下载文档原格式
第一章丰富的图形世界1.预习目标：1. 学会观察物体间的特征，体会几何体间的联系和区别，并能根据几何体的特征，对其进行简单分类。
进一步认识点、线、面、体，感受点、线、面、体之间的关系；2.了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图；能认识棱柱的某些特性；能根据展开图判断和制作简单的立体模型。
3.了解圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型；初步了解空间图形与截面的关系，理解截面的意义．4.能识别简单物体的三视图，会画立方体及其简单组合的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原形。
2.预习知识框：1、生活中常见的几何体：圆柱、、正方体、长方体、、球2、常见几何体的分类：球体、柱体（圆柱、棱柱、正方体、长方体）、锥体（圆锥、棱锥）3、平面图形折成立体图形应注意：侧面的个数与底面图形的边数相等。
4、圆柱的侧面展开图是一个长方形；表面全部展开是两个和一个；圆锥的表面全部展开图是一个和一个；正方体表面展开图是一个和两个小正方形，；长方形的展开图是一个大和两个。
5、特殊立体图形的截面图形：(1)长方体、正方体的截面是：三角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、五边形、。
(2)圆柱的截面是：、圆(3)圆锥的截面是：三角形、。
(4)球的截面是：6、我们经常把从看到的图形叫做主视图，从看到的图叫做左视图，从看到的图叫做俯视图。
7、常见立体图形的俯视图8、点动成，线动成，面动成。
3.巩固预习：课本P5 1,2P9 2,3 P12-13 1,1,2,3 P15-16 1,(1)(2) P18 1 P19 1 P233 P24 1,2 P26-27 1,2,34.尝试练习：1．长方体有________个顶点，有_______条棱，______个面，这些面的形状都是_______.2．圆柱的侧面展开图是__________，圆锥的侧面展开图__________.3．如果一个几何体的视图之一是三角形，这个几何体可能是___________（写出两个即可）.4．用平行于圆锥的底面的平面去截圆锥，则得到的截面是________形.5．薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去象球，这说明了____ _____________. 6．如图所示，将图沿虚线折起来，得到一个正方体，那么“3”的对面是_______（填编号）.412653第6题题第9题题第7题题7．能展开成如图所示的几何体可能是____________.8．如图中，共有____个三角形的个数，_____个平行四边形，_____个梯形. 9．一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为_________.10．在乒乓球、橄榄球、足球、羽毛球、冰球中，是球体的有；11．将下列几何体分类，柱体有：，锥体有（填序号）；12．棱柱的侧面是，分为棱柱和棱柱；13．如图1-1中的几何体有个面，面面相交成线；14．把一块学生使用的三角板以一条直角边为轴旋转成的形状是体形状；第二章有理数1.预习目标：1.会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量.2.认识数轴,会用数轴上的点表示有理数;借助数轴了解相反数的概念,知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系;利用数轴比较有理数的大小3.借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。
人教版七年级数学上册知识汇总（预习复习）第一章有理数知识点一有理数的分类初一数学上册：知识汇总有理数的另一种分类初一数学上册：知识汇总想一想：零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。
知识点二数轴1.填空规定了唯一的原点，正方向和单位长度 (三要素)的直线叫做数轴。
比－3大的负整数是-2、-1。
与原点的距离为三个单位的点有2个，他们分别表示的有理数是3、-3。
2.请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？3.选择题在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（）Ａ整数Ｂ负数Ｃ非负数Ｄ非正数下列语句中正确的是（）Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来答案 AD知识点三相反数相反数：只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。
在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。
知识点四绝对值1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。
2.绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。
3.比较两个数的大小关系数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。
由此可知：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。
知识点五有理数加减法1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2.互为相反数的两个数相加得0。
3.一个数同0相加，仍得这个数。
4.减去一个数，等于加上这个数的相反数。
知识点六乘除法法则1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
1.5有理数的乘方一、知识回顾：1.平方：两个相同的因数相乘叫做这个数的平方，如：5×5=立方：三个相同的因数相乘叫做这个数的立方，如：5×5×5=2. 先算乘除，再算加减；如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算从左到右进行。
二、新课讲授1.有理数乘方的意义*1）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
一般地，n个a相乘记作,读作a的n次方，当看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。
2）乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数。
注意1）一个数可以看作这个数本身的1次方，例如：1通常省略不写。
2）乘方的意义：3）乘方与幂的区别：例题1.关于的说法正确的是（）A．-3 是底数，4是幂B. -3 是底数，4是指数，-81是幂C．3 是底数，4是指数，81是幂D．-3 是底数，4是指数，是幂例题2.把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么。
（1）（-3.14）×（-3.14）×（-3.14）×（-3.14）×（-3.14）；（2）×××××；（3）m﹒m﹒m﹒…﹒m （2n个m）。
2.有理数乘方运算的性质有理数乘方运算是利用有理数的乘法运算进行的，根据有理数的乘法法则得出：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0.例题3计算：（1）（2）-（3）(4) -（5）注意：（1）与-的区别：（2）与-的区别：3.有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1）先乘方，再乘除，最后加减；2）同级运算，从左到右进行；3）如果有括号，先做括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
例题4.计算：（1）5-3÷2×-；（2）×[]-4.科学计数法把一个大于10的数表示成a×的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的方法是科学计数法。
1.1正数和负数(1)正数: 大于0的数;负数: 小于0的数；(2)0既不是正数, 也不是负数；(3)在同一个问题中, 分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;(4) — a不一定是负数, +a也不一定是正数；(5)自然数: 0和正整数统称为自然数;(6) a>0 a是正数；a>0 a是正数或0 a是非负数；a< 0 a是负数；a< 0 a是负数或0 a是非正数.1.2有理数(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式, 这样的数称为有理数;(2)正整数、0、负整数统称为整数;(3)有理数的分类:第一章有理数正有理数正整数正整数整数有理数零有理数负有理数负整数分数负整数正分数(4)数轴: 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；(即数轴的三要素)(5) 一般地, 当a是正数时, 则数轴上表示数 a的点在原点的右边, 距离原点点在原点的左边, 距离原点 a个单位长度;(6)两点关于原点对称: 一般地, 设 a是正数, 则在数轴上与原点的距离为a的点有两个, 它们分别在原点的左右, 表示-a和a,我们称这两个点关于原点对称；(7)相反数: 只有符号不同的两个数称为互为相反数；(8) 一般地, a的相反数是一a；特别地, 0的相反数是0;(9)相反数的几何意义: 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；(10)a、b互为相反数a+b=0 ;(即相反数之和为0)a ,b ,(11)a、b互为相反数一1或一1;(即相反数之商为—1)b a(12)a、b互为相反数|a|=|b| ;(即相反数的绝对值相等)(13)绝对值: 一般地, 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做 a的绝对值；([a|R)(14)一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0;a (a 0)(15)绝对值可表示为: a 0 (a 0)a (a 0)(16) —1 a 0 ；— 1 a 0;a a(17)有理数的比较: 在数轴上表示有理数, 它们从左到右的顺序, 就是从小到大的顺序。
