高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题复习讲练6解析几何的综合问题 (1)

专题方法总结1本专题中体现的主要数学思想有：（1）集合与对应的思想．“曲线”与“方程”之间的对应关系，实质上就是两个集合之间的对应关系．（2）函数与方程的思想．求平面曲线的方程，实质就是将曲线上的点（或动点）所满足的几何条件（性质）表示为动点坐标ｘ、ｙ的方程或函数关系（参数方程）；研究两条曲线的位置关系实质就是研究它们的方程组成的方程组的实数解的情况．（3）分类讨论的思想．表现为两个方面：一是问题本身就是分类，如根据含参数方程讨论方程的曲线的类型或讨论曲线的位置关系；二是问题本身并不是分类，而是在解决问题的过程中，为了严谨和全面，需进行分类讨论．（4）数形结合的思想.利用曲线方程研究曲线的几何性质，或由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．曲线的几何性质（形）必然在其方程（数）中有所反映；方程的数学特征（数）也必然在其曲线（形）中有所体现．（5）等价转化的思想．通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题中又需要相互转化，这种转化必须是等价转化．本专题中涉及的数学方法主要有：坐标法、定义法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、数形结合法、判别式法、差分法等．2在本专题的复习中，应注意如下解题规律和方法：（1）已知曲线求方程和已知方程画曲线图形是解析几何的两个基本问题（即坐标法）．点在曲线上，点的坐标是曲线方程的解，两曲线交点的坐标就是两条曲线方程组成的方程组的实数解，这在解题中有广泛应用．根据方程画曲线图形时要注意曲线存在的范围，曲线与坐标轴的交点，对称性及渐近线等．（2）求轨迹的常用方法有直译法、定义法、动点转移法、参数法．与圆锥曲线有关的轨迹问题仍用一般的通法．应重视定义法、待定系数法在求特殊轨迹时的特殊作用．（3）根据圆锥曲线的方程求基本量时，应注意首先应将方程化为标准形式或“标准型”，然后再计算，对此类问题要达到熟练、准确的程度．（4）对于圆的问题，要注意运用圆的几何性质（平面几何知识）；对于其它圆锥曲线要注意定义的作用，以简化运算．（5）在研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称、垂直等）中，要注意韦达定理和判别式的作用，设而不求，整体代入，简化运算．在研究直线与二次曲线公共点的问题中，在得到一元二次方程Aｘ２＋Ｂｘ＋Ｃ＝0时，要注意分Ａ＝0与Ａ≠0两种情况讨论求解，勿忘Ａ＝0的情况．（6）由已知含参的方程讨论曲线类型，一般要对参数分类讨论，由已知含参数方程的曲线具有某种性质，求参数的取值范围，一般有两种方法：一是通过构造不等式（组）求解；二是通过建立目标函数转化为求函数的值域，如2000年高考理科第（22）题.数形结合也是求参数范围的有效方法，应引起同学们的重视．（7）有关涉及直线与二次曲线的最值问题，一般是要建立目标函数，转化为求目标函数的最值问题来解决．特别是涉及圆锥曲线上点的最值问题，运用圆锥曲线的参数方程，一般可转化为三角函数的最值．（8）对有关存在性问题，一般用“反证否定法”或“假设验证法”来处理，有关直线与圆锥曲线的综合问题一般是采用“化整为零法”，即就是将一个综合问题分解为若干简单问题，结合代数、三角、几何等知识来解决．3在本专题的复习中，一要继续夯实“三基”，二要加强代数推理能力的训练．这两点是本专题复习的核心和关键．4预计在未来的高考中，对本专题内容的考查将继续保持稳定，重基础、考能力的方向不会改变．直线与二次曲线的位置关系问题、求曲线（轨迹）方程问题、坐标法、曲线的基本量的讨论仍将是高考解析几何题的主要素材．解析几何的综合问题（如1998年理科（24）题，2000年理科第（22）题）是高考解析几何试题的一个新动向，应引起重视．有关最值问题、定值问题、对称问题、存在性问题、实际应用问题也不可忽视．。

§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ．②要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ（α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4 已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0．∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3．以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．。

§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ．②要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ（α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4 已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0．∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3．以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．。

§ 1 坐标法一、复习要点1本节的主要内容是用坐标法研究几何问题的思想和方法．包括由曲线方程研究曲线的性质（如曲线的图形、对称性、范围等）和由给定条件求曲线方程两个基本问题．其中，由给定条件选择适当的坐标系求出曲线的方程是本节的重点，同时也是难点．2最新《考试说明》中仍要求：“能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线”．“了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法．”这里既有“思想”又有“方法”，因而本节内容成为高考考查的热点．3在本节的复习中，一要进一步深刻理解曲线与方程的概念；二要熟练掌握求曲线（轨迹）方程的方法和一般步骤．在求曲线方程中，要重视建立坐标系这一关键环节，从中体会“适当”二字的含意，即所选择的坐标系应尽量使点的坐标简单，使图形相对于坐标轴具有对称性，这样便于方程的化简．求曲线方程的第（5）步可以省略不写，但仍需验证其轨迹的纯粹性和完备性．二、例题讲解例1 设曲线C的方程是y=x３-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C１的方程；（2）证明曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称；（3）如果曲线C与C１有且仅有一个公共点，证明s=（t３／4）-t，且t≠0.讲解：（1）思路1利用函数图象平移法，得C１的方程y=（x-t）３-（x-t）+s．思路2可看作曲线不动，坐标轴平移.将原点移至O′（-t,-s）,得平移公式x=x′-t，代入C的方程，得y′-s=（x′-t）３-（x′-t）,即y=（x-t）３-（x-t）+s．y=y′-s，（2）欲证曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称，须证：①C上任一点关于A的对称点在C１上；②C１上任一点关于A的对称点在C上．简证：在曲线C上任取一点P１（x１,y１）,设P１关于A的对称点为P２（x２,y２），则有（x１+x２）／2=（t／2）,（y１+y２）／2=（s／2）,故x１=t-x２,y１=s-y２.代入C的方程，得y２=（x２-t）３-（x２-t）+s,可知点P２（x２,y２）在曲线C１上．反过来，同样可证曲线C上关于A的对称点都在曲线C１上，因此C与C１关于点A对称.（3）根据曲线C与C１有且仅有一个公共点，可知方程组y=x３-x，y=（x-t）３-（x-t）+s有且仅有一个解，转化为研究方程组解的问题.消去y，整理，得3tx２-3t２x+（t３-t-s）=0，若t=0,s=0,则方程有无数个解；若t=0,s≠0，则方程无解；若t≠0,则必有Δ=9t４-12t（t３-t-s）=0.