ＝1，整理得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝12，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以2θ－π6＝π6，即θ＝π6.考点14 平面向量的应用【两年高考真题演练】1．C [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB → ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]2．D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]3.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB→·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，故选A.]4．C 5．B 6．A [由于|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，所以|OQ →|＝2(a ＋b )＝2·|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝2，因此点Q 在以原点为圆心，半径等于2的圆上，又|OP→|＝|a cos θ＋b sin θ| ＝（a cos θ＋b sin θ）2＝|a |2cos 2θ＋|b |2sin 2θ＋a ·b sin 2θ＝1，因此曲线C 是以原点为圆心，半径等于1的圆．又区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }，所以区域Ω是以点Q 为圆心，半径分别为r 和R 的两个圆之间的圆环，由图形可知，要使曲线C 与该圆环的公共部分是两段分离的曲线，应有1＜r ＜R ＜3.]7.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB→·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]8．1 2 22 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎨⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 9．2 [∵四边形ABCD 为菱形，且边长为2，∠BAD ＝120°，∴BC→＝AD →，DC →＝AB →.由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →， AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λAB →.∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AD →·⎝⎛⎭⎪⎫1λAB →＋AD →＝1λ×4＋AB →·AD →＋13λAB →·AD →＋13×4＝4λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋43＝1.∴4λ－2－23λ＋43＝1.∴1λ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－23＝3－43，∴λ＝2.]10．22 [由题意知，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB→2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AB→·AD →＝22.] 11.16 [由AB→·AC →＝tan A ，可得|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，因为A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|·32＝33，即|AB →|·|AC →|＝23.所以S △ABC＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.]12．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(1，2)， ∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP→＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.【一年模拟试题精练】1．B [由题意可知，AM →＝12(AB →＋AD →)＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，6，故选B.] 2．B [由题意可知，向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠－3，故选B.]3．B [a ⊥b ⇔－1＋2cos 2θ＝0⇔cos 2θ＝0.]4．D [因为a ＋b 与c 共线，所以有a ＋b ＝m c ，又b ＋c 与a 共线，所以有b ＋c ＝n a ，即b ＝m c －a 且b ＝－c ＋n a ，因为a ，b ，c 中任意两个都不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1，所以b ＝m c －a ＝－c －a ，即a ＋b ＋c ＝0，选D.]5．B [如果记得结论，“A ，B ，D 三点共线，O 是直线AB 外一点，OD →＝xOA →＋yOB →，A ，B ，D 三点共线⇔x ＋y ＝1，”则本题可很快得出结论，设D 是OC 与AB 的交点，且OD→＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1，而OC→＝λOD →＝λx OA →＋λy OB →，显然λ＞1, 又m ＝λx ，n ＝λy ，故m ＋n ＝λ(x ＋y )＝λ＞1，如果记不得这个结论，则直线从等式OC →＝mOA →＋nOB→入手，OC →2＝(mOA →＋nOB →)2＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →，而 OA →·OB →＜|OA →||OB →|＝1，因此1＝OC →2＜m 2＋n 2＋2mn ，所以m ＋n ＞1.]6．B [因为E ，M ，C 三点共线，所以设AM →＝xAE →＋(1－x )AC →， 则AM→＝x 2AB →＋(1－x )(AB →＋AD →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2AB →＋(1－x )AD →. 同理D ，M ，F 三点共线，所以设AM→＝yAF →＋(1－y )AD →，则AM →＝yAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y 3AD →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝y ，1－x ＝1－2y3，解得y ＝34，即AM →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12，即λμ＝34×12＝38，选B.]7．B [①恒成立；②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ，b 〉，当λ＜0时，λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立；③当a ，b ，c 不共面时，(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )不成立，例如取a ，b ，c 为两两垂直的单位向量，易得(a ＋b )⊗c ＝2，(a ⊗c )＋(b ⊗c )＝2；④由a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，可知(a ⊗b )2＋(a ·b )2＝|a |2·|b |2(a ⊗b )2＝|a |2·|b |2－(a ·b )2＝(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝(x 1x 2＋y 1y 2)2＝(x 1y 2－x 2y 1)2，故a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|恒成立．]8.2 [将矩形放入平面直角坐标系，如图，因为AB ＝2，BC ＝2，E 为BC 的中点，所以B (2，0)，D (0，2)，C (2，2)，E (2，1)，设F (x ，2)则AF →＝(x ，2)，AB →＝(2，0)，所以AF →·AB →＝(x ，2)·(2，0)＝2x ＝2， 所以x ＝1.所以AE→＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)＝(1－2，2)，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.]9．解 (1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0，∴cos(B ＋C )＝－32，∴cos A ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝30°， (2)选择①，③∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24，c ＝a sin Csin A ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1，选②③∵A ＝30°，a ＝2，∴2sin C ＝(3＋1)sin B ⇒2c ＝(3＋1)b ，由余弦定理：a 2＝4＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32⇒b 2＝8b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2，∴S △ABC ＝3＋1(选①，②不能)．。

2016浙江精彩题选——解析几何小题1.（2016丽水一模7）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点， 若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得122F BF BAF ∠=∠，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 （ C ）A ．()+∞,3B ．()521+,C ．()523+, D ．()31, 解：由三角形相似，222112BF AF AB k BF BF F F ===，则1122122AB BF AF kBF BF kBF AF k c =-=⎧⎪=⎨⎪=⋅⎩，1211122(1)2BF BF aBF kBF a k BF a-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩112BF AF kBF -=，112AF BF kBF =-，22112AF a BF k BF -=-21,3ak e c a∴=<∴>- 12(1)2a BF a c a -=-，12()3a c a BF c a c a-=≥+-，2e ∴≤+ 此题为2016离心率难度之最2.（2016宁波十校 14） 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 75.3（2016嘉兴二模7）．如图，双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ,点P 是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线x aby =于点R ．M 是PQ 的中点，若12PF RF ⊥，且1PF AM ⊥，则双曲线的离心率是 （ C ） A ．2B ．3C ．2D ．5分析：由222b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得，(,)R a b ，2F R b k a c =-，1F Rb k ac =+， 由1MF A ∆与12RF F ∆相似得，1122M R y F A a c y F F c +==，2M a cy b c+=⋅，由R 、M 、F 1三点共线（第7题）可求M 的横坐标，再由点差法122F R OM b k k a⋅=建立等量关系。

第八章 第6节对应学生用书课时冲关 理(四十五)/第319页文(四十二)/第283页一、选择题1．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3，y ＝x ＋b ⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b . 又M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1， 则|AB |＝ 1＋12·(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C2．(2015·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：因为斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以ba >3，所以e ＝ca＝1＋b 2a2> 1＋(3)2＝2.所以双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)． 答案：B3．(2015·西安模拟)已知任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1上或其内部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．答案：C4．(2015·衡水模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：设双曲线离心率为e 1，椭圆离心率为e 2， 所以e 1＝ a 2＋b 2a 2，e 2＝ m 2－b 2m 2， 故e 1·e 2＝(a 2＋b 2)(m 2－b 2)a 2m2＝1，⇒(m 2－a 2－b 2)b 2＝0， 即a 2＋b 2－m 2＝0，所以，以a ，b ，m 为边长的三角形为直角三角形． 答案：B5．(2015·嘉定模拟)过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D. 答案：D6．(2015·杭州模拟)F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，第一象限内的点M 在椭圆上，若MF⊥x 轴，直线MN 与圆x 2＋y 2＝1相切于第四象限内的点N ，则|NF |等于( )A.213 B.45 C.214 D.35解析：因为MF ⊥x 轴，F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，所以F (2,0)，M ⎝⎛⎭⎫2，55，设l MN ：y －55＝k (x －2)， N (x ，y )，则O 到l MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－2k ＋55k 2＋1＝1，解得k ＝255(负值舍去)．又因为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y －55＝255(x －2)⇒⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－53，即N ⎝⎛⎭⎫23，－53，所以|NF |＝ ⎝⎛⎭⎫2－232＋⎝⎛⎭⎫532＝213. 答案：A 二、填空题7．已知两定点M (－2,0)，N (2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM |－|PN |＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝3x ＋2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x .其中是“A 型直线”的序号是________．解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x 2－y 23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.答案：①③8．(2015·无锡模拟)若直线mx ＋ny ＝4与☉O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________．解析：由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案：29．已知双曲线左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为其右支上一点，∠F 1PF 2＝60°，且S△F 1PF 2＝23，若|PF 1|，14|F 1F 2|2，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的离心率为________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因此有m －n＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △PF 1F 2＝12·m ·n ·32＝23，m ·n ＝8.又m ＋n ＝12×4c 2＝2c 2⇒(m ＋n )2＝4c 4.①由余弦定理cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·|PF 2|＝m 2＋n 2－4c 22mn ＝12⇒m 2＋n 2＝8＋4c 2⇒(m ＋n )2＝4c 2＋24. ②①②两式联立解得c 2＝3⇒c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＝8，m ＋n ＝6，m >n⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2，⇒2a ＝2，a ＝1，e ＝c a ＝ 3.答案： 3 三、解答题10．(2015·衡水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到点Q (0,3)的距离最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解析：(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝ (x －0)2＋(y －3)2＝ 4b 2－4y 2＋(y －3)2 ＝ －3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值为4b 2＋12＝4， 解得b 2＝1，所以a 2＝4，椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， AB 方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 由Δ＝(24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，得k 2<15.x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x 0，y 0)， 则x 0＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y 0＝1t (y 1＋y 2) ＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2) ①又由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0， 则8k 2－1>0，k 2>18，所以18<k 2<15②由①，得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2， 联立②，解得3<t 2<4， 所以－2<t <－3或3<t <2.11．(2015·石家庄模拟)椭圆x 2b 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF 2为正三角形，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的离心率满足0＜e ＜5－12，O 为坐标原点，求证：|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.(1)解：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝ |BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线， ∴F 1F 2⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c4a 3， 则c a ＝33，∴椭圆的离心率为33. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52. ①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 4a 2， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2，∵a 2＞3＋52，∴OA →·OB →＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为： y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0， ∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. 12．(2015·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分． (1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14⎝⎛⎭⎫m ＝－12舍去. (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)． 设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.[备课札记]。

【数学导航】2016届高考数学大一轮复习 第八章 解析几何同步练习 文第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线3.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．1．明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(6)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( ) (7)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( )(8)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案： (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× (8)√ 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析： ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.答案： A3．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析： 由直线方程得y ＝3x ＋a ，所以斜率k ＝3， 设倾斜角为α，所以tan α＝3，又因为0°≤α＜180°， 所以α＝60°. 答案： B4．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．解析： 由3sin α＝cos α，得tan α＝13，∴直线l 的斜率为13.又直线l 在x 轴上的截距为2，∴直线l 与x 轴的交点为(2,0)，∴直线l 的方程为y －0＝13(x －2)，即x －3y－2＝0.答案： x －3y －2＝05．经过两点M (1，－2)，N (－3,4)的直线方程为________．解析： 经过两点M (1，－2)，N (－3,4)的直线方程为y ＋24＋2＝x －1－3－1，即3x ＋2y ＋1＝0.答案： 3x ＋2y ＋1＝0直线的倾斜角与斜率自主练透型1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析： 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3. 答案： B2．(2015·青岛模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析： k PQ ＝－1b －00－1a＝ab ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π1.在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为π2这一特殊情形．2．求倾斜角α的取值范围的一般步骤是： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．直线的方程分层深化型 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析： (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.1．求适合下列条件的直线方程．(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍．解析： (1)由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.2．求过点A (1，－1)与直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于点B 且|AB |＝5的直线方程． 解析： 过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点的坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行) 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.3．(2014·湖南长沙一模)过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 由题意得1a ＋3b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3，又a ∈N *，b ∈N *，故有两个解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.答案： B在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．直线方程的综合利用互动讲练型直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．解析： 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k ＜0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0,4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k ＝4－k 且k ＜0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.在本例条件下，若|PA |·|PB |最小，求l 的方程． 解析： |PA |·|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2＝－4k (1＋k 2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k ＋－k ≥8(k ＜0)．∴当且仅当1－k ＝－k 且k ＜0，即k ＝－1时，|PA |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．A 级 基础训练1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析： 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案： D2．(2014·山西太原质检)设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则( )A ．0°≤α≤180°B ．0°≤α<135°C ．0°≤α＜180°D ．0°＜α＜135°解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧0°＜α＜180°，0°≤α＋45°＜180°.∴0°＜α＜135°. ∴选D ． 答案： D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析： 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a， ∴a ＋2a＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1. 答案： D4．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析： 将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A Bx ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A ，D ．又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B ． 答案： B5．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析： 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.答案： D6．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为________． 解析： ∵点(1，－1)在直线ax ＋3my ＋2a ＝0上，∴a －3m ＋2a ＝0，∴m ＝a ≠0，∴k ＝－a 3m ＝－13.答案： －137．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析： 设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π8．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析： b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案： [－2,2]9．已知直线过点P 1(2,3)和点P 2(1，m )，且m 满足方程m 2－4m ＋3＝0，求该直线方程． 解析： 由题意，因为m 满足方程m 2－4m ＋3＝0， 则m ＝1或m ＝3.若m ＝1，则直线方程可写为y －31－3＝x －21－2， 即2x －y －1＝0；若m ＝3，则直线方程的斜率为0，直线方程可写为y ＝3. 因此符合条件的直线方程为2x －y －1＝0或y ＝3.10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解析： (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1mx ＋2m －6m .由题意得－1m＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.B 级 能力提升1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析： 直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0的斜率k 1＝－a ，在y 轴上的截距为－b ；直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的斜率k 2＝－b ，在y 轴上的截距为－a .在选项A 中l 2的斜率－b ＜0，而l 1在y 轴上截距－b ＞0，所以A 不正确．同理可排除C 、D ．答案： B2．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析： 设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案： x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝03．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解析： (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －3＝6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|(－6b )·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 4．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解析： (1)证明：证法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．证法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行．(2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离： |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常见的四大直线系方程(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0(A 2＋B 2≠0)，还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)(斜率不存在时可视为x ＝x 0)．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (3)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(4)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案： A3．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －4＝0D ．x ＋y ＝0解析： 线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，∴直线l 的斜率k l ＝－1，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0.答案： C4．直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．解析： 因为两直线的交点在y 轴上，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在第一条直线上，所以C ＝－4.答案： －45．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析： ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案： 32两条直线的平行与垂直自主练透型1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析： 直线2x －3y ＋4＝0的斜率是23，由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，又因直线l 过点(－1，2)，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案： A2．(2014·广东惠州二调)“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件． 答案： A3．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析： 由题意知，l 的倾斜角为3π4，∴k ＝tan 3π4＝－1，设l 1的斜率为k 1，∴k 1＝2＋13－a ＝33－a，∵l 1与l 垂直，∴k ·k 1＝－1，∴a ＝0.又∵l 2：2x ＋by ＋1＝0与l 1平行，∴－2b＝1，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2. 答案： B两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． (2)已知两直线的一般方程两直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0中系数A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2与垂直、平行的关系：A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2；A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0⇔l 1∥l 2.两直线的交点分层深化型求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解析： 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.1．(2014·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．解析： 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案： 3x ＋y ＝02．过点P (3,0)作一条直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．解析： 法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)， 将此方程分别与l 1，l 2的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，2x －y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x ＋y ＋3＝0.解之，得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3,0)是线段AB 的中点， 由x A ＋x B ＝6得3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.法二：设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，则l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，－x 1＋－y 1＋3＝0.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.3．已知直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0，分别求满足下列条件的k 的值：(1)l 1，l 2，l 3相交于一点； (2)l 1，l 2，l 3围成三角形．解析： (1)直线l 1，l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，即直线l 1，l 2的交点为P (－1，－2)．又点P 在直线l 3上，所以－1－2k ＋k ＋12＝0，解得k ＝－12.(2)由(1)知k ≠－12.当直线l 3与l 1，l 2均相交时，有⎩⎪⎨⎪⎧2k －3≠0k ＋1≠0，解得k ≠32且k ≠－1，综上可得k ≠－12，且k ≠32，且k ≠－1.1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．2．求经过两直线交点的直线方程，利用直线系方程，会给解题带来方便．距离问题互动讲练型已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解析： 设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解析： ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. (2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线之间的距离时，可先把两平行线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可转化成点到直线距离求解．对称问题互动讲练型已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解析： (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M 的对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解析： 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0. 即2x －3y －9＝0.对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．A 级 基础训练1．(2014·广东六校一联)如果直线(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．2，－2D ．2,0，－2解析： 由题意可知(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝(2－a )·[(2a ＋5)－(a ＋3)]＝－(a －2)(a ＋2)＝0，解得a ＝±2，故选C ．答案： C2．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B ．12或－6 C ．－12或12D ．0或12解析： 依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m . ∴m ＝－6或m ＝12.故应选B ．答案： B3．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A ．12 B ．－12C ．2D ．－2解析： ∵l 2，l 1关于y ＝－x 对称， ∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32.∴l 2的斜率为12.答案： A4．(2014·广东模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 解析： ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． ∴m ＋n ＝0. 答案： A5．(2014·湖北八市联考)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2解析： 易知集合M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点，要使M ∩N ＝∅，则N 中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线，或过(2,3)点且斜率不为3的直线，∴－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，∴a ＝－6或a ＝－2.答案： A6．经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为________．解析： ∵y ′＝6x －4，∴y ′|x ＝1＝2，∴所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.答案： 2x －y ＋4＝07．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________. 解析： 法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， ∴两直线平行， ∴－12＝－a 4，∴a ＝2.又点A 到两直线距离相等， ∴|1－3|5＝|2＋b |25， ∴|b ＋2|＝4， ∴b ＝－6或b ＝2.∵点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， ∴两直线不能重合， ∴b ＝2.法二：在直线x ＋2y －3＝0上任取两点P 1(1,1)，P 2(3,0)，则P 1，P 2关于点A 的对称点P 1′，P 2′都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上，∵易知P 1′(1，－1)，P 2′(－1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，∴b ＝2. 答案： 28．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析： 设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ， 当d ＝|AB |时取得最大值， 此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， ∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.答案： 3x －2y ＋5＝09．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解析： (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0. 又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得：a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解析： 设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.B 级 能力提升1．(2014·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析： 因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D ．答案： D2．(2014·四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析： 由题意可知点A 为(0,0)，点B 为(1,3)．又∵直线x ＋my ＝0的斜率k 1＝－1m，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率k 2＝m ，∴k 1k 2＝－1.∴两条动直线互相垂直．又由圆的性质可知，动点P (x ，y )的轨迹是圆， ∴圆的直径为|AB |＝12＋32＝10. ∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立． ∴|PA |·|PB |的最大值是5.答案： 53．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析： (1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.4．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解析： 如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0,400)，点B (a,100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C ．在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400， ∴B (400,100)．点A (0,400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)， 由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400.令y ＝0，得x ＝320，即点P (320,0)．故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短．第三节 圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)圆心：(a ，b )，半径：r 一般 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.( )(3)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( ) 答案： (1)√ (2)√ (3)√2．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A ．14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析： 由D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4－20m ＞0， 解得m ＞1或m ＜14，故选B ．答案： B3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±1解析： ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，即－1＜a ＜1. 答案： A4．圆(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0的圆心坐标为________． 解析： 整理配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 5．(2014·陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．解析： 因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案： x 2＋(y －1)2＝1确定圆的方程自主练透型1．(2014·山东潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析： 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D ．答案： D2．过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43的圆的方程为________________．解析： 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.① 将P ，Q 点的坐标分别代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10. ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1、y 2是方程④的两根， 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤ 解②③⑤组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 答案： x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.3．已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．解析： 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2－6E ＋F ＝012＋－2＋D －5E ＋F ＝0，D －E －2＝0消去F 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0， 标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)， 所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝－5－－1－0＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)． 圆的半径长r ＝|AC |＝＋2＋－6＋2＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 . (2)待定系数法：若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．与圆有关的最值问题分层深化型 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．解析： 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.1．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析： 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33 －332．若本例中的条件不变．(1)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值． (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)∵圆心(2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|6＋12|5＝185， ∴P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为185－ 3. (2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．。