数学学习效率低的三种情况及解决方法很多同学，上课一听就会，但做题确实一做就错；更有很多同学，会做的题总因为粗心出错；还有些同学，学习心态不端正。
以上三种情况，就是导致学习效率低下的最主要原因。
现象一：一听就会，一做就错，总是在看到答案后恍然大悟很多学生在看到题目时觉得面熟，能肯定自己以前做过原题或类似的题目，但就是想不起来该怎么做，越是回忆以前做过的类似题目越是没有思路，等到答案时才大喊一声，哇，原来是这样的啊。
于是再做，发现还是不能独立的把题目完整的做出来，于是再看答案，在做。
原因：原来在做题目时没有真正理解题目的解法，只能是跟着老师的思路吧题目抄下来，没有自己动手整理，导致自己觉得会做了，其实只是在当时把题目背过了，一段时间以后就只记得题目不记得的解法了。
所以，“背题”是万万要不得的，考试的题目千千万万，背得过来吗？解决方法：在做完一道题目后，让孩子讲解给家长听，也可让同学帮你检查你对这个题目的理解还有什么欠缺，发现问题立即问老师，力争当堂把题目理解透彻。
家长可以在一两周之后把这道题目的数据换一下，在让孩子做一遍，这样就能做到让孩子彻底的掌握这种类型题目的解法，海能达到举一反三的效果。
现象二：会做，但总是粗心，不是抄错题就是算错数很多家长都反映说自己的孩子很粗心，经常把会做的题目算错，甚至有家长说孩子期末考试考了96分，丢掉的那4分全是粗心算错的，并对这个成绩很满意，还有很多学生也说，这些题目我会做就可以了，这次算错了没关系，到考试时能算对就可以了。
其实，作为多年教学经验的老师，我们告诉各位家长，会做做不对才是最可怕。
原因：粗心的原因有两个，一是心态问题，这个问题后面会详细的说。
第二个原因就是对知识掌握得不牢固，模棱两可，错误总是在你掌握不牢固的地方出现，那些看似是粗心犯的错，其实都是因为在应用知识的时候不熟练，导致出错。
解决方法：有选择的多做题目，在数学学习中，我们反对搞题海战术，但是要想学好数学，不做题目不进行针对性训练是无法把学到的知识掌握牢固的。
2014年暑假七年级数学预习班第一期辅导资料（01）理想文化教育培训中心 学生姓名:___________ 成绩_______一、教学目标1．借助生活中的实例，感受引入负数的必要性, 认识到数的产生和发展离不开生活和生产的需要；2．知道什么是正数和负数，并会用正、负数表示实际问题中的数量；3．理解数“0”表示的量的意义；4．体会数学符号与对应的思想，用正、负数表示具有相反意义的量的符号化方法；5．通过本节课的学习，培养观察、想象、归纳与概括的能力；6．通过正负数的学习，渗透对立、统一的辩证思想．二、教学过程（一）新课导入：1、问题1 ： 天气预报2011年12月某天北京的温度为－3～3℃，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？2、问题2： 有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4 ：1），黄队胜蓝队（1 ：0），蓝队胜红队（1 ：0），如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？3、问题3 某机器零件的长度设计为100mm ，加工图纸标注的尺寸为100±0.5（mm ），这里的±0.5代表什么意思？合格产品的长度范围是多少？（二）新授：1、问题1～3和师生活动中出现了一种新数：－3、－2、－0.5、－1，它们分别表示：零下3摄氏度，净输2球，小于设计尺寸0.5mm ，向后走一步．我们把这种前面带有“－”号的数叫做负数，而3、2、＋0.5等与负数具有相反的意义，它们在问题中分别表示零上3摄氏度，净胜2球，大于设计尺寸0.5mm ．2、引出负数的概念，并给出定义．我们把这种前面带有“−”号的数叫做负数。
由于有了负数，我们把以前学过的数中的“0”以外的数，例如3、2、0.5、31等，叫做正数，根据需要，有时在正数前面也加上“＋”号，例如，＋3、＋2、＋0.5、＋31，…就是3、2、0.5、31…． 一个数前面的“＋”“－”号叫做这个数的符号．3、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界．0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度．0的意义已不仅是表示“没有”．4、（1）学生举例说明正、负数在实际中的应用。
人教版·七年级上册数学讲义第3讲 数轴动点（二）疯狗问题知识导航疯狗问题的难度并不大，特征也很明显，即一个较高的速度动点（疯狗）不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止．在这个运动过程中，我们并不能清晰的分析出这里的运动状态，但可以通过两低速动点相遇所花费的时间来得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的路程．例题1点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 满足：()()222240b c ++-=，且多项式32321a x y ax y xy +-+-是五次四项式．若数轴上有三个动点M 、N 、P ，分别从点A 、B 、C 开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点P 向左运动，点M 向右运动，点N 先向左运动，遇到点M 后回头再向右运动，遇到点P 后回头向左运动，……，这样直到点P 遇到点M 时三点都停止运动，求点N 所走的路程．练习1已知数轴上的点A 、B 对应的数分别为x 、y ，且()21002000x y ++-=．点P 为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒，若点A 沿数轴向右运动，速度为10单位长度/秒，点B 沿数轴向左运动，速度为20单位长度秒，点A 、B 、P 三点同时开始运动．点P 先向右运动，遇到点B 后立即掉头向左运动，遇到点A 后再立即掉头向右运动……如此往返．当A 、B 两点相距30个单位长度时，点P 立即停止运动，求此时点P 移动的路程为多少个单位长度？ 挡板问题到达挡板后停止例题2已知点A 、B 在数轴上表示的数分别为a 、b ，且满足2a -与()290b -互为相反数．（1）a 值为_____，b 值为_____．（2）已知电子狗P 从点A 出发，向右匀速运动，速度为每秒1个单位长度，另一电子狗Q 从点B出发，向左匀速运动，速度为每秒3个单位长度，且Q比P先运动2秒，已知在原点O处有病毒，若电子狗遇到病毒则停止运动，未遇到病毒则继续运动．问电子狗P经过多长时间，有P、Q 两只电子狗相距70个单位长度？练习2数轴上A、B两点对应的数分别为-80、20，一电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，目的地为B点；另一电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，目的地为A点．（1）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距20个单位长度？（2）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距80个单位长度？到达挡板后返回例题3如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足++=．+a b a430（1）求A、B两点之间的距离．（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；两秒后另一个小球乙从点处以3个单位秒的速度也向左运动，左碰到挡板后（忽略球的大小，可以看作一点）乙球以4个单位/秒的速度向相反的方向运动，设甲球的运动的时间为t（秒）．①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用含的式子表示）．②求甲、乙两小球到原点的距离相等时，甲球所在位置对应的数．数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26、-10、20，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，当P点运动到C点时运动停止设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P点对应的数：__________．（2）当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回A点．①用含t的代数式表示Q在由A到C过程中对应的数：__________．②当t=__________时，动点P、Q到达同一位置（即相遇）．③当PQ=3时，求的值．练习32019~2020学年10月湖北武汉江岸区武汉市七一华源中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足()2-+-=．440a b a（1）直接写出a、b的值．（2）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动．当10PQ=时，求P点对应的数．例题4已知多项式26233---中，多项式的项数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、25320m n m n nb、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）写出a=_____；b=_____；c=_____．（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、3，（单位/秒），当乙追上甲时，甲、乙继续前行，丙此时以原速向相反方向运动，问甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发到乙、丙相距2个单位长度时所经历的时间是多少秒？总结归纳无论是遇到挡板后停止的动点问题，还是遇到挡板后返回的动点问题，其本质都是，在遇到挡板的前后，该动点的运动状态发生了改变．因此，必须以到达终点或碰到挡板的时间为界，分别表示出在不同时间段内动点的位置表达式（含t的代数式），即分段讨论，在此基础上再来研究相关点的距离关系，这样才不会漏解．