∴s=（t３／4）-t，且t≠0．从本例的解答中，同学们可以体会到，研究曲线的性质可转化为研究曲线的方程（组）的解，这是解析几何的重要思想方法之一.另外，利用现有的知识、思想和方法研究未知的较复杂问题（三次曲线），这体现了高考对学生创新能力的朴素要求和关注!例2 如图8-1，直线ｌ１和ｌ２相交于M，ｌ１⊥ｌ２，点N∈ｌ１，以A、B为端点的曲线C上任一点到直线ｌ２的距离与到点N的距离相等.若△ＡＭＮ为锐角三角形，｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，且｜ＢＮ｜＝6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．图8-1讲解：据题设条件及抛物线的定义可知曲线段C是抛物线的一部分．要求曲线段C的方程，首先要考虑建立适当的坐标系．因为ｌ１、ｌ２为定直线，M、N均为定点，故可取ｌ１为x轴，原点可选在点M，也可选在点N，究竟选在何处?据题设条件知点N为曲线段C所在抛物线的焦点，ｌ２为准线，若将原点选在M或N点时，抛物线的顶点都不在坐标原点，抛物线的方程就不是标准形式，这就不符合选择坐标系的基本要求——尽量使方程简单．考虑到抛物线的顶点在线段MN的中点O处，故应选取MN的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系．则曲线段C所在抛物线的方程便可设为ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0，ｙ＞0），对于曲线段C，则有ｘＡ≤ｘ≤ｘＢ.问题转化为求参数ｐ的值及确定A、B两点的横坐标ｘＡ、ｘＢ的值．思路1．∵｜ＭＮ｜＝ｐ，∴Ｍ（－（ｐ／2），0），Ｎ（（ｐ／2），0）．由｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，得（ｘＡ＋（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝17，①（ｘＡ－（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝9．②由①、②解得ｘＡ＝（4／ｐ）．再代入①，并注意到ｐ＞0可解得ｐ＝4，ｐ＝2，ｘＡ＝1，ｘＡ＝2．因△ＡＭＮ是锐角三角形，所以（ｐ／2）＞ｘＡ，故舍去ｐ＝2，ｘＡ＝2．∴ｐ＝4，ｘＡ＝1．由点B在曲线C上，得ｘＢ＝｜ＢＮ｜－（ｐ／2）＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．思路2．因ｐ＝｜ＭＮ｜，欲求曲线段C的方程，须先求得｜ＭＮ｜．过A作ＡＤ⊥ＭＮ，垂足为D，∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴Ｄ在线段MN上.过A作AK⊥ｌ２，垂足为K，在Ｒｔ△ＡＫＭ中，∵｜ＡＭ｜＝，｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，∴｜ＫＭ｜＝2．在Ｒｔ△ＡＭＤ及Ｒｔ△ＡＤＮ中，∵｜ＡＤ｜＝｜ＫＭ｜＝2，∴｜ＭＤ｜＝3，｜ＤＮ｜＝1．∴ｐ＝｜ＭＮ｜＝｜ＭＤ｜＋｜ＤＮ｜＝4．ｘＡ＝ｘＤ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程是ｙ２＝8ｘ（ｙ＞0，1≤ｘ≤4）．思路3．过A作ＡＫ⊥ｌ２，垂足为K，则｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，设∠ＡＭＮ＝∠ＭＡＫ＝θ，则ｃｏｓθ＝｜ＡＫ｜／2｜ＡＭ｜＝（3／．在△ＡＭＮ中，据余弦定理，得｜ＭＮ｜２＋｜ＡＭ｜２－2｜ＭＮ｜·｜ＡＭ｜ｃｏｓθ＝｜ＡＮ｜２，注意到｜ＭＮ｜＝ｐ，∴ｐ２＋17－2ｐ··（3／）＝9，解得ｐ＝2或ｐ＝4．∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴ｐ＝2应舍去（否则当ｐ＝2时，｜ＡＫ｜＞｜ＭＮ｜，△ＡＭＮ必为钝角三角形）．∴ｐ＝4，又ｘＡ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．在解答本题中，应特别注意轨迹的纯粹性和完备性，即曲线段C是抛物线ｙ２＝8ｘ的一部分，必须求出ｘ、ｙ的范围，并要在方程中注明，否则就不是所求曲线段的方程．若只写ｙ２＝8ｘ便是错误答案．例3 如图8-2，已知梯形ＡＢＣＤ中，｜ＡＢ｜＝2｜ＣＤ｜，点E分有向线段ＡＣ所成的比为λ，双曲线过C、Ｄ、Ｅ三点，且以A、Ｂ为焦点．当（2／3）≤λ≤（3／4）时，求离心率ｅ的取值范围．图8-2讲解：已知λ的范围，求离心率ｅ的范围，需建立ｅ与λ的函数关系λ＝ｆ（ｅ），进而由λ的范围，求得ｅ的范围．而ｅ与λ的关系的建立，依赖于双曲线的几何性质．研究双曲线的几何性质，需要通过方程去研究，故需建立坐标系．以AB所在的直线为ｘ轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ，则ＣＤ⊥ｙ轴．因双曲线经过Ｃ、Ｄ且以A、Ｂ为焦点，故Ｃ、Ｄ关于ｙ轴对称．记Ａ（－ｃ，0）、Ｃ（（ｃ／2），ｈ）、Ｅ（ｘ０，ｙ０），其中ｃ＝（1／2）｜ＡＢ｜为双曲线的半焦距，ｈ是梯形的高．由定比分点公式，得ｘ０＝[－ｃ＋（ｃ／2）]λ／（1＋λ）＝[（λ－2）ｃ]／[2（1＋λ）]，ｙ０＝（λｈ）／（1＋λ）．设双曲线的方程为（ｘ２／ａ２）－（ｙ２／ｂ２）＝1，则离心率ｅ＝（ｃ／ａ）．∵点Ｃ、Ｅ在双曲线上，且ｅ＝（ｃ／ａ），∴（ｅ２／4）－（ｈ２／ｂ２）＝1，①（ｅ２／4）[（λ－2）／（λ＋1）]２－（λ／（λ＋1））２·（ｈ２／ｂ２）＝1．②由①得（ｈ２／ｂ２）＝（ｅ２／4）－1，代入②，得（ｅ２／4）（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3／（ｅ２＋2）．由（2／3）≤λ≤（3／4），得（2／3）≤1－3／（ｅ２＋2）≤（3／4）．解得≤ｅ≤．故双曲线的离心率ｅ的取值范围是［，］．解题时，一定要有“目标”意识．本题的目标是建立ｅ与λ的关系λ＝ｆ（ｅ），而不是去求双曲线的方程．在2000年的高考中，许多考生由于解题目标意识不强，纠缠在求双曲线方程中而不能自拔．本题还可以通过建立ｅ与λ的函数关系ｅ＝ｆ（λ），转化为求函数ｆ（λ）在区间［（2／3），（3／4）］内的值域．三、专题训练1方程ｙ＝ｌｏｇａ（1－ｘ２）／（1＋ｘ）２）的图象的对称性是（）．Ａ．关于ｙ轴对称Ｂ．关于ｘ轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．无对称轴或对称中心2直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）．Ａ．｜ｘ｜－｜ｙ｜＝1Ｂ．｜ｘ－ｙ｜＝1Ｃ．（｜ｘ｜－｜ｙ｜）２＝1Ｄ．（ｘ－ｙ）２＝13方程｜ｘ｜－1＝表示的曲线是（）．Ａ．两条射线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆4若方程ｘ＋ｙ－4＋2ｍ＝0表示一条直线，则ｍ的取值范围是（）．Ａ．ｍ＝2Ｂ．ｍ＝2或ｍ＜0Ｃ．ｍ＝2或ｍ＞0Ｄ．以上答案都不对5已知点P（ｘ０，ｙ０）是圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２外一点，过P作圆的切线，切点为A、B，则过A、B两点的直线方程是_______________．6方程（｜ｘ｜－｜ｙ｜－1）（ｘ２－4）＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是_______________．7过点A（0，1）作直线与双曲线（ｘ２／9）－（ｙ２／4）＝1有且只有1个公共点，则这样的直线共有_______________条．8已知两同心圆的半径分别为5和4，AB为小圆的直径．（1）求以大圆的切线为准线，且过A、Ｂ两点的抛物线的焦点的轨迹Ｍ；（2）设过轨迹Ｍ的中心的弦为ＰＱ，Ｆ是轨迹M的焦点，求Ｓ△ＰＱＦ的最大值．9在面积为1的△ＰＭＮ中，ｔｇＭ＝（1／2），ｔｇΝ＝－2．建立适当的坐标系，求出以M、N 为焦点且过点P的椭圆方程．10如图8-3，M、C为定点，线段AB过M．M为AB的中点且｜AB｜=20,｜MC｜=8．图8-3（1）建立适当坐标系，写出以M、C为焦点，（1／2）AB为长轴长的椭圆方程；（2）求证△ABC的外心在（1）中所求椭圆的准线上.。

