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第一讲 三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.(第1题图)FE DBA C(例4题图)BDACE(第3题图)A BCDE FOBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】 1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)OBA C(第3题图)P OBA C(例6题图)E DAB C(第2题图)DE PC AG B F (第1题图)F E DAB C C'B'A BC2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________. 9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第1题图)α22°OBMA(第2题图)B'A'AO B(第3题图)αEDCBAE D AB CF G10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A +∠B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是30°的直角三角形D ．等腰直角三角形 B ． C ．2．已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a ≤b ≤c ，如果b ＝7，则这样的三角形共有( )A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个 3．在△ABC 中，∠A ＝50°，高BE 、CF 交于O 点，则∠BOC ＝______________. 4．在等腰△ABC 中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 5．如图，BP 平分∠ABC 交CD 于点F ，DP 平分∠ADC 交AB 于点E ，若∠A ＝40°，∠C ＝38°，则∠P ＝ ______________.6．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上 ，且AE ＝13AB ．点F 在OC 上 ，且OF ＝13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.(第9题图)D EBACxy EBG FOCAγβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC(第13题图)D E ABC4321(第12题图)DBA CG FE PAB CDBACDEF 7．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM .第二讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【变式题组】 1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 MQPABCDA F C ED B 2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A BC DO F E A C E F B D3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【变式题组】1．（绍兴2013）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图B （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AFECB DA B C D F E【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【变式题组】 1．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .2．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am3．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DBF AC E NMPDD A CB FE21ABC P Q EF D1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______E2 1N AB DC 第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /B B /a αcca50° b72° 58°D C10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.B第10题图AB CDE 第9题图EABC D ABC DEF O C AEBD 第7题图第8题图D B A CE FA EB F DC BD E C l AAEF C DB 培优升级·奥赛检测1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③3．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC4．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 6．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）7．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.8．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC ＝2AE .AB E D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图4321NM ABO DP A D EG CHBA EB DC 9．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于G. 求证：GD＝GE .第三讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PNP CA B MN M N A B D C P E D A BC D CA B 321FEDCAB 1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBDSS ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDD E C A B DF E B A C第1题图D C B A第2题图D B CA E P 第3题图Q S R PBA C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A 1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED C AB 第10题图K NMQ CBA F BDE C A OFE D A B Cl 1l 2DC FG E P AB C D E O B A 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .培优升级·奥赛检测1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB边的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________GPF E DCBAPD AB C Q P C B A4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD间的距离等于__________ 6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞DB －DC8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【变式题组】1．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．2．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形。