1．y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．302．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．503．(2015·陕西)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．4．(2014·陕西)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋则f 2 014(x )的表达式为______．5．(2014·北京)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：6．(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．1．(2015·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于22．(2015·河北保定模拟)定义A B ，B C ，C D ，D B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，A C 的分别是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(4)3．(2015·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确4．(2015·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0145．(2015·泉州模拟)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．6．(2015·黄山模拟)在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2015·莱芜模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．8．(2015·北京模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝________．9．(2015·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2015·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2015·宝鸡市质检)观察等式：①13×13＋12×12＋16×1＝12，②13×23＋12×22＋16×2＝12＋22，③13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2 015个成立的等式是________．12．(2015·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．1．(2015·输入x的值为1，则输出y的值为()A．2 B．7 C．8 D．128第1题图第2题图2．(2015·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为() A．3 B．4 C．5 D．64．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－32 B.32C．－12 D.12第3题图 第4题图 第5题图5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A.34 B.56 C.1112 D.25246．(2014·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158第6题图 第7题图 7．(2014·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．(2015·新课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i9．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．410．(2015·广东)已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－211．(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i13．(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i1．(2015·x 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7第1题图 第2题图 2．(2015·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．(2015·湖北八校一联)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 013?B ．i ≤2 015?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 019?第3题图 第4题图 4．(2015·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于( )A ．1 B.14 C.12 D.185．(2015·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?第5题图 第6题图 6．(2015·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．127．(2015·贵阳市模拟)复数z ＝3－2i ，i 是虚数单位，则z 的虚部是( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．(2015·郑州一预)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．(2015·邯郸市质检)已知i 是虚数单位，则复数z ＝4＋3i 3－4i的虚部是( )A ．0B ．iC ．－iD ．110．(2015·汕头市监测)复数21－i的实部与虚部之和为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．011．(2015·唐山一期检测)若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则z 的值为( )A ．2B ．3C ．3iD ．2i12．(2015·唐山摸底)复数z ＝1－3i 1＋2i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i13．(2015·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x参考答案第十章推理与证明、算法与复数考点33推理与证明【两年高考真题演练】1．C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .] 4．f 2 014(x )＝x 1＋2 014x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x .] 5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B 进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B 进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A 进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B 后直接对原料A 进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1， 并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)． 令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝错误!.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由A B ，B C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由C D 知，D 是小正方形，∴A D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x ，则其它8个数分别为x ＋7，x ＋8，x ＋9，x ＋14，x ＋15，x ＋16，x ＋17，x ＋18，故9个数之和为x ＋3(x ＋8)＋5(x ＋16)＝9x ＋104，当x ＝212时，9x ＋104＝2 012.]5.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[V ＝13S 1·R ＋13S 2·R ＋13S 3·R ＋13S 4·R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.] 6．cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 [设α，β，γ是AC 1分别与面ABCD 1，面ABB 1A 1，面BCC 1B 1所成的角．cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝BC 1AC 1，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（AB 2＋BC 2＋CC 21）AC 21＝2.] 7.332 [f (x )＝sin x ，f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]8．2 014 [令a ＝n ，b ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即：f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝2，故：f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝2×1 007＝2 014.] 9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n ＋1·n （n ＋1）2 [12＝1＝(－1)21×22；12－22＝－3＝(－1)32×32；12－22＋32＝6＝(－1)43×42；12－22＋32－42＝－10＝(－1)54×52，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]11.13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋20152 [①：13×13＋12×12＋16×1＝12；②：13×23＋12×22＋16×2＝12＋22；③：13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，……；2 015：13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋2 0152]12.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 [设O 到各个平面的距离为d ，而V R －AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V R －AQP ＝V O －AQP ＋V O －ARP ＋V O －AQR＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ， 即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝d ，而V A －BDC ＝13S △BDC ·h＝13·34·2·33＝16，V O －ABD ＝13V A －BDC ＝118， 即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝3， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x ＝1时，执行y ＝9－1＝8.输出y 的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i ＝1，S ＝10－1＝9；第2次循环：i ＝2，S ＝9－2＝7；第3次循环：i ＝3，S ＝7－3＝4；第4次循环：i ＝4，S ＝4－4＝0；满足S ＝0≤1，结束循环，输出i ＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a ＝3×12＝32，k ＝1；第二次循环：a ＝32×12＝34，k ＝2；第三次循环：a ＝34×12＝38，k ＝3；第四次循环：a ＝38×12＝316<14，k ＝4.故输出k ＝4.]4．D [每次循环的结果为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.]5．D [s ＝12＋14＋16＋18＝2524，即输出s 的值为2524.]6．D [当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.]7．D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7；k ＝3，3>t ，∴输出S ＝7，故选D.]8．C [由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.]9．D [由2＋a i 1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i.]11．A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C. ]【一年模拟试题精练】1．C [x ＝3，y ＝23＝8<10＋3＋3＝33；x ＝3＋1＝4.y ＝24＝16<10×4＋3＝43；x ＝4＋1＝5，y ＝25＝32<10×5＋3＝53；x ＝5＋1＝6，y ＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x 值为6.]2．D [由题意知S 0应为偶数，排除选项A 、C.当S 0＝8时，i ＝1<4，S ＝8－2＝6；i ＝2<4，S ＝6－22＝2；i ＝3<4，S ＝2－23＝－6；i ＝4＝4，输出S ＝－6，排除B ，故选D.]3．B [i ＝2，S ＝0；S ＝0＋12，i ＝4；S ＝12＋14，i ＝6；…，S ＝12＋14＋…＋12012，i ＝2 014；要计算S ＝12＋14＋…＋12 012＋12 014，应满足i ≤2 015.]4．C [S ＝1＝1，k ＝1<2 015；S ＝18<1，k ＝2<2 015；s ＝2×12＝14<1，k ＝3<2 015；S ＝14×2＝12<1，k ＝4<2015；S ＝12×2＝1，k ＝5<2 015 循环周期为4，2 015＝4×503＋3，S ＝1＝1，k ＝2 013<2 015；S ＝18，k ＝2 014<2 015；S ＝18×2＝14<1，k ＝2 015＝2 015， S ＝14×2＝12<1，k ＝2 016>2 015，输出S ＝12.]5．A [k ＝1，S ＝1；k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5，S ＝2×26＋5＝57要输出S ＝57，需k >4.]6．C [当i ＝1时，1<5为奇数，S ＝－1，i ＝2； 当i ＝2时，2<5为偶数，S ＝－1＋4＝3，i ＝3； 当i ＝3时，3<5为奇数，S ＝3－33＝－5，i ＝4； 当i ＝4时，4<5为偶数，S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 当i ＝5时，5≥5，输出S ＝10.]7．D [z ＝3－2i 的虚部为－2.]8．A [∵m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，∴m ＋3＝0，即m ＝－3.]9．D [∵z ＝4＋3i 3－4i ＝i ，∴z 的虚部为1.]10．B[21－i＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C[∵z＝a＋3i1－2i＝a－65＋2a＋35i为纯虚数，∴a－65＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D[∵z＝1－3i1＋2i＝－1－i，∴|z|＝2，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A[∵z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i，∴z和z关于x轴对称．]。

1.(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π2．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3 3．(2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ 5 B．4＋ 5 C．2＋2 5 D．54．(2014·福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱5．(2014·江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()6．(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋ 3 B．18＋ 3C ．21D ．187．(2014·陕西)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．(2014·湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D. 3551139．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．10．(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．1．(2015·山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32 D ．32．(2015·山东省实验中学模拟)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D. 8－2π33．(2015·河南天一大联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12＋πB ．8＋πC ．12－πD ．6－π4．(2015·湖北七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为( )A ．92＋24πB ．82＋24πC ．92＋14πD ．82＋14π5．(2015·安徽安庆模拟)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q ＝( )A.8πB.6πC.π6D.π8 6．(2015·福建龙岩模拟)如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是( )A.33B.32C.3＋7D.3＋7＋17．(2015·福建莆田模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( )A.12B.32 C ．1 D. 38．(2015·广东中山模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________．1.(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面2．(2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(2015·浙江)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则()A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α4．(2015·广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于35．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α6．(2014·浙江)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α7．(2014·广东)在空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110 B.25 C.3010 D.229．(2015·浙江)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．10．(2015·四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．1．(2015·山东泰安模拟)已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，n ∥m ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β2．(2015·山东省实验中学模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β，其中，可以判定α与β平行的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2015·安徽安庆模拟)b 、c 表示两条不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αb ⊂α⇒c ∥b B. ⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αα⊥β⇒c ⊥β C. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αc ⊥β⇒α∥β D. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c c ⊂α⇒b ∥α 4．(2015·湖南怀化一模)设m ，n ，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m ∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．①和③B．②和③C．③和④D．①和④5．(2015·福建厦门模拟)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD，G为CC1中点，则直线A1C1与BG所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．(2015·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α7．(2015·四川成都高三摸底)已知a，b是两条不同直线，α是一个平面，则下列说法正确的是()A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αB ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥bC ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α8．(2015·浙江温州十校期末联考)已知α，β是两个不同的平面， m ，n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是( )A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nC ．若m ⊥β，m ⊥α，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β9．(2015·河北衡水模拟)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π610．(2015·东北三省三校模拟)P 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1对角线BD 1上的一点，且BP ＝λBD 1(λ∈(0，1))．下面结论：①A 1D ⊥C 1P ；②若BD 1⊥平面P AC ，则λ＝13；③若△P AC 为钝角三角形，则λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12；④若λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，则△P AC 为锐角三角形．其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)． 11．(2015·安徽黄山模拟)一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果：将容器倒置，水面也恰好过点P有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；②若往容器内再注a 升水，则容器恰好能装满；③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P；④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P.其中正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．考点24平行关系、垂直关系两年高考真题演练1.(2015·新课标全国Ⅰ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．2．(2015·湖南)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC 的体积．3．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.4．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．考点24平行关系、垂直关系一年模拟试题精练1．(2015·四川德阳模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；(2)证明：B1F∥平面A1BE.2．(2015·江西红色六校模拟)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△P AD是正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．(1)求证：平面EFG⊥平面P AD；(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M－EFG的体积．3．(2015·安徽黄山模拟)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H.(1)求证：AD′∥平面EFG；(2)求证：A′C⊥平面EFG：(3)判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由．4．(2015·湖北八市模拟)如图，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为32的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0<λ<1)．(1)证明：PQ∥A1B1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．考点25 空间向量与立体几何两年高考真题演练1．(2015·天津)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．2.(2015·湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE 、DF 、BD 、BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．3．(2014·江西)如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD；(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．考点25 空间向量与立体几何一年模拟试题精练1．(2015·福建厦门模拟)已知等边三角形P AB 的边长为2，四边形ABCD 为矩形，AD ＝4，平面P AB ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是线段AB ，CD ，PD 上的点．(1)如图(1)，若G 为线段PD 的中点，BE ＝DF ＝23，证明：PB ∥平面EFG ；(2)如图(2)，若E, F 分别为线段AB ，CD 的中点，DG ＝2GP ，试问：矩形ABCD 内(包括边界)能否找到点H ，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．(ⅰ)点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4； (ⅱ)GH ⊥PD .2．(2015·广东六校联盟模拟)如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边AB ＝t ，(0<t <2)，连接A 1B ，A 1C ，A 1D .(1)当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B －A 1C －D 的值；(2)线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由．3．(2015·山东潍坊一模)如图，已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE ∥AF ，AB ⊥AF ，AB ＝BE ＝12AF ，BC ＝2AB ，∠CBA＝π4，P 为DF 的中点．(1)求证：PE ∥平面ABCD ；(2)求平面DEF 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值．4．(2015·湖北八市模拟)如图1在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，AB ＝4，BC ＝2 2.以DE 为折痕，将Rt △ADE 折起到图2的位置，使平面A ′DE ⊥平面DBCE ，连接A ′C ，A ′B ，设F 是线段A ′C 上的动点，满足CF →＝λCA ′→.(1)证明：平面FBE ⊥平面A ′DC ；(2)若二面角F －BE －C 的大小为45°，求λ的值．第七章立体几何考点22空间几何体的结构、三视图，几何体的表面积与体积【两年高考真题演练】1．C[如图，由题意，得BC＝2，AD＝AB＝1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V＝π×12×2－13π×12×1＝53π.]2．C[该几何体是棱长为2 cm的正方体与一底面边长为2 cm的正方形，高为2 cm的正四棱锥组成的组合体，V＝2×2×2＋13×2×2×2＝323(cm3)．故选C.]3.C[该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.]4．A[因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.]5．B [俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B.]6．A[由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝6×4－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋ 3.]7．C [依题意，知所得几何体是一个圆柱，且其底面半径为1，母线长也为1，因此其侧面积为2π×1×1＝2π，故选C.]8．B [由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B.]9.7 [设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.] 10.14 [由题意，知V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1，V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以S △BDE S △PBC ＝14.设点A 到平面PBC 的距离为d ，则V 1V 2＝13S △BDE·d 13S △PBC ·d＝S △BDE S △PBC ＝14.] 【一年模拟试题精练】1．D第1题解析图[根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V ＝13×1＋22×2x ＝3⇒x ＝3.故选D.]2．D [由三视图可知，几何体为正方体内挖去一个圆锥，所以该几何体的体积为V 正方体－V 锥＝23－13(π×12×2)＝8－23π.] 3．C [由三视图可知，原几何体是底面边长为2的正方形，高为3的棱柱，里面挖去一个半径为1的球，所以所求几何体的体积为12－π，故选C.]第4题解析图4．C [该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如右图，表面积为S ＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.]5．B [由题意可以得到n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6m 24πp 2＝32π×4＝6π，故选B.] 6．D [根据三视图可以得到原几何体为底面的等腰直角三角形且斜边为2的三棱锥，所以一侧面上的斜高为72，所以侧面积为3＋7，底面积为1，则全面积为3＋7＋1，故选D.]7．B [有三视图可以得到原几何体是以1为半径，母线长为2的半圆锥，故侧视图的面积是32，故选B.]8．π＋33 [由三视图，该组合体上部是一个三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V 圆柱＝π×12×1＝π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为3，故棱锥高为3由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长都是2，底面三角形的面积是12×2×2＝1, 故V棱锥＝13×1×3＝33 ，故该几何体的体积是π＋33.]考点23 点、线、平面之间的位置关系【两年高考真题演练】1．D [对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．]2．B[m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．故选B.]3．B[极限思想：若α＝π，则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故选B.]4．C[当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.]5．B[对A：m，n还可能异面、相交，故A不正确．对C：n 还可能在平面α内，故C不正确．对D：n还可能在α内，故D不正确．对B：由线面垂直的定义可知正确．]6．C[当m⊥n，n∥α时，可能有m⊥α，但也有可能m∥α或m⊂α，故A选项错误；当m∥β，β⊥α时，可能有m⊥α，但也有可能m∥α或m⊂α，故选项B错误；当m⊥β，n⊥β，n⊥α时，必有α∥β，从而m⊥α，故选项C正确；在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取m为B1C1，n为CC1，β为平面ABCD，α为平面ADD1A1，这时满足m⊥n，n⊥β，β⊥α，但m⊥α不成立，故选项D 错误．]7．D [如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取l 1为BC ，l 2为CC 1，l 3为C 1D 1.满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3.若取l 4为A 1D 1，则有l 1∥l 4；若取l 4为DD 1，则有l 1⊥l 4.因此l 1与l 4的位置关系不确定，故选D.]8．C9.78 [连接DN ，作DN 的中点O ，连接MO ，OC .在△AND 中．M为AD 的中点，则OM 綉12AN .所以异面直线AN ，CM 所成角为∠CMO ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则AN ＝22，∴OM ＝ 2.在△ACD 中，同理可知CM ＝22，在△BCD 中，DN ＝22，在Rt △ONC 中，ON ＝2，CN ＝1∴OC ＝ 3.在△CMO 中，由余弦定理cos ∠CMO ＝|MC |2＋|MO |2－|OC |22|MC |·|MO |＝8＋2－32×22×2＝78.] 10.25 [建立空间直角坐标系如图所示，设AB ＝1，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，设M (0，y ，1)(0≤y ≤1)， 则EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，1， ∴cos θ＝－12＋12y1＋1414＋y 2＋1＝－1－y52·4y 2＋5. 设异面直线所成的角为α，则cos α＝|cos θ|＝1－y52·4y 2＋5＝255·1－y 4y 2＋5， 令t ＝1－y ，则y ＝1－t ，∵0≤y ≤1，∴0≤t ≤1，那么cos α＝|cos θ|＝255·t 4t 2－8t ＋9＝255t 24t 2－8t ＋9 ＝25514－8t ＋9t 2，令x ＝1t ，∵0≤t ≤1，∴x ≥1，那么cos α＝25514－8x ＋9x 2， 又∵z ＝9x 2－8x ＋4在[1，＋∞)上单增，∴x ＝1，z min ＝5，此时cos α的最大值＝255·15＝255·55＝25.] 【一年模拟试题精练】1．D [A.因为m ⊂α，n ∥m ⇒n ⊂α或n ∥α，所以不正确；B. m ⊂α，n ⊥m 不能确定n 与α关系，所以不正确；C.m ⊂α，n ⊂β，n ∥m若两平面相交且m，n都平行于交线，也可以满足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的所有的面都与此面垂直，所以正确．故选D.]2．B[平面α、β都垂直于平面γ，平面α与平面β可能平行，也可能相交，故①错误；②正确；当平面α与平面β相交时，在平面α的两侧也存在三点到平面β的距离相等，故③错误；由面面平行的判定定理可知，当l、m移成相交直线时确定的平面与α、β都垂直，所以α∥β，故④正确，故选B.]3．C[根据直线与平面垂直的性质，可以得到C正确，故选C.] 4．A[②中平面α，β可能相交；④平面α，β可能相交，故选A.]5．C 6.C7．C[A选项中直线a还可能在平面α内，所以错误，B选项直线a与b可能平行还可能异面，所以错误，C选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选C.] 8．B[A选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于m与β的位置关系不确定，故不能得出线线平行；C选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；D选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．综上，B选项不正确，故选B.]9．B [如右图所示，S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334，∴VABC－A 1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝3，又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，由∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得∠OAP ＝π3.]10．①②④ [以DA ，DA 1，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，设正方体的棱长为1，则A (0，0，1)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，设P (x ，y ，z )，则BD 1→＝(－1，－1，1)，BP →＝λ(－1，－1，1)＝(x －1，y －1，z )，③中利用P A →·PC→<0可以得，则x ＝y ＝1－λ，z ＝λ，则P (1－λ，1－λ，λ)，是错误的，然后可以计算出①②④正确．]11．②③ [设图(1)水的高度h 2，几何体的高为h 1，底面边长为b,图(1)中水的体积为23b 2h 2，图(2)中水的体积为b 2h 1－b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，所以23b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，所以h 1＝ 53h 2，故①错误；又水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，所以③正确；假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为2536b 2h 2＞23b 2h 2，矛盾，故④不正确．故答案为：②③.]考点24 平行关系、垂直关系【两年高考真题演练】1．解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．2．(1)证明∵△ABC 为正三角形，E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，∴又B 1B ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ，∴由B 1B ∩BC ＝B 知，AE ⊥平面B 1BCC 1，又由AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)解 设AB 中点为M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，由平面A 1ABB 1⊥平面ABC 且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB 知，CM ⊥面A 1ABB 1，∴∠CA 1M 即为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．∴∠CA 1M ＝45°，易知CM ＝32×2＝3，在等腰Rt △CMA 中，AM ＝CM ＝3，在Rt △A 1AM 中，A 1A ＝A 1M 2－AM 2＝ 2.∴FC ＝12A 1A ＝22，又S △AEC ＝12×34×4＝32，∴V 三棱锥F －AEC ＝13×32×22＝612.3.证明 (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC .又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.4．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线．所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ，因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .【一年模拟试题精练】1．(1)解 设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG .∵E 为DD 1的中点，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG ＝θ.设正方体的棱长为a ，∴GE ＝a ，BG ＝52a ， BE ＝BG 2＋GE 2＝32a ，∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：sin θ＝GE BE ＝23；(2)证明 连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH .∵H 为AB 1的中点，且B 1H ＝12C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF ＝12C 1D ，EF ∥C 1D ，∴B 1H ∥EF 且B 1H ＝EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ，又∵B 1F ⊄平面A 1BE 且EH ⊂平面A 1BE ，∴B 1F ∥平面A 1BE .2．(1)证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，又∵△PCD 中，E 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴EF ∥CD ，可得EF ⊥平面P AD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面P AD;(2)解 ∵EF ∥CD ，EF ⊂平面EFG ，CD ⊄平面EFG ，∴CD ∥平面EFG ，因此CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，∴V M －EFG ＝V D －EFG ，取AD 的中点H ，连接GH 、EH ，则EF ∥GH ，∵EF ⊥平面P AD ，EH ⊂平面P AD ，∴EF ⊥EH .于是S △EFH ＝12EF ×EH ＝2＝S △EFG ，∵平面EFG ⊥平面P AD ，平面EFG ∩平面P AD ＝EH ，△EHD 是正三角形，∴点D 到平面EFG 的距离等于正△EHD 的高，即为3，因此，三棱锥M－EFG的体积V M－EFG＝V D－EFG＝13×S△EFG×3＝233.3．(1)证明连接BC′，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.所以，四边形ABC′D′是平行四边形，所以，AD′∥BC′.因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG∥BC′，所以，FG∥AD′.因为EF，AD′是异面直线，所以AD′⊄平面EFG.因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG.(2)证明连接B′C，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以，A′B′⊥BC′.在正方形BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′，所以，BC′⊥平面A′B′C.因为A′C⊂平面A′B′C，所以，BC′⊥A′C.因为FG∥BC′，所以，A′C⊥FG，同理可证：A′C⊥EF.因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，所以，A′C⊥平面EFG.(3)解点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF.由(1)知，AD′∥BC′，因为BC′⊂平面BCC ′B ′，AD ′⊄平面BCC ′B ′，所以，AD ′∥平面BCC ′B ′.因为C ′∈D ′H ，所以，平面AD ′HF ∩平面BCC ′B ′＝C ′F .因为 AD ′⊂平面AD ′HF ，所以AD ′∥C ′F .所以C ′F ∥BC ′，而C ′F 与BC ′相交，矛盾．所以点A ，D ′，H ，F 不共面．4．(1)证明 由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面APQB ∩上底面A 1B 1C 1＝PQ ，截面APQB ∩下底面ABC ＝AB ，由两个平面平行的性质定理可得，PQ ∥AB ，又AB ∥A 1B 1， ∴PQ ∥A 1B 1.(2)解 假设存在这样的λ满足题设，分别取AB 的中点D ，PQ 的中点E ，连接DE ，由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ 为等腰三角形，APQB 为等腰梯形，∴CE ⊥PQ ，DE ⊥PQ .∴∠CED 为二面角A －PQ －C 的平面角，连接C 1E 并延长交A 1B 1于F ，由(1)得，C 1P C 1A 1＝C 1E C 1F ＝λ，C 1A 1＝2，C 1F ＝3，∴C 1E ＝3λ，EF ＝3(1－λ)，在Rt △CC 1E 中求得CE 2＝34＋3λ2，在Rt △DFE 中求得DE 2＝34＋3(1－λ)2，若平面CPQ ⊥截面APQB ，则∠CED ＝90°，∴CE 2＋DE 2＝CD 2，将以上数据代入整理，得3λ2－3λ＋34＝0，解得λ＝12. 考点25 空间向量与立体几何【两年高考真题演练】 1.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2，1)． (1)证明 依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解 AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0. 不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的法向量，则⎩⎨⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC→＝0，又AB 1→＝(0，1，2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，2x ＝0，不妨设z ＝1，可得n 2＝(0，－2，1)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010.所以，二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]，则E (0，λ，2)，从而NE→＝(－1，λ＋2，1)，又n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →|·|n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝7－2，所以，线段A 1E 的长为7－2.2．解 法一 (1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ， 所以PB ⊥DE .又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)如图，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以PB ⊥DG .又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG ，而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD .故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2，在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPF ＝∠FDB ＝π3，则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD PD ＝1＋λ2＝3，解得λ＝ 2.所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22. 法二(1)如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，PB→＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是PB→·DE →＝0，即PB ⊥DE . 又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因PC→＝(0，1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ， 所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ，所以DP→＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量；由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以BP→＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则cos π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP →·DP →|BP →|·|DP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ2＋2＝12， 解得λ＝ 2.所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.3．(1)证明 ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ；又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .(2)解 过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG .故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG ，在Rt △BPC 中，PG ＝233，GC ＝263，BG ＝63，设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13·6·m ·43－m 2＝m 38－6m 2. 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－232＋83， 故当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P －ABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O (0，0，0)， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，263，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，63.故PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，0，0， 设平面BPC 的法向量n 1＝(x ，y ，1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →得 ⎩⎨⎧63x ＋263y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，n 1＝(1，0，1)．同理可求出平面DPC 的法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105.【一年模拟试题精练】1．(1)证明 取AB 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AB ，∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面P AB ，PO ⊥平面ABCD ，分别以OB ，ON ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， P (0，0，3)，D (－1，4，0)，B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，4，0，则PB →＝(1，0，－3)． 设平面EFG 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56，－2，－32，FE →＝⎝⎛⎭⎪⎫23，－4，0，∴GE→·n ＝0，FE →·n ＝0， ∴⎩⎨⎧56x －2y －32z ＝0，23x －4y ＝0 故n ＝(6，1，23)，∴PB→·n ＝0，∴PB →⊥n . ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .(2)解 连接PE ，则PE ⊥AB ，∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PE ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面ABCD ，分别以EB ，EN ，EP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴P (0，0，3)，D (－1，4，0)，PD→＝(－1，4，－3)， ∵PG →＝13PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43，－33.∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43，233. 设点H (x ，y ，0)，且－1≤x ≤1，0<y ≤4，依题意得：x 2＋（y －4）2>y ＋4，∴x 2>16y ，(－1≤x ≤1)①又GH →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13，y －43，－233， ∵GH ⊥PD ，∴GH→·PD →＝0， ∴－x －13＋4y －163＋2＝0，即y ＝114x ＋1112②把②代入①得：3x 2－12x －44>0. ∴x >2＋2423，或x <2－2423.∵满足条件的点H 必在矩形ABCD 内，则有－1≤x ≤1， ∴矩形ABCD 内不能找到点H ，使之同时满足(ⅰ)(ⅱ)条件．2．解 法一 (1)根据题意，长方体体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2－t 22＝1， 当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1，所以当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形，作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ，。