直线与二次曲线专题内容概要通过第一轮的复习，同学们已经掌握了直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法．但由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题题目灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此我们有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入、横向联系，进一步掌握解决直线与二次曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题、解决问题的能力．本专题中，我们将要进一步复习好如下几个重点内容：（1）坐标法．坐标法是研究几何问题的重要方法，也是解析几何的基本思想方法，坐标法包括由曲线方程研究曲线的性质和由给定条件求曲线方程两个基本问题，其中由给定条件求曲线方程是本专题的重点内容之一；（2）系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）；（3）掌握综合运用直线和圆的知识解答直线与圆有关问题的思想方法；（4）熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用；（5）掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法；（6）掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高解答解析几何综合问题的能力．解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带，而直线与圆锥曲线是解析几何的重点内容，因而成为高考考查的重点．以下是近六年来全国高考试题中考查涉及直线与二次曲线内容的题型、题量、分值情况统计表（以理科为准）：题型1996年1997年1998年1999年2000年2001年题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值选择题 3 14 3 13 3 13 3 13 3 15 3 15 填空题 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 解答题 1 12 1 12 2 23 1 14 1 14 1 12上表统计表明，近六年全国高考试题对本专题内容考查的题型、题量、分值基本稳定．一般是选择题3道（文科2道）、填空题1道、解答题1道，分值30分左右．选择题、填空题主要考查有关直线、圆锥曲线的概念、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等；解答题考查的主要内容有：求曲线（轨迹）方程（1996～1999年），曲线基本量的讨论（1996年、2000年），坐标法及运用曲线方程研究曲线性质（1998年、2000年），直线与圆锥曲线的位置关系（1998年、2001年），等等．。

2012届高考数学二轮复习资料 专题八 解析几何（教师版）【考纲解读】1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等.2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.4.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.5. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.6.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.直线与圆是历年高考的重点考查内容，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查求圆的方程以及直线与圆的位置关系，难度较低；在解答题中出现，经常与圆锥曲线相结合。

2.圆锥曲线是高考的一个热点内容，多数考查圆锥曲线的定义、方程和性质。

在客观题中主要考查离心率、渐近线、定义和方程等，所以要熟练它们基本量之间的关系，掌握它们之间转化的技巧与方法。

解答题多对圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系（包括弦长、中点弦、曲线方程求法等）综合考查，多在与其它知识的交汇点处（如平面向量等）命题，组成探索性及综合性大题，考查学生分析问题、解决问题的能力，难度较大。

【要点梳理】 1.直线的倾斜角与斜率：tan (90)k αα=≠， 211221()y y k x x x x -=≠-.2.直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的适应条件.3.平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件,同时要注意其各自的适应范围.4.距离: 熟练点到直线的距离与两条件平行直线的距离公式.5.熟记圆的标准方程与一般方程.6.位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.7.熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质.8.熟练弦长公式、中点弦的求法(联立方程组与点差法). 【考点在线】考点一 两条直线的位置关系(平行与垂直)例1.(2010年高考安徽卷文科4)过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【答案】.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=.【名师点睛】本小题考查两直线平行关系及直线方程的求解.因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.【备考提示】：两条直线的位置关系是高考考查的重点之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习1: （2011年高考浙江卷文科12)若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1 【解析】121212,,12k k k k m ==-∴⋅=-直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴=. 考点二 圆的方程例2.（2010年高考山东卷文科16） 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 . 【答案】22(3)4x y -+=【解析】由题意，设圆心坐标为(a,0)，则由直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C 过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C 的标准方程为22(3)4x y -+=。