同学们可以体会挡板问题和一般的动点问题的不同之处，自己归纳易错点和相应解法，这样印象更深刻，能真正理解动点问题的本质以及各题型之间的异同．练习42018~2019学年10月湖北武汉洪山区武汉市卓刀泉中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足()2++++-=．动点a b c2410100P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，（1）求a、b、c的值．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．例题52018~2019学年湖北武汉东湖高新区初一上学期期中第24题12分数轴上m，n，q所对应的点分别为点M，点N，点Q．若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ．我们有QM q m=-．=-，NQ n q（1）点A，点B，点C在数轴上分别对应的数为-4，6，c．且BC CA=，直接写出c的值_____．（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒．求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7．（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至B点后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向B点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇．练习52019~2020学年10月湖北武汉武昌区武昌首义中学初一上学期月考第24题12分如图，数轴上点A、C对应的数分别是a、c，且a、c满足()2a c++-=，点B对应的数是-3．410（1）求数a、c．（2）点A、B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间为t秒，在运动过程中，点B运动到点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，求在此运动过程中，A、B两点同时到达的点在数轴上表示的数是_____（直接写出答案）挑战压轴题2017~2018学年湖北武汉江岸区武汉二中广雅中学初一上学期期中第24题如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为-20、40，C点在A、B之间．在A，B、C三点处各放一个档板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到档板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B档板时，两球均停止运动）（1）若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好第二次碰到B档板求C点所对应的数．（2）在（1）的结论下，若M，N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到档板的时间依次为a，b，c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟．①请直接写出下列时段内小球所对应的数（用含t的代数式表示）当0t a≤≤时，N小球对应的数为_____，当a t b<≤时，N小球对应的数为_____，当b t c<≤时，N小球对应的数为_____．②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值．（3）移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为AP中点，点F在线段BQ上，且14QF BQ=，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？巩固加油站巩固12019~2020学年12月湖北武汉蔡甸区经济技术开发区第一中学初一上学期月考第24题12分如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴的正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A，B的速度之比为1:4（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A，B两点从（1）中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，几秒后，两动点到原点的距离相等？（3）在（2）中若B在A的右侧，A、B两点继续同时开始向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向点A运动……如此往返，直到点B追上点A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位长度秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，行驶的路程是多少个单位？巩固2数轴上A、B两点表示的有理数为a、b，且()2350a b-++=．小蜗牛甲以1个单位长度秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D 点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发到此时，小蜗牛甲共用去多少时间？巩固3数轴上A点对应的数是-1，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再以同样速度立即返回到A点，共用了4秒钟．（1）求点C对应的数．（2）若小虫甲返回到A点后再做如下运动：第1次向右爬行3个单位，第2次向左爬行5个单位，第3次向右爬行7个单位，第4次向左爬行9个单位……依此规律爬下去，求它第10次爬行后停在点所对应的数．（3）回答下列各问：①若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，则运动t秒后，甲、乙两只小虫的距离为_____（用含t的整式表示）．②若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点B和点C出发背向而行，乙的速度是每秒2个单位，丙的速度是每秒1个单位．假设运动t秒后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是D、E、F，则32DE EF-是定值吗？如果是，请求出这个定值．巩固4如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A、B、C、D对于的数分别是a、b、c、d，且214d a-=．（1）那么a=_____，b=_____．（2）点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点A到达D点处立刻返回，与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数．（3）如果A、B两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点C从图上的位置出发也向数轴的负方向运动，且始终保持23AB AC=．当点C运动到-12时，点A对应的数是多少？。
第一讲 有理数有理数的意义【知识梳理】知识点一、正数与负数像+2、+3等大于0的数，叫做正数；像-2、-3等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 知识诠释：（1）一个数前面的“+”、“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．知识点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类： 0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数正分数分数负分数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数 知识诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数可以看作有限小数、无限循环小数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】类型一、正数与负数例1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣20元表示（ ）A ．支出80元B ．收入80元C ．支出20元D ．收入20元举一反三：【变式】一种大米的质量标识为“(50±0.5)千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）A ．50.0千克B ．50.3千克C ．49.7千克D ．49.1千克例2．学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？类型二、有理数的分类例3．下面说法中正确的是（）A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．-a一定是负数．D．正整数和正分数统称正有理数．举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【变式2】下列四种说法，正确的是（）A．所有的正数都是整数B．不是正数的数一定是负数C．正有理数包括整数和分数D．0不是最小的有理数类型三、探索规律例4．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…….按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，……，根据这个规律，那么第2021个数是： .【变式2】观察下列有规律的数：21，61，121，201，301，……，根据其规律可知 第10个数是： .数轴与相反数【知识梳理】知识点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.知识诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km 、m 、dm 、cm 等．2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如π.知识点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.知识诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；（3）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。