第八章 第2节对应学生用书课时冲关 理(四十一)/第312页文(三十八)/第275页一、选择题1．“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．答案：A2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C3．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－32b ， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba >0，直线不经过第四象限．答案：D4．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B. 答案：B5．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：⊙C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2.⊙C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，半径r 2＝2. ∴|C 1C 2|＝13，∴|r 1－r 2|＝0<|C 1C 2|<r 1＋r 2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线． 答案：B6．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0) (m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.答案：A7．(2015·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D8．已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1B.45C.25D ．2解析：∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min ＝2－1＝1.答案：A9．(2015·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D. 2解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.答案：C10．(2015·成都模拟)直线l ：mx ＋(m －1)y －1＝0(m 为常数)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，则下列说法正确的是( )A ．当m 变化时，直线l 恒过定点(－1,1)B ．直线l 与圆C 有可能无公共点C ．对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为2 3解析：直线l 可化为m (x ＋y )－(y ＋1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴l 过定点(1，－1)，故A 错；又(1－1)2＋(－1)2＝1＜4，∴点(1，－1)在⊙C 内部，∴l 与⊙C 恒相交，故B 错；当l 过圆心C (1,0)，即m ＝1时，圆心上存在关于直线l 对称的两点，故C 错．故选D.答案：D11．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8D ．8 2解析：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝ (a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.答案：C12．(2015·吉林模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时||OA →＋OB →＞33||AB→，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.答案：C 二、填空题13．(2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 14．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：圆的方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)15．(2014·重庆高考)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1,2)，半径为3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 9－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －3|22＝32，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 答案：0或616．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关系直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．解析：将圆化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)，代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0，即点(a ，b )在直线l ：－x ＋y ＋3＝0上，过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长DE 最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴由勾股定理得|DE |＝4. 答案：417．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．解析：如图，取AC 的中点F ，BD 的中点E ， 则OE ⊥BD ，OF ⊥AC .又AC ⊥BD ， ∴四边形OEMF 为矩形，设|OF |＝d 1，|OE |＝d 2，∴d 21＋d 22＝|OM |2＝3. 又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22＝2(1＋d 22)·(4－d 22)＝2－⎝⎛⎭⎫d 22－322＋254. ∵0≤d 22≤3.∴当d 22＝32时，S 四边形ABCD 有最大值是5. 答案：5[备课札记]。

1.(2015·广东)平行于直线2＋＋1＝0且与圆＋＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝02．(2015·新课标全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．103．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－344．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2105．(2014·福建)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝06．(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－87．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5 B.3π4C ．(6－25)π D.5π48．(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．9．(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．10．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．11．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．12．(2014·大纲全国)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．13．(2014·湖北)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．14．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．1.(2015·北京海淀模拟)已知直线1：＋(＋2)＋1＝0，2：＋＋2＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )A ．0B ．2或－1C ．0或－3D ．－32．(2015·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )A.45B.43C.34D.233．(2015·河南天一大联考)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与抛物线D ：y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的面积为( )A ．5πB ．9πC ．16πD ．25π4．(2015·四川遂宁模拟)圆心在原点且与直线y ＝2－x 相切的圆的方程为________． 5．(2015·德州模拟)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．6．(2015·浙江金丽模拟)设直线ax ＋2y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交于点P ，Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，则实数a 的值为________．7．(2015·山师大附中模拟)已知直线l ：3x ＋y －6＝0和圆心为C 的圆x 2＋y 2－2y －4＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度等于________．8．(2015·山东烟台模拟)已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上至少存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．9．(2015·湖北荆门模拟)由直线y ＝x ＋1上的点向圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________．10．(2015·山东济南模拟)已知圆C 过点(－1，0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线方程为________．11．(2015·山东日照模拟)圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为________．12．(2015·四川遂宁模拟)已知定点A (－2，0)，F (1，0)，定直线l ：x ＝4，动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的12.设点P 的轨迹为C ，过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点．(1)求C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．1.(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 23．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．4．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．5．(2014·江西)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．6．(2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．7．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .1．(2015·山东省聊城模拟)过椭圆x a 2＋y b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.132．(2015·江西师大模拟)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)必在( )A ．圆x 2＋y 2＝2内B ．圆x 2＋y 2＝2外C ．圆x 2＋y 2＝1上D ．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间3．(2015·湖北黄冈模拟)在等腰梯形ABCD 中，E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P ∈α，设PB ，PC 与α所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)．若θ1＝θ2，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线4．(2015·江西重点联盟模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2－1＝1，随着a的增大该椭圆的形状( )A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆5．(2015·河北唐山模拟)在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.31326．(2015·安徽江南十校模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆方程为________．7．(2015·江苏淮安模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在直线x ＝a 2c上，则椭圆的离心率为________．8．(2015·河南信阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为3∶1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线x ＝t (t ∈R ，t ≠2)上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值．1.(2015·福建)若双曲线E ：x 9－y 16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．32．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 3．(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 4．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 23－y 24＝1 5．(2015·新课标Ⅰ全国)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2336．(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 7．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433 B.233C ．3D ．28．(2014·广东)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等9．(2014·新课标全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m10．(2014·湖北)设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．12．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．13．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．1．(2015·山东潍坊模拟)如果双曲线x a 2－y b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y＋3＝0平行，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．32．(2015·山东日照模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a的值是( )A.19B.125C.15D.133．(2015·山东青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.x 2100－y225＝1 4．(2015·河南开封模拟)已知a >b >0，椭圆 C 1 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线 C 2 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为32， 则C 1，C 2 的离心率分别为( ) A.12，3 B.22，62 C.64，2 D.14，2 3 5．(2015·山东菏泽一模)设双曲线x 2m ＋y 2n＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.x 23－y 2＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.x 212－y 24＝16．(2015·山东济南一模)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 67．(2015·甘肃河西五地模拟)已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的上，下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A ．3 B. 3 C ．2 D. 28．(2015·江西师大模拟)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C ．1＋ 3 D ．2＋ 39．(2015·山东淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a2的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )A ．b －a <|MO |－|MT |B ．b －a >|MO |－|MT |C ．b －a ＝|MO |－|MT |D ．b －a ＝|MO |＋|MT |10．(2015·湖南一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.1＋52 B.52 C.1＋32D. 5 11．(2015·山东日照模拟)若双曲线x 2a 2－y 232＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝________．12．(2015·河北唐山模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．13．(2015·山东青岛模拟)如图：正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的离心率为________．1.(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋12．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3．(2015·四川)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)4．(2014·新课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．(2014·安徽)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－26．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3 7．(2014·辽宁)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.438．(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________9. (2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．1.(2015·河北唐山一模)已知抛物线的焦点(，0)(<0)，则抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝2axB ．y 2＝4axC ．y 2＝－2axD ．y 2＝－4ax2．(2015·北京石景山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x 2＝2py (p >0)上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．8 C. 3 D ．43．(2015·山东莱芜模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y 2＝2px 的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝42xC ．y 2＝82xD ．y 2＝8x4．(2015·山东青岛模拟)已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝－12，则实数a ＝________．5．(2015·北京西城模拟)若抛物线C ：y 2＝2px 的焦点在直线x ＋2y －4＝0上，则p ＝________；C 的准线方程为________．6．(2015·山东实验中学模拟)已知离心率为355的双曲线C ：x 2a 2－y24＝1(a >0)的左焦点与抛物线y 2＝mx 的焦点重合，则实数m ＝________．7．(2015·湖北黄冈模拟)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF |＝________．8．(2015·安徽江南十校模拟)已知抛物线C ：x 2＝2y 的焦点为F .(1)设抛物线上任一点P (m ，n )，求证：以P 为切点与抛物线相切的切线方程是mx ＝y ＋n ；(2)若过动点M (x 0，0)(x 0≠0)的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．9．(2015·江西重点中学模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，当直线l 的倾斜角是45°时，AB 的中垂线交y 轴于点Q (0，5)．(1)求p 的值；(2)以AB 为直径的圆交x 轴于点M ，N ，记劣弧MN ︵的长度为S ，当直线l 绕F 旋转时，求S|AB |的最大值．考点30 圆锥曲线的综合问题两年高考真题演练1．(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．2．(2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．3．(2014·新课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．4．(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．考点30 圆锥曲线的综合问题一年模拟试题精练1．(2015·四川宜宾模拟)已知点P ，Q 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线PM ，QM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－14.(1)求点M 的轨迹方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与点M 的轨迹交于A ，B 两点．试判断点O 到直线AB 的距离是否为定值．若是请求出这个定值，若不是请说明理由．2．(2015·河北唐山模拟)已知抛物线y 2＝4x ，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线交于A ，B两点．(1)若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；(2)若直线l 与y 轴负半轴相交，求△AOB 面积的最大值．3. (2015·山东烟台一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (1，0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T (t ，0)，使得OP →·TP →＝PQ →·TQ →？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．4．(2015·湖北七市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，A 、B为椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．第八章 解析几何 考点26 直线与圆【两年高考真题演练】1．D [设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选D.]2．C [由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.]3．D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.]4．C [圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2，1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6，选C.]5．D [直线过圆心(0，3)，与直线x ＋y ＋1＝0垂直，故其斜率k ＝1.所以直线的方程为y －3＝1×(x －0)，即x －y ＋3＝0.故选D.]6．B [圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，因此圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，又弦长为4，因此由勾股定理可得(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝(2－a )2，解得a ＝－4.故选B.]7．A8．5 [由题意可知点A 为(0，0)，点B 为(1，3)．又∵直线x ＋my ＝0的斜率k 1＝－1m，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率k 2＝m ，∴k 1k 2＝－1.∴两条动直线互相垂直．又由圆的性质可知，动点P (x ，y )的轨迹是圆，∴圆的直径为|AB |＝12＋32＝10.∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．∴|PA |·|PB |的最大值是5.]9．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [∵圆心在直线x －2y ＝0上，∴可设圆心为(2a ，a )．∵圆C 与y 轴正半轴相切，∴a >0，半径r ＝2a .又∵圆C 截x 轴的弦长为23，∴a 2＋(3)2＝(2a )2，解得a ＝1(a ＝－1舍去)．∴圆C 的圆心为(2，1)，半径r ＝2.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]10．x 2＋(y －1)2＝1 [因为(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆C 是以(0，1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.]11.2555 [圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.] 12.43[如图所示，设l 1与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点B ，l 2与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点C ，则OB ＝2，OA ＝10，AB ＝2 2.∴tan α＝OB AB ＝222＝12.∴tan ∠BAC ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43.] 13．2 [由题意，得圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos 45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.]14．4±15 [由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15.] 【一年模拟试题精练】1．C [因为l 1⊥l 2，所以a ＋a (a ＋2)＝0，则a ＝0或a ＝－3，故选C.]2．B [直线的斜率为12，即直线l 的斜率为k ＝tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝134＝43，选B.] 3．D [抛物线的准线方程为x ＝－4，而圆心坐标为(－1，0)，所以圆心到直线的距离为3，所以圆的半径为5，故圆面积为25π.]4．x 2＋y 2＝2 [由题意知利用点到直线的距离公式得到圆的半径r ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝2.]5．25π [∵直线3x －y ＋2＝0与直线3x －y －10＝0平行，且截圆C 所得的弦长均为8，∴圆心到两直线的距离相等，两平行直线的距离d ＝|－10－2|（3）2＋1＝122＝6，即圆心到直线3x －y ＋2＝0的距离为d ＝3，则圆的半径R ＝42＋32＝5，故圆C 的面积是25π.]6．－2 [因为圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，所以圆经过原点，圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2即(1，－2)，因为直线ax ＋2y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交于点P ，Q ，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，所以圆的圆心在直线ax ＋2y ＋6＝0上，所以a －4＋6＝0，所以a ＝－2.]7.4305 [圆心C 的坐标为(0，1)，半径为5，所以圆心到直线l ：3x ＋y －6＝0的距离d ＝210，利用勾股定理得到|AB |＝4305.]8．[4，6] [根据题意可以得到以AB 为直径的圆与圆C 至少有一个公共点，即|m －1|≤|OC |≤m ＋1，而|OC |＝5，所有4≤m ≤6.]9.17 [根据题意画出图形，当AC 垂直与直线y ＝x ＋1时，|AC |最短，此时|BC |＝|AC |2－|AB |2最小，由圆的方程得：圆心A (3，－2)，半径|AB |＝1，圆心A 到直线y ＝x ＋1的距离|AC |＝62＝32，则切线长的最小值|BC |＝|AC |2－|AB |2＝17.]10．x ＋y ＋1＝0 [设圆心坐标为(a ，0)，则由直线l ：x －y －1＝0被圆C 所截得的弦长为22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，∵圆心在x 轴的负半轴上，∴a ＝－1，故圆心坐标为(－1，0)，∵直线l 的斜率为1，∴过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为y －0＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0，故答案为：x ＋y ＋1＝0.]11.（2＋2）π2[每次转动一个边长时，圆心角转过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点，在这11次中，半径为1的6次，半径为2的3次，半径为0的2次，点A 走过的路径的长度＝112×2π×1×6＋112×2π×2×3＝（2＋2）π2.]12．解 (1)F (1，0)，设P (x ，y )为C 上任意一点，依题意有（x －1）2＋y 2|x －4|＝12，∴x24＋y 23＝1.(2)易知直线DE 斜率不为0，设直线DE 方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，由A (－2，0)，知AD 方程为y －0＝y 1－0x 1＋2(x ＋2)，点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，同理，点N 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2，由对称性，若定点存在，则定点在x 轴上，设G (n ，0)在以MN 为直径的圆上，则GM →·GN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ，6y 1x 1＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ，6y 2x 2＋2 ＝(4－n )2＋36y 1y 2（x 1＋2）（x 2＋2）＝0，∴(4－n )2＋36y 1y 2（ty 1＋3）（ty 2＋3）＝(4－n )2＋36y 1y 2t 2y 1y 2＋3t （y 1＋y 2）＋9＝0，即(4－n )2＋36×（－9）－9t 2＋3t （－6t ）＋9（3t 2＋4）＝0，(4－n )2－9＝0，n ＝1或n ＝7， ∴以MN 为直径的圆恒过x 轴上两定点(1，0)和(7，0)．考点27 椭 圆【两年高考真题演练】 1．A[∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝3，∴b ＝2，∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.]2．D [设Q (x ，y )，则该点到圆心的距离d ＝（x －0）2＋（y －6）2＝x 2＋（y －6）2＝10（1－y 2）＋（y －6）2＝－9y 2－12y ＋46，y ∈[－1，1]，∴当y ＝－－122×（－9）＝－23时，d max ＝－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－232－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋46＝50＝5 2.∴圆上点P 和椭圆上点Q 的距离的最大值为d max ＋r ＝52＋2＝6 2.故选D.] 3．12[如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得|BN |＝2|PF 2|.∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)． 根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|AN |＋|BN |＝12.] 4．x 2＋32y 2＝15.22[由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1（a >b >0），①x 22a 2＋y22b 2＝1（a >b >0）.②①－②，并整理得x 1＋x 2a 2（y 1＋y 2）＝y 1－y 2b 2（x 1－x 2）.(*)∵M 是线段AB 的中点，且过点M (1，1)的直线斜率为－12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴(*)式可化为1a 2＝12b2，即a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，即c 2a 2＝12.∴e ＝c a ＝22.]6．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 7．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |， 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入C 的方程，得9c 24a ＋1b＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 【一年模拟试题精练】1．B [由题意知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，或⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，因为∠F 1PF 2＝60°，那么2cb 2a＝3，∴2ac ＝3b 2，这样根据a ，b ，c 的关系式化简得到结论为33，选B.]2．D [∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝a 2＋2ac －c 2a2＝－(e －1)2＋2∈(1，2)，选D.]3．B [如图，过B 作BM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥DF 于N ，易知BM ⊥平面AEFD ，CN ⊥平面AEFD ，则∠BPM ＝θ1，∠CPN ＝θ2，由θ1＝θ2，可得tan θ1＝tan θ2，故BM PM ＝CN PN ⇒BNPM＝CNBM＝定值，且此定值不为1，故P 点的轨迹为圆．] 4．A [由题意得到a >1，所以椭圆的离心率e 2＝4a －a 2＋14a ＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a (a >1)递减，则随着a 的增大，离心率e 越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.]5．B [∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴a >b >0，a <2b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12·（1＋3）·2＋12·12·12·4＝1532，故选B.]6.x 29＋y 28＝1 [由题意得2a ＝6，故a ＝3，又离心率e ＝c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝8，故椭圆方程为x 29＋y 28＝1.]7.12 [根据题意可得直线AB 2：x －a ＋y b ＝1，直线B 1F ：y ＝b c (x －c )，联立解得x ＝2ac a －c，又因为直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，所以有2ac a －c ＝a 2c ，整理得a 2－ac －2c 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或12，而椭圆的离心率0<e <1，故e ＝12，故答案为12.]8．解 (1)由已知可得⎩⎨⎧2c ＝2a 2－b 2＝4，a ＝3b ，解得a 2＝6，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)由(1)可得，F 点的坐标是(2，0)．设直线PQ 的方程为x ＝my ＋2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2＋4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3. 于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝12m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6m 2＋3，－2m m 2＋3.∵TF ⊥PQ ，所以直线FT 的斜率为－m ，其方程为y ＝－m (x －2)． 当x ＝t 时，y ＝－m (t －2)，所以点T 的坐标为(t ，－m (t －2))， 此时直线OT 的斜率为－m （t －2）t ，其方程为y ＝m （2－t ）tx ，将M 点的坐标⎝⎛⎭⎪⎫6m ＋3，－2m m ＋3代入上式，得－2m m 2＋3＝m （2－t ）t ·6m 2＋3.解得t ＝3. 考点28 双曲线【两年高考真题演练】1．B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]2．C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]3．D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]4．B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.]5．A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 6．A [由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5.又因为一条渐近线与l 平行，因此b a ＝2，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1，故选A.]7．A [设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ， 由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3，而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1－|PF 2||＝2a 2可得a 21＋3a 22＝4c 2.令a 1＝2cos θ，a 2＝2c 3sin θ，即a 1c ＋a 2c＝2cos θ＋23sin θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋13sin θ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.故最大值为433，故选A.] 8．A9．A [由题意，可得双曲线C 为x 23m －y 23＝1，则双曲线的半焦距c ＝3m ＋3.不妨取右焦点(3m ＋3，0)，其渐近线方程为y ＝±1mx ，即x ±my ＝0.所以由点到直线的距离公式得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.] 10．A [可解方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，得两根0，－sin θcos θ.由题意可知不管a ＝0还是b ＝0，所得两个点的坐标是一样的．不妨设a ＝0，b ＝－sin θcos θ，则A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin θcos θ，sin 2θcos 2θ，可求得直线方程y ＝－sin θcos θx ，因为双曲线渐近线方程为y ＝±sin θcos θx ，故过A ，B 的直线即为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点，故选A.] 11.32 [由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－b a x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b a x ， ∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb2a 2－p22pba.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.]12.x 23－y 212＝1 y ＝±2x [双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x .设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .]13.52 [由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 与y ＝－bax ，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b .由|PA |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1，解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54.故c a ＝52.]【一年模拟试题精练】1．C [因为双曲线的渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，所以ba＝3，所以离心率e ＝2，故选C.]2．A [由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，所以M (1，4)，点A (－a ，0)，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得41＋a ＝1a ，解得a ＝19，故答案为A.]3．A [由题意知：b a ＝12，c ＝5，所以a 2＝20，b 2＝5，则双曲线的方程为x 220－y 25＝1，故选A.]4．B [由题意知，a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 2＝2b 2，则C 1，C 2的离心率分别为e 1＝22，e 2＝62，故选B.] 5．C [由题意知双曲线的一个焦点为(0，2)，所以焦点在y 轴上，故选C.]6．C [因为点A 到抛物线C 1的准线距离为p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，±p ，则双曲线的渐近线的方程为y ＝±2x ，所以ba＝2，则离心率e ＝5，故选C.]7．C [由题意，F 1(0，－c )，F 2(0，c )，一条渐近方程为y ＝a bx ，则F 2到渐近线的距离为bca 2＋b 2＝b .设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点，又O 是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角，∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2，∴3c 2＝4(c 2－a 2)，∴c 2＝4a 2，∴c ＝2a ，∴e ＝2.故选C.]8．B [∵c ＝1，|AF 2|＝|F 1F 2|＝2＝p2＋x A ＝1＋x A ，∴x A ＝1，∴A (1，2)．由|AF 1|＝（1＋1）2＋22＝22，即2a ＝22－2⇒a ＝2－1， ∴e ＝2＋1，选B.]9．C [连OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝OF 21－OT 2＝c 2－a 2＝b ， 连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，∴OM ＝12PF 2，∴|MO |－|MT |＝12PF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PF 1－F 1T ＝12(PF 2－PF 1)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a .故选C.] 10．A [∵|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，∴|EF |＝c 2－a 2＝b ， ∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，|OP |＝|OF |＝c ，|PF |＝2b ， 设F ′(c ，0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点， 则EO 为三角形PFF ′的中位线，则|PF ′|＝2|OE |＝2a ，可令P 的坐标为(m ，n )， 则有n 2＝4 cm ，由抛物线的定义可得|PF ′|＝m ＋c ＝2a ，m ＝2a －c ，n 2＝4c (2a －c )，又|OP |＝c ，即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c )，化简可得，c 2－ac －a 2＝0，由于e ＝ca，则有e 2－e －1＝0，由于e ＞1，解得，e ＝5＋12.故选A.]11. 3 [由题意知e ＝a 2＋9a＝2，(a ＞0)，由此可以求出a 的值 3.]12.233 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点坐标为(c ，0)，(－c ，0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，则(c ，0)到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝bcc2＝b ， 又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，∴b ＝14×2c ，两边平方，得4b 2＝c 2，即4(c 2－a 2)＝c 2，∴3c 2＝4a 2，c 2a 2＝43，即e 2＝43，e ＝233.]13．1＋ 3 [设正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为O ，以AD 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立直角坐标系，则c ＝1，在△AEF 中，由余弦定理得AE 2＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF cos 120°＝1＋1－2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，∴AE ＝3，2a ＝AE －DE ＝3－1， ∴a ＝3－12， ∴e ＝c a＝13－12＝3＋1.]考点29 抛物线【两年高考真题演练】 1．A [由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.] 2．D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.]3．D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0，2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，因为点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.]4．A [由抛物线方程y 2＝x 知，2p ＝1，p 2＝14，即其准线方程为x ＝－14.因为点A 在抛物线上，由抛物线的定义知|AF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14，于是54x 0＝x 0＋14，解得x 0＝1，故选A.]5．A [抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.]6．C [由已知得焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，则过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，y 2＝3x ， 消去y 得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.又直线AB 过焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12.故选C.]7．D [由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k ＞0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k （x ＋2），y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8，8)，又焦点F 为(2，0)，故直线BF 的斜率为43.]。