高考数学二轮复习专题指导与训练专题六分析几何(120分钟150 分 )一、选择题 ( 本大题共10 小题 , 每题 5 分 , 共 50 分 . 在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项切合题目要求的 )1. 已知直线l 1:y=2x+3,直线 l 2与 l 1对于直线y=x对称,直线 l 3⊥ l 2,则 l 3的斜率为()A. B.- C.-2 D.2【分析】选 C. 因为直线l 1与 l 2对于y=x对称,所以直线l 2的方程为x=2y+3,即y=x-,所以 k l=. 又l3⊥l2, 所以k l =- 1=-2.23kl22. 直线经过A(2,1),B(1,m2) 两点 (m∈ R), 那么直线l的倾斜角的取值范围是()A.[0,π )B.∪C. D.∪【分析】选 B. 直线 AB的斜率 k==1-m2≤ 1, 设直线l的倾斜角为α, 则有tan α≤ 1, 即 tan α <0 或 0≤ tan α≤ 1, 所以<α <π或0≤α≤, 即直线l的倾斜角的取值范围是∪.3.(2014 ·宁波模拟 ) 已知点 P 在定圆 O的圆内或圆周上, 动圆 C 过点 P与定圆 O相切 , 则动圆 C 的圆心轨迹A.圆或椭圆或双曲线B.两条射线或圆或抛物线C.两条射线或圆或椭圆D.椭圆或双曲线或抛物线【分析】选 C.当点 P 在定圆 O的圆周上时 , 圆 C 与圆 O内切或外切 ,O,P,C 三点共线 , 所以轨迹为两条射线;当点 P 在定圆 O内时 ( 非圆心 ),|OC|+|PC|=r0 为定值,轨迹为椭圆; 当点 P 与点 O重合时 , 圆心轨迹为圆.4. 从抛物线2上一点 P 引抛物线准线的垂线, 垂足为 M,且 |PM|=5, 设抛物线的焦点为F, 则△ MPF的面积y =4x是 ()A.5B.10C.20D.【分析】选 B. 由抛物线方程y2=4x 易得抛物线的准线l 的方程为x=-1,又由|PM|=5可得点P的横坐标为4,2可求得其纵坐标为±△MPF×5× 4=10.代入 y =4x,4,故S =5. 若直线 mx+ny=4与☉ O:x 2+y2=4 没有交点 , 则过点 P(m,n) 的直线与椭圆+ =1 的交点个数是()A. 至多为 1B.2C.1D.0【分析】选 B. 由题意知 :>2, 即<2, 所以点 P(m,n) 在椭圆+=1 的内部 , 故所求交点个数是 2.6. 已知点 P(a,b)(ab≠ 0) 是圆 x2+y2=r 2内的一点 , 直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线, 直线l的方程为ax+by=r 2, 那么 ()A.m∥l , 且l与圆订交B.m⊥l, 且l与圆相切C.m∥l , 且l与圆相离D.m⊥l, 且l与圆相离【分析】选 C. 直线 m的方程为y-b=- (x-a),即ax+by-a2-b2=0,因为点P在圆内,所以a2+b2<r2,所以m∥ l.因为圆心到直线l 的距离d=>r, 所以直线l与圆相离 .7.(2014 ·浙江五校模拟) 我们把焦点同样且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“有关曲线”. 已知F1 ,F 2是一对有关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点, 则当∠ F1PF2=60°时 , 这一对有关曲线中双曲线的离心率是()A. B. C. D.2【分析】选 A. 设椭圆的长半轴长为a1, 椭圆的离心率为e1, 则 e1= , 所以 a1= . 设双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e, 则 e= , 所以 a=. 设 |PF 1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°2222=x +y -xy. 当把点 P 看作是椭圆上的点时, 有 4c =(x+y)-3xy=4-3xy;当把点 P 看作是双曲线上的点时, 有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy.两式联立消去xy, 得 4c2= +3a2, 即 4c2 =+3, 即+3=4. 又因为=e, 所以 e2+ =4, 整理得 e4-4e 2+3=0, 解得 e2=3 或 e2=1( 舍去 ), 所以 e=, 即双曲线的离心离为.8. 已知双曲线-=1 的两个焦点分别为F1,F 2, 则知足△ PF1F2的周长为6+2的动点P 的轨迹方程为()A.+ =1B.+=1C.+ =1(x ≠ 0)D.+=1(x ≠ 0)【分析】选 C. 依题意得 ,|F 1F2|=2=2, 所以 |PF 1|+|PF 2|=6>|F 1F2|, 所以知足△PF1F2的周长为6+2的动点 P 的轨迹是以点F1,F 2为焦点 , 长轴长是 6 的椭圆 ( 除掉长轴的端点), 即动点 P 的轨迹方程是+=1(x ≠ 0).9. 过点 (2,0) 的直线与双曲线-=1 的右支交于A,B 两点 , 则直线 AB的斜率 k 的取值范围是()A.k ≤ -1 或 k≥ 1B.k<-或k>C.-≤ k≤D.-1<k<1【分析】选 B. 点 (2,0) 为双曲线的右极点, 双曲线渐近线为y= ±x. 如图所示 , 联合图形得k>或k<-时,直线AB与双曲线右支有两交点.10.如下图 , 椭圆的中心在座标原点 O,极点分别是 A1,B 1,A 2,B 2, 焦点分别为 F1,F 2, 延伸 B1F2与 A2B2交于点 P.若∠ B1PA2为钝角 , 则此椭圆离心率 e 的取值范围为()A. B.C. D.【分析】选 D. 由题意知 , ∠ B1PA2就是与的夹角.设椭圆的长半轴长为a, 短半轴长为b, 半焦距b2 =a2-c 2, 所以 a2-ac-c 2<0, 所以 -e 2-e+1<0, 联合 0<e<1, 解得椭圆离心率 e 的取值范围为.二、填空题 ( 本大题共7 小题 , 每题 4 分, 共 28 分 . 请把正确答案填在题中横线上)11. l1, l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线, 当l1, l2间的距离最大时, 直线l 1的方程是.【分析】当两条平行直线与A,B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大. 因为A(1,1),B(0,-1),所以k AB==2, 所以两平行线的斜率为k=- , 所以直线l 1的方程是y-1=- (x-1),即x+2y-3=0.答案 : x+2y-3=012. 若点 P 在直线l1:x+y+3=0 上 , 过点 P 的直线l2与曲线 C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则 |PM| 的最小值为.【分析】曲线 C 表示的圆的圆心为C(5,0),由题意可知△ PMC是直角三角形,|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时,|PM|最小.当CP ⊥l 1时,|CP| min ==4,此时|PM|最小且|PM|===4.答案:413. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点 , 若动点 P(x,y)与定点A(3,4)知足=5-·, 则点 P 的轨迹方程是.【分析】因为=( x,y),=(3-x,4-y), 依题意有22整理得 3x+4y-5=0. x +y =5-x(3-x)-y(4-y),答案 : 3x+4y-5=014.(2014 ·温州模拟 ) 如图 , 过抛物线y2=2px(p>0) 的焦点 F 的直线l交抛物线于点A,B, 交其准线于点C, 若|BC|=2|BF|, 且 |AF|=6, 则此抛物线的方程为.【分析】分别过 A,B 作 AA',BB' 垂直准线于A',B', 因为 |BC|=2|BB'|,则直线 l的斜率为, 故|AC|=2|AA'|=12,进而 |BF|=2,进而 |AB|=8,故==, 即 p=3, 进而抛物线的方程为 y2=6x.答案 : y2=6x15.(2014·绍兴模拟 ) 若直线 x+my+3m=0被圆 x2+y2 =r 2(r>0) 所截得的最短弦长为8, 则 r=.【解析】直线过定点 (0,-3), 当直线被圆截得的弦长最短时 , 直线为 y=-3,弦长的一半为 4,所以r==5.答案:516. 椭圆+=1(a>b>0) 与直线 x+y-1=0 订交于 P,Q 两点 , 且⊥(O 为原点 ), 则+为定值,该定值是.【分析】由得 (a 2+b2)x 2-2a 2x+a2(1-b 2)=0.由 =4a4-4(a 2 +b2)a 2(1-b 2)=4a2b2(a 2+b2-1)>0,得 a2+b2>1.设 P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 则x1 +x2=,x 1x2=.因为⊥, 所以 x1x2+y1y2=0,所以 x1x2+(1-x 1)(1-x 2)=0.所以 2x1x2-(x 1+x2)+1=0.所以-+1=0.所以 a2+b2=2a2b2, 所以+=2.答案:217. 若直线l :y=kx+m(k ≠ 0) 与椭圆+ =1 交于不一样的两点M,N,且线段 MN的垂直均分线过定点G,则 k 的取值范围是.【分析】设 M(x1,y 1),N(x 2,y 2).由消去 y 并整理222, 得 (3+4k )x +8kmx+4m-12=0.因为直线 y=kx+m与椭圆有两个交点 ,所以 =(8km)2-4(3+4k 2)(4m 2-12)>0,即 m2<4k2+3. ①且 MN的中点坐标P.设 MN的垂直均分线l ' 的方程为y=-.即 4k2+8km+3=0,所以 m=-(4k 2+3).将上式代入① , 得<4k2+3,所以 k2>, 即 k>或k<-.所以 k 的取值范围为∪.答案:∪三、解答题 ( 本大题共 5 小题 , 共 72 分 . 解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0) 过点 A(1,-2).(1)求抛物线 C 的方程 , 并求其准线方程 .(2)能否存在平行于 OA(O为坐标原点 ) 的直线l , 使得直线l与抛物线 C 有公共点 , 且直线 OA与l的距离等于?若存在 , 求出直线l的方程 ; 若不存在 , 说明原因 .【分析】 (1) 将 (1,-2)代入y2=2px,得 (-2) 2=2p×1, 所以 p=2. 故所求的抛物线C的方程为y2=4x, 其准线方程为x=-1.(2)假定存在切合题意的直线 l ,其方程为y=-2x+t,由得 y2+2y-2t=0.因为直线l 与抛物线C有公共点,所以=4+8t ≥ 0, 解得 t ≥ -.由直线 OA与l的距离 d=,可得=, 解得 t= ± 1.因为-1,1∈,所以切合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1=0.19.(14分)设点P是曲线C:x2=2py(p>0)上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为 .(1) 求曲线 C 的方程 .(2) 若点 P 的横坐标为1, 过 P 作斜率为k(k ≠ 0) 的直线交 C 于点 Q,交 x 轴于点 M,过点 Q 且与 PQ垂直的直线与 C交于另一点N, 问能否存在实数k, 使得直线MN与曲线 C 相切 ?若存在 , 求出 k 的值 ; 若不存在 , 请说明原因 .【分析】 (1) 依题意知1+ = , 解得 p=.所以曲线C的方程为x2=y.(2)假定存在实数 k, 由题意知直线 PQ的方程为y=k(x-1)+1,则点M.联立方程消去 y, 得 x2-kx+k-1=0,解得 x1=1,x 2=k-1, 则 Q(k-1,(k-1)2).所以直线QN的方程为y-(k-1)2=-(x-k+1),代入曲线 y=x2中 , 得 x2+ x-1+ -(1-k)2=0,解得 x3=k-1,x 4=1- -k,则 N.所以直线MN的斜率 k MN==-.又易知过点N 的切线的斜率k'=2.由题意有 -=2.解得 k=.故存在实数k=知足题意.20.(14分)已知定点A(1,0) 和定直线x=-1 上的两个动点E,F, 知足⊥, 动点 P 知足∥,∥( 此中 O为坐标原点 ).(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程 .(2) 过点 B(0,2) 的直线l与 (1) 中轨迹 C 订交于两个不一样的点M,N, 若·<0, 求直线l的斜率的取值范围 .【分析】 (1) 设 P(x,y),E(-1,y'1),F(-1,y'2)(y'1,y' 2 均不为0)由∥, 得 y' 1=y, 即 E(-1,y).由∥得y'2=-, 即 F.由⊥得·=0(2,-y'1)·(2,-y'2)=0y' y' =-4y2=4x(x ≠ 0),所以动点P的轨迹 C的方程为y2=4x(x ≠ 0).(2) 设直线l的方程为y=kx+2(k ≠ 0),M,N,联立得消去 x 得 ky 2-4y+8=0,所以 y1+y2= ,y 1y2=,且 =16-32k>0 即 k< .所以·=·=·+y1y2=- ( + )+y 1y2+1=-++1=,因为·<0, 所以 -12<k<0.21.(15分)(2014·台州一模)如图,P是☉ O:x2+y2=4上随意一点,PQ⊥ x轴,Q为垂足.设PQ的中点为M.(2) 设动直线l 与☉O订交所得的弦长为定值2, l与 (1) 中曲线Γ交于A,B 两点 , 线段 AB的中垂线交☉O 于 E,F 两点 , 求 |EF| 的最小值 .【分析】 (1) 设 M(x,y),则P(x,2y).因为 P 在☉ O:x 2+y 2=4 上 ,所以 x2+(2y) 2=4.即 M的轨迹Γ是一个椭圆, 方程为 x2+4y2=4.(2) 因为要求 |EF| 的最小值 , 故不如设l :y=kx+m(k≠0).因直线 l 与☉O订交所得弦长为2, 而圆的半径为2, 所以 , 点 O到直线l的距离为 1, 即=1.直线 l 与椭圆必定有两个不一样的交点,联立得(1+4k 2)x 2+8kmx+(4m2-4)=0.设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x1+x2=-.AB的中点为,AB的中垂线方程为y-=-.化简得 x+ky+=0.点 O到直线 EF 的距离 d=. 当 d 最大时 ,|EF| 最小 .将=1 代入 d=, 得 d=.由均值不等式,1+4k 2≥4|k|,故d≤( 当且仅当 |k|=时取等号).故|EF| ≥2=,即 |EF| 的最小值为.22.(15分)(2014·衢州模拟)已知椭圆C:+ =1(a>b>0) 的右焦点为F(1,0),短轴的端点分别为B1,B 2 ,且·=-a.(1)求椭圆 C 的方程 .(2) 过点 F 且斜率为 k(k ≠ 0) 的直线l交椭圆于M,N两点 , 弦 MN的垂直均分线与x 轴订交于点 D. 设弦 MN的中点为 P, 试求的取值范围.【分析】 (1) 依题意 , 不如设 B1(0,-b),B2(0,b),则=(-1,-b),=(-1,b).由·=-a, 得 1-b 2=-a.22又因为 a -b=1, 解得 a=2,b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)依题意直线 l 的方程为y=k(x-1).由得 (3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.设 M(x1,y 1),N(x 2,y 2), 则 x1+x2=,x1 x2=.所以弦 MN的中点为P,所以====.直线 PD的方程为y+=-,由 y=0, 得 x=, 则 D,所以=.所以===.又因为 k2+1>1, 所以 0<<1.所以0<<.所以的取值范围是.。