第一讲 有理数与数轴入门测成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为A ．+3B ．﹣3C ．31+D ．31-B2．以下4个有理数中，最小的是A ．-1B ．1C ．0D ．-2D 3．31-的相反数是 ． 134．下列说法正确的是①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③一个有理数不是正数就是负数 ④两个数比较，绝对值大的反而小 A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ A5．若数轴上点A 表示的数是-3, 则与点A 相距4个单位长度的点B 表示的数是 ． -7或16．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是 AA ．aB ．bC ．cD ．d7．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为25.0+，1-，5.0+，75.0-．小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为 千克．99教学目标1．理解并掌握有理数、数轴、相反数、绝对值的意义2．会比较有理数的大小3．会求有理数的相反数和绝对值4．会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识梳理1．正数和负数大于的数叫做0 正数，等在正数前面加上负号"" 的数小于的数叫做，形如-3-0.50 负数0 既不是正数也不是负数2．有理数、和统称为正整数0 负整数整数、统称为正分数负分数分数和统称为整数分数有理数所以有理数可以分为．和正有理数 0 负有理数 3．数轴数轴：规定了 ． 和 的直线叫做数轴原点 正方向 单位长度所有的有理数都可用数轴上的点来表示4．数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）（2）在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”） （3）确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）； （4）选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，… 从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…5．相反数相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数符号就是0的相反数 0求一个数的相反数只要在 加上"-"即可，若求一个代数式的相反数就是用括号把这 个代数式括起来，再在这个 加上"-"．前面括号前性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=，1ab=-（b 0≠）两个数相加为零，则这两个数互为，他们分别位于原点的，且到原点的相反数两侧距离相等6．绝对值绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离在数轴上离开的距离就叫做这个数的原点绝对值一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是绝对值的代数意义：||() () ()aa aaa a=>=-<⎧⎨⎪⎩⎪00典型例题例题1：1．我们把向东运动5米记作“+5米”，则向西运动3米记作________米．-32．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示A．支出80元B．收入20元C．支出20元D．收入80元A练习1：1．如果零上5℃记作5+℃，那么零下5℃记作CA．-5B．-10C．-5 D．-10练习2：1．在－3，－1，2，0这四个数中，是正数的数是CA．－3 B．－1 C．2 D．0例题2：1．有8筐白菜, 以每筐25千克为标准, 超过的千克数记作正数, 不足的千克数记作负数,称后的记录如下：1．5 -3 2 -0．5 1 -2 -2 -2．5回答下列问题：（1）这8筐白菜中, 最接近25千克的那筐白菜为__________千克; 24.5（2）以每筐25千克为标准, 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？5.5（3）若白菜每千克售价2.6元, 则出售这8筐白菜可卖多少元？505.7练习1：1．某日，司机小张作为志愿者在东西向的公路上免费接送游客。
数轴、相反数、绝对值（讲义）➢ 课前预习1. 为了表示相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的， 用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．请根据上述内容回答问题：（1）如果规定向东为正，那么向东走 5 m 可记作+5 m，向西走 8 m可记作m．（2）一种袋装食品标准净重为 200 g，质监工作人员为了了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重 205 g 记为+5 g，那么食品净重 197 g 就记为g．2. 正数可分为正整数和正分数，那么负数也可以分为负整数和负分数．比如：-2，-5 等都是负整数，而-1.5， 数．请将下列各数进行分类：1 都是负分 23 3，-2.5，3.14， ，-9，100，02其中属于整数的有：；其中属于分数的有：；其中属于正数的有：；其中属于负数的有：．3. 如图，点 A 表示小明的家，动物园在小明家西边 500 米，书店在小明家东边 500 米，车站在书店东边 200 米，小明从动物园出发向东走 1000 米，到达；动物园和书店到小明家的距离都是米；小明从家出发，走了 500 米，可以到达 ； 动 物 园 和 车 站 之间的距离为米．B 动物园ACD家书店 车站1➢ 知识点睛1.与2. 有理数的分类：统称为有理数．有理数有理数3. 非正数：非正整数：；非负数： ；非负整数：4. 数轴的定义：规定了、、叫做数轴．任何一个都可以用数轴上的一个点来表示．画数轴时注意以下几点： ①三要素； ②直线； ③数字和点的位置．． ． 的一条画数轴：5. 数轴的作用：、、．6. 利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，越往右数越，越往左数越，右边的总比左边的．正数0，负数0，正数负数．7. 相反数的定义：地，的两个数，互为相反数．特别 ．互为相反数的两个数，和为 0．8. 绝对值的定义：在上，一个数所对应的点与原点的叫做这个数的绝对值．9. 绝对值法则：正数的绝对值是；；．字母表示： a 请尝试写出下列式子的相反数：a 的相反数是 a 的相反数是 a b 的相反数是； ； ．事实上：绝对值是它本身的数是；绝对值是它的相反数的数是．2➢ 精讲精练1. 若上升 5 m 记作+5 m，则 8 m 表示表示支出 10 元，那么+50 元表示；如果 10 元 ；如果零上 5℃记作+5℃，那么零下 2℃记作；太平洋中的马里亚纳海沟深达 11 034 m，可记作海拔 11 034 m（即低于海平面 11 034m），则比海平面高 50 m 的地方，它的高度记作海拔 ， 比 海 平 面 低30 m 的地方，它的高度记作海拔．2. 有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450 克）为基数， 超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ） A．+2B． 3 C．+3D．+43. 某超市出售的三种品牌的洗衣液袋上分别标有净重为(800±2) g，(800±3) g，(800±5) g 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）A．10 gB．8 gC．7 gD．5 g4. 把下列各数填入它所在的集合里：2，7， 2 ，0，2 015，0.618，3.14， 1.732， 5，+3 3①正数集合：{…}②负数集合：{…}③整数集合：{…}④非正数集合：{…}⑤非负整数集合：{…}⑥有理数集合：{…}5. 在数轴上表示下列各数：0， 3.5，11 ， 1，+3， 2 2 ，并23比较它们的大小．36. a，b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关于 a，b，0 三者之间的大小关系，正确的是（）a0bA．0<a<bB．a<0<bC．b<0<aD．a<b<07. 在数轴上大于 4.12 的负整数有．8. 到原点的距离等于 3 的数是．9. 数轴上表示 2 和 101 的两个点分别为 A，B，则 A，B 两点间的距离是.10. 在数轴上，点 M 表示的数是 2，将它先向右移 4.5 个单位， 再向左移 5 个单位到达点 N，则点 N 表示的数是.11. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上， 文具店在书店西边 20 米处，玩具店位于书店东边 100 米处， 小明从书店沿街向东走了 40 米，接着又向东走了 60 米，此时小明的位置在（）A．玩具店B．文具店C．文具店西边 40 米D．玩具店东边 60 米12. 已知数轴上点 A 与原点的距离为 2，则点 A 对应的有理数是，点 B 与点 A 之间的距离为 3，则点 B 对应的有理数是．13. 下列各组数中，互为相反数的是（）A．0.4 与 0.41 C． ( 8) 与 8 14. 下列化简不正确的是（B．3.8 与 2.9D． ( 3) 与 ( 3) ）A． ( 4.9)4.9B． ( 4.9)4.9C．( 4.9)4.915. 