最新人教版八年级数学上册课时讲义及教案（全册共79页）目录11.1.1三角形的边11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性11.2.1三角形的内角11.2.2三角形的外角11.3.1多边形11.3.2多边形的内角和第十二章全等三角形12.1全等三角形12.2.1“SSS”12.2.2“SAS”12.2.3“ASA”和“AAS”12.2.4“HL”12.3角的平分线的性质第十三章轴对称13.1.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质13.1.3作对称轴13.2.1画轴对称图形13.2.2用坐标表示轴对称13.3.1等腰三角形的性质13.3.2等腰三角形的判定13.3.3等边三角形13.3.4特殊直角三角形的性质13.4最短路径问题第十一章 11.1.1三角形的边知识点1：三角形的概念(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC” .另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB分别用b、c来表示.归纳整理:我们通常数三角形的方法有:(1)按图形的形成过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).(2)按照三角形的大小去数.(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.(4)先固定一个顶点,变化另两个顶点来数.注意:通过三角形的定义可知,三角形的特征有:①三条线段;②不在同一条直线上;③首尾顺次相接.这是判断是否是三角形的标准.知识点2：三角形的分类(1)三角形按边分类:三角形(2)三角形按角的大小分类:三角形(3)按边分类中各种三角形的关系:归纳整理:(1)三边都不相等的三角形是不等边三角形,不等边三角形应该是指“三边都不相等”的三角形;有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;三边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.知识点3：三角形的三边关系(1) 三角形任意两边之和大于第三边.(2)三角形任意两边之差小于第三边.归纳整理:(1)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可以求出第三边的取值范围.并且对于三角形三边关系通常要与等腰三角形的知识连用,结合分类讨论思想求解.(2)三角形三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用.考点1：三角形的数法【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角形的个数为3+2+1=6(个).考点2：三角形的分类【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).解:A.点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.考点3：三角形边的求法【例3】已知等腰三角形的周长是600px.(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得x+2x+2x=24.解得x=4.8.故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.∵150px,225px,225px可以组成三角形,∴三角形其他两边长均为225px.点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.考点4：三角形的三边关系【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为.解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.第十一章 11.1.2三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线,如图.表示法:1.AD是△ABC的边BC上的中线.2. BD=DC=BC.注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部,并且三条中线相交于三角形内部一点;③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心;④三角形的任一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形.知识点2：三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如图.表示法:1. AD是△ABC的∠BAC的平分线.2. ∠1=∠2=∠BAC.注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;④由三角形的角平分线可以得到角之间的相等关系和2倍关系.知识点3：三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,如图.表示法:1. AD是△ABC的边BC上的高线.2. AD⊥BC于点D.3. ∠ADB=∠ADC=90°.注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部;钝角三角形有两条高落在三角形的外部,一条在三角形内部,三条高所在的直线交于三角形外一点;直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边,另一条在三角形内部,它们交点是直角顶点;③三角形的三条高或其所在的直线相交于一点;④当已知三角形三条高的交点在三角形的内部时,则说明三角形一定是锐角三角形;三条高的交点在三角形的一个顶点处时,则说明三角形一定是直角三角形;当三角形三条高的交点在三角形的外部时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形的高、中线与角平分线的判定【例1】如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,垂足为点G,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪个三角形的角平分线?BE、DE分别是哪个三角形的中线?AG是哪些三角形的高？