高考数学解析几何-轨迹方程的求法专题复习(专题训练)

解析几何中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。

例3 抛物线24y x =焦点弦的中点轨迹方程是 。

四、几何法122=+y x MQ ()0>λλ几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.例6 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ． （1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消12-=t t OQOP去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例7 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.例8 已知两点以及一条直线：y =x ，设长为的线段AB 在直线上移动，求直线P A 和QB 交点M 的轨迹方程．七、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.)2,0(),2,2(Q P -ι2λ例9 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.例10 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．解析几何中求轨迹方程的常见方法1解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有，即，．12+=x y λ=MQMN λ=-MQONMO 22λ=+--+2222)2(1yx y x整理得，这就是动点M 的轨迹方程． 若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 2解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2（两定点的距离等于定长—椭圆）， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分. 在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x . 3解： 设弦端点1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为(,)M x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()1212124y y y y x x -+=- 因为12121221y y yy y y x x x +=⎧⎪-⎨=⎪--⎩所以22(1)y x =-4解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--， 半径为25221=AB ，方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x . 5解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ， 则直线OB 的斜率为k1-.直线OA 的方程为kx y =， 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45=x )0,45(2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(22-λλ13122-+λλ由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==kp y k px 222，即)2,2(2k p k p A ， 同理可得)2,2(2pk pk B -.由中点坐标公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=pk kpy pk k p x 22，消去k ，得)2(2p x p y -=， 此即点M 的轨迹方程.6解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为．(2)设点解方程组 得 由和得其中t ＞1．消去t ， 得点P 轨迹方程为和． 其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．7解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得 直线M A 1的方程为)(11a x ax y y ++=------①； ).0(12222＞＞b a b x a y =+⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 222222)1()1(t y t x t t =-+-),,(),,(11y x Q y x P ⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 12-=t t OQ OP 1x x OQ OP =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或)22(222>=x y x )22(222-<-=x y x y x 222=22=x y x 222-=22-=x直线N A 2的方程为)(11a x ax y y -+-=------②. 由①x ②得)(22221212a x ax y y ---=---------③. 又,1221221=-b y a x )(2122221x a ab y -=-∴，代入③得)(22222a x ab y --=，化简得12222=+by a x ，此即点P 的轨迹方程.当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆； 当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.8解： P A 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化， 故可设， 则P A ：QB ：消去t ，得当t =－2，或t =－1时，P A 与QB 的交点坐标也满足上式， 所以点M 的轨迹方程是9解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --. 因为N 在直线l 上，.22211=-+-∴y y x x ----① 又l PN ⊥得,111=--x x y y 即011=-+-x y y x .---② 联解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=22322311x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上， 1)223()223(22=-+--+∴x y y x ， 化简整理得：01222222=-+--y x y x ，)1,1(),,(++t t B t t A ),2)(2(222-≠++-=-t x t t y ).1(112-≠+-=-t x t t y .082222=+-+-y x y x .0822222=+--+-y x x y x此即动点P 的轨迹方程.10解：设，由题设，P 分线段AB 的比， ∴ 解得. 又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线．),(),,(11y x B y x P 2==PBAPλ.2121,212311++=++=y y x x 2123,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2323()2123(2+-=-x y ),31(32)31(2-=-xy。

解析几何讲义--定线、定点、定值问题学员编号：年级：高三课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：孙明靖授课类型T—同步C—专题T—能力星级★★★★★★★★★★教学目标1.求轨迹方程的题型方法2.定点问题的解题方法3.定制问题的解题方法教学重难点 1.熟练掌握相关的题型方法授课日期及时段2021年01月01日 13：00—15：00教学内容基础梳理定线问题：定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．精讲精练一、一般法：求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(),x y，轨迹方程就是,x y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用,x y表示。

推导圆、圆锥曲线等的标准方程都用了这种方法。

【例1】点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【变式】已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．二、相关点代入法【例2】已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点．(1)求点P(x，y)的轨迹方程；(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值．【变式】P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．三、定义法【例3】已知点A(－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．【变式】如图，已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3,0)，动圆P 过B 点且与圆A 内切，设动圆P 的半径为r ，求圆心P 的轨迹方程．能力检验1．动点P到两定点A(－3,0)、B(3,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．2与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________. 3.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程.(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.4．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．5.如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．6．已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．知识小结定点问题：圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清．(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.题型：“设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．重点梳理精讲精练【跟踪训练3】(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【名师指导】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：课后小结定值问题：定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现.（1）圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：（2）两种解题思路：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：其解题流程为：(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.难点梳理“设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝2NM ―→.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．【跟踪训练1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．能力突破能力提升【跟踪训练2】已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)，过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．【跟踪训练3】(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值【名师指导】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：课后小结（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程过曲线C上位于。

轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。

依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。

轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。

设点。

列式。

化简。

说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。

26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。

专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。

轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。

在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。

在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。

一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。

2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。

3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。

二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。

3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。

高考数学解析几何解答题专项练习题（附解析）各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大伙儿一定要在平常的练习中不断积存，查字典数学网为大伙儿整理了解析几何解答题专题训练题，期望同学们牢牢把握，不断取得进步!1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2，与y2=2px联立，从而有4x2-5px+ p2=0，因此x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，因此p=4，从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4，知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0，从而x1=1，x2=4，y1=-22，y2=42，从而A(1，-22)，B(4,42).设OC=(x3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)，又y23=8x3 ，因此[22(2-1)]2=8(4+1)，即(2-1)2=4+1，解得=0，或=2.2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在如此的直线l，使得直线OD 与MC恰好平行?假如存在，求出l的方程;假如不存在，请说明理由.解(1)设圆C：(x-a)2+y2=R2(a0)，由题意知|3a+7|32+42=R，a2+3=R解得a=1或a=138，又S=13，a=1，R=2.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得y=kx+3x-12+y2=4，消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200，解得k 1-263或k1+263.x1+x2=-6k-21+k2，y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2，OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，36k-21+k2=2k+61+k2，解得k=34-，1-2631+263，+，假设不成立，不存在如此的直线l.3.已知A(-2,0)，B(2,0)，点C，点D满足|AC|=2，AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN 的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.解(1)设C ，D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则AC=(x0+2，y0)，AB=(4,0)，则AB+AC=(x0+6，y0)，故AD=12(AB+AC)=x02+3，y02.又AD=(x+2，y)，故x02+3=x+2，y02=y.解得x0=2x-2，y0=2y.代入|AC|=x0+22+y20=2，得x2+y2=1，即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)，①设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②将①代入②整理，得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③因为直线l与圆x2+y2=1相切，故|2k|k2+1=1，解得k2=13.故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-a2a2-3.由题意有a2a2-3=245(a24)，解得a2=8，经检验，现在0.故椭圆的方程为x28+y24=1.4.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，F1PF2=3，△F1PF2的面积为33.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为54，0，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，关于任意的kR，MAMB是否为定值?若是，求出那个定值;若不是，说明理由.解(1)设|PF1|=m，|PF2| =n.在△PF1F2中，由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3，化简得，m2+n2-mn=4.由S△PF1F2=33，得12mnsin3=33.化简得mn=43.因此(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=22，由此可得，a=2.又∵半焦距c=1，b2=a2-c2=1.因此，椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，由y=kx-1，x22+y2=1消去y，得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-12k2+1.∵MAMB=x1-54，y1x2-54，y2=x1-54x2-54+y1y2=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2=-4k2-22k2+1+2516=-716.由此可知MAMB=-716为定值.5.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.(1)求双曲线E的方程;(2) 已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FPFQ 为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.解(1)由题意知|6|12+-12=a，a=3.又∵2c=4，c=2，b=c2-a2=1.双曲线E的方程为x23-y2=1.(2)当直线为y=0时，则P(-3，0)，Q(3，0)，F(-2,0)，FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.当直线不为y=0时，可设l：x=ty+m(t3)，代入E：x23-y2=1，整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)由0，得m2+t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3，y1y2=m2-3t2-3，FPFQ=(ty1+m+2，y1)(ty2+m+2，y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=t2-2m2-12m-15t2-3.当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ为定值，解得m1=-3-3，m2=-3+3(舍去).死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

专题八、解析几何（三）点的轨迹方程1.求点的轨迹方程的常用方法：（1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可根据已知条件和曲线的固有定义，求出轨迹方程。

（2）直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示出那些等量关系，化简即可得到轨迹方程。

（3）参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），再通过消去参数t ，得到关于x ，y 的轨迹方程F （x ，y ）＝0。

（4）代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

（5）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可得到轨迹方程。

（6）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法。

（7）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题先求解两动曲线方程组，得出它们的交点（含参数）坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法、点差法并用。

2.求轨迹方程的注意事项：求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。

（一）用定义法求点的轨迹方程例1. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

第九讲圆锥曲线轨迹方程求法求轨迹方程的常用方法：⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标（Xo、Yo），然后代入点P的坐标（Xo、Yo）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

（用未知表示已知，带入已知求未知）⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

考向一直接法求轨迹方程【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为。

【答案】【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），则 ， ， ， 由，则，化简整理得y2＝﹣8x．【举一反三】1.已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【答案】y 2＝x －1.【解析】设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足 ，则动点P 的轨迹方程为 。