下列各数中，属于正数的是（A． ( 2)C． ( a)D． 4.9 ）( 4.9)B． 3 的相反数D． 3 的相反数的相反数16. a，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a， a，b， b 按照从小到大的顺序排列正确的是（）A． baabC． b aaba0B． baD． b bbba aa417. 有理数的绝对值一定是（）A．正数B．整数C．正数或零D．非正数18. 下列说法正确的是（）A．一个数的绝对值一定大于它本身B．只有正数的绝对值等于它本身C．负数的绝对值是它的相反数D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数19. 填空：3.5 =； 1= 2；5=；若 x<0，则 x，x；若 m<n，则 m n．20. 下列各数中： 2， 1 ， 3 ， 0 ，2 ， ( 2)，2，3是正数的有．21. 若 xx ，则 x 的取值范围是（ ）A． x 22. 若 a1B． x 0C．x≥03 ，则 a=；若 3 a ，则 a=D．x≤0 ；若 a 2 ，a<0，则 a=．23. 若 a b ，b=7， 则 a=；若 a b ，b=7，a≠b， 则 a=．24. 填空：（1）11 =；3（2） 4.2 4.2 == _；（3） 35= + = ；（4） 22 =||=；（5） 3 6.2 = × = _；2 （6）14=÷ = × =．335【参考答案】➢ 课前预习1. （1）-8.（2）-3．2. 其中属于整数的有：3，-9，100，0；其中属于分数的有：-2.5，3.14， 其中属于正数的有：3，3.14，100；3 ； 2其中属于负数的有：-2.5， 3 ，-9． 23. 书店，500，动物园或书店，1 200．➢ 知识点睛1. 整数、分数正整数 整数 0正有理数 正整数2. 有理数 负整数正分数分数负分数 正分数 有理数 0负整数 负有理数 负分数3. 负数和 0；正数和 0；负整数和 0；正整数和 0 4. 原点、单位长度、正方向、直线； 有理数．5. 表示数比较大小表示距离6. 大，小；大；大于，小于，大于7. 符号不同．0 的相反数为 0．8. 数轴，距离9. 它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0a (a 0)a 0 (a 0) a (a 0)右侧框内答案框 2：图略框 3：-a，a，-a+b框 4：正数和 0，负数和 06➢ 精讲精练1. 下降 8 m 收入 50 元-2℃ +50 m -30 m2. A3. A4. ①7，2 015，0.618，3.14，+3； ②-2，2 ，-1.732，-5 3③-2，7，0，2 015，-5，+3； ④-2，2 ，0，-1.732，-5 3⑤7，0，2 015，+3；⑥-2，7，2 ，0，2 015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3 35. 11223 31 0 图略； 26. B 7. -4，-3，-2，-18. ±39. 99 10. -2.511. B 12. ±2；-5，1，-1，513. C14. D15. B16. C17. C18. C19. 3.51-5-x -x2120.， 3 ，-(-2)3-m +n21. D22. ±3 3-223. ±7 -724. （1） 11 ； （2）4.2 3（4）2 2 0；（5）3（6） 2 14 3323 3 144.2 0； （3）3 6.2 18.6； 1 7．5 8；7。
第一章有理数§1.有理数的相关概念整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5-互为相反数,即2.5是2.5-的相反数； 2.5-是2.5的相反数.在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5-的点与原点的距离是5,所以5-的绝对值是5,记作|5|5-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C,最低气温为4-C,那么这天的最高气温比最低气温高（）A. 4 CB. 8 CC. 12 CD. 16 C例2.下列说法正确的是（）A. 一个有理数不是整数就是分数B. 正整数和负整数统称整数C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D. 0不是有理数例3．数,,x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）A. 0x y z>>> B. 0y x z>>>C. 0y x z<<< D. 0x y z<<<例4.说出下列各数的相反数：16,－3,0,12007-,0.001,m,n-,m n-.例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）练习一1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 下列说服中正确的是（ ） A. 正整数和负整数统称为整数 B. 正数和负数统称为有理数 C. 整数和分数统称为有理数 D. 自然数和负数统称为有理数3. 以下四个判断中不正确的是A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等4. 下面四个命题中,正确的是( ) A. 一切有理数的倒数还是有理数B. 一切正有理数的相反数必是负有理数C. 一切有理数的绝对值必是正有理数D. 一切有理数的平方是正有理数5. 在数轴上,点A 对应的数是－2006,点B 对应的数是＋17,则A 、B 两点的距离是（ ）A. 1989B. 1999C. 2013D. 20236. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.7. 下列说法中错误的是（ ）A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.B. 数轴上原点表示数0.C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.8. 下列说法正确的是（ ）A. 有最大的整数B. 有最小的负数C. 有最大的正数D. 有最小的正整数图73210x 0－1－2－3－4－5练习二1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的 A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 平方2. If we have 0,0<-<b a ba.and a+6>O,then the points in real numberaxis,given by a and b,can be represented as( )(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是A. a+b+c>0B. c>|a+b|C. |a-c|=|a|+cD. |b-c|>|c-a4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是 A. a,b 是正数,c<0 B. a,c 是正数,b<0 C. b,c 是正数,a<0 D. a,c 是负数,b>05. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是 A. 0ab > B. 0ab ≥ C. 0ab < D. 0ab ≤6. a 为有理数,下列说法中正确的是A. 21()2007a +为正数 B. 21()2007a --为负数 C. 21()2007a +为正数 D. 212007a +为正数7. 若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )A. a+b+c+d 一定是正数．B. d+c-a-b 可能是负数．C. d-c-b-a 一定是正数．D. c-d-b-a 一定是正数．8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值.9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值.10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值.§2. 有理数的运算－、知识提要1. 整数和分数统称为有理数.2. 有理数还可以这样定义：形如pm(其中,m p均为整数,且0m≠)的数是有理数.这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数.3. 有理数可以用数轴上的点表示.4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数.5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数.6. 有理数的运算法则：(1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数.(2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.(3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0.乘方：求n个相同因数a的积的运算称为乘方,记为n a.(4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.整数的运算律对有理数的运算也适合.二、例题与练习例1. 2243(43)-⨯--⨯=____________.例2.13117(0.125)( 1.2)(1)3213-⨯-÷-⨯-=____________ .实践练习：1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯.2. 计算：78(0.125)8-⨯.例3.用简便方法计算797997999799997++++=__________ .例4.314151617181()()()()()() 4556677889910++++++++++-=_________.实践练习：1. 计算：9999999999991999999⨯+=__________ .2. 