解:AD、AF分别是△ABC、△ABE的角平分线;BE、DE分别是△ABC、△ADC的中线;AG是△ABC、△ABD、△ACD、△ABG、△ACG、△ADG的高.点拨:首先要抓住特殊线段的数量关系,因为∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线,AF是∠BAE 的平分线等.其次要抓住特殊线段的位置关系,即它们都过三角形的一个顶点,以及它对边上的一点,这样就能确定是哪个三角形的特殊线段了.考点2：三角形中线的应用【例2】有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图说明)解:方案1:如答图 (1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、AD、 AF.(1) (2)(3)方案2:如答图 (2),分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3:如答图 (3),分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.点拨:可根据中线所分的两个三角形的面积相等以及三角形的面积公式的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.第十一章 11.1.3三角形的稳定性知识点：三角形的稳定性三角形三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用.比如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它坚固稳定;大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构.这都是三角形的稳定性的应用.四边形没有稳定性,也就是说四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小也可以改变,四边形的不稳定性也有广泛的应用,如活动衣架、伸缩尺等.有时为了克服四边形的不稳定性,如在门框未安好之前,先在门框上斜着钉一根木条,使它不变形,如图.考点：三角形稳定性的应用【例】如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答: .解:三角形的稳定性.点拨:因为塔吊的上部是三角形结构,所以这是运用了三角形的稳定性.故填三角形的稳定性.第十一章 11.2.1三角形的内角知识点1：三角形的内角和定理(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.(2)几何语言表述:如图.在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和是180°).(3)推理过程:①如图 (1),作CM∥AB,则∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=180°,即∠A+∠B+∠ACB=180°.(1) (2)②如图 (2),作MN∥BC,则∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3=180°,即∠BAC+∠B+∠C=180°.知识点2：直角三角形角的关系(1)直角三角形的两锐角互余.如图所示,直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.几何语言表示:在Rt△ABC中,若∠C=90°,则∠A+∠B=90°.(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.如图所示,若∠A+∠B=90°,则△ABC是直角三角形.注意:如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形.这两个命题的结论和题设是相反的.前者是直角三角形的性质,而后者则是直角三角形的判定方法.归纳总结:(1)证明三角形内角和定理的思路很多,其基本思想都是将分散的三个角全部或适当地集中起来,利用平角概念或两直线平行,同旁内角互补来证明.(2)应用内角和定理可解决已知两个角求第三个角的问题,或已知三个角的关系,求三个角的问题.考点1：求直角三角形中角的度数【例1】如图,直线a∥b,EF⊥CD于点F,∠2=65°,则∠1的度数是.答案:25°点拨:因为a∥b,所以∠FDE=∠2.在直角三角形DEF中,∠1=90°-∠FDE=90°-65°=25°.考点2：三角形内角和的实际应用【例2】一块模板如图所示,按规定AB、CD的延长线应相交成85°的角,因为交点不在模板上,不便测量,所以工人师傅连接AC,测量出∠BAC的度数为32°,∠DCA的度数为64°,这时工人师傅就判定,AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定,你认为工人师傅的判断正确吗?为什么?解:工人师傅的判断正确. 说明如下:作AB、CD的延长线,两线相交于点M.在△ACM中,因为∠MAC+∠MCA+∠M=180°,所以∠M=180°-∠MAC-∠MCA=180°-32°-64°=84°≠85°.所以此模板不合格,工人师傅的判断是正确的.点拨:要判断是否合格,关键在于利用三角形的内角和求解AB、CD的延长线相交的角度.第十一章 11.2.2三角形的外角知识点1：三角形的外角(1)三角形外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图,∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.(2)三角形的外角有三个特征:①顶点在三角形的一个顶点上;②一条边是三角形的一边;③另一边是三角形另一条边的延长线.注意：三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外角.因为三角形的每个外角与相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是180°,可以推出三角形的三个外角的和是360°.知识点2：三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.几何语言表述:如图所示,∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和).归纳整理:(1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系.(2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系.(3)三角形的外角和是360°.(4)三角形的外角与相邻的内角之间的关系:①当三角形的外角大于与它相邻的内角时,则该三角形可能锐角三角形、直角三角形或钝角三角形;②当三角形的外角等于与它相邻的内角时,则该三角形一定是直角三角形;③当三角形的外角小于与它相邻的内角时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形外角的应用【例1】已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?解:如图,连接AD并延长到点E,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠CDE=∠C+∠CAE,∠BDE=∠B+∠BAE.所以∠BDC=∠C+∠B+∠CAB.若零件合格,则有∠BDC=90°+18°+25°=133°,而量得∠BDC=135°,所以这个零件不合格.