专题能力测试参考答案及提示一、1．Ｃ；2．Ｃ；3．Ｂ；4．Ｄ；5．Ｂ；6．Ｄ；7．Ａ；8．Ｃ；9．Ｃ；10．Ｃ；11．Ｃ；12．Ａ.二、13．2±；14．（16／25）；15．（16／5）．16．解法1．直接法：设M（ｘ，ｙ），则Ｂ（ｘ－3，0）.由｜ＭＡ｜２＝｜ＭＢ｜２ｘ２＝10（ｙ－（8／5））．解法2．参数法：设B（ｔ，0），则Ｃ（ｔ＋6，0）.设M坐标为（ｘ，ｙ），则BC的中垂线方程为ｘ＝ｔ＋3 ①，AB的中垂线方程为ｙ－（5／2）＝（ｔ／5）（ｘ－（ｔ／2））②，①②联立消去参数ｔ，得ｘ２＝10（ｙ－（8／5））．三、17.设点Q的坐标为（ｘ，ｙ），过R、Q分别作抛物线的准线ｘ＝－1的垂线段RR１、ＱＱ１.据抛物线的定义有｜ＱＲ｜＝｜ＱＦ｜＋｜ＦＲ｜＝｜ＱＱ１｜＋｜ＲＲ１｜，∵｜ＲＲ１｜＝1－（－1）＝2，｜ＱＱ１｜＝ｘ－（－1）＝ｘ＋1，Ｒ（1，2），∴＝ｘ＋3，平方化简整理得，Q点的轨迹方程是（ｙ－2）２＝8（ｘ＋（1／2））．第17题18．（1）由ｙ＝ｘ－ａ，ｘ２－2（ａ＋ｐ）ｘ＋ａ２＝0．ｙ２＝2ｐｘ由弦长公式得｜ＡＢ｜＝｜ｘ２－ｘ１｜＝．令0＜≤2ｐ，则－（ｐ／2）＜ａ≤－（ｐ／4）．（2）设ＡＢ的垂直平分线交AB于Q点，Q（ｘ３，ｙ３）、Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ３＝（ｘ１＋ｘ２）／2＝ａ＋ｐ，ｙ３＝（ｙ１＋ｙ２）／2＝ｐ，∴｜ＱＭ｜２＝2ｐ２．∵△ＭＮＱ为等腰直角三角形，∴｜ＱＮ｜＝｜ＱＭ｜＝ｐ．Ｓ△ＮＡＢ＝（1／2）｜ＡＢ｜·｜ＮＱ｜＝（／2）ｐ｜ＡＢ｜≤ｐ２．即△ＮＡＢ面积的最大值为ｐ２．19.设满足条件的双曲线存在，则（1）若双曲线焦点在x轴上，∵渐近线为ｙ＝±（1／2）ｘ，∴可设双曲线方程为（ｘ２／4ｂ２）－（ｙ２／ｂ２）＝1（ｂ＞0）．设动点P为（ｘ，ｙ），则｜ＡＰ｜＝，且ｘ∈（－∞，－2ｂ］∪［2ｂ，＋∞）．若2ｂ≤4，则当ｘ＝4时，｜ＡＰ｜ｍｉｎ＝＝，此时ｂ２＝－1，无解；若2ｂ＞4，则当ｘ＝2ｂ时，｜ＡＰ｜ｍｉｎ＝｜2ｂ－5｜＝，解得ｂ＝（5±）／2，但（5－／2）＜2应舍去．则存在双曲线（ｘ２／（5＋）２）－（ｙ２／（（5＋）／2）２）＝1符合条件．（2）若双曲线焦点在ｙ轴上，则可设双曲线方程为（ｙ２／ｂ２）－（ｘ２／4ｂ２）＝1（ｂ＞0）.设P（ｘ，ｙ），则｜ＡＰ｜＝（ｘ∈Ｒ）．∵ｘ∈Ｒ，∴当ｘ＝4时，｜ＡＰ｜ｍｉｎ＝＝．∴ｂ２＝1，则此时存在双曲线ｙ２－（ｘ２／4）＝1满足题设条件．20.（1）由ｙ＝ｘｔｇθ，解得点A的坐标为（ｘ２／ｍ２）＋（ｙ２／ｎ２）＝1ｘ＝ｍｎ／，ｙ＝ｍｎｔｇθ／．∴Ｓ＝4｜ｘｙ｜＝（4ｍ２ｎ２ｔｇθ）／（ｍ２ｔｇ２θ＋ｎ２）．（2）∵Ｓ＝（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２ｔｇθ＋（ｎ２／ｔｇθ）），①当ｍ＞ｎ，即（ｎ／ｍ）＜1时，当且仅当ｔｇ２θ＝（ｎ２／ｍ２）时，Ｓ≤（4ｍ２ｎ２）／（2ｍｎ）＝2ｍｎ.由于θ∈（0，（π／4）］，∴0＜ｔｇθ≤1，故取ｔｇθ＝（ｎ／ｍ），Ｓｍａｘ＝2ｍｎ，∴ｕ＝2ｍｎ．②当ｍ＜ｎ，即（ｎ／ｍ）＞1时，易证Ｓ在θ∈（0，（π／4）］上为增函数，故取θ＝（π／4），即ｔｇθ＝1时，Ｓｍｉｎ＝（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２＋ｎ２）．所以ｕ＝2ｍｎ（0＜ｎ＜ｍ），（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２＋ｎ２）（0＜ｍ＜ｎ）．（3）当（ｍ／ｎ）＞1时，ｕ＞ｍｎ恒成立；当（ｍ／ｎ）＜1时，由（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２＋ｎ２）＞ｍｎ，得（ｍ／ｎ）２－4（ｍ／ｎ）＋1＜0，解得2－＜（ｍ／ｎ）＜1．综上所述，当ｕ＞ｍｎ时，（ｍ／ｎ）∈（2－，1）∪（1，＋∞）．。