计算：112123()()233444++++++1234124849()()555550505050+++++++++=________ .3. 计算：11111(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000-----=________ .例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( )(A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数.例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足10a b+=,则必有 ( )(A)210n na b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (B)21210n n a b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(C)3210nn a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (D)212110n n a b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭.实践练习：1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( ) (A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数. (C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数.2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2.练习三1. 计算：211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=________ .2. 计算：200120082008200820012000⨯-⨯=_________ .3. 计算：374841(0.625)()8(1)54-⨯⨯⨯-.4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______.5. 20(0.300.310.320.69)÷++++的值的整数部分是_______ .6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ .7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个.8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少?§3. 有理数的巧算知识要点：整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数nm的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质.有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.有理数计算中常用到的一些等式如下：（1）11m n mn m n +=+；（2）()11111n n n n =-++；（3）()11m n n m n n m=-++（4）()()22a b a b a b +=+-；（5）()11232n n n +++++=； （6）()()22221211236n n n n ++++++=例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷⨯-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦实践练习： 1、计算：831.8216.93 1.16 1.3255⎛⎫⨯÷÷⨯⨯ ⎪⎝⎭2、计算：()()()43188431 2.524242641515⎧⎫⎡⎤⎛⎫----÷+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050⎛⎫+- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭÷+ ⎪⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭例2.（1）计算：111112233419992000++++⨯⨯⨯⨯（2）计算：111113243519982000++++⨯⨯⨯⨯实践练习： 1、计算：1111599131317101105++++⨯⨯⨯⨯2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56153、计算： 2222222271911119917191111991++++++++----例3.计算：2222222123499100101-+-++-+实践练习：1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-++-+2、计算：222222222468101298100-+-+-++-3、计算：()()2222222224610013599123891098321++++-++++++++++++++++练习四1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、计算：137153163127255248163264128256+++++++3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56154、计算：3112122911532140.25534335⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、计算：111111111357911131517612203042567290++++++++6、计算：2222222213579114951-+-+-++-7、计算： 11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,…,依此类推,一直减去余下的11999,那么最后剩下的数是多少?第二章 整式§1．单项式：1.单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5.2.单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式31a 2h,2πr,a bc,－m 的系数和次数.例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.①x ＋1； ②x1； ③πr 2； ④－23a 2b.例2.下面各题的判断是否正确?①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2；④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是31. 注意：①圆周率π是常数； ②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.§2．多项式1．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长是 ；(2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______；(3)图中阴影部分的面积为_________；(4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只.2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a ＋b); (2)21＋x ; (3)a ＋b ; (4)2a ＋4b .几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式5232+-x x 有三项,它们是23x ,－2x,5.其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式.单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.例1.判断：①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3,次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4,常数项为1.例2.指出下列多项式的项和次数：(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2.例3.指出下列多项式是几次几项式.(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2.例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件.课堂练习：①填空：－45a 2b －34a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件.§3．多项式的升(降)幂排列请运用加法交换律,任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?1．升幂排列与降幂排列：有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如：按x 降幂排列：例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列.例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列.(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列.想一想：观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点?例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列.例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列. (1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： .