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第四章幾何圖形初步4.2 直線、射線、線段第2課時線段長短的比較與運算學習目標：1．會畫一條線段等於已知線段，會比較兩條線段的大小．2．通過實例體會兩點之間線段最短的性質，並能初步應用．3．瞭解兩點間的距離、線段的中點以及線段的三等分點的意義．學習重點：線段比較大小以及線段的性質．學習難點：線段的中點、三等分點及其應用．使用要求：1．閱讀課本P129－P132；2．嘗試完成教材P131的練習題；3．限時20分鐘完成本導學案（合作或獨立完成均可）；4．課前在小組內交流展示．一、自主學習：1．畫直線AB、畫射線CD、畫線段EF．2．任意畫線段a．你能不能再畫一條線段AB正好等於你先前所畫的線段a．你是怎樣畫的？你想到了幾種方法？二、合作探究：1．如何比較兩位同學的身高？①如果已知身高，我們如何比較？②如果不知身高，我們又如何比較？2．如何比較兩根木條的長短？3．如何比較兩條線段的大小？①任意畫兩條線段AB, CD．我們如何比較AB、CD的大小？動手試試．②任意兩條線段比較大小，其結果有幾種可能性？【老師提示】比較線段的常用方法有兩種：①度量法②圓規截取法4．試試身手：P131練習第1題．【老師提示】先估計大小關係看看我們的觀察能力，再動手檢驗．5．①線段的中點：如圖點M是線段AB