1．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83 B ．3 C.103 D.52 2．(2015·广东)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．3．(2015·江苏)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.4．(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．5．(2014·新课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．1．PBC 经过圆心O ，若PB ＝OB ＝1，OD 平分∠AOC ，交圆O 于点D ，连接PD 交圆O 于点E ，则PE 的长等于( )A.77B.377C.577 D.72．(2015·茂名市二模)如图，CD 是圆O 的切线，点B 在圆O 上，BC ＝23，∠BCD ＝60°，则圆O 的面积为________．3．(2015·广东揭阳市一模)如图，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知AE ＝1，AB ＝3，CF ＝42，则BC 边的长为________．第3题图 第4题图4．(2015·北京丰台区)如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB ＝8，BC ＝1，则CD ＝________；AD ＝________．5．(2015·天津六校联考)如图，PC 、DA 为⊙O 的切线，A 、C 为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，则AB ＝________．6．(2015·东莞市一模)如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，∠ACE ＝40°，则∠P ＝________．第6题图 第7题图7．(2015·东莞市三模)如图，AB 为圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，且AC ＝22，过点C 的割线交AB 的延长线于点D ，若CM ＝MN ＝ND ，则BD ＝________．8．(2015·晋冀豫三省二调)如图，△ABO 三边上的点C 、D 、E 都在⊙O 上，已知AB ∥DE ，AC ＝CB .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，且tan ∠ACD ＝12，求⊙O 的半径r 的长．9．(2015·桂林一调)已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F(不与B重合)，直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与A、F垂直，垂足为G，连接AC.(1)求证：∠BAC＝∠CAG；(2)求证：AC2＝AE·AF.考点36 选修4－4 坐标系与参数方程两年高考真题演练1．(2015·湖南)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．2．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．3．(2014·广东)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．4．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________．5．(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径．6．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．7．(2014·新课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．1．(2015·北京东城区一模)已知点M 的极坐标为⎝⎭⎪5，3，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，－52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532 2．(2015·北京石景山区一模)在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsin θ＝1截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C ．23 D ．33．(2015·海淀区一模)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)被直线y＝0截得的劣弧长为( )A.2π2 B ．π C ．22π D ．4π4．(2015·北京丰台区一模)在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A 、B 两点，则A 、B 两点间的距离等于( )A. 3 B ．2 3 C ．215 D ．45．(2015·安徽桐城市一模)在极坐标系中，曲线C 的方程是ρ＝4sinθ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，切线长为( )A ．4B ．7C ．2 2D ．3 26．(2015·黄山市质检)在平面直角坐标系内，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32ty ＝2＋32t(t为参数)，若M ，N 分别是曲线C 与直线l 上的动点，则|MN |的最小值为( )A.2＋1 B ．32－1 C.2－1 D ．32－27．(2015·广东揭阳市一模)在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4，截得的弦长为________．8．(2015·北京朝阳区一模)极坐标系中，设ρ＞0，0≤α＜2π，曲线ρ＝2与曲线ρsin θ＝2交点的极坐标为________．9．(2015·东莞一模)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π4作圆ρ＝2cos θ的切线，切线的极坐标方程为________．10．(2015·天津和平区一模)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2y ＝4t ＋3(t为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离等于________．11．(2015·芜湖市质检)设M 、N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，则M 与N 的最小距离是________．12．(2015·天津河北区一模)在以O 为极点的极坐标系中，若圆ρ＝2cos θ与直线ρ(cos θ＋sin θ)＝a 相切，且切点在第一象限，则实数a 的值为________．13．(2015·天津红桥区一模)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫m ，π6(m ＞1)到直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3的距离为2，则m 的值为________．14．(2015·郑州市一预)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(1)求圆心的极坐标； (2)求△P AB 面积的最大值．考点37选修4－5不等式选讲两年高考真题演练1．(2015·江苏)解不等式x＋|2x＋3|≥2.2．(2015·陕西)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值．3．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．4．(2015·新课标全国Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．5．(2014·江苏)已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.6．(2014·新课标全国Ⅰ)若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．1．1是关于x 的绝对值，不等式|x |＋|x －1|≤a 有解的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2015·内江四模)若f (x )＝log 13x ，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ，S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1ab ，T ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋b 2，a ，b 为正实数，则R ，S ，T 的大小关系为( ) A ．T ≥R ≥S B ．R ≥T ≥S C ．S ≥T ≥R D ．T ≥S ≥R3．(2015·湖南十三校二联)已知函数f (x )＝|x －a |－|x －4a |(a ＞0)，若对任意x ∈R ，都有f (2x )－1≤f (x )，则实数a 的最大值为( )A.18B.14C.12 D ．14．(2015·淮北模拟)若对任意x ∈[0，5]，不等式1＋m 4x ≤24＋x ≤1＋n5x 恒成立，则一定有( )A ．m ≤12，n ≥－13B ．m ≤－12，n ≥－13 C ．m ≤－12，n ≥13 D ．m ＜－12，n ＞－135．(2015·茂名市二模)不等式|x －2|－|x ＋1|≤1的解集为________． 6．(2015·蚌埠市质检)设m 是实数，若x ∈R ，不等式|x －m |－|x －1|≤1恒成立，求m 的取值范围________．7．(2015·湖南十三校二联)已知函数f (x )＝|x －k |＋|x －2k |，若对任意的x∈R，f(x)≥f(3)＝f(4)都成立，则k的取值范围为________．8．(2015·天津市和平区一模)若不等式2|x|－1＞a(x2－1)时满足－1≤a≤1的所有a都成立，则x的取值范围是________．9．(2015·天津和平区一模)若实数x，y＞0且xy＝1，则x＋2y的最小值是________，x2＋4y2x＋2y的最小值是________．10．(2015·东莞市三模)若关于x的不等式a≥|x＋1|－|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．11．(2015·淮北模拟)已知m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有m2x＋n2y≥（m＋n）2x＋y，当且仅当mx＝ny时等号成立，利用此结论，可求函数f(x)＝43x＋33－x，x∈(0，2)的最小值为________．12．(2015·郑州市一预)已知函数f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.(1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集；(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．13．(2015·唐山市摸底)f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －4m ＋|x ＋m |(m ＞0)． (1)证明：f (x )≥4；(2)若f (2)＞5，求m 的取值范围．参考答案第十一章选修4系列考点35选修4－1几何证明选讲【两年高考真题演练】1．A[由圆的相交弦定理得CM·MD＝AM·MB＝29AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝29AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝83，选A.]2．3[连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴OC AD＝OEAE，由切割线定理得CE2＝BE·AE，∴BE(BE＋4)＝12.即BE2＋4BE－12＝0，解得BE＝2(舍负)，∴AD＝OC·AEOE＝2×64＝3.]3.证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.4．(1)证明因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3，又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.5．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．【一年模拟试题精练】1．B[在△POD中，∠POD＝120°，OD＝1，OP＝2，故PD2＝OD2＋OP2－2OD·OP cos 120°，PD＝7，由切割线定理：P A 2＝PE ·PD ，得PE ＝377.]2．4π [连接CO 并延长，交于圆O 于点A ，连接AB ， ∵AC 是圆O 的直径，∴∠CBA ＝90°， ∵∠BCD ＝60°，∴∠CAB ＝60°，由AC ＝2R ＝BC sin 60°得：R ＝2，故圆O 的面积为πR 2＝π·4＝4π.]3.57 [∵AE ＝1，AB ＝3，∴BE ＝AB 2－AE 2＝22，由sin ∠F AC ＝sin ∠EAB ＝223＝FCAC ，得AC ＝6，由BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA cos ∠BAC 得BC ＝57.]4．3 12105 [连接OD ，由切割线定理：CD 2＝BC ·AC ，得CD ＝3，cos ∠AOD ＝－cos ∠DOC ＝－45， 由余弦定理：AD 2＝AD 2＋DO 2－2AD ·DO cos ∠ADO 得，AD ＝12105.]5．43 [∵CD ＝AD ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，∴DP ＝4， 又∵∠DAP ＝90°，∴AP ＝DP 2－AD 2＝23，由切割线定理：PC 2＝P A ·PB ＝P A ·(P A ＋AB )，得：AB ＝4 3.] 6．80° [连接BC ，∵∠ACE ＝∠ABC ＝40°，∠ABP ＝90°， ∴∠PBC ＝∠PCB ＝50°， ∴∠P ＝180°－2∠PCB ＝80°.]7.477 [由切割线定理：AC 2＝CM ·CN ，可得CM ＝MN ＝DN ＝2，故DC ＝6，AD ＝CD 2－AC 2＝27，由割线定理：BD ·DA ＝DN ·DM 得BD ＝477.] 8.(1)证明 ∵AB ∥DE ，∴OA OD ＝OBOE ，又OD ＝OE ，∴OA ＝OB . 如图，连接OC 1∵AC ＝CB ，∴OC ⊥AB . 又点C 在⊙O 上，∴直线AB 是⊙O 的切线．(2)解 如图，延长DO 交⊙O 于点F ，连接FC ，由(1)知AB 是⊙O 的切线，∴弦切角∠ACD ＝∠F ， ∴△ACD ∽△AFC ， ∴tan ∠ACD ＝tan ∠F ＝12， 又∠DCF ＝90°，∴CD FC ＝12， ∴AD AC ＝CD FC ＝12，而AD ＝2，得AC ＝4. 又AC 2＝AD ·AF ，∴2·(2＋2r )＝42，于是r ＝3.9．证明 (1)连接BC ，由AB 为⊙O 的直径，所以∠BAC ＋∠CBA ＝90°，又因为∠CAG ＋∠GCA ＝90°，又因为GC 与⊙O 相切于C ，所以∠GCA ＝∠CBA ，所以∠BAC ＝∠CAG .(2)由(1)可知∠EAC ＝∠CAF ，连接CF ，又因为GE 与⊙O 相切于C ，所以∠GCF ＝∠CAG ＝∠EAC ＝∠ECB ，所以∠AFC ＝90°＋∠GCF ＝90°＋∠ECB ＝∠ACE ，所以△AFC ∽△ACE ，所以AC AE ＝AF AC ，所以AC 2＝AE ·AF .考点36 选修4－4坐标系与参数方程【两年高考真题演练】1．x 2＋y 2－2y ＝0 [将极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]2．(2，－4) [∵曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2.曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则其直角坐标方程为y 2＝8x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，解得x ＝2，y ＝－4，即C 1，C 2的交点坐标为(2，－4)．]3．(1，2) [曲线C 1普通方程2x 2＝y ；曲线C 2普通方程x ＝1，联立曲线C 1与曲线C 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此两曲线的交点坐标为(1，2)．]4．x －y －1＝0 [直接化简，两式相减消去参数t 得，x －y ＝1，整理得普通方程为x －y －1＝0.]5．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.6．解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0)．7．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 【一年模拟试题精练】1．D [∵x ＝ρcos θ＝5·cos 2π3＝－52，y ＝ρsin θ＝532，∴M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532] 2．C [圆ρ＝2和直线ρ sin θ＝1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4和y ＝1.∵圆心(0，0)到y ＝1的距离为1，∴圆x 2＋y 2＝4被y ＝1截得的弦长为：222－12＝2 3.]3．A [将圆的参数方程化为直角坐标，方程：(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，圆心(－1，1)到y ＝0的距离为1，故截得的劣弧所对圆心角为π2，因此，所截得劣弧长为π2×2＝22π.]4．B [将曲线转化为直角坐标方程x 2＋y 2－6x ＋2y ＋6＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝4，易得A ，B 的横坐标，分别为3＋3，3－3，故|AB |＝3＋3－(3－3)＝2 3.]5．C [曲线C 的直角坐标系方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)．圆心(0，2)到(23，2)的距离为23，故切线长为（23）2－22＝2 2.]6．B [曲线C 和直线l 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1和x －y＋5＝0，圆心(1，0)到x －y ＋5＝0的距离，d ＝|1－0＋5|12＋12＝32， 故：|MN |的最小值为d －1＝32－1.]7．43 [直线和圆的直角坐标方程为：x ＋y －22＝0和x 2＋y 2＝16，圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离为： d ＝|0＋0－22|2＝2，故所截弦长为242－22＝4 3.] 8.⎝⎛⎭⎪⎫2，π2 [ρ＝2和ρsin θ＝2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4和y ＝2，其交点坐标为(0，2)，其对应极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2.] 9．ρsin α－1＝0 [点⎝⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为(1，1)， ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，易得过点(1，1)的圆的切线方程为y ＝1，故对应极坐标方程为ρsin α－1＝0.]10．1 [直线l 和圆C 的直角坐标方程为：4x －3y ＋1＝0和(x －1)2＋y 2＝1，故圆心(1，0)到4x －3y ＋1＝0的距离为|4×1－3×0＋1|5＝1.] 11.2－1 [曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝22的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1和x ＋y －1＝0，圆心(0，－1)到x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0－1－1|2＝2，故M 与N 的最小距离为d －1＝2－1.] 12．1＋2 [圆ρ＝2cos θ和直线ρ(cos θ＋sin θ)＝a 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1和x ＋y －a ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线的距离d ＝|1＋0－a |2＝1，即a ＝1±2，∵切点在第一象限，∴a ＝1＋ 2.]13．5 [点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，12m ， 直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3的直角坐标方程为3x ＋y －6＝0. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，12m 到3x ＋y －6＝0的距离⎪⎪⎪⎪⎪⎪3·32m ＋12m －62＝2，得m＝5或m ＝1(舍)．]14．解 (1)圆C 的普通方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4； (2)直线l 的普通方程：22x －y －1＝0，圆心到直线l 的距离 d ＝|22＋1－1|3＝223，所以|AB |＝22－89＝2103，点P 到直线AB 距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，S max ＝12×2103×523＝1059.考点37 选修4－5 不等式选讲【两年高考真题演练】1．解 原不等式可化为⎩⎨⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎨⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. 2．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.3．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．4．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．5．证明 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0.故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .6．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26·ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.【一年模拟试题精练】1．B [由|a ≥1|得a ≤－1或a ≥1，因为关于x 的不等式|x |＋|x －1|≤a 有解，而|x |＋|x －1|＝|x |＋|1－x |≥|x ＋1－x |＝1，所以a ≥1，故|a |≥1是关于x 的绝对值不等式|x |＋|x －1|≤a 有解的必要充分条件．]2．A [∵a ，b 为正实数，∴2a ＋b ≤22ab ＝1ab ， 2a ＋b ＝4a 2＋b 2＋2ab ≤2a 2＋b 2≤22a 2b 2＝1ab， ∵f (x )＝log 13x 在(0，＋∞)上为增函数，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ， S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ，T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋b 2，∴T ≥R ≥S .] 3．B [令F (x )＝f (2x )－f (x )－1＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－1，x ＜a 2，4x －2a －1，a2≤x ＜a ，2x －1，a ≤x ＜2a ，－2x ＋8a －1，2a ≤x ＜4a ，－1，y ≥4a ，其图象如图所示，由题意得，4a －1≤0，即a ≤14.]4．B[令f (x )＝24＋x，其图象如图所示，对∀x ∈[0，5]，1＋m 4x ≤f (x )恒成立，需满足m 4≤f ′(0)，即：m ≤－12，对∀x ∈[0，5]，f (x )≤1＋n 5x恒成立，需满足n 5≥k AB ＝23－15－0， 即n ≥－13.]5．[0，＋∞) [当x ＜－1时，2－x ＋x ＋1＝3＞1，不满足要求． 当－1≤x ≤2时，2－x －x －1＝－2x ＋1≤1，解得x ∈[0，2]， 当x ＞2时，x －2－x －1＝－3≤1恒成立，故x ∈(2，＋∞)满足要求，综上所述x ∈[0，＋∞)．]6．[0，2] [令f (x )＝|x －m |－|x －1|，当m ＝1时，f (x )＝0≤1恒成立，当m ＞1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －1，x ＜1－2x ＋m ＋1，1≤x ≤m ，－m ＋1，x ＞m需满足m －1≤1， 得m ∈(1，2]．当m ＜1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －1，x ＜m ，2x －m －1，m ≤x ≤1，1－m ，x ＞1，需满足1－m ≤1，得m ∈[0，1)，综上所述，m ∈(0，2]．]7．[2，3] [f (3)＝f (4)，即|3－k |＋|3－2k |－|4－k |－|4－2k |＝0，当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32时，3－k ＋3－2k －4＋k －4＋2k ＝－2≠0，不合要求．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2时，3－k ＋2k －3－4＋k －4＋2k ＝4k －8≠0，不合要求．当k ∈[2，3]时，3－k ＋2k －3－4＋k －2k ＋4＝0，符合要求． 当k ∈(3，4]时，k －3＋2k －3－4＋k －2k ＋4＝2k －6≠0，不合要求．当k ∈(4，＋∞)时，k －3＋2k －3－k ＋4－2k ＋4＝2≠0，不合要求．故k ∈[2，3]，f (3)＝f (4)＝k ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －2x ， x ＜k k ， k ≤x ≤2k 2x －3k ， x ＞2k当k ∈[2，3]时，f (x )≥k 恒成立， 故k ∈[2，3]．]8．(－2，1－3)∪(3－1，2) [(x 2－1)a ＋1－2|x |＜0，当x 2－1＝0时，即x ＝±1，－1＜0，满足要求．当x 2－1＞0时，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，需满足：(x 2－1)·1＋|－2|x |＜0，解得x ∈(1，2)∪(－2，－1)．当x 2－1＜0时，即x ∈(－1，1)，需满足(x 2－1)·(－1)＋|－2|x |＜0， 解得x ∈(－1，1－3)∪(3－1，1)，综上所述，x ∈(3－1，2)∪(－2，1－3)．]9．22 2 [x ＋2y ≥2x ·2y ＝22，x 2＋4y 2x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋4y 2－4xy x ＋2y ＝x ＋2y －4x ＋2y ≥2x ·2y －42x ·2y ＝22－2＝ 2.]10．[－3，＋∞)[令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2，其图象如图所示，若a ≥f (x )存在实数解，则a ∈[－3，＋∞)．]11.259 [f (x )＝43x ＋33－x ＝43x ＋99－3x ＝223x ＋329－3x ≥（2＋3）23x ＋9－3x ＝259，当且仅当23x ＝39－3x ，即：x ＝65∈(－10，2)．]12．解 (1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤1，4－3x ，x ＞1，由f (x )＞2易得不等式解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0； (2)由二次函数y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，该函数在x ＝－1时取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＋m ，x ＜－1－x －3＋m ，－1≤x ≤1－3x ＋m －1，x ＞1在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.13．(1)证明 由m ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －4m ＋|x ＋m |≥ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x －4m ＋x ＋m ＝4m＋m ≥4，当且仅当4m ＝m ， 即m ＝2时取“＝”，所以f (x )≥4.(2)解 f (2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－4m ＋|2＋m |.当4m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m －4m ＋4， 由f (2)＞5，得m ＞1＋172，当4m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝4m ＋m ， 由f (2)＞5，0＜m ＜1.综上，m 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172，＋∞.。