小结：对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.§4.同类项创设问题情境⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2,83, 9a , －32xy , 0, 0.4mn 2,95,2xy 2我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－32xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一类,还有83、0与95也可以归为一类.8x 2y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－32xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的83、0与95也是同类项.例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( )(3)3x 2y 与－31yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项. ( ) (5)23与32是同类项. ( )例2.指出下列多项式中的同类项：(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋31xy 2－23yx 2.例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项?例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.(1)31(s ＋t)－51(s －t)－43(s ＋t)＋61(s －t)； (2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t.课堂练习：1.请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?2.若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______§5.整式的加减为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?②若设软面抄的单价为每本x元,水笔的单价为每支y元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x＋25y)元.由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项的法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.例1.找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项,并合并同类项.例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.(1)2x2＋3x2=5x4；(2)3x＋2y=5xy；(3)7x2－3x2=4；(4)9a2b－9b a2=0.例3.合并下列多项式中的同类项：(1) 2a2b－3a2b＋0.5a2b；(2)a3－a2b＋a b2＋a2b－a b2＋b3；(3)5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4.例4.求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值,其中x=－3.试一试：把x＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?例1．化简下列各式：(1)8a+2b+（5a－b）；（2）（5a－3b）－3（a2－2b）．(2)计算：5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2．[5xy2]小结去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项．学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号.不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：（１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项.例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差.练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式.例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3).例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3.复习题1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.3zy x ++,4xy,a1,22n m ,x 2+x+x1,0,xx 212-,m,―2.01×1052.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,53xy 5,353zy x-.3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?4.化简,并将结果按x 的降幂排列：(1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+21)］―(x ―1)； (3)―3(21x 2―2xy+y 2)+ 21(2x 2―xy ―2y 2).5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+21a b)］―5a b 2,其中a =21,b=―32.6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=―21,y=21时,这个多项式的值.7．如果关于x 的两个多项式42142ax x +-与35bx x +的次数相同,求3212342b b b -+-的值.第三章一元一次方程§1.一元一次方程1. 定义：方程：含有未知数的等式称为方程.一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x+=,658x+=.解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.2. 等式的性质：性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等.如果a b=,那么a c b c±=±.性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.如果a b=,那么ac bc=. 如果a b=（0c≠）,那么a bc c =.3. 同解方程和方程的同解原理：(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.(2) 方程同解原理Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理Ⅲ：方程()()0f xg x⋅=与()0f x=或()0g x=是同解方程.4. 解一元一次方程的一般步骤：(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b=；(5) 方程两边同除以未知数的系数.解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.5. 一元一次方程ax b=的解由,a b的值确定：(1) 当0a≠时,方程有唯一的解bxa =；(2) 当0a b==时,方程的解可为任意的有理数；(3) 当0a=且0b≠时,方程无解.例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x -=； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352a--=.例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =.实践练习：1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31342x x -=+.2. 解方程：200712233420072008x x xx++++=⨯⨯⨯⨯.列简易方程解决问题例3. 根据下列条件列方程（1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的23比它的相反数小5.实践练习：1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.（1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?（2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?练习一1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-.2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值.3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值.4. 若关于x 的方程332xa x -=+的解是4,求22a a -的值.5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月.此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台?例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?实践练习：1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂 有工人多少人?2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.