§4圆锥曲线一、复习要点1本节复习的主要内容有：（1）进一步熟练圆锥曲线基本量的计算；（2）利用直线与圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系问题的思想方法，如公共点的个数问题、弦长问题、弦的中点问题，有关的垂直关系问题、对称问题、存在性问题等；（3）根据已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或圆锥曲线方程问题．2本节的重点是利用直线和圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线位置关系的思想方法．利用方程，通过代数推理研究直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，运算量大，代数推理能力要求高，因而也成为本课时复习中的一个难点．直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考解析几何命题的热点，且常常作为压轴题或把关题在高考试题中出现．3在本节的复习中，应注意如下复习策略：熟练掌握有关直线和圆锥曲线的基础知识，解决直线与圆锥曲线问题的基本方法、基本技能．在熟练掌握常规方法的基础上，要不断探索，优化解题过程，简化运算，正确进行代数推理，提高解题速度和准确率．注意以下几点：（1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义及焦半径公式的运用，以简化运算；（3）有关弦的中点问题，应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算；（4）有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，整体处理；（5）有关圆锥曲线关于直线ｌ的对称问题中，若A、A′是对称点，则应抓住ＡＡ′的中点在ｌ上及ｋＡＡ′·ｋｌ＝－1这两个关键条件解决问题；（6）有关直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”．二、例题讲解例1 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过它的右焦点F２引倾斜角为（π／4）的直线ｌ交椭圆于M、N两点，M、N两点到椭圆右准线的距离之和为（8／3），它的左焦点F１到直线ｌ的距离为，求椭圆的方程．图8-11讲解：本题是根据已知直线与椭圆的位置关系，求椭圆的方程．因椭圆的位置确定，因而方程的形式确定，故可用待定系数法求解．如图8-11，设所求椭圆的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，其中ａ＞ｂ＞0．Ｆ１（－ｃ，0），Ｆ２（ｃ，0），ｃ＝，则直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ．由F１到ｌ的距离为，求得ｃ＝1.若设M（ｘ１，ｙ１）、N（ｘ２，ｙ２），则ｄ１＝（ａ２／ｃ）－ｘ１，ｄ２＝（ａ２／ｃ）－ｘ２．∵ｃ＝1，∴ｄ１＋ｄ２＝2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）．据已知有2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）＝（8／3）．①欲求椭圆方程，已知ｃ＝1，所以只需求得ａ，由①知，只要将ｘ１＋ｘ２用a表示即可.要寻求ｘ１＋ｘ２与ａ的关系，须从直线与椭圆的方程组成的方程组入手．由（ａ２－1）ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２（ａ２－1），ｙ＝ｘ－1，消去ｙ，得（2ａ２－1）ｘ２－2ａ２ｘ＋ａ２（2－ａ２）＝0．从而ｘ１＋ｘ２＝2ａ２／（2ａ２－1）．②②代入①解得ａ２＝2，则ｂ２＝1．故所求椭圆方程为（ｘ２／2）＋ｙ２＝1．本题也可以由焦半径公式，得｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝2ａ－（1／ａ）（ｘ１＋ｘ２），再据椭圆第二定义，得｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3），建立关于a的方程．本题在得到｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3ａ）后，还可以利用弦长公式建立关于a的方程，但运算量大．后两种方法请同学们试试看，比较其优劣．例2 已知双曲线的一个焦点在坐标原点，与该焦点相应的准线方程是x=1,直线l与双曲线交于P１、P２两点.若线段P１P２的垂直平分线方程为x+y=0,且｜P１P２｜=2，求双曲线的方程．讲解：据已知条件，所求双曲线方程是非标准形式．但由已知焦点位置和相应准线知实轴在x轴上，且中心为（c,0），故可用待定系数法求解．若设P１P２的方程为y=x+m，与双曲线方程联立，用弦长公式求解，参数较多，运算量大，故从求点P１、P２的坐标入手．设所求双曲线的方程为（（x-c）２／a２）-（y２／b２）=1（其中a＞0,b＞0,c=.如图8-12.据题意，c-1=（a２／c），图8-12即c２=c+a２,∴c=b２．设P1（x0,y0）,则P2（-y0,-x0）.∵｜P１P２｜=2,∴=2．∴x0+y0=2. ①又P１（x0,y0）、P２（-y0,-x0）都在双曲线上，∴（（x0-c）２／a２）-（y18／b２）=1，（（-y0-c）２／a２）-（（-x0）２／b２）=1.两式相减，并注意到b２=c,得x0-y0=2. ②联立①、②，解得x0=2,y0=0，∴P１（2，0），P２（0，-2），将此两点的坐标分别代入双曲线方程，得（（2-c）２／a２）=1,（c２／a２）-（4／b２）=1.将c=b２代入，解得a２=（4／9）,b２=（4／3）．故所求双曲线的方程为（9（x-（4／3））２／4）-（3y２／4）=1．例3 直线ｌ：ａｘ－ｙ－1＝0与双曲线Ｃ：ｘ２－2ｙ２＝1相交于P、Q两点．（1）当实数a为何值时，｜ＰＱ｜＝2?（2）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．讲解：（1）若设P、Q的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），则（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２）是方程组ａｘ－ｙ－1＝0，①ｘ２－2ｙ２－1＝0 ②的实数解，根据此方程组有两个不同解的条件及弦长确定实数a的值．将①代入②消去y，得（1－2ａ２）ｘ２＋4ａｘ－3＝0．③若1－2ａ２＝0，即ａ＝±（／2）时，直线ｌ与双曲线的渐近线平行，ｌ与C只可能有一个交点，∴1－2ａ２≠0．当1－2ａ２≠0，即ａ≠±（／2）时，由方程③的判别式Δ＞0，得－（／2）＜ａ＜（／2）．又ｘ１＋ｘ２＝－4ａ／（1－2ａ２），ｘ１ｘ２＝－3／（1－2ａ２），④由弦长公式及④，得｜ＰＱ｜＝·．由已知｜ＰＱ｜＝2，解得ａ２＝－（1／2）（舍去），或ａ２＝1.∴ａ＝±1，满足－（／2）＜ａ＜（／2）．故所求实数a的值为±1．（2）反证法假设存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则由OP⊥ＯＱ，得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又ｙ１ｙ２＝（ａｘ１－1）（ａｘ２－1），∴（1＋ａ２）ｘ１ｘ２－ａ（ｘ１＋ｘ２）＋1＝0．将（1）中的④代入，解得ａ２＝-2，这与a为实数矛盾.故不存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点．本题在得到方程③后，应注意两点：1°对二次项系数是否为零要分类讨论；2°当1－2ａ２≠0时，应有Δ＞0这一条件，否则会“对而不全”．例4 如图8-13所示，设抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、Ｂ两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥ｘ轴．证明直线ＡＣ经过原点Ｏ．图8-13讲解：证明直线AC经过原点O，即证明A、Ｏ、Ｃ三点共线．证明三点共线的方法甚多，常用的有斜率法、方程法、距离法等，这里我们只给出两种思路．其他的请读者自己思考．思路1．斜率法．∵Ｆ的坐标为（（ｐ／2），0），∴直线ＡＢ的方程可设为ｘ＝ｍｙ＋（ｐ／2），代入抛物线方程，得ｙ２－2ｐｍｙ－ｐ２＝0．若记Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１ｙ２＝－ｐ２．又∵ＢＣ∥ｘ轴，且点C在准线ｘ＝－（ｐ／2）上，∴Ｃ点的坐标为（－（ｐ／2），ｙ２），∴ｋＣＯ＝ｙ２／－（ｐ／2）＝2ｐ／ｙ１＝ｙ１／ｘ１，即ｋＣＯ＝ｋＡＯ，∴直线ＡＣ经过点O．思路2．距离法（同一法）．记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为E，过A作AD⊥ｌ，D为垂足．则AD∥ＦＥ∥ＢＣ，连结AC与ＥＦ相交于点N，则（｜ＥＮ｜／｜ＡＤ｜）＝（｜ＣＮ｜／｜ＡＣ｜）＝（｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜），（｜ＮＦ｜／｜ＢＣ｜）＝（｜ＡＦ｜／｜ＡＢ｜）．又由于｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＣ｜，∴｜ＥＮ｜＝（｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜）＝（｜ＡＦ｜·｜ＢＣ｜／｜ＡＢ｜）＝｜ＮＦ｜．即N为ＥＦ的中点，与抛物线的顶点O重合，∴直线ＡＣ经过原点O．该题实质为抛物线焦点弦的一个性质定理．抛物线的焦点弦还有一些常用性质，如，设AB为抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点弦，且A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线AB的倾角为θ，则ｙ１ｙ２＝－ｐ２，｜ＡＢ｜＝（2ｐ／ｓｉｎ２θ），（1／｜ＡＦ｜）＋（2／｜ＦＢ｜）＝（2／ｐ），等等．另外，该命题还可进一步引申为：设Ａ、Ｂ为抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上两点，C在其准线上，且BC∥ｘ轴，则Ａ、Ｏ、Ｃ三点共线的充要条件为Ａ、Ｆ、Ｂ三点共线．其中，充分性为2001年全国高考试题，必要性为1997年陕西省高中毕业会考试题．三、专题训练1椭圆的两个焦点和中心将两条准线间的距离四等分，则一焦点与它的短轴的两端点连线的夹角是（）．Ａ．45°Ｂ．60°Ｃ．90°Ｄ．120°2．椭圆C：（ｘ２／4）＋ｙ２＝1关于直线ｌ：ｙ＝ｘ－3对称的椭圆Ｃ′的方程是（）．Ａ．（ｘ－3）２＋（（ｙ＋3）２／4）＝1Ｂ．（ｘ＋3）２＋（（ｙ－3）２／4）＝1Ｃ．（（ｘ－3）２／4）＋（ｙ＋3）２＝1Ｄ．（（ｘ＋3）２／4）＋（ｙ－3）２＝13．过双曲线（ｘ２／9）－（ｙ２／16）＝1的右焦点F作倾斜角为（π／4）的弦AB，则AB的中点到F的距离是（）．Ａ．80／7Ｂ．80／7Ｃ．80／7Ｄ．40／74．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点弦AB的长为ｍ，顶点为O，则△OAB的面积为（）．Ａ．（ｐ／2）Ｂ．（ｐ／4）Ｃ．（ｐ／4）Ｄ．无法计算5若直线ｙ＝ｋｘ＋1（ｋ∈Ｒ）与椭圆（ｘ２／5）＋（ｙ２／ｍ）＝1恒有公共点，则实数ｍ的取值范围是__________．6直线ｙ＝1－ｘ交椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝1于M、N两点，弦MN的中点为P.若ｋＯＰ＝（／2），Ｏ为坐标原点，则（ｍ／ｎ）＝__________．7给出下列四个命题：①椭圆（ｘ２／16）＋（ｙ２／λ）＝1的离心率为（1／2），则λ=12；②已知双曲线3mｘ２-mｙ２＝3的一个焦点的坐标是（0，1），则m=-4;③已知抛物线y＝（1／2）x２-2x+（m／2）的准线是y=-1,则实数m=3；④椭圆（x２／25）+（y２／9）＝1上一点M到左焦点F１的距离是2，N是MF１的中点，O是坐标原点，则｜ON｜=2．其中所有正确的命题的序号是_______．8已知抛物线ｙ２＝4ａｘ（ａ＞0）的焦点为A，以B（ａ＋4，0）点为圆心，｜ＢＡ｜为半径，在ｘ轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同的两点Ｍ、Ｎ，点P是MN的中点．（1）求｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜的值；（2）是否存在实数ａ，使｜ＡＭ｜、｜ＡＰ｜、｜ＡＮ｜成等差数列？若存在，求出ａ；若不存在，说明理由．9．已知直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ与椭圆C：ｘ２＋（ｙ２／3）＝1交于A、B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点．（1）当直线ｌ与直线ｘ＋ｙ＝0平行（不重合）时，求直线OM的斜率；（2）如果｜ＯＭ｜＝1，证明ｂ２＝（ｋ２＋3）２／（ｋ２＋9），并求线段AB的长取最大值时直线ｌ的方程．10已知双曲线3ｘ２－ｙ２＋24ｘ＋36＝0的右焦点为F，右准线为ｌ，椭圆C以F和ｌ为相应的焦点及准线，过点F作倾斜角为（π／4）的直线ｍ交椭圆C于两点A、B，以AB为直径作圆Ｏ′．（1）若圆Ｏ′过椭圆C的中心，求椭圆C的方程；（2）当椭圆C的中心在圆Ｏ′内时，求这个椭圆离心率ｅ的取值范围．。