第八章 解析几何考点25 直线与圆 两年高考真题演练1．(2015²北京)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．(2015²安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或123．(2015²新课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253 D.434．(2015²湖南)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．5．(2015²山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →²PB →＝________．6．(2015²江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．7．(2015²湖北)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________．(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．8．(2015²新课标全国Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y－3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →²ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.9．(2014²新课标全国Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．考点25 直线与圆 一年模拟试题精练1．(2015²滨州模拟)当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015²广东海珠综合测试)“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015²安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7 B.172C ．14D ．174．(2015²泉州模拟)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点．把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝05．(2015²合肥模拟)经过点P (1，1)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝06．(2015²宝鸡模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.52 2 B ．5 2 C.1522 D ．15 2 7．(2015²漳州模拟)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．108．(2015²聊城模拟)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝09．(2015²淄博模拟)过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B ．x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C ．x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D ．x 2＋y 2－265x －125y －375＝010．(2015²郑州模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4，4]D ．[－4，23]11．(2015²苏州模拟)若直线l 过点P (－1，2)，且与以A (－2，－3)，B (3，0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．12．(2015²三明模拟)若A (1，－2)，B (5，6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．13．(2015²南昌模拟)过点P (1，2)引直线，使A (2，3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线方程为________．14．(2015²深圳市二调)已知平面内的动点P 与点N (0，1)的连线的斜率为k 1，线段PN 的中点与原点连线的斜率为k 2，k 1k 2＝－1m2(m ＞1)，动点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)恰好存在唯一一个同时满足下列条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径；②过点N ；③直径|AB |＝2|NB |，求m 的取值范围．考点26 椭 圆 两年高考真题演练1．(2015²广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．92．(2015²福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，13．(2015²浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．4．(2015²陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.5．(2014²新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .考点26 椭 圆 一年模拟试题精练1．(2015²宝鸡市质检一)已知抛物线y 2＝8x 的焦点与椭圆x 2a2＋y 2＝1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为( )A.55 B.12 C.233 D.2552．(2015²烟台模拟)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．(2015²日照模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.232 C.932 D.23274．(2015²杭州七校期末联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 5．(2015²聊城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，l ：x ＝－a 2c，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 6．(2015²本溪模拟)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为________．7．(2015²成都模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．8．(2015²南京市调研)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为32，且经过点(0，1)． (1)求实数a ，b 的值；(2)若过点P (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1所截得的弦长为22，求实数m 的值．考点27 双曲线 两年高考真题演练1．(2015²安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1 2．(2015²湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.533．(2015²天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 4．(2015²四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 5．(2015²重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 26．(2015²湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27．(2015²北京)已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.8．(2015²新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．9．(2014²湖南)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．考点27 双曲线 一年模拟试题精练1．(2015²邯郸市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝－52x ，则它的离心率为( )A.52 B.32 C.355 D.232．(2015²天津市六校联考)以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 B ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝03．(2015²厦门市质检)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．两个交点都在左支上D ．两个交点分别在左、右支上4．(2015²晋冀豫三省二调)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该双曲线的离心率为( )A ．8B ．2 2C ．3D ．45．(2015²忻州一中等四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为62，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 6．(2015²玉溪一中检测)若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )A.y 29－x 272＝1B.x 29－y 272＝1C.x 216－y 281＝1 D.y 281－x 216＝1 7．(2015²四川省统考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是( )A ．3B ．2 C. 2 D. 38．(2015²荆门市调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作与x轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，λ²μ＝316，则双曲线的离心率为( )A.233 B.355 C.322 D.989．(2014²广州综合测试)已知双曲线E ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线x ＝a 23上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足PF 2→²QF 2→＝0.(1)求实数a 的值；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足|PM ||PN |＝|MH ||HN |，证明：点H 恒在一条定直线上．考点28 抛物线 两年高考真题演练1．(2015²陕西)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)2．(2015²新课标全国Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．123．(2015²四川)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4) 4．(2015²浙江)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t ＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．5．(2014²安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．考点28 抛物线 一年模拟试题精练1．(2015²唐山市摸底)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝－12 B ．x ＝12C ．y ＝－18D ．y ＝182．(2015²巴蜀中学一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，抛物线y2＝2px (p ＞0)与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝43x3．(2015²北京西城区检测)设抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：x ＝－1的距离为d ，则有( )A ．|AB |≥2d B ．|AB |＝2dC ．|AB |≤2dD ．|AB |＜2d4．(2015²忻州一中等四校一联)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2015²延安摸拟)直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或06．(2015²昆明一中检测)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心且经过点A 的圆与l 交于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，|AF |＝2，则p ＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D. 67．(2015²云南部分名校第一次联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x8．(2015²吉林市摸底)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．43D ．4 59．(2015²云南玉溪一中期中)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2B.522＋1 C.522－2 D.522－1 10．(2015²铜陵模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →，则|BC |＝( )A.92 B ．6 C.132D ．8 11．(2015²巴蜀中学一模)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(b ＞0)，圆心在抛物线y 2＝4x 上，经过点A (3，0)，且与抛物线的准线相切，则圆C 的方程为____________．12．(2014²忻州联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．13．(2015²衡水中学四调)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，点P 是点F 关于y 轴的对称点，过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)试问在x 轴上是否存在不同于点P 的一点T ，使得TA ，TB 与x 轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，说明理由；(2)若△AOB 的面积为52，求向量OA →，OB →的夹角．考点29 圆锥曲线的综合问题两年高考真题演练1．(2015²新课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015²山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．3．(2014²重庆)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点29 圆锥曲线的综合问题一年模拟试题精练1．(2015²昆明一中检测)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，过F 的直线交C 于A ，B 两点，设点A 关于y 轴的对称点为A ′，且|FA |＋|FA ′|＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A 在第一象限，当△AFA ′面积最大时，求|AB |的值．2．(2015²巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过点F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．3．(2015²云南省名校统考)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点(2，2)，四边形ABCD 的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ，k AC ²k BD ＝－b 2a 2. (1)求OA →²OB →的取值范围；(2)求证：四边形ABCD 的面积为定值．4．(2015²锦州市期末)如图，已知点F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，圆A ：(x ＋t )2＋y 2＝2(t ＞0)与椭圆C 的一个公共点为B (1，0)，且直线FB 与圆A 相切于点B .(1)求t 的值及椭圆C 的标准方程；(2)设动点P (x 0，y 0)满足OP →＝OM →＋3ON →，其中M ，N 是椭圆C 上的点，O 为原点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，求证：x 20＋2y 20为定值．参考答案第八章 解析几何 考点25 直线与圆【两年高考真题演练】1．D [圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.]2．D [圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3³1＋4³1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D.] 3．B [由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B.]4．2 [如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°， ∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3³0－4³0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2.]5.32[由题意，圆心为O (0，0)，半径为1. 如图所示， ∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2， ∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →²PB →＝|PA →||PB →|²cos ∠APB ＝3³3³cos 60°＝32.]6．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]7．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1 [(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2) 法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.]8．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →²ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.9．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →²MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部， 所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.【一年模拟试题精练】 1．B [l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，∵0＜k ＜12，∴k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故l 1和l 2交点在第二象限．]2．A [直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直的充要条件是4a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝34，所以“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.]3．B [∵l 2：x ＋3y －32＝0，∴l 1∥l 2，故l 1和l 2的距离为|m ＋32|12＋32＝10，∵m ＞0，∴m ＝172.]4．A [M (2，0)，旋转前，k ＝2＝tan θ；旋转后k ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝－3，故旋转后的直线方程为y －0＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0.] 5．B [y －1＝k (x －1)，横截距为k －1k ，纵截距为1－k ，由题意得k ＜0，k －1k＋1－k ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＋(－k )≥2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ²（－k ）＝4，当且仅当－1k ＝－k ，即k ＝－1取等号，故该直线的方程为x ＋y －2＝0.]6．B [y 1＋y 22＝x 1＋x 22－10，令t ＝x 1＋x 22，故P (t ，t －10)，|OP |＝t 2＋（t －10）2＝2（t －5）2＋50≥5 2.]7．D [建立如图坐标系，设A (a ，0)，B (0，b )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b4， |PA |2＝916a 2＋116b 2，|PB |2＝116a 2＋916b 2，|PC |2＝116a 2＋116b 2，故|PA |2＋|PB |2|PC |2＝10.] 8．C [该直线可整理为a (x ＋1)＋(－x －y ＋1)＝0，故定点C 为(－1，2)，所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.]9．A [将y ＝－4－2x 代入(x ＋1)2＋(y －2)2＝4整理得：5x 2＋26x ＋33＝0，x 1＋x 2＝－265，y 1＋y 2＝－4－2x 1－4－2x 2＝125，弦长＝222－⎝⎛⎭⎪⎫|－2＋2＋4|22＋12＝455，满足条件面积最小的圆为以两交点的中点为圆心，弦长为直径的圆，故圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.] 10.B [由图可知，当m ＝3x ＋y 过(－2，0)时，m 取最小值，最小值为－23；当m ＝3x ＋y 与该半圆相切时，m 取最大值，|m |（3）2＋1＝2，m ＝4，故m ∈[－23，4]．]11.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) [由题意得：l 的斜率k ≥k PA ＝2－（－3）－1－（－2）＝5或k ≤k PB ＝0－23－（－1）＝－12.] 12．x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0 [AB 的中点为M (3，2)， 当l 的截距为0时，可设y ＝kx ，得k ＝23，当l 的截距不为0时，可设l 的方程为x a ＋y a＝1得a ＝5. 故l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.]13．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0 [AB 的中点为(3，－1)，满足条件的直线为过AB的中点或与AB 平行．当过AB 的中点(3，－1)时，y －22－（－1）＝x －11－3，即3x ＋2y －7＝0；当该直线与AB 平行时，该直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0.]14．解 (1)设P (x ，y )，记PN 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋12，由题意k 1＝y －1x (x ≠0)，k 2＝y ＋12x2(x ≠0)，由k 1k 2＝－1m2可得（y －1）⎝⎛⎭⎪⎫y ＋12x ²x 2＝－1m 2(x ≠0)，化简整理可得：x 2m2＋y 2＝1(x ≠0)，即曲线C 的方程为x 2m2＋y 2＝1(x ≠0)．(2)由题意N (0，1)，若存在以曲线C 的弦AB 为直径的圆过点N ，则有NA ⊥NB ，所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为零，设直线NA 的斜率为k (不妨设k ＞0)，∴直线NA ：y ＝kx ＋1，直线NB ：y ＝－1k x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2m2＋y 2＝1，消去y 整理可得 (1＋m 2k 2)x 2＋2m 2kx ＝0，解得x A ＝－2m 2k1＋m 2k2，所以|NA |＝1＋k 2|2m 2k |1＋m 2k 2，以－1k代替k 可得 |NB |＝1＋1k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 2k 1＋m 2k2＝1＋k 22m2k 2＋m 2， 又∵|AB |＝2|NB |，即有|NA |＝|AB |2－|NB |2＝|NB |， ∴1＋k 2|2m 2k |1＋m 2k 2＝1＋k 22m 2k 2＋m 2， ∴k 3＋m 2k ＝1＋m 2k 2，即(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝0，①当m ＝3时，(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝(k －1)3＝0，解得k ＝1； ②当1＜m ＜3时，方程k 2＋(1－m 2)k ＋1＝0，有Δ＝(1－m 2)2－4＜0， ∴方程(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝(k －1)3＝0有唯一解k ＝1；③当m ＞3时，方程k 2＋(1－m 2)k ＋1＝0有Δ＝(1－m 2)2－4＞0，且12＋(1－m 2)³1＋1≠0，所以方程(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝(k －1)3＝0有三个不等的根，综上，当1＜m ≤3时，恰有一个圆符合题意．考点26 椭 圆【两年高考真题演练】1．B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.] 2．A [左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2. 设M (0，b )， 则4b 5≥45， ∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.] 3.22 [设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ²x 0＋c2，y 0x 0－c ²bc ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c （2c 2－a 2）a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2（2c 2－a 2）2a 6＋4c 4a4＝1，令e＝ca，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22.] 4．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.5．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7. 【一年模拟试题精练】1．D [y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，由题意得：a 2－1＝2，得a ＝5，e ＝ca＝25＝255.]2．A [由|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2a ＝4c ，得a ＝2c ， 4a2＋3a 2－c 2＝1，得a ＝22，b ＝6，因此，椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.]3．A [将y ＝1－x 代入ax 2＋by 2＝1，整理得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，x 1＋x 2＝2b a ＋b，y 1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2a a ＋b ，因此AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32.]4．B [由|PF 1|＋|PF 2|＝2a 和|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2得，|PF 1||PF 2|＝2a 2－2c 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，即a 2≤2c 2，e 2≥12，得e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.] 5．A [由题意得|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ，得P 的横坐标为2c 2－a2c，－a ＜2c 2－a2c＜a ，即－ac ＜2c 2－a 2＜ac ，－e ＜2e 2－1＜e ，得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1.]6.53[|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，因此 |AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝20＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|，2πr ＝π，r ＝12，S △ABF 2＝12(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|)r ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|，得|y 1－y 2|＝53.] 7．3 [设F 2为椭圆右焦点，|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4，|BF |＋|BF 2|＝2a ＝4，故|AF |＋|BF |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8≥|AF |＋|BF |＋|AB |，故当△FAB 的周长最大时，x ＝m 过椭圆右焦点F 2，则|AB |＝3，故S △FAB ＝12|F 2F |²|AB |＝3.]8．解 (1)记椭圆C 的半焦距为c . 由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5.显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0. 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，(*)有且只有一组解． 由(*)得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 从而Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝0.化简，得m 2＝1＋4k 2.①因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d ＝5－2＝ 3. 即|m |k 2＋1＝ 3.②由①②，解得k 2＝2，m 2＝9. 因为m ＞0，所以m ＝3.考点27 双曲线【两年高考真题演练】1．A [由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.]2．D [由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.]3．D [双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 由题意得2ba 2＋b 2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.]4．D [右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.] 5．C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则 kA 2C ＝b 2ac ＋a，kA 1B ＝b 2aa －c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ²kA 2C ＝－1，即b 2ac ＋a ²b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a 2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1.] 6．B [e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.]7. 3 [由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.] 8.x 24－y 2＝1 [由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]9．解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)， 所以|OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此 OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →²OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →²OB →， 即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线． 【一年模拟试题精练】1．B [该双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，故b a ＝52，即c 2－a 2a ＝52，e ＝c a ＝32.]2．A [该双曲线的渐近线为y ＝±34x ，右焦点坐标为(5，0)，(5，0)到渐近线的距离为4，故该圆的标准方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.]3．D [该双曲线的渐近线为y ＝±32x ，k l ＝tan π6＝33＜32，故l 与双曲线C 的交点分别在左、右两支上．]4．C [双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，因为圆心为(3，0)，半径为3，由|AB |＝2，可知圆心到直线AB 的距离为22，于是3ba 2＋b2＝22，解得b 2＝8a 2，于是c ＝a 2＋b2＝3a ，所以e ＝ca＝3.]5．C [∵e ＝c a ＝62，故可设a ＝2k ，c ＝6k ，则得b ＝2k ，∴渐近线方程为y ＝±22x .]6．A [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. ∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在某双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0，3)，∴a ＝3，2c ＝18，∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.]7．B [因为AB ⊥x 轴，又已知△ABE 是直角三角形，且显然AE ＝BE ，所以△ABE 是等腰三角形，所以∠AEB ＝90°，所以∠AEF ＝45°，所以AF ＝EF ，易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a (不妨设点A 在x 轴上方)，故b 2a＝a ＋c ，即b 2＝a (a ＋c )，得c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－1(舍去)．]8．A [不妨设A 在第一象限，故A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，因此FP →＝bc FA→＝b 2c(OA →－OB →)． OP →＝OF →＋FP →＝12(OA →＋OB →)＋b 2c(OA →－OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋b 2c OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－b 2c OB →∵λ²μ＝316，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋b 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－b 2c ＝316，得e ＝c a ＝233.]9．(1)解 设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝355，c 2＝a 2＋4，解得a ＝ 5. (2)证明 由(1)可知，直线x ＝a 23＝53，点F 2(3，0)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，t ，Q (x 0，y 0)， 因为PF 2→²QF 2→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3－53，－t ²(3－x 0，－y 0)＝0， 所以ty 0＝43(x 0－3)．因为点Q (x 0，y 0)在双曲线E 上， 所以x 205－y 204＝1，即y 20＝45(x 20－5)，所以k PQ ²k OQ ＝y 0－t x 0－53²y 0x 0＝y 20－ty 0x 20－53x 0＝45（x 20－5）－43（x 0－3）x 20－53x 0＝45x 20－43x 0x 20－53x 0＝45，所以PQ 与OQ 的斜率之积为定值．(3)证明 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，1，设H (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 令|PM ||PN |＝|MH ||HN |＝λ， 则|PM |＝λ|PN |，|MH |＝λ|HN |，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－53，y 1－1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－53，y 2－1，（x －x 1，y －y 1）＝λ（x 2－x ，y 2－y ），整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－λx 2＝53（1－λ）， ①y 1－λy 2＝1－λ， ②x 1＋λx 2＝x （1＋λ）， ③y 1＋λy 2＝y （1＋λ）， ④由①³③，②³④得⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ2x 22＝53（1－λ2）x ， ⑤y 21－λ2y 22＝（1－λ2）y ， ⑥将y 21＝45(x 21－5)，y 22＝45(x 22－5)代入⑥，得y ＝45³x 21－λ2x 221－λ2－4. ⑦将⑤代入⑦，得y ＝43x －4，所以点H 恒在定直线4x －3y －12＝0上．考点28 抛物线【两年高考真题演练】1．B [由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为(1，0)，故选B.]2．B [因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6.]3．D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22²y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0²k ＝2， 由CM ⊥AB 得k ²y 0－0x 0－5＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D.]4．解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t ， 因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)， 由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故 ⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2. 因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ²1＋t 2和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0， 点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2，设△PAB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AP |²d ＝t32.5．(1)证明 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1 ＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→， 所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2， 同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2. 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.。