实践练习：1. 已知::2:3:4a b c--的值.a b ca b c=,27++=,求222. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.例7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?实践练习：1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?实践练习：1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺?2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树?练习二1. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米；慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇?2. 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少?3. 聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书店会员卡”,将享受八折优惠,请问在这次买书中,聪聪在什么情况下,办会员卡与不办会员卡一样?当聪聪买标价共计200元的书时,怎么做合算,办会员卡还是不办会员卡?4. 有一列数为1,4,7,…,它的第n个数是多少?在这列数中取出三个连续数,其和为48,问这三个数分别是多少?5. 若4y=是关于y的方程85()3ym y m+-=-的解,解关于x的方程(32)m-+50 m-=.6. 当m取什么整数时,关于x的方程1514()2323mx x-=-的解是正整数?7. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套衣服,就可以超过订货任务20套,问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成?8. 这里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,这时杯子空了,问杯子里原来有多少毫升水?§2.一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此,掌握好这部分内容,有助于我们学习一些复杂的方程.一.方程及一元一次方程的概念1.含有未知数的等式叫做方程.2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.【例1】判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.(1) 5367x y x +-=; (2) 47x -; (3) 53x >; (4) 22x=; (5) 2620xx +-=; (6) ax b =(,a b 是常数); (7) 123+=; (8) 210x -=; (9) 0y =.______________________是方程,____________________是一元一次方程. 【例2】(1)已知1237m x ++=是一元一次方程,则m =_______________. (2) 已知2(1)20m m x++=是一元一次方程,则m =_______________. (3)若关于x 的方程232(28)6n m x x --+=-是一元一次方程,则m =_______________,n =_________________. 【思考1】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程,则m =_______________.【思考2】在关于x 的方程ax b =中,解的情况:当a ________时,方程有唯一解; 当a ________时,方程无解; 当a ________, b ________时,方程有无数个解.【例3】已知2235xx +=,则代数式2466x x --+=______________. 【思考3】下列说法正确的是____________. (1)如果a b =,那么ac bc =; (2) 如果ac bc =,那么a b =;(3)如果a b c c =,那么ac bc =; (4) 如果ac bc =,那么a b c c=. 二.解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1【例4】解下列一元一次方程:(1) 4(1)2(1)3(1)(1)x x x x -++=--+;(2) 223146x x +--=; (3) 2121116518615x x x x -+---=-;(4)32(1)21235x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦; (5) 1114(2)6819753x ⎧+⎫⎡⎤+++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(6)0.10.2130.020.5x x ---=.【例5】有四个数,其中三个数之和分别为22,20,17,25,求此四个数.【例6】已知22a b c a b c ::=:3:4,++=,则22a b c --=__________.【例7】若关于x 的方程40kx -=的解是整数,则k=___________________.1.解方程：()()()()24517332x x x x +--=+--2.解方程：()()()()1131121132x x x x +--=--+ 3.解方程：2931123224x x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4解关于x 的方程：()()0ax b a b -+=5.解关于x 的方程：1mx nx -=6.解关于x 的方程：2421m x mx -=+7.已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无数多个解,试求a b 、的值.8已知关于x 的方程()()32215a x b x +=-+有无数多个解,试求a b 、的值.9.已知方程32ax x b +=-有两个不同的解,试求()1999a b +的值.10.关于x 的方程90x p -=的根是9p -,求p 的值.11. 已知关于x 的方程332x a x -=+的解是1a -,求2()2a a --的值.12.若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,求k 的值.13. 关于x 的方程350mx +=和20x n +=是同解方程,求2()mn 的值.14. 已知关于x 的方程21()1(2)532a x a x -+=---和3()5()1232a x x a -=-+是同解方程,求a 的值.15已知关于x 的方程(3)81a b x b -=-仅有正整数解,并且和关于x 的方程(3)81b a x a -=-是同解方程,若0a ≥,220a b +≠,求出这个方程可能的解.16.(1) 解方程：3834122x x +--= (2) 解方程：211132x x +--=(3). 解方程：()()()()11323327322332x x x x ---=--- (4). 解方程：111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭(5). 解关于x 的方程：()()11234m x n x m -=+(6). 解关于x 的方程：()()1223m x n x +=+17. 已知关于x 的方程()3321x a x -=+无解,试求a 的值.18. 关于x 的方程43mx x n +=-,分别求当,m n 为何值时,方程：（1）有唯一解；（2）有无数多个解；（3）无解.19. 若4y =是关于y 的方程85()3y m y m +-=-的解,解关于x 的方程(32)m x -+ 50m -=.20. 当m 取什么整数时,关于x 的方程1514()2323mx x -=-的解是正整数?21. 已知关于x 的方程 m x 113227=-和m x 22=+有相同的根,求m 的值§3. 一元一次方程的应用知识要点1.列出一元一次方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数及数量关系.用字母（如x）表示题目中的一个未知数.（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.（3）根据这个相等关系列出需要的代数式,从而列出方程.（4）解这个方程,求出未知数的值.（5）检验、写出答案（包括单位名称）.设未知数可分为直接设未知数、间接设未知数两类.直接设未知数指题目中为什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况.间接设未知数,顾名思义就是问东设西,迂回前进,如求整体时,可先设其某部分为x；求部分时,又可设其整体为未知数；求速度时,先设路程为未知数；求工作时间时设工作效率为未知数.解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理.2．几类应用题常用的策略（1）和、差、倍、分问题：抓住关键词列方程.（2）形积变化问题：利用各种几何图形的面积、体积公式,列出相等关系.（3）行程问题（i）相遇（相向）问题：双方所走路程之和=全部路程（ii）追及（同向）问题：如甲从相同出发点追及乙,则相等关系一般是：甲所走路程＝乙所走路程.（iii）航行问题：注意航行速度与水（风）速的关系：顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度；逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度；,其中s表示距离,v表示速度,t表示时间.行程中的基本关系是s vt（4）调配问题：其等量关系反映在调动前后的数量关系上.抓住“相等”、“几倍”、“多”、“少”等词语常可找出相等关系.m n,则可设其中一份为x,两（5）按比例分配问题：若已知两个量之比是:量分别为mx,nx.（6）工程问题,基本数量关系是：工作量＝工作效率×工作时间.若工作量未给出具体数量,则常设为“1”.。