点拨:这是一个有关三角形知识在实际问题中的应用的题目,其关键是如何将实际问题转化为相应的有关三角形的角的知识来解决.考点2：三角形内角和外角的综合应用【例2】如图 (1),在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上一点,且EF⊥BC,垂足为F.(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的大小关系;(2)如图 (2),当点E在AD的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?并说明理由.(1) (2)解:(1)∵∠1=∠2,∴∠1=∠BAC.∵∠BAC=180°-(∠B+∠C),∴∠1=[180°-(∠B+∠C)]=90°- (∠B+∠C).∴∠EDF=∠B+∠1=∠B+90°-(∠B+∠C)=90°+(∠B-∠C).又EF⊥BC,∴∠EFD=90°.∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-=(∠C-∠B).(2)当点E在AD的延长线上时,其余条件都不变,(1)中探索所得的结论仍成立,理由同(1).点拨:本题的关键是寻找∠DEF与∠B、∠C之间的联系,由三角形的内角和定理及外角性质,可通过∠1(或∠2)、∠EDF搭桥解决.第十一章 11.3.1多边形知识点1：多边形(1)多边形的定义:在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.(2)多边形的分类:多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形. 其中,三角形是最简单的多边形.如图所示的多边形记作五边形ABCDE.(3)多边形的边:所连接的线段叫做多边形的边. 如图中的AB、BC、CD、DE、EA都是五边形ABCDE 的边.(4)多边形的角:①内角:多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠EAB、∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEA都是五边形ABCDE的内角;n边形共有n个内角.②外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角,如图中的∠DCF是五边形ABCDE的一个外角.n边形共有2n个外角,其中每个顶点处有两个相等的外角,这两个外角是对顶角.(5)多边形的对角线:多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫做多边形的对角线. 如图中,AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线.n边形从一个顶点可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形,n边形内对角线的条数为.(6)凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,整个多边形都在这条直线的同一侧,这样的多边形叫做凸多边形.。
三角形的边本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对三角形的三边关系应用达到【高级运用】级别； 2．对三角形的面积计算问题达到【高级运用】级别。
★★★★★☆ Level 5本关进步目标★★★☆☆☆ 你会利用两边长确定第三边的长或周长的取值范围，并根据三角形的三边关系化简代数式； ★★★★★☆ 你会证明线段间的不等关系。
第一章第一关 三角形的三边关系学习重点：掌握三角形三边关系定理及推论的应用．1．三角形两条边长分别是3 cm 和10 cm ，周长C 的取值范围是________20<C<26_________cm ．2．三角形的三条边长分别是3a -，1a -，2a +，则a 的取值范围是_________a>6________．3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边之长，化简：a b c a b c b a c c b a +-+------+-=________2b -2c _________．三角形的三边关系定理及推论【高级理解】熟记三边关系定理及推论的内容理解不等式的性质关卡1-1三角形的三边关系定理及推论过关指南Tips笔记★★★☆☆☆ 高级理解例题若一个三角形的两边长分别为5和7，则周长C 的取值范围是_____12>C>2____________；若x 为该三角形最长的边，则x 的取值范围是_________12>x ＞7________．（ D ） A. a ，b ，a b + (0,0)a b >> B. a ，4a +，6a +（0a >） C. a ，3a -，3（3a >） D. 1a +，1a +，2a ()0a >已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边之长，化简：a cbc a b b c a ----+--+=______c -b -a ___________．过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1错题记录Exercise 3学习重点：掌握“8字”模型和“飞镖”模型中不等关系的证明和对结论的熟练应用．1．如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交于点O，求证：()12AC BD AB BC CD DA+>+++．∵三角形两边之和大于第三边∴在△ABO中，AO+BO>AB在△BOC中，BO+CO>BC在△COD中，CO+DO>CD在△AOD中，AO+DO>AD2(AO +CO+BO +DO)>AB+BC+CD+DA2(AC+BD)>AB+BC+CD+DAAC+BD> 1/2（AB+BC+CD+DA）三角形三边不等关系的证明【高级运用】“8字”模型不等关系的证明“飞镖”模型不等关系的证明不等式的性质关卡1-2三角形的三边不等关系的证明过关指南Tips笔记★★★★★☆高级运用例题2．观察并探究下列各题，写出你经过观察所得到的结论，并说明理由．（1）如图，在ABC∆中，点P为边BC上一点，试观察比较BP PC+与AB AC+的大小，并说明理由；（2）将第（1）题中的点P移至ABC∆内，如图，试观察比较PBC∆的周长与ABC∆的周长的大小，并说明理由；（3）将第（2）题中的点P变为两个点P1，P2，如图，试观察比较四边形12BPP C的周长与ABC∆的周长的大小，并说明理由．如图所示，AD，BC相交于点O，求证：AB+CD<AD+BC．AO+BO>AB,CO+DO>CDAO+BO+CO+DO=AD+BC>AB+CD如图所示，已知点P是ABC∆内一点，试说明()12PA PB PC AB BC AC++>++．如图所示，已知点P是ABC∆内一点，求证：PA PB PC AB AC BC++<++．延长BP交AC于点D过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1错题记录Exercise 3AB+AD>BP+PD,DC+PD>PC相加得AB+AC>PB+PC同理AC+BC>PA+PBAB+BC>PA+PC相加得2（AB+AC+BC）>2(PA+PB+PC)PA+PB+PC<AB+AC+BC如图所示，在四边形中，对角线AC，BD相交于点O，点E在ABC∆的内部，连接EB，EC，证明：（1）AB CD AC BD+<+；（2）AB AC EB EC+>+．（1）AB<AO+BO,CD<CO+DOAB+CD<AO+BO+CO+DO=AC+BD(2)延长BE交AC于点FBE+EF<AB+AF,EC<EF+FC相加得AB+AF+FC>EB+EC即AB+AC>EB+EC错题记录Exercise 4★★★★★☆ Level 5本关进步目标★★★★☆☆ 你会面积计算公式，会识别底边和对应的高线；★★★★★☆ 你会中线等分三角形的面积原理，会灵活运用中线计算三角形的面积。