第八章 第1节对应学生用书课时冲关 理(四十)/第311页 文(三十七)/第273页一、选择题1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．60°或120°解析：由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.答案：C2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1. 答案：D4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，∴直线l 2恒过定点(0,2)．答案：B5．(2015·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C B .∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0.又y 轴上的截距b ＝－C B ＞0，∴直线过第一、二、四象限．答案：C6．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .∴m ＝－6或m ＝12.故应选B.答案：B7．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为() A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：由题意设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：D8．(2015·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3， 即x ＋2y －3＝0.答案：D9．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π2，3π4，故选C.答案：C10．(2015·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2 α ＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32， 所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B11．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y －2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0.又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0,3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.答案：D12．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．2 5解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝2.答案：A二、填空题13．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 设l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1. ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1. ②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解． 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝015．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据均值不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：1616．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．解析：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎨⎧ a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， ∴B (3,5)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4， ∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0. 答案：x－2y＋7＝0 [备课札记]。

1A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或123．(2015·新课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253 D.434．(2015·湖南)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．5．(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________．6．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．7．(2015·湖北)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________．(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．8．(2015·新课标全国Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.9．(2014·新课标全国Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．1．(2015·滨州模拟)当0＜k ＜2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·广东海珠综合测试)“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7 B.172C ．14D ．174．(2015·泉州模拟)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点．把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝05．(2015·合肥模拟)经过点P (1，1)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝06．(2015·宝鸡模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.52 2 B ．5 2 C.1522 D ．15 2 7．(2015·漳州模拟)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．108．(2015·聊城模拟)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝09．(2015·淄博模拟)过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B ．x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C ．x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D ．x 2＋y 2－265x －125y －375＝010．(2015·郑州模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4，4]D ．[－4，23]11．(2015·苏州模拟)若直线l 过点P (－1，2)，且与以A (－2，－3)，B (3，0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．12．(2015·三明模拟)若A (1，－2)，B (5，6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．13．(2015·南昌模拟)过点P (1，2)引直线，使A (2，3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线方程为________．14．(2015·深圳市二调)已知平面内的动点P 与点N (0，1)的连线的斜率为k 1，线段PN 的中点与原点连线的斜率为k 2，k 1k 2＝－1m2(m ＞1)，动点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)恰好存在唯一一个同时满足下列条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径；②过点N ；③直径|AB |＝2|NB |，求m 的取值范围．1．(2015·广东)已知椭圆25＋m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．92．(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，13．(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．4．(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.5．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .1．(2015·宝鸡市质检一)已知抛物线y 2＝8x 的焦点与椭圆2a2＋y 2＝1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为( )A.55 B.12 C.233 D.2552．(2015·烟台模拟)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．(2015·日照模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( ) A.32 B.232 C.932 D.23274．(2015·杭州七校期末联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 5．(2015·聊城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，l ：x ＝－a 2c，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 6．(2015·本溪模拟)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为________．7．(2015·成都模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．8．(2015·南京市调研)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为32，且经过点(0，1)． (1)求实数a ，b 的值；(2)若过点P (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1所截得的弦长为22，求实数m 的值．1．(2015·安徽)( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1 2．(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.533．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 4．(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 5．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 26．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27．(2015·北京)已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.8．(2015·新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．9．(2014·湖南)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．1．(2015·邯郸市质检)已知双曲线x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝－52x ，则它的离心率为( )A.52 B.32 C.355 D.232．(2015·天津市六校联考)以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 B ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝03．(2015·厦门市质检)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．两个交点都在左支上D ．两个交点分别在左、右支上4．(2015·晋冀豫三省二调)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该双曲线的离心率为( )A ．8B ．2 2C ．3D ．45．(2015·忻州一中等四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为62，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 6．(2015·玉溪一中检测)若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )A.y 29－x 272＝1B.x 29－y 272＝1C.x 216－y 281＝1 D.y 281－x 216＝1 7．(2015·四川省统考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是( )A ．3B ．2 C. 2 D. 38．(2015·荆门市调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作与x轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，λ·μ＝316，则双曲线的离心率为( )A.233 B.355 C.322 D.989．(2014·广州综合测试)已知双曲线E ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为355，点P 是直线x ＝a 23上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足PF 2→·QF 2→＝0.(1)求实数a 的值；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足|PM ||PN |＝|MH ||HN |，证明：点H 恒在一条定直线上．1．(2015·陕西)，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)2．(2015·新课标全国Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．123．(2015·四川)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4) 4．(2015·浙江)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t ＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．5．(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．1A ．x ＝－12 B ．x ＝12C ．y ＝－18D ．y ＝182．(2015·巴蜀中学一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，抛物线y2＝2px (p ＞0)与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝43x3．(2015·北京西城区检测)设抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：x ＝－1的距离为d ，则有( )A ．|AB |≥2d B ．|AB |＝2dC ．|AB |≤2dD ．|AB |＜2d4．(2015·忻州一中等四校一联)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2015·延安摸拟)直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或06．(2015·昆明一中检测)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心且经过点A 的圆与l 交于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，|AF |＝2，则p ＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D. 67．(2015·云南部分名校第一次联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x8．(2015·吉林市摸底)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．43D ．4 59．(2015·云南玉溪一中期中)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2B.522＋1 C.522－2 D.522－1 10．(2015·铜陵模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →，则|BC |＝( )A.92 B ．6 C.132D ．8 11．(2015·巴蜀中学一模)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(b ＞0)，圆心在抛物线y 2＝4x 上，经过点A (3，0)，且与抛物线的准线相切，则圆C 的方程为____________．12．(2014·忻州联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．13．(2015·衡水中学四调)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，点P 是点F 关于y 轴的对称点，过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)试问在x 轴上是否存在不同于点P 的一点T ，使得TA ，TB 与x 轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，说明理由；(2)若△AOB 的面积为52，求向量OA →，OB →的夹角．考点29 圆锥曲线的综合问题两年高考真题演练1．(2015·新课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．3．(2014·重庆)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点29 圆锥曲线的综合问题一年模拟试题精练1．(2015·昆明一中检测)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，过F 的直线交C 于A ，B 两点，设点A 关于y 轴的对称点为A ′，且|FA |＋|FA ′|＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A 在第一象限，当△AFA ′面积最大时，求|AB |的值．2．(2015·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过点F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．3．(2015·云南省名校统考)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点(2，2)，四边形ABCD 的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ，k AC ·k BD ＝－b 2a 2. (1)求OA →·OB →的取值范围；(2)求证：四边形ABCD 的面积为定值．4．(2015·锦州市期末)如图，已知点F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，圆A ：(x ＋t )2＋y 2＝2(t ＞0)与椭圆C 的一个公共点为B (1，0)，且直线FB 与圆A 相切于点B .(1)求t 的值及椭圆C 的标准方程；(2)设动点P (x 0，y 0)满足OP →＝OM →＋3ON →，其中M ，N 是椭圆C 上的点，O 为原点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，求证：x 20＋2y 20为定值．参考答案第八章 解析几何 考点25 直线与圆【两年高考真题演练】1．D [圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.]2．D [圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D.] 3．B [由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B.] 4．2 [如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°， ∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2.]5.32[由题意，圆心为O (0，0)，半径为1. 如图所示， ∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2， ∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.]6．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]7．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1 [(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2) 法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.]8．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.9．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部， 所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.【一年模拟试题精练】 1．B [l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，∵0＜k ＜12，∴k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故l 1和l 2交点在第二象限．]2．A [直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直的充要条件是4a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝34，所以“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.]3．B [∵l 2：x ＋3y －32＝0，∴l 1∥l 2，故l 1和l 2的距离为|m ＋32|12＋32＝10，∵m ＞0，∴m ＝172.]4．A [M (2，0)，旋转前，k ＝2＝tan θ；旋转后k ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝－3，故旋转后的直线方程为y －0＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0.] 5．B [y －1＝k (x －1)，横截距为k －1k ，纵截距为1－k ，由题意得k ＜0，k －1k＋1－k ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＋(－k )≥2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·（－k ）＝4，当且仅当－1k ＝－k ，即k ＝－1取等号，故该直线的方程为x ＋y －2＝0.]6．B [y 1＋y 22＝x 1＋x 22－10，令t ＝x 1＋x 22，故P (t ，t －10)，|OP |＝t 2＋（t －10）2＝2（t －5）2＋50≥5 2.]7．D [建立如图坐标系，设A (a ，0)，B (0，b )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b4，|PA |2＝916a 2＋116b 2，|PB |2＝116a 2＋916b 2，|PC |2＝116a 2＋116b 2，故|PA |2＋|PB |2|PC |2＝10.]8．C [该直线可整理为a (x ＋1)＋(－x －y ＋1)＝0，故定点C 为(－1，2)，所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.]9．A [将y ＝－4－2x 代入(x ＋1)2＋(y －2)2＝4整理得：5x 2＋26x ＋33＝0，x 1＋x 2＝－265，y 1＋y 2＝－4－2x 1－4－2x 2＝125，弦长＝222－⎝⎛⎭⎪⎫|－2＋2＋4|22＋12＝455，满足条件面积最小的圆为以两交点的中点为圆心，弦长为直径的圆，故圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.] 10.B [由图可知，当m ＝3x ＋y 过(－2，0)时，m 取最小值，最小值为－23；当m ＝3x ＋y 与该半圆相切时，m 取最大值，|m |（3）2＋1＝2，m ＝4，故m ∈[－23，4]．]11.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) [由题意得：l 的斜率k ≥k PA ＝2－（－3）－1－（－2）＝5或k ≤k PB ＝0－23－（－1）＝－12.] 12．x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0 [AB 的中点为M (3，2)， 当l 的截距为0时，可设y ＝kx ，得k ＝23，当l 的截距不为0时，可设l 的方程为x a ＋y a＝1得a ＝5. 故l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.]13．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0 [AB 的中点为(3，－1)，满足条件的直线为过AB的中点或与AB 平行．当过AB 的中点(3，－1)时，y －22－（－1）＝x －11－3，即3x ＋2y －7＝0；当该直线与AB 平行时，该直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0.]14．解 (1)设P (x ，y )，记PN 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋12，由题意k 1＝y －1x (x ≠0)，k 2＝y ＋12x2(x ≠0)，由k 1k 2＝－1m2可得（y －1）⎝⎛⎭⎪⎫y ＋12x ·x 2＝－1m 2(x ≠0)，化简整理可得：x 2m2＋y 2＝1(x ≠0)，即曲线C 的方程为x 2m2＋y 2＝1(x ≠0)．(2)由题意N (0，1)，若存在以曲线C 的弦AB 为直径的圆过点N ，则有NA ⊥NB ，所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为零，设直线NA 的斜率为k (不妨设k ＞0)，∴直线NA ：y ＝kx ＋1，直线NB ：y ＝－1k x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2m2＋y 2＝1，消去y 整理可得 (1＋m 2k 2)x 2＋2m 2kx ＝0，解得x A ＝－2m 2k1＋m 2k2，所以|NA |＝1＋k 2|2m 2k |1＋m 2k 2，以－1k代替k 可得|NB |＝1＋1k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 2k 1＋m 2k2＝1＋k 22m2k 2＋m 2， 又∵|AB |＝2|NB |，即有|NA |＝|AB |2－|NB |2＝|NB |， ∴1＋k 2|2m 2k |1＋m 2k 2＝1＋k 22m 2k 2＋m 2， ∴k 3＋m 2k ＝1＋m 2k 2，即(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝0，①当m ＝3时，(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝(k －1)3＝0，解得k ＝1； ②当1＜m ＜3时，方程k 2＋(1－m 2)k ＋1＝0，有Δ＝(1－m 2)2－4＜0， ∴方程(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝(k －1)3＝0有唯一解k ＝1；③当m ＞3时，方程k 2＋(1－m 2)k ＋1＝0有Δ＝(1－m 2)2－4＞0，且12＋(1－m 2)×1＋1≠0，所以方程(k －1)[k 2＋(1－m 2)k ＋1]＝(k －1)3＝0有三个不等的根，综上，当1＜m ≤3时，恰有一个圆符合题意．考点26 椭 圆【两年高考真题演练】1．B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.] 2．A [左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2. 设M (0，b )， 则4b 5≥45， ∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.] 3.22 [设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c （2c 2－a 2）a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2（2c 2－a 2）2a 6＋4c 4a4＝1，令e＝ca，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22.] 4．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.5．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7. 【一年模拟试题精练】1．D [y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，由题意得：a 2－1＝2，得a ＝5，e ＝ca＝25＝255.]2．A [由|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2a ＝4c ，得a ＝2c ， 4a2＋3a 2－c 2＝1，得a ＝22，b ＝6， 因此，椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.]3．A [将y ＝1－x 代入ax 2＋by 2＝1，整理得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，x 1＋x 2＝2b a ＋b，y 1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2a a ＋b ，因此AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32.]4．B [由|PF 1|＋|PF 2|＝2a 和|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2得，|PF 1||PF 2|＝2a 2－2c 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，即a 2≤2c 2，e 2≥12，得e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.] 5．A [由题意得|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ，得P 的横坐标为2c 2－a2c，－a ＜2c 2－a2c＜a ，即－ac ＜2c 2－a 2＜ac ，－e ＜2e 2－1＜e ，得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1.]6.53[|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，因此 |AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝20＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|，2πr ＝π，r ＝12，S △ABF 2＝12(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|)r ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|，得|y 1－y 2|＝53.] 7．3 [设F 2为椭圆右焦点，|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4，|BF |＋|BF 2|＝2a ＝4，故|AF |＋|BF |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8≥|AF |＋|BF |＋|AB |，故当△FAB 的周长最大时，x ＝m 过椭圆右焦点F 2，则|AB |＝3，故S △FAB ＝12|F 2F |·|AB |＝3.]8．解 (1)记椭圆C 的半焦距为c . 由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5.显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0. 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，(*)有且只有一组解． 由(*)得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 从而Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝0. 化简，得m 2＝1＋4k 2.①因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d ＝5－2＝ 3.即|m |k 2＋1＝ 3.②由①②，解得k 2＝2，m 2＝9. 因为m ＞0，所以m ＝3.考点27 双曲线【两年高考真题演练】1．A [由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.]2．D [由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.]3．D [双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 由题意得2ba 2＋b 2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.]4．D [右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.] 5．C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 2C ＝b 2ac ＋a，kA 1B ＝b 2aa －c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2ac ＋a ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a 2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1.] 6．B [e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.]7. 3 [由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.] 8.x 24－y 2＝1 [由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]9．解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)， 所以|OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3，因此 OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →， 即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线． 【一年模拟试题精练】1．B [该双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，故b a ＝52，即c 2－a 2a ＝52，e ＝c a ＝32.]2．A [该双曲线的渐近线为y ＝±34x ，右焦点坐标为(5，0)，(5，0)到渐近线的距离为4，故该圆的标准方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.]3．D [该双曲线的渐近线为y ＝±32x ，k l ＝tan π6＝33＜32，故l 与双曲线C 的交点分别在左、右两支上．]4．C [双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，因为圆心为(3，0)，半径为3，由|AB |＝2，可知圆心到直线AB 的距离为22，于是3ba 2＋b2＝22，解得b 2＝8a 2，于是c ＝a 2＋b2＝3a ，所以e ＝c a＝3.]5．C [∵e ＝c a ＝62，故可设a ＝2k ，c ＝6k ，则得b ＝2k ，∴渐近线方程为y ＝±22x .]6．A [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. ∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在某双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0，3)，∴a ＝3，2c ＝18，∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.]7．B [因为AB ⊥x 轴，又已知△ABE 是直角三角形，且显然AE ＝BE ，所以△ABE 是等腰三角形，所以∠AEB ＝90°，所以∠AEF ＝45°，所以AF ＝EF ，易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a (不妨设点A 在x 轴上方)，故b 2a＝a ＋c ，即b 2＝a (a ＋c )，得c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－1(舍去)．]8．A [不妨设A 在第一象限，故A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，因此FP →＝bc FA→＝b 2c(OA →－OB →)． OP →＝OF →＋FP →＝12(OA →＋OB →)＋b 2c(OA →－OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋b 2c OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－b 2c OB →∵λ·μ＝316，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋b 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－b 2c ＝316，得e ＝c a ＝233.]9．(1)解 设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝355，c 2＝a 2＋4，解得a ＝ 5. (2)证明 由(1)可知，直线x ＝a 23＝53，点F 2(3，0)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，t ，Q (x 0，y 0)，因为PF 2→·QF 2→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3－53，－t ·(3－x 0，－y 0)＝0， 所以ty 0＝43(x 0－3)．因为点Q (x 0，y 0)在双曲线E 上， 所以x 205－y 204＝1，即y 20＝45(x 20－5)，所以k PQ ·k OQ ＝y 0－t x 0－53·y 0x 0＝y 20－ty 0x 20－53x 0＝45（x 20－5）－43（x 0－3）x 20－53x 0＝45x 20－43x 0x 20－53x 0＝45，所以PQ 与OQ 的斜率之积为定值．(3)证明 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，1，设H (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 令|PM ||PN |＝|MH ||HN |＝λ， 则|PM |＝λ|PN |，|MH |＝λ|HN |，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－53，y 1－1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－53，y 2－1，（x －x 1，y －y 1）＝λ（x 2－x ，y 2－y ），整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－λx 2＝53（1－λ）， ①y 1－λy 2＝1－λ， ②x 1＋λx 2＝x （1＋λ）， ③y 1＋λy 2＝y （1＋λ）， ④由①×③，②×④得⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ2x 22＝53（1－λ2）x ， ⑤y 21－λ2y 22＝（1－λ2）y ， ⑥ 将y 21＝45(x 21－5)，y 22＝45(x 22－5)代入⑥，得y ＝45×x 21－λ2x 221－λ2－4. ⑦将⑤代入⑦，得y ＝43x －4，所以点H 恒在定直线4x －3y －12＝0上．考点28 抛物线【两年高考真题演练】1．B [由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为(1，0)，故选B.]2．B [因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6.]3．D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D.]4．解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t ，因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)， 由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2.因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0， 点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2，设△PAB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AP |·d ＝t32.5．(1)证明 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，A 2B 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1 ＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→， 所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2， 同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2. 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.。