§５参数讨论一、复习要点１本节的主要内容是与解析几何有关的参数讨论问题．其中包括两个方面:①由已知含参数的方程讨论方程所表示曲线的类型及几何性质；②由曲线的几何性质确定曲线方程中参数的取值范围.这两个方面的问题是本节的重点，其中参数讨论中分类标准的确定及求参数范围中构建参数所满足的不等式是难点．2与解析几何有关的参数讨论问题，所涉及的知识范围广、变量多、综合性强,解答这类题对同学们的能力要求较高,故这类问题在高考试题中频繁出现,成为高考命题热点之一．3在本节的复习中,应重点掌握解决以下两方面问题的方法和能力:（1)由给定含参数的方程讨论方程表示何种曲线，实质就是对参数进行分类讨论．对某参数m进行分类讨论,应注意按如下步骤进行:①确定m的全体集合P;②根据题设条件及曲线的方程的特点确定分类的标准（即分界点）;③把集合P按分类标准划分为若干个真子集P i（i＝1，２,…,n），且使其同时满足P１∪P2∪Ｐ３∪…∪Ｐn＝P，P i∩Ｐｊ=(i≠ｊ，１≤ｉ，ｊ≤ｎ）；④按Ｐｉ逐一讨论求解．（2)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质(曲线的范围、对称性、位置关系等)构造参数满足的不等式,通过求解不等式(组）求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数,转化为求函数的值域求解.二、例题讲解ﻫ例1 当ｍ变化时，讨论方程mｘ２＋（2-m)y2=1表示的曲线形状，并画出简图.ﻫ讲解：据题意,ｍ∈R，对全集R怎样分类,分类的标准是什么，必须从方程入手.已知方程是不含xｙ项的二元二次方程，这样的二元二次方程一般情况下表示的是圆锥曲线,又注意到方程中不含一次项x、ｙ，故方程表示的曲线不会是抛物线．先考虑特殊情况：若m=0或m=2时,方程表示两条直线;当ｍ＝1时，方程表示圆;当m≠0且m≠1,m≠2时，x２、ｙ2项系数可能同号，也可能异号,故又需按ｍ（2-ｍ)>0及ｍ(２－ｍ)<0分类,至此分类的标准已基本确定．将各分界点标在数轴上,如图8-１4,按从左到右依次讨论．图8-14（１）当m<0时,方程表示焦点在y轴上的双曲线y２／（1／（２－m)）－（x2／-ｍ）=１；ﻫ(2)当ｍ=０时,方程表示两条平行于x轴的直线?ｙ＝±(/2）；ﻫ（3)当０＜ｍ＜1时，方程表示焦点在ｘ轴上的椭圆（ｘ２/(1／ｍ))＋（ｙ２／1/（2-m））=1；(4)当ｍ＝1时，方程表示圆x2+y2＝1;(5）当１＜ｍ＜２时,方程表示焦点在y轴上的椭圆（y2／1／(2-ｍ））+(x２／(1／ｍ）)＝1；ﻫ（6）当ｍ＝2时,方程表示两条平行于ｙ轴的直线ｘ＝±（/２); (７)当ｍ＞2时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（x2／(1／ｍ)）-(y2/1／(m－２）)=１.其简图如图８-１5．ｍ＜0 ｍ＝0 0＜ｍ＜1 ｍ＝11＜ｍ＜2 ｍ＝2 ｍ＞2图8-15例2已知椭圆C的方程为(x2／4）＋(ｙ２／3）＝1,试确定ｍ的取值范围，使得对于直线ｙ=4ｘ+ｍ,椭圆C上有不同的两个点关于该直线对称.ﻫ讲解：思路1．若设所求ｍ的取值范围是M，则由题意可知,m∈M等价于直线ｌ′:y=－（x／4）＋b,使得直线ｌ′与椭圆Ｃ有两个不同的交点Ｐ、Ｑ，且P、Q关于直线y=4x＋ｍ对称.故可先根据直线l′与椭圆Ｃ有两个不同的交点确定b的范围，再根据P、Q关于直线ｙ＝４x+ｍ对称及P、Q在椭圆上的条件求得ｂ与ｍ的关系，ｂ＝ｆ（m），进而由ｂ的范围确定ｍ的范围．ﻫ设P(x1,ｙ１)、Ｑ(ｘ2，ｙ２）是椭圆Ｃ上关于直线l：y=4x＋ｍ对称的两点，如图８-1６，则过P、Q的直线ｌ′的方程为ｙ=－（１/４）ｘ+b,将ｌ′的方程代入Ｃ中,整理得图8-16１3x2－8bx＋16ｂ２－4８=０．∵l′与C有两个交点,∴ Δ>0.由Δ＞０,解得-(／2)<ｂ＜（/2）. ①ﻫ又∵ PQ的中点M在直线ｌ：y＝4ｘ+ｍ上及ｘ１＋x2＝（8/13)b，ｙ１+ｙ２＝－(1/4）(ｘ１+ｘ２)＋2b＝（2４/13）b，从而有ﻫ (1/2)((２4／１3)b）=4·（1／2）·(8／1３）b+m．解得m=－（4／１3）ｂ，即ｂ＝－（13／４）ｍ,代入①，解得－（2／13）＜m<（2/13).思路３.因椭圆C上存在不同的两点关于直线l:y＝4x+ｍ对称，则两对称点P、Q连线的斜率为－(1／4)，且中点在l上，也必在椭圆Ｃ的斜率为－(1/4）的平行弦的中点的轨迹曲线上,故问题可转化为求曲线C的斜率为－(1／4)的平行弦中点的轨迹与直线l的交点在椭圆C的内部时参数ｍ的取值范围,这可由点在椭圆内的条件求之．设M（ｘ，ｙ)是椭圆C的斜率为-（1/4）的平行弦中点轨迹上任一点,ﻫ∵Ｐ（x１,y1）、Q(ｘ２，y2)都在椭圆(x2／４)＋（y２／3）=１上,即３ｘ２+4ｙ２＝1２．∴3ｘ1２＋4y１2=１2, ①3ｘ２２+4ｙ２２=12. ②ﻫ①-②,得3(ｘ1+x２）（x１-x２)＋4（y１+y２）(ｙ1－y2)=0,即(y1-ｙ2）／（x１-x2）=(-3／4）·（x1+x2)／（y１+ｙ2）．ﻫ又∵x1+x2＝2x,y１+ｙ2=2y, (y1-y2)/(ｘ1－x2)=kl′=-(1／４），3ｘ－ｙ=０．ﻫ故椭圆的斜率为－(1／4)的平行弦的中点∴ -(1／4）＝(-3／4)·(ｘ／y)，即ﻫ的轨迹是直线3x-y＝0在椭圆Ｃ内的部分．3ｘ－ｙ＝0，ｙ＝4ｘ＋ｍ，解得其交点坐标是（-ｍ，－3m）.∵交点(-m,－3m）在椭圆（ｘ２/4）＋(ｙ２／3）＝1内，ﻫ∴（(-ｍ）2／4）+(（-３ｍ）２／3）<１.ﻫ解得－（2/13）<ｍ<(２/13)．ﻫ思路3.同思路2，可得PQ的中点M（-m，-3m)，由此可得直线PQ的方程为ｙ＋３ｍ=－（１／4）（ｘ+ｍ).∵ ＰＱ与椭圆有两个不同的交点,故将ＰQ方程代入椭圆方程消去y,得到关于x的一元二次方程,由Δ>0可解得-(2/1３)<m ＜（2/13)．(请同学们自己写出解题过程）ﻫ思路１中,巧设中间参数ｂ，先确定出b的范围,再求出ｂ与ｍ的关系进而确定m的范围,由不等关系，到相等关系，再到不等关系,这种引参、消参、不等与相等关系的相互转化,是解答与解析几何有关的求参数取值范围的基本方法,同学们在解题后应很好的进行反思,从中体会这种思想方法.思路２中，利用平行弦中点的轨迹与直线ｌ的交点在椭圆内的条件确定参数的范围,思路灵活,解法新颖,别具一格．思路3利用直线PQ与椭圆有两个不同交点建立参数m的不等式，直接求得了ｍ的取值范围.例3已知双曲线的方程为ｘ２－（y２／2)＝1.ﻫ(1）过点A(０,1）作斜率为k（k≠０）的直线l 交双曲线于点P１、Ｐ2，使线段P１P２的中点在直线x=(1／２）上，求k的值; (２)若过点Ｂ（1,b）能作斜率为k(k≠0)的直线m，交双曲线于点Q1、Q2，使线段Q１Q２的中点在直线ｘ=(1／2）上，求b的取值范围．讲解:（1)考虑由P1Ｐ２的中点在直线ｘ＝(1/2)上构造关于k的方程，并由l与双曲线相交于两点的条件确定k的值．设l:y-1=kx,由y-1=kx，得ｘ２－（ｙ２／2）＝1，（2-k2）x２-2ｋｘ－3=0.据题意，有2-k２≠0，解得Δ=4k２-4（2-k２）（-3）＞0，-<ｋ<,且k≠±．∵Ｐ1P２的中点在x=(1／２）上，ﻫ∴（x１＋ｘ2／2）＝(-ｋ/k２-２)＝（１／2）.ﻫ解得k ＝-1±，又-＜k<，且k≠±,∴k=-１+．（２)可先由直线m与双曲线交于两点的条件得关于k、b的不等式，再由Q１Q２的中点在直线x＝(1／2）上，寻求k与ｂ的关系，进而确定ｂ的范围.设直线m的方程为y-b＝k(ｘ-1）,代入ｘ2-（ｙ2/2)=1中,得(2－k２)x2+2k(ｋ-b）x＋2bｋ-b2-k2－2＝0.据题意2-k２≠0，得Δ＞0，b２－2bｋ+2>0，①且k≠±．又Q１Ｑ2的中点在直线x=(1／2)上,∴[ｋ(ｋ－ｂ)］／（ｋ２-2）=（1／2）,即b=（ｋ2+2)／2k. ②将②代入①,得3k4-4k2－4＜0,解得-<k<且k≠０.以下求b的范围,有两种方法: (ｉ）可证函数ｂ=f（k)=(k2＋2／2k)＝（k ／2)+（1／k)在(-,0)及（0，）单调递减(略）,由此得b∈(-∞,－）∪（,+∞）;（ｉi)当0＜k＜时，ｂ＝(k／2）+(1/k）≥,当且仅当(k/2）＝（１/k),即k＝时等号成立,但k≠,∴b∈(，+∞);当－<k＜0时,b=－（（-k/2）+(1/-k）)≤-，当且仅当ｋ=-时等号成立，但k≠-，∴b∈（－∞,－).综上知ｂ∈（－∞,－)∪(，＋∞)．ﻫ本题(2）的解中，先由直线与双曲线有两个交点的几何性质得到b、k的不等关系①，再由Q１Q2的中点在直线x＝(1／２）的几何性质得函数关系式②，将问题转化为求函数b=ｆ（k）的值域(要特别注意定义域的确定)．这里既蕴含着方程思想，又蕴含着函数思想.三、专题训练 1若方程ｙ2－ｘ２lｇａ=（１／3)-a表示焦点在ｘ轴上的椭圆,则实数a的取值范围是（）．A.0<a＜（1／3)B.a＞(1/３) C．０＜a＜(1/１０）Ｄ.(１／10)<ａ<(１／3)2．如果直线l将曲线x2+2ｙ２-2x－８y＝0分成长度相等的两段，且ｌ不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( ).Ａ．［0，(1／2))ﻫＢ.［0,(１/2）]Ｃ．［０,1］ﻫ D.[0，2]ﻫ3对于双曲线(ｘ2/16）-（ｙ２/9)=1与(x２／16)-（y2／9)=λ(λ＞0，且λ≠1），有下列结论：①有相同的顶点;②有相同的焦点;③有相同的离心率；④有相同的渐近线；⑤有相同的准线．其中正确的是( ).A．①④ B.②④Ｃ.③④D．④⑤ﻫ4若曲线(x２／25）＋（y２/９）＝1与曲线x2/（2５-k)+y２/(9－ｋ)=1有相等的焦距，则ｋ的取值范围是（).Ａ．k<25且ｋ≠9 B.9<k<25ﻫＣ.k＜25ﻫＤ.ｋ>25ﻫ５若方程（5－ｋ）ｘ２+（｜k|－2)ｙ２=（5－ｋ)（｜ｋ｜-2）表示双曲线,则实数k的取值范围是____________．ﻫ６.若方程=k(x-２)+3有两个不同实数解，则实数k的取值范围是＿＿_____＿＿___.(用区间表示）ﻫ 7已知抛物线y=ｘ2＋ｍｘ+2与以A（0,1）、B(2,３）为端点的线段（不包含端点）有两个不同的交点,则实数m的取值范围是___＿__＿__＿_＿.ﻫ8圆锥曲线C的一个焦点是Ｆ（0，-2），相应的准线方程是ｙ=-(9/４），离心率ｅ满足条件:（2／3),e，(４／3）成等比数列.问：是否存在一条直线ｌ，使ｌ与曲线Ｃ相交于不同的点Ｍ、N，且线段MＮ恰好被直线ｘ＝-(1/2）平分？若存在,求出直线ｌ的倾斜角的取值范围;若不存在,说明理由．９．如图８-１7所示，已知直线l：y＝kx（k≠0）和抛物线C:(y+1)２=ｘ+1.如果Ｃ上存在点Ｐ1和P2关于l对称:图8-17ﻫ（1）求ｋ的取值范围；ﻫ (2）当直线l与抛物线C的一个交点P在直线x＝3上时，求△ＰP1Ｐ2的面积．10已知双曲线C：(1-ａ2）x2＋ａ2ｙ2=a２（ａ>1），设该曲线上支的顶点为Ａ,且上支与直线ｙ=－x 相交于P点，一条以A为焦点、M(0，ｍ)为顶点、开口向下的抛物线通过点Ｐ.设PM的斜率为ｋ,且（1/４）≤ｋ≤(1/3)，求实数a的取值范围.。