人教版初中数学八年级上2013目录第十一章三角形 (4)本章综合解说 (4)11.1与三角形有关的线段 (4)学习目标 (4)知识详解 (4)（二）三角形的高、中线与角平分线 (5)（三）三角形的稳定性 (6)课外拓展 (9)11.2与三角形有关的角 (9)学习目标 (9)知识详解 (9)（一）三角形的内角 (9)（二）三角形的外角 (10)课外拓展 (14)11.3 多边形及其内角和 (14)学习目标 (14)知识详解 (14)（一）多边形 (14)（二）多边形的内角和 (15)课外拓展 (18)中考链接 (18)单元总结 (20)单元测试 (21)第十二章全等三角形 (28)本章综合解说 (28)12.1 全等三角形 (29)学习目标 (29)知识详解 (29)课外拓展 (34)12.2 三角形全等的判定 (34)学习目标 (34)知识详解 (34)课外拓展 (40)12.3 角的平分线的性质 (41)学习目标 (41)知识详解 (41)课外拓展 (46)中考链接 (46)单元总结 (48)单元测试 (49)第十三章轴对称 (55)本章综合解说 (55)13.1 轴对称 (55)学习目标 (55)知识详解 (56)课外拓展 (59)13.2 画轴对称图形 (59)学习目标 (59)知识详解 (59)课外拓展 (63)13.3 等腰三角形 (63)学习目标 (63)知识详解 (63)课外拓展 (68)中考链接 (69)单元总结 (71)单元测试 (72)第十四章整式的乘除与因式分解 (81)本章综合解说 (81)14.1 整式的乘法 (82)学习目标 (82)知识详解 (82)课外拓展 (86)14.2 乘法公式 (87)学习目标 (87)知识详解 (87)课外拓展 (89)14.3 因式分解 (90)学习目标 (90)知识详解 (90)课外拓展 (93)中考链接 (93)单元总结 (94)单元测试 (96)第十五章分式 (100)本章综合解说 (100)15.1 分式 (101)学习目标 (101)知识详解 (101)课外拓展 (105)15.2 分式的运算 (105)学习目标 (105)知识详解 (105)课外拓展 (110)15.3 分式方程 (111)学习目标 (111)知识详解 (111)课外拓展 (115)中考链接 (115)单元总结 (116)单元测试 (118)期中测试 (123)期末测试 (130)第十一章三角形本章综合解说学习目标1.理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2.了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3.会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。
【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边〞或“ SAS 〞，几何表示如图，在ABC 和 DEF 中，ADAB DE B E ABC ≌ DEF (SAS)BCEFBCEF【典型例题】【例 1】 ：如图， AB=AC ，AD=AE ，求证： 【例 4】如图，点 A 、F 、 C 、 D 在同一直线上，BE=CD.点B 和点E 分别在直线 AD 的两侧， AB ∥ DE证明： 在△ABE 和△ ACD 中，A且 AB ＝ DE ， AF ＝ DC 。
求证： BC ∥EF 。
AB=AC ，∠ BAE= ∠CADAD=AE DE∴△ ABE ≌△ ACD 〔 SAS 〕∴ B E=CD.BC【例 2】 如图，：点 D 、E 在 BC 上，且 BD=CE ， AD=AE ，∠ 1=∠ 2，由此你 能得出哪些结论？给出证A 明 .B1 2 【例 5】如图，△ ABC 、△ BDE 均为等边三DEC角形。
求证： BD ＋ CD=AD 。
A【例 3】 如图： AE=AF ，AB=AC ，∠ A=60°，E∠ B=24°，求∠ BOE 的度数 .BBCEDOACF【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边〞或“SSS 〞， 几何表示【典型例题】例 3. 如图： AB=CD ， AE=DF ， CE=FB 。
求证：【例 1】如图，在ABC 中，M 在BC 上，D 在∠B=∠C 。
ABAM 上，AB=AC , DB=DC 求证： AM 是ABC的角平分线证明 : 在△ABD 和△ ACD 中，FEAB=AC DB=DC AD=AD∴△ ABD ≌△ ACD (SSS) ∴∠ BAD= ∠ CAD又∵ AB=AC∴MB=MC∴ AM 是ABC 的角平分线 (三线合一 )【例 2】如图：在△ ABC 中， BA=BC ，D 是 AC 的中点。
求证： BD ⊥ AC 。
精讲精练【考点精讲】1. 多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
注意：（1）理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是“在同一平面内”；二是“一些线段首尾顺次相接”；两者缺一不可。
（2）多边形通常以边数来命名，具有n条边的多边形叫n边形。
三角形、四边形都属于多边形。
2. 多边形的内角、外角、对角线的概念多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
注意：从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，过n个顶点有)3(-⨯nn条对角线，但每条对角线都计算了两遍，所以n边形共有2)3(-nn条对角线。
3. 正多边形的概念各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。
注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是“各边相等”、二是“各角也相等”，两者缺一不可。
例如，各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。
只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形（正四边形）。
【典例精析】例题1 在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程。
思路导航：对角线是由不相邻的两个顶点相连接而构成的，因此应从顶点入手。
可先探求从一个顶点出发可以画出多少条对角线，当归纳出对角线的条数与多边形顶点的个数之间的关系后，就可以解决本题了。
凸n边形每个顶点不能和它自己以及与它相邻的两个顶点作对角线，所以可作对角线的条数是（n－3）条，凸n边形有n个顶点，所以可作n（n－3）条。
由于每条对角线有两个端点，也就是每条对角线被计算了两次，所以凸n边形共有1(3)2n n-条对角线。
当n=8时，有18(83)45202⨯⨯-=⨯=条对角线。
答案：凸八边形的对角线应该是20条。
点评：本题主要对同学们探究问题的过程进行考查，可以通过类比多边形的内角和的探究方法来进行，所以我们在平时的学习中，不仅要牢记某些结论，还要多体验探究这些结论的方法，并能灵活运用。