第二节 两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3. 2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0 221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172 C ．14 D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172. 考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4 D.2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－ab ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b＋6b a ≥13＋2 6a b ·6b a＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823. 2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q(2，－2)的连线的最小值是________．解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值，∴|P Q|min ＝|3×2＋4×－2－3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13， ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12， 解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)．法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上．所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32. 法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32. 答案：－2或－32考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x －3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝02．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－－4(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0. 又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1， 即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0 3．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)， ∴△ABC 周长的最小值为 ||A 1A 2＝4－02＋－5－72＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a a －2＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0. 4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________． 解析：依题意知，63＝a －2≠c －1， 解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0， 又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋－22＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q|2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．10 解析：选D 由题意知P (0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以P Q 为直径的圆上，∵|P Q|＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|M Q|2＝|P Q|2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q|的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知|P Q|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q|的最小值为2910. 4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n＝345. 5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)．所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q|＝[2－－1]2＋－1－32＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65， ∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________． 解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， 所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.。

第八单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 16．H1、H4[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．16．4 [解析] 直线l ：m (x ＋3)＋y －3＝0过定点(－3，3)，又|AB |＝23，∴|3m －3|1＋m 22＋(3)2＝12，解得m ＝－33.直线方程中，当x ＝0时，y ＝2 3.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l 与圆的两交点为A (－3，3)，B (0，23)．设过点A (－3，3)且与直线l 垂直的直线为3x ＋y ＋c 1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x ＋y ＋c 1＝0，得c 1＝2 3.令y ＝0，得x C ＝－2，同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标为x D ＝2，∴|CD |＝4.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离12．E5、H2[2016·江苏卷] 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．12.45，13 [解析] 可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB 2＝22＋32＝13.H3 圆的方程 3．H2[2016·上海卷] 已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________．3.255 [解析] 由两平行线间的距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255.18．H3、H4[2016·江苏卷] 如图1-6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．18．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 16．H1、H4[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．16．4 [解析] 直线l ：m (x ＋3)＋y －3＝0过定点(－3，3)，又|AB |＝23，∴|3m －3|1＋m 22＋(3)2＝12，解得m ＝－33.直线方程中，当x ＝0时，y ＝2 3.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l 与圆的两交点为A (－3，3)，B (0，23)．设过点A (－3，3)且与直线l 垂直的直线为3x ＋y ＋c 1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x ＋y ＋c 1＝0，得c 1＝2 3.令y ＝0，得x C ＝－2，同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标为x D ＝2，∴|CD |＝4.4．H4[2016·全国卷Ⅱ] 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．24．A [解析] 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4)，圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 12．H4[2016·天津卷] 如图1-3，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE ＝2AE ＝2，BD ＝ED ，则线段CE 的长为________．图1-312.233 [解析] 设圆的圆心为O ，连接OD ，可得BO ＝32，△BOD ∽△BDE ，∴BD 2＝BO ·BE ＝3，∴BD ＝DE ＝ 3.连接AC ，易知△AEC ∽△DEB ，∴AE DE ＝CE BE ，即13＝EC2，∴EC＝233.18．H3、H4[2016·江苏卷] 如图1-6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．18．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．H5 椭圆及其几何性质10．H5，H8[2016·江苏卷] 如图1-2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．10.63 [解析] 方法一：由⎩⎨⎧y ＝b2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b 2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ，又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2，式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.11．H5[2016·全国卷Ⅲ] 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.3411．A [解析] 设M (－c ，y 0)，则AM 所在直线方程为y ＝y 0－c ＋a(x ＋a )，令x ＝0，得E （0，ay 0－c ＋a ）.BM 所在直线方程为y ＝y 0－c －a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－ay 0－c －a.由题意得－ay 0－c －a ＝12×ay 0－c ＋a，解得a ＝3c ，故离心率e ＝c a ＝13.19．H5，H8[2016·北京卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：|AN |·|BM |为定值．19．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝2＋x 0y 0－1.所以|AN |·|BM |＝2＋x 0y 0－1·1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值．20．H5[2016·四川卷] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．20．解：(1)由已知得，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1，点T 的坐标为(2，1)．(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3，所以P 点坐标为(2－2m 3，1＋2m 3)，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123，所以|P A |＝2－2m 3－x 12＋1＋2m 3－y 12＝52|2－2m3－x 1|，同理|PB |＝52|2－2m3－x 2 | ． 所以|P A |·|PB |＝54｜（2－2m 3－x 1）（2－2m 3－x 2）｜＝54｜（2－2m 3）2－（2－2m3）(x 1＋x 2)＋x 1x 2｜＝54｜（2－2m 3）2－(2－2m 3)(－4m 3)＋4m 2－123｜＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.21．H5，H7，H10[2016·山东卷] 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1-521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)， 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1.因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因此y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．(ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G （0，－m 22）.又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1），所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1(t >1)，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为（22，14）. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为（22，14）.19．H5、H8[2016·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3ca （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64， 所以直线l 的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）. 19．H5[2016·浙江卷] 如图1-5，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0，1)求椭圆离心率的取值范围．图1-519．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AΡ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此(1k 21＋1)(1k 22＋1)＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1， 所以a > 2.因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围为0<e ≤22.H6 双曲线及其几何性质13．H6[2016·北京卷] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．13．2 [解析] 不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，如图所示．因为四边形OABC 为正方形，|OA |＝2，所以c ＝2 2.因为直线OA 是双曲线的一条渐近线，∠AOB ＝π4，所以ba ＝tan π4＝1，即a ＝b ，又a 2＋b 2＝c 2＝8，所以a ＝2.3．H6[2016·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．3．210 [解析] 由题目所给方程可得a 2＝7，b 2＝3，故c 2＝10，所以焦距为210.5．H6[2016·全国卷Ⅰ] 已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)5．A [解析] 若已知方程表示双曲线，则(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2.又4＝4m 2，所以m 2＝1，所以－1<n <3.11．H6[2016·全国卷Ⅱ] 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．211．A [解析] 易知离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.13．H6[2016·山东卷] 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．13．2 [解析] 将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∵2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，整理得2c 2－2a 2－3ac ＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．6．H6[2016·天津卷] 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 6．D [解析] 由题意及双曲线的对称性画出示意图如图所示，渐近线OB ：y ＝b 2x .设Bx 0，b 2x 0，则12·x 0·b 2x 0＝2b 8，∴x 0＝1，∴B (1，b 2)，∴12＋b 24＝22，∴b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，由题意，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4， 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2.故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2），得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 又x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，所以kF 1M ＝3k 2k 2－3，所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.H7 抛物线及其几何性质 10．H7[2016·全国卷Ⅰ] 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点，已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．810．B [解析] 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，点A 在第一象限，点D 在第二象限．根据抛物线的对称性可得点A 的纵坐标为22，代入抛物线方程得x ＝4p ，即点A （4p，22）.易知点D （－p 2，5），由于点A ，D 都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16p 2＋8＝p 24＋5，解得p ＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．8．H7[2016·四川卷] 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1 8．C [解析] 如图，由题可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0. 显然，当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.所以要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0. 因为OM → ＝ OF → ＋ FM → ＝ OF → ＋ 13FP → ＝ OF →＋ 13(OP →－OF →) ＝ 13OP → ＋ 23OF → ＝⎝⎛⎭⎫y 206p＋ p 3，y 03，所以k OM ＝y 03y 206p ＋ p 3 ＝ 2y 0p ＋ 2p y 0≤222 ＝ 22，当且仅当y 20＝2p 2时，等号成立． 14．H7[2016·天津卷] 设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ，0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．14.6 [解析] 由题意得，抛物线的普通方程为y 2＝2px ，∴F （p2，0），∴|CF |＝3p ，∴|AB |＝|AF |＝32p ，∴A (p ，±2p )．易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6.∵p >0，∴p ＝ 6.9．H7[2016·浙江卷] 若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9．9 [解析] 由题意得，p ＝2，则p2＝1，即原点到准线的距离是1.由点M 到焦点的距离与到准线的距离相等，知点M 到准线的距离为10，故M 到y 轴的距离为10－1＝9.20．H7[2016·上海卷] 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图1-5所示．(1)求菜地内的分界线C 的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S 1的面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 面积的“经验值”．图1-520．解：(1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分，其方程为y 2＝4x (0<y <2)．(2)依题意，点M 的坐标为(14，1).所求的矩形面积为52，所求的五边形面积为114.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为｜52－83｜＝16，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为｜114－83｜＝112，所以五边形面积更接近于S 1面积的“经验值”．22．H7、H8[2016·江苏卷] 如图1-8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．22．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为0，43.20．H7、H9[2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题设知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b 22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.21．H5，H7，H10[2016·山东卷] 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1-521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)， 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1.因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因此y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．(ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G （0，－m 22）.又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1），所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1(t >1)，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点坐标为（22，14）. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为（22，14）.H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）10．H5，H8[2016·江苏卷] 如图1-2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．10.63 [解析] 方法一：由⎩⎨⎧y ＝b2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ，又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2，式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.19．H5，H8[2016·北京卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：|AN |·|BM |为定值．19．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝2＋x 0y 0－1.所以|AN |·|BM |＝2＋x 0y 0－1·1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值．22．H7、H8[2016·江苏卷] 如图1-8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．22．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为0，43.20．H8，H9[2016·全国卷Ⅰ] 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4. 由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3， |PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．20．H8[2016·全国卷Ⅱ] 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 20．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得 (3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2. 由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)． 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2. t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2)．19．H5、H8[2016·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x＋9－4k 212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64， 所以直线l 的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）. 21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，由题意，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2.故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .(2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2），得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0.设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1.又x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，所以kF 1M ＝3k 2k 2－3， 所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.H9 曲线与方程20．H8，H9[2016·全国卷Ⅰ] 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．20．H7、H9[2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题设知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b 22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b 2）. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.H10 单元综合7．H10[2016·浙江卷] 已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 7．A [解析] 由题意知，m 2－1＝n 2＋1，即m 2－n 2＝2，故m >n .易知e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n ＝m 2n 2＋m 2－n 2－1mn ＝m 2n 2＋1mn>1，故选A.21．H5，H7，H10[2016·山东卷] 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1-521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2. 因为抛物线E 的焦点F （0，12）， 所以b ＝12，a ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)， 由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)，且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1. 因此x 0＝2m 34m 2＋1， 将其代入y ＝mx －m 22， 得y 0＝－m 22（4m 2＋1）， 因此y 0x 0＝－14m， 所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14， 所以点M 在定直线y ＝－14上． (ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22. 令x ＝0，得y ＝－m 22， 所以G （0，－m 22）. 又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1））， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4， S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）， 所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1(t >1)，。

1.(2015·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1] B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2．(2015·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.8124．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c5．(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 37．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >98．(2014·大纲全国)不等式组⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}9．(2015·江苏)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．10．(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________．11．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．12．(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．13．(2014·浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．1．(2105·烟台一模)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 2x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1，0)B ．(－1，1)C ．(0，1)D ．(1，3)2．(2015·北京昌平区期末)已知a >b >0，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2 B.1a >1b C ．|a |<|b | D ．2a >2b3．(2015·江西师大模拟)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q4．(2015·山东枣庄一模)关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( )A ．a <0或a >4B ．0<a <2C ．0<a <4D ．0<a <85．(2015·威海一模)若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3bC ．a 12>b 12 D.3a >3b6．(2015·湖北利川模拟)设p: |2x ＋1|>a .q ：x －12x －1>0.使得p 是q的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－2，3]D ．[3，＋∞)7．(2015·四川模拟)设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52C ．(1，3)D ．(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 8．(2015·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}9．(2015·江西师大模拟)若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________．10．(2015·浙江余姚模拟)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)当c ∈R 时，解关于x 的不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0(用c 表示)．1.(2015·福建)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x－y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32 D ．22．(2015·山东)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．(2015·四川)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492 C ．12 D ．164．(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．35．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元6．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．27．(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．29．(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－110．(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1211．(2014·广东)若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．812．(2015·新课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．13．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．1．(2015·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2015·江南十校模拟)已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2 D. 6553．(2015·江西重点中学模拟)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，若t ≤y ＋2x 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≤13B ．t ≤－5C ．t ≤－13D ．t ≤54．(2015·德州一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[－1，1)5．(2015·江西赣县模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2015·辽宁师大附中模拟)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0，5] C ．[0，5) D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，57．(2015·北京西城模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是( )A ．1 B.22 C.12 D ．58．(2015·黑龙江绥化模拟)已知关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，则ba 的取值范围是________．9．(2015·湖北八校模拟)已知直线l ：x ＝my ＋n (n >0)过点A (53，5)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆直径为20，则n ＝________． 10．(2015·山东菏泽一模)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0.表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．11．(2015·河北衡水模拟)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋3y |的最小值________．12．(2015·江西重点中学模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤4，4x ＋3y ≥12所表示的平面区域为D .若圆C 落在区域D 中，则圆C 的半径r 的最大值为________．13．(2015·威海一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，e x －y ≥0，0≤x ≤2，则M (x ，y )所在平面区域的面积为________．14．(2015·潍坊一模)若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则 z ＝x ＋3y 的最大值为________．1.(2015·福建)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 33．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．4．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．5．(2014·辽宁)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．6．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．7．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．8．(2014·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)9．(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．1．(2015·湖北利川模拟)设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．a＋b>2ab B．(a－b)＋1a－b≥2 C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca D．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|2．(2015·辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为()A．2 B．4 C．8 D．163．(2015·广东广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A．3 000 B．3 300 C．3 500 D．4 0004．(2015·湖北省荆门模拟)设x∈R, 对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界. 若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－12a－2b的上确界为()A ．－5B ．－4 C.92 D. －925．(2015·河北衡水模拟)给出下列四个命题：①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；③若正整数m 、n 满足m <n ，则m （n －m ）≤n 2； ④若x >0，则ln x ＋1ln x ≥2.其中正确命题的序号是________．6．(2015·潍坊一模)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．7．(2015·山东德州模拟)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2y xy的最小值为________．8．(2015·潍坊一模)已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．9．(2015·鹤岗模拟)若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．10．(2015·日照模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________．11．(2015·江苏省盐城模拟)已知x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，1x ＋4y 的最小值为16，则n 的值为________．12．(2015·山东省日照模拟)已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4，或x <1}．(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1, f (x )＝a x ＋b 1－x，求f (x )的最小值．第六章 不等式考点19 不等式的性质及不等式的解法【两年高考真题演练】1．D [需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．A [由|x －2|＜1得，1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3⇒x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞1⇒/ 1＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.]3．B [令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n 2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.]4．D [∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴0<1－c <1－d .即1－d >1－c >0.又∵a >b >0，∴a －d >b －c，∴a d <b c .] 5．D [当a ＝0，b ＝－1时，a ＞b 成立，但a 2＝0，b 2＝1，a 2＞b 2不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分条件．反之，当a ＝－1，b ＝0时，a 2＝1，b 2＝0，即a 2＞b 2成立，但a ＞b 不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不必要条件．综上，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，应选D.]6．D [由a x <a y (0<a <1)，可得x >y ，又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，所以f (x )>f (y )，即x 3>y 3.]7．C8．C [⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，①|x |<1，②由①得，x <－2或x >0，由②得，－1<x <1，因此原不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C.]9．{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.]10．－3 [由|ax －2|<3，得－1<ax <5.若a ≥0，显然不符合题意，当a <0时，解得5a <x <－1a ，故－1a ＝13，5a ＝－53，解得a ＝－3.]11.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [根据题意，得⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.]12．(－∞，2] [由题意得⎩⎨⎧f （a ）<0f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎨⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，即⎩⎨⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.] 13.63 [由a ＋b ＋c ＝0可得c ＝－(a ＋b )．又a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a 2＋b 2＋[－(a ＋b )]2＝1，整理得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0.又由a 2＋b 2＋c 2＝1易知0≤b 2≤1，－1≤b ≤1，因此关于b 的方程2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0在[－1，1]上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－8（2a 2－1）≥0，－1≤a 2≤1，2－2a ＋2a 2－1≥0，2＋2a ＋2a 2－1≥0，解得a ≤63，即a 的最大值是63.]【一年模拟试题精练】1．C [因为，M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |log 2x <0}＝{x |0<x <1}，所以M ∩N ＝{x |0<x <1}，选C.]2．D [利用不等式的性质，选D.]3．B [因为p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab≤0，所以p ≤q ，则选B.]4．B [因为不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分条件是Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2，故选B.]5．D6．A [设|2x ＋1|>a 的解集为A ，x －12x －1>0的解集为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1，或x <12，因为p 是q 的必要但不充分条件，所以B ⊆A ，然后利用排除法选A ；]7．B [令f (x )＝x 2－kx ＋1，因为方程x 2－kx ＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.] 8．C [由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C]．9．－52 [因为不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，所以a－3＋5＝0，得a ＝－2，由－2x 2－3x ＋5＝0解得x ＝1或x ＝－52，所以m ＝－52.]10．解 (1)已知得1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)由(1)得原不等式可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0即(x －2)(x －c )<0所以当c >2时，所求不等式的解集为{x |2<x <c }当c <2时，所求不等式的解集为{x |c <x <2}当c ＝2时，所求不等式的解集为∅.考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划【两年高考真题演练】1．A[如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x－z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.]2．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)， 由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.]3．A [xy ＝12×2xy ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋y 22≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时，等号成立，把x ＝52，y ＝5代入约束条件，满足．故xy 的最大值为252.]4．B[不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， ∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1.]5．D [设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．]6．B [线性目标函数z ＝2x －y 满足的可行域如图所示．将直线l 0：y ＝2x 平行移动，当直线l 0经过点M (5，2)时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，也就是z 取最大值，此时z max ＝2×5－2＝8.]7．B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，且z min ＝1＋2×1＝3，故选B.]8．B [约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2，1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85＋20＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4552＋4， 即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4.]9．D 10.D11．B [画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，由图形可知，当l 0经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取最大值，即m ＝2×2＋(－1)＝3；当l 0经过可行域内的点B (－1，－1)时，z 取最小值，即n ＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m －n ＝3－(－3)＝6.故选B.]12．3 [约束条件的可行域如下图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.]13.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .要使1≤z ≤4恒成立，则a >0.作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1，0)，B (2，1)处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，解得1≤a ≤32.] 【一年模拟试题精练】1．B [不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故答案为B. ]2．D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.] 3．B [不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≥0，x －2y ＋6≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x －2y ＋6≥0画出不等式组表示的平面区域，得到z ＝y ＋2x 的最小值为－5，故t ≤－5.]4．C [作出满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a的可行域，如图△ABC 内部(含边界)，由此可见，必有a ≤1，作出直线x ＋2y ＝－5，由题设△ABC 必定在直线x ＋2y ＝－5的上面，当点A 在直线x ＋2y ＝－5时，a ＝－1，所以－1≤a ≤1，选C.]5．D [由题意作出其平面区域，则由目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，a ＋4b ＝8，则由a ·4b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋4b 22得，ab ≤4，(当且仅当a ＝4，b ＝1时，等号成立)．故选D.]6．C [由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x <2，x ＋y －1≥0.作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)，联立⎩⎨⎧x ＋y －1＝0x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u最大，最大值为u ＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为u ＝2×13－2×23－1＝－53，∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0，5)，故选C.]7．B [作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ 垂直直线x ＋y －1＝0时，此时区域D 上的点到坐标原点的距离最小，最小值为原点到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1|2＝22，故选B.]8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－14 9．10 310.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，必须使点A 位于直线x －2y －2＝0的右下侧，所以，m －2(－m )－2>0，∴m >23，所以，答案填：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.]11．6 [作出现行约束条件的可行域，如右图所示：|x ＋3y |＝10×|x ＋3y |10，其中|x ＋3y |10表示可行域内的点到直线x ＋3y ＝0的距离，易知B (3，1)到直线x ＋3y ＝0的距离最小为|3＋3×1|10＝610，所以|x ＋3y |的最小值为6.]12．1 [画出平面区域D ，可得到一个直角三角形，要使圆C 的半径r 最大，只要圆C 和直角三角形相内切，由平面几何知识可求得r 的最大值为1.]13．e 2－2 [画出⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2对应的平面区域，如图所示．M (x ，y )所在平面区域的面积为⎠⎛02e xd x －S △AOB ＝e x⎪⎪⎪20－12×2×1＝e 2－e 0－1＝e 2－2.]14．11 [不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：由z ＝x ＋3y 得：y ＝－13x ＋z 3，它表示斜率为－13，在y 轴上的截距为z3的一组平行直线，并且在y 轴上的截距越大则z 越大；由图可知，当直线经过点A 时，截距最大；解方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝3所以当⎩⎨⎧x ＝2y ＝3时，z 取得最大值：11故答案应填：11.]考点21 基本不等式【两年高考真题演练】1．C [由题意1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号．故选C.]2．D [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4ba ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号．故选D.]3.2 [由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．] 4．32 [∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.]5．－26.6－24 [由sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24， 当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．所以cos C 的最小值为6－24.]7．160 [设池底长x m ，宽y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为：f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x ＋20x ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)．所以f (x )≥20×2x ·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．]8.539 [由于AB ⊥BC ，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝252－152＝20 m.过点P 作PN ⊥BC 交BC 于N ，连接AN (如图)，则∠P AN ＝θ，tan θ＝PN AN .设NC ＝x (x >0)，则BN ＝20－x ，于是AN ＝AB 2＋BN 2＝152＋（20－x ）2＝x 2－40x ＋625，PN ＝NC ·tan 30°＝33x ， 所以tan θ＝33xx 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33625x 2－40x ＋1，令1x ＝t ，则625x 2－40x ＋1＝625t 2－40t ＋1，当t ＝4125时，625t 2－40t ＋1取最小值925，因此625x 2－40x ＋1的最小值为925＝35，这时tan θ的最大值为33×53＝539⎝ ⎛⎭⎪⎫此时x ＝1254.] 9．(1)1 900 (2)100 [(1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121，由基本不等式v ＋121v ≥2121＝22，得F ≤7600022＋18＝1 900(辆/时)，故答案为1 900.(2)l ＝5，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v ，由基本不等式v ＋100v ≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2 000(辆/时)，增加2 000－1 900＝100(辆/时)，故答案为100.]【一年模拟试题精练】1．B [(a －b )＋1a －b ≥2中必须满足a －b >0，故选B.]2．C [∵x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)即A (－2，－1)，∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，∵mn >0，∴m >0，n >0，1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2·n m ·4mn ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．]3．B [由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )，则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫58＋x ＋70－x 22， 当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)，故选B.]4．D [因为12a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2＝92，所以－12a －2b ≤－92，则选D.]5．②③ [①中，若a <b <0时不成立；②若a ≥b >－1，则a ＋1≥b ＋1>0，则a (1＋b )－b (1＋a )＝a －b ≥0，即a (1＋b )≥b (1＋a )，∴a 1＋a ≥b 1＋b，故②正确；③中正整数m ，n 满足m <n ，有均值不等式得m （n －m ）≤n2，故③正确；④中，0<x <1时，ln x <0，结论不成立．综上，正确命题的序号是②③.]6.12 [∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴tan α∈(0，＋∞)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin α·cos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4 ＝2tan α＋4tan α≤22tan α×4tan α＝12当且仅当tan α＝4tan α，即tan α＝2时，等号成立所以，答案应填12.]7．3 [因为正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，所以13(2x ＋y )＝1，∴x ＋2y xy ＝13(2x ＋y )x ＋2y xy ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x y ＋2y x ＋5≥3.]8．22 [∵a >b >0，∴a －b >0 ∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b ＝(a －b )＋2a －b≥2（a －b ）·2a －b≥2 2.当且仅当(a －b )＝2a －b 即：a ＝b ＋2时等号成立．所以答案应填2 2.]9．4 [由已知得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4， 则2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2（a ＋b ）（a ＋c ）＝4，∴2a ＋b ＋c 的最小值为4.]10．(－4，2) [∵2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥8∵x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，∴m 2＋2m <8，求得－4<m <2，故答案为：－4<m <2.]11．4 [∵x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，∴1x ＋4y ＝(nx ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝n ＋4＋2y x ·4ny ＝n ＋4＋4n ，当且仅当y ＝2nx 时取等号．∴n ＋4＋4n ＝16，解得n ＝4.故答案为：4.]12．解 (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x，∵0<x <1，∴0<1－x <1, 1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立． ∴f (x )的最小值为9.。