§2轨迹一、复习要点在第一轮的复习中，同学们已经初步掌握了求轨迹的一些基本方法，但比较零散．本节我们将系统地研究求轨迹的基本方法，使同学们能根据曲线上点的性质，选择恰当的方法求出轨迹方程．1本节的主要内容是求轨迹方程的几种基本方法——直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法．其重点是直译法、动点转移法和参数法；难点是坐标系的选择、参数法中参数的选择及轨迹方程所表示曲线的“完备性”和“纯粹性”．2轨迹问题是解析几何研究的主要内容之一，因而也成为高考命题的热点．1999年以此作为压轴题．3在本节复习中，应理解和掌握如下求轨迹方程的五种基本方法：（1）直译法若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成动点的坐标ｘ、ｙ（或ρ、θ）的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程．其一般步骤为：建系—设点—列式—代换、化简—检验．（2）定义法当动点满足的条件符合某种特殊曲线的定义时，则可根据这种曲线的定义建立方程．（3）待定系数法当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程．（4）动点转移法即就是当动点P（x,y）或P（ρ，θ）随着另一动点Q（ｘ１，ｙ１）或Ｑ（ρ１，θ１）的运动而运动，而动点Q在某已知曲线上，若Q点的坐标可用点P的坐标表示，则可代入动点Q所在已知曲线的方程中，求得动点P的轨迹方程．求对称曲线方程也常用此法．（5）参数法当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量ｔ，并用t 表示动点的坐标ｘ、ｙ，从而得动点轨迹的参数方程ｘ＝ｆ（ｔ），ｙ＝ｇ（ｔ），消去参数ｔ，便可得动点P的轨迹的普通方程．应注意方程的等价性，即由t的范围确定出x、y的范围．二、例题讲解例1 椭圆的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，Ａ１、Ａ２分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任一点，引Ａ１Ｑ⊥Ａ１Ｐ，Ａ２Ｑ⊥Ａ２Ｐ.设Ａ１Ｑ与Ａ２Ｑ相交于点Q，求Q点的轨迹方程．讲解：因Q点随P点的运动而运动，而P点在已知椭圆上，故可用动点转移法求解．思路1．设Ｑ（ｘ，ｙ）、Ｐ（ｘ１，ｙ１），如图8-4，A１的坐标为（－ａ，0），Ａ２的坐标为（ａ，0）．图8-4∵点P（ｘ１，ｙ１）在椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1上，∴（ｘ１２／ａ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1．①欲求Q点的轨迹方程，只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此，须寻求ｘ１、ｙ１与ｘ、ｙ之间的关系．∵Ａ１Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ１＋ａ）／ｙ１（ｘ＋ａ），②Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ１－ａ）／ｙ１（ｘ－ａ），③即ｙ１ｙ＝－ｘ１ｘ－ａｘ－ａｘ１－ａ２，④ｙ１ｙ＝－ｘ１ｘ＋ａｘ＋ａｘ１－ａ２，⑤联立④⑤，解得ｘ１＝－ｘ．⑥由①得ｘ１２＝ａ２（1－（ｙ１２／ｂ２））．⑦将④⑤代入Ａ１Ｑ的方程，得ｙ＝（ｘ１２－ａ２）／ｙ１＝（－（ａ２／ｂ２）ｙ１２）／ｙ１＝－（ａ２／ｂ２）ｙ１.∴ｙ１＝－（ｂ２／ａ２）ｙ．⑧将⑥⑧代入①，并整理，得（ｘ２／ａ２）＋（ｂ２ｙ２）／ａ４＝1．这就是Q点的轨迹方程．以上是将两个参数ｘ１、ｙ１逐一消去，实际上还可整体消参.②×③，得ｙ２＝（（ｘ１２－ａ２）／ｙ１２）（ｘ２－ａ２）．把ｙ１２＝（ｂ２／ａ２）（ａ２－ｘ１２）代入便可将参数一次消去．思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定，而动点P的位置与其对应的离心角有关，故可选点P 的离心角θ为参数，建立点θ的轨迹的参数方程．设点P的坐标为（Ａｃｏｓθ，Ｂｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｘ，ｙ），则直线Ａ１Ｑ的方程为ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ＋1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ＋ａ），①直线Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ－1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ－ａ）. ②①×②，消去θ，得ｙ２＝（ａ２（ｃｏｓ２θ－1）／（ｂ２ｓｉｎ２θ）（ｘ２－ａ２）＝－（ａ２／ｂ２）（ｘ２－ａ２），即（ｘ２／ａ２）＋（ｂ２ｙ２）／ａ４＝1．这就是所求Q点的轨迹方程．思路2用参数法求Q点的轨迹方程，在消参数时，整体处理，化繁为简，请同学们注意这种整体消参的思想．例2 如图8-5，给出定点A（a,0）（a＞0）和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a值的关系．图8-5讲解：思路1动点C的运动受两个条件的限制：一是随点B在l上的运动而运动，二是要满足∠AOC=∠COB.条件较多，坐标之间的关系不易直接建立，故可考虑选取中间变量即参数，将符合每一条件的方程列出，再联立各方程，消去参数得点C轨迹的普通方程．设点B的坐标为（-1，t）（t∈R），则直线OA、OB的方程分别为y=0和y=-tx.设点C（x,y）,则有0≤x＜a,由OC平分∠AOB，得｜y｜=（｜y+tx｜／）. ①又点C在直线AB上，∴y=-（t／1+a）（x-a）. ②∵x-a≠0，∴t=-（（1+a）／x-a）y. ③将③代入①，得y２［1+（（1+a）２y２／（x-a）２）］=［y-（（1+a）xy／x-a）］２.整理，得y２［（1-a）x２-2ax+（1+a）y２］=0.若y≠0,则（1-a）x２-2ax+（1+a）y２=0（0＜x＜a）;若y=0,则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．综上，得点C的轨迹方程为（1-a）x２-2ax+（1+a）y２=0（0≤x＜a）. ④（i）当a=1时，轨迹方程为y２=x（0≤x＜1）,此时方程表示抛物线弧段;（ii）当a≠1时，轨迹方程化为（（x-（a／1-a））２／（（a／1-a））２）+（y２／（a２／1-a２））=1（0≤x＜a）,∴当0＜a＜1时，方程表示椭圆弧段；当a＞1时，方程表示双曲线一支的弧段．思路2若设l与x轴的交点为D，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则可由∠AOC与∠BOD的关系2∠AOC=π-∠BOD，用直接法即求得动点轨迹的方程．请同学们自己试做．本例思路1中所得方程①、②即为点C轨迹的参数方程，这种参数方程称为“隐参数方程”，联立消参便可得普通方程．对方程④表示的曲线应注意分类讨论．例3已知两定点Ａ、Ｂ，且｜ＡＢ｜＝2ａ（ａ∈Ｒ＋）．（1）若动点Ｍ与A、Ｂ构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程；（2）若动点M满足条件∠ＭＢＡ＝2∠ＭＡＢ，求点M的轨迹方程．讲解：题设条件中没有给出坐标系，故应先考虑选择适当的坐标系，再用动点满足的几何条件用直译法求解．因Ａ、Ｂ为两个定点，故取ＡＢ所在的直线为ｘ轴，注意到对称性，取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图8-6所示．于是Ａ、Ｂ两点的坐标分别为（－ａ，0）、（ａ，0）．图8-6（1）设点M的坐标为（ｘ，ｙ），则动点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜ＡＭ⊥ＭＢ，且M不在直线ＡＢ上｝．由ＡＭ⊥ＭＢ，得｜ＡＭ｜２＋｜ＭＢ｜２＝｜ＡＢ｜２，即＝（2ａ）２，且ｙ≠0．①化简，得ｘ２＋ｙ２＝ａ２（ｙ≠0）．②或者由ＡＭ⊥ＭＢｋＭＡ·ｋＭＢ＝－1，得ｙ／（ｘ＋ａ）·ｙ／（ｘ－ａ）＝－1，③化简，得ｘ２＋ｙ２＝ａ２（ｘ≠±ａ）．④（2）设∠ＭＡＢ＝α，∠ＭＢＡ＝β，则点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜β＝2α｝．⑤考虑到ｔｇβ的存在性，以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论．Ⅰ．∵当β≠（π／2）时，有ｔｇβ＝ｔｇ2α．⑥而0≤α＋β＜π，β＝2α，∴0≤α＜（π／3）．又由α＜β知ｘ＞－ａ．⑦根据点M与ｘ轴的相对位置，以下又可分为（ｉ）、（ｉｉ）两种情形：（ｉ）当ｙ≥0时，ｔｇα＝ｋＭＡ＝ｙ／（ｘ＋ａ）（ｘ≠－ａ），ｔｇβ＝－ｔｇ（π－∠ｘＢＭ）＝－ｋＭＢ＝ｙ／（ａ－ｘ）（ｘ≠ａ）．由ｔｇβ＝ｔｇ2α，得ｙ／（ａ－ｘ）＝（2·（ｙ／（ｘ＋ａ）／1－（（ｙ／ｘ＋ａ））２），⑧整理得ｙ（3ｘ２－ｙ２＋2ａｘ－ａ２）＝0．⑨（ｉｉ）当ｙ＜0时，同理可得上式．Ⅱ．又ｘ＝ａ时，ｔｇβ不存在，但β＝（π／2），依题意只要α＝（π／4），Ｍ仍为所求轨迹上的点．∵1＝ｔｇ（π／4）＝ｔｇα＝±ｙ／（ｘ＋ａ）＝±（ｙ／2ａ），∴ｙ＝±2ａ，∴点（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上．容易验证点（ａ，2ａ）与（ａ，－2ａ）的坐标都满足方程⑨，故所求点M的轨迹方程为ｙ＝0（－ａ＜ｘ＜ａ）或3ｘ２－ｙ２＋2ａｘ－ａ２＝0（ｘ＞－ａ）．从本题的解答过程可以看到，用直译法求曲线（轨迹）方程时，其步骤中的第（5）步可以省略不写，但要下结论“最简方程就是所求曲线（轨迹）方程”，仍需验证曲线的方程定义中的两条，以保证轨迹的纯粹性与完备性．如在本题的解答过程中的①和②是同解变形，所得到的最简方程就是所求轨迹的方程．而从⑧到⑨中，若约去ｙ，则将会丢掉线段AB（不含端点），则轨迹就不完备．又如从方程③到④不是同解变形，这时需对ｘ的范围加以限制，即ｘ≠±ａ，去掉增解，以保证轨迹的纯粹性．又如从⑤到⑥，当β＝（π／2）时，不能得到⑥，故应对β＝（π／2）加以验证，经检验当β＝（π／2）时所对应的点A（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上已包含在方程⑨中．解题中不可忽视题目隐含的条件，如本例（1）中的M与A、Ｂ构成三角形，M不在AB上，须加限制条件ｙ≠0，又如（2）中的限制条件⑦．否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性．三、专题训练1一动圆与两圆ｘ２＋ｙ２＝1，ｘ２＋ｙ２－8ｘ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是（）．Ａ．抛物线B．双曲线C．双曲线的一支D．椭圆2若-｜x-y+3｜=0，则点M的轨迹是（）．Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线3设Ａ１、Ａ２是椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1长轴的两个端点，Ｐ１、Ｐ２是垂直于Ａ１Ａ２的弦的端点，则直线Ａ１Ｐ１与Ａ２Ｐ２交点的轨迹方程为（）．Ａ．（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1Ｂ．（ｙ２／9）＋（ｘ２／4）＝1Ｃ．（ｘ２／9）－（ｙ２／4）＝1Ｄ．（ｙ２／9）－（ｘ２／4）＝14过Ｐ（1，2）任作一直线ｌ交ｘ轴于Ａ，过Ｑ（2，－3）作ｌ的垂线交ｙ轴于B，点C分线段AB 为定比2，则点C的轨迹为（）．图8-7Ａ．6ｘ＋3ｙ＋4＝0Ｂ．6ｘ＋3ｙ－4＝0Ｃ．6ｘ－3ｙ＋4＝0Ｄ．6ｘ－3ｙ－4＝05倾斜角为（π／4）的直线交椭圆（ｘ２／4）＋ｙ２＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是_________．6设P是以Ｆ１、Ｆ２为焦点的双曲线（ｘ２／16）－（ｙ２／9）＝1上的动点，则△Ｆ１Ｆ２Ｐ的重心的轨迹方程是_________．7ＡＢＣ中，若Ｂ（－（ａ／2），0），Ｃ（（ａ／2），0），且ｓｉｎＣ－ｓｉｎＢ＝（1／2）ｓｉｎＡ，则顶点A的轨迹方程是_________．8求经过定点A（1，2），以ｙ轴为准线，离心率为（1／2）的椭圆左顶点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．9过点A（0，a）的动直线和圆（ｘ－2）２＋ｙ２＝1相交于Ｂ（ｘ１，ｙ１）和C（ｘ２，ｙ２）两点，且ｘ１＜ｘ２，点P在线段BC上，满足（｜ＰＢ｜／｜ＰＣ｜）＝（｜ＡＢ｜／｜ＡＣ｜），求点P的轨迹方程．10．已知定直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ，ｌ２：ｙ＝－ｋｘ（ｋ为非零常数），定点A（1，0），P是位于∠ＭＯＮ内部的动点（图8-8），过A作ｌ１、ｌ２的两条平行线与射线OP分别交于Ｑ、Ｒ点，且有关系：｜ＯＰ｜２＝｜ＯＲ｜·｜ＯＱ｜．图8-8（1）求动点P的轨迹；（2）是否有这样的点P存在，它在（1）的轨迹上，且使△ＡＱＲ的面积等于（1／4）｜ｋ｜？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。