2016年高考数学理分类汇编解析几何1．（全国1卷理）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）(【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得：21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．2．（全国1卷文）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【解析】如图，由题意得在椭圆中，11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在Rt OFB ∆中，|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得22a 4c =，所以椭圆得离心率得：1e 2=，故选B. 3．(北京文)圆（x+1）2+y 2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 （A ）1 （B ）2 （C（D ）【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C. 4．(全国2)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C（D ）2 【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．5．(全国2)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A（B ）32（C（D ）2【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a=，故双曲线离心率e ==.选A. 6．（全国3）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点||()F M k a c =-，||OE ka =，由O B E C B∆∆，得1||||2||||OE OB FM BC =，即2(c )k a a k a a c =-+，整理，得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ．7．（山东文）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 （A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是，所以=，解得2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．8．（四川理）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A（B ）23（C（D ）1 【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭()222max 22,,2123633,,1222122,,233OM OM p p p p p x t x t t k k pt pt t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩，故选C.9．（四川文）抛物线y 2=4x 的焦点坐标是 （A ）（0,2） （B ）（0,1） （C ）（2,0） （D ）（1,0）【解析】由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D.10．（天津理）已知双曲线2224=1x y b-（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 11．（浙江理）已知椭圆C 1：22x m +y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：22x n–y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1【解析】由题意知2211-=+m n ，即222=+m n ，2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n，代入222=+m n ，得212,()1>>m n e e ．故选A ．12．（天津文）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【解析】由题意得2212,11241b x yc a b a =⇒==⇒-=，选A.13．（全国1卷理）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【解析】设抛物线方程为22y px =，,AB DE 交x 轴于,C F 点，则AC =即A 点纵坐标为A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224()(2()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.14．（全国1卷文）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为 .【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||AB C =到直线2y x a =+的距离为，所以由2222a +=+得21,a =所以圆的面积为2(2)3a ππ+=. 15．(北京文)已知双曲线22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点），则a=_______；b=_____________.【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.16．（江苏理）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________________.【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=．故答案应填：2c17．（江苏理）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 .【解析】由题意得),C(),22b b B ，因此22222()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 18．（全国3）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B分别做l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =__________________.【解析】因为||3AB =，且圆的半径为，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++=3=，3=，解得m =，代入直线l的方程，得y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．19．（山东理）已知双曲线E 1：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是_______．【解析】易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以离心率为2． 20．（四川理）在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=对曲线(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y xf x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222(,)y xx y x y-++消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为②③.21．（天津文）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________.【解析】设(,0),(0)C a a >，则2,3a r =⇒==，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=22．（浙江理）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【解析】1109M M x x +=⇒=23．（浙江文）设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【解析】由已知1,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得2x >，所以22x <<，124PF PF x +=∈． 24．（天津理）设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B.设C （72p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为p 的值为_________.【解析】抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2C F A F=，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y =，由//CF AB得EF CF EA AB =，即2E F C F E A A F==，所以22C E F E A S S ∆∆==，ACF AEC CFE S S S ∆∆∆=+=，所以132p ⨯=p =25．（全国1卷理）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.26．（全国1卷文）在直角坐标系xOy 中，直线l:y=t （t≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H.（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.【解析】（Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2t pt P .又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2t p t N ，ON 的方程为x t p y =，代入px y 22=整理得0222=-x t px ，解得01=x ，p t x 222=，因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点，即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x tp t y 2=-，即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.27．(北京文)已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 【解析】（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c所以离心率2c e a ==． （Ⅱ）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．28． (江苏理)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:221214600x y x y +--+=及其上一点A （2，4）（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程； （3）设点T （t,o ）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

1.(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122．(2015·新课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2014·新课标全国Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π25．(2015·四川)sin 15°＋sin 75°的值是________．6．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．7．(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 8．(2015·广东)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．9．(2014·江西)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值．(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝－25，a ∈(π2，π)，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π3的值．10．(2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．1．(2015·蚌埠市模拟)设a ＝tan 130°，b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >c >a2．(2015·辽宁丹东模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±343．(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P (m ，4)，且cos α＝－35，则m ＝( )A ．－3B ．－92 C.92 D ．34．(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．(2015·福建宁德模拟)已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x －1＋2cos 2 x ，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增C ．f (x )是最小正周期为π的奇函数D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象6．(2015·江西师大模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝________．7．(2015·东北三省三校模拟)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin 2φ＝________．8．(2015·江苏启东模拟)设常数a 使方程sin x ＋3cos x ＝a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________．9．(2015·北京四中模拟)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则以下结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤经过点(a ，b )的所有直线均与函数f (x )的图象相交．10．(2015·江苏启东模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(0≤x ≤5)，点A ，B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点． (1)求点A ，B 的坐标以及OA→·OB →的值； (2)设点A ，B 分别在角α，β(α，β∈[0，2π])的终边上，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－2β的值．考点11 三角函数的图象与性质两年高考真题演练1.(2015·新课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 2．(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．103．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．(2014·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )5．(2014·新课标全国Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③6．(2014·福建)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称7．(2014·江西)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．1．(2015·x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．0B ．3C ．－2D ．2或－22．(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数3．(2015·河北正定模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象4．(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D.3π25．(2015·辽宁丹东模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 6．(2015·安徽淮南模拟)将函数y ＝cos x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝πB ．x ＝π2 C ．x ＝π3 D ．x ＝π47．(2015·江苏泰州模拟)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的最小正周期为________．8．(2015·福建龙岩模拟)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：(1)求x 123(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3的最小值．1．a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2 A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.722．(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件3．(2014·新课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．(2014·湖北)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．5．(2015·福建)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．6．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．7．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.8．(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________.9．(2014·四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈)10．(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．11．(2014·新课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．12．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．考点12 解三角形 一年模拟试题精练1．(2015·大兴区模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.π4或3π42．(2015·宿州市模拟)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.35B.53C.58D.853．(2015·宣城市模拟)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．43或8 3 D. 34．(2015·皖江名校模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a b ＝b ＋3ca ，sin C ＝23sin B ，则tan A ＝( )A. 3 B ．1 C.33 D ．－ 35．(2015·江西师大模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin B sin A ＝1－cos B cos A ，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是( )A.8＋534B.4＋534 C ．3 D.4＋526．(2015·东城区模拟)在△ABC 中，a ＝3，b ＝13，B ＝60°，则c ＝________；△ABC 的面积为________．7．(2015·广东茂名模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，则c 为________．8．(2014·江苏扬州模拟)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ＝2，则S 四边形BCEDS △ABC的最小值等于________．9．(2015·泰州市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝∠C 且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 面积的最大值为________．10．(2015·甘肃模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b cos C ＝3a cos B －c cos B .(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值．第三章 三角函数、解三角形考点10 同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换 【两年高考真题演练】1．D [∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.]2．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]3．C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]4．B [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sinβcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(π2－α)，所以sin(α－β)＝sin(π2－α)，又因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.]5.62 [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.]6．－1 [sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2x sin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1.] 7．3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.]8．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3；(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2 ＝1.9．解 (1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2 x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2 x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos a ＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π3＝sin a cos π3＋cos a sin π3＝4－3310.10．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos(α＋π4)(cos 2 α－sin 2 α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k ，k ∈Z . 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 【一年模拟试题精练】1．B [a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 00)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B.]2．B [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故选B.]3．A [cos α＝m16＋m2＝－35，∴m ＝－3，故选A.]4．A[f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数f (x )＝2sin(x －π6＋m )为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A.]5．B [因为f (x )＝23sin(π－x )·cos x －1＋2cos 2 x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，可以排除A ，C ，D ，故选B.] 6．0 [由tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝3得1＋tan α1－tan α＝3，cos α＋sin αcos α－sin α＝3有cos α＝2sin α，lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝lg 1＝0.]7．－45 [因为y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)的图象关于直线x ＝1对称，所以f (1＋x )＝f (1－x )，所以得到tan φ＝－12，则sin φ＝55，cos φ＝－255，所以sin 2φ＝－45.]8.7π3 [sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝a ，直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a ＝3时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝32⇒x ＋π3＝2k π＋ π3或x －π3＝k π－2π3(k ∈Z )，即x ＝2k π或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴此时x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，∴x 1＋x 2＋x 3＝7π3.]9．①③⑤ [f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋θ)，θ为参数．因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，所以x ＝π6是三角函数的对称轴，且周期为T ＝2πω＝2π2＝π，所以2×π6＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，所θ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋π6＋k π)＝±a 2＋b 2sin(2x ＋π6)．①f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π12＝±a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2×11π12＋π6＝±a 2＋b 2sin 2π＝0，所以正确． ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪±a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π3＝32a 2＋b 2， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪±a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫17π30， 因为sin 17π30>sin 2π3＝32，所以|f (π5)|>32a 2＋b 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪7π12，所以②错误．③函数既不是奇函数也不是偶函数，所以③正确．因为f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋π6＋k π)＝±a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以单调性需要分类讨论，所以④不正确．假设使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，则此直线须与横轴平行，有|b |>a 2＋b 2，即b 2>a 2＋b 2，所以矛盾，故不存在经过点(a ，b )的直线于函数f (x )的图象不相交故⑤正确．所以正确的是①③⑤.]10．解 (1)∵0≤x ≤5，∴π3≤π6x ＋π3≤7π6∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3≤12， 当π6x ＋π3＝π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值1，当π6x ＋π3＝π即x ＝4时，f (x )取得最小值－2.因此，所求的坐标为A (0，1)，B (4，－2)．则OA→＝(0，1)，OB →＝(4，－2)，∴OA →·OB →＝－2； (2)∵点A (0，1)，B (4，－2)．分别在角α，β(α，β∈[0，2π])的终边上，则α＝π2，sin β＝－55，cos β＝255，则sin 2β＝2sin βcos β＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－55×255＝－45， cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－2β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2β＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 考点11 三角函数的图象与性质 【两年高考真题演练】1．D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T D 正确．]2．C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]3．A [A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.]4．D [因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，y >0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D.]5．A [①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.]6．D [函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D.]7．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4， 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎨⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0f （π）＝1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝02a sin 2θ－sin θ－a ＝1， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎨⎧a ＝－1θ＝－π6. 【一年模拟试题精练】1．D [利用排除法，因为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的图象关于直线x ＝π6对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝±2，故选D.] 2．B [函数f (x )的最小正周期是π，故A 错误；图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到故C 错；函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12上是增函数，故D 错；故选B.]3．C [因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0，故选C.] 4．D [当φ＝3π2时，f (x )＝－cos x 在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，2π3上单调递增，故选D.] 5．C [因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，－π4递减，故选C.] 6．D [由题意知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π8，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12·π4－π8＝1，故选D.] 7.2π3 [T ＝2πω＝2π3.] 8．解 (1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得：ω＝12，φ＝－π3.由12x 1－π3＝π2；12x 2－π3＝3π2；12x 3－π3＝2π可得：x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3.又∵A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×5π3－π3＝2，∴A ＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3. (2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象向左平移π个单位， 得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象， ∴y ＝f (x )·g (x )＝2×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3时，x －2π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，π ∴当x －2π3＝－π2时，即x ＝π6时，y min ＝－2.考点12 解三角形【两年高考真题演练】1．D [由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.] 2．A [由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B ，选A.]3．B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×(－22)＝5，∴AC ＝ 5.故选B.]4.π3或2π3 [由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.] 5．7 [S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.]6．1 [因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1.] 7．1006 [在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.]8．2 [由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，sin(B ＋C )＝2sin B ，sin A ＝2sin B ，∴a ＝2b ，则a b ＝2.]9．6010．－14 [由已知及正弦定理，得2b ＝3c ，因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.] 11.3 [因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A＝π3，又cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号，由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.]12．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 【一年模拟试题精练】1．B [因为b >a ，有正弦定理得到sin A ＝22，∴A ＝π4，故选B.]2．A [根据余弦定理cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC＝25＋AC 2－492·5·AC ＝－12. ∴AC ＝3或AC ＝－8(排除)，根据正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，即或3sin B ＝5sin C ，∴sin B sin C ＝35，故答案为35，故选A.]3．C4．C [因为a b ＝b ＋3c a ，sin C ＝23sin B ，所以c ＝23b ，a 2＝7b 2，由余弦定理得到cos A ＝32，∴tan A ＝33，故选C.]5．A [由已知得sin(A ＋B )＝sin A ⇒sin C ＝sin A ⇒c ＝a ，又b ＝c ，∴等边三角形ABC ，∴AB 2＝5－4cos θ，S OACB ＝12×1×2sin θ＋34AB 2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＋543≤2＋543＝8＋534选A.] 6．4 33 [由余弦定理得到b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以c 2－3c －4＝0，所以c ＝4；S △ABC ＝12ac sin B ＝12·3·4·32＝3 3.]7．7 [∵a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534， ∴1534＝12ab sin C ＝12×3b sin 120°，解得b ＝5. 由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.解得c ＝7.故答案为：7.]8.23 [设AD ＝x ，AE ＝y (0<x ≤4，0<y ≤3)，则因为DE 2＝x 2＋y 2－2xy cos 60°， 所以x 2＋y 2－xy ＝4 ，从而4≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y ＝2时等号成立，所以S 四边形BCED S △ABC ＝1－S △ADE S △ABC ＝1－12xy sin 60°12×3×4sin 60°＝1－xy 12≥1－412＝23.] 9.55 [由∠B ＝∠C 得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43得， 7a 2＋2b 2＝43，即2b 2＝43－7a 2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2b ，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a 22b ＝83－15a 22b， 则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 83－15a 2====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 ＝14a 2（83－15a 2）＝14×11515a 2（83－15a 2）≤14×115×15a 2＋83－15a 22＝14×115×43＝55，当且仅当15a 2＝83－15a 2取等号，此时a 2＝4315， 所以△ABC 的面积的最大值为55，故答案为：55.]10．解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 则2R sin B cos C ＝6R sin A cos B －2R sin C cos B ，故sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B ．又sin A ≠0，因此cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得a 2＋c 2＝12，所以(a －c )2＝0，即a ＝c ，所以a ＝c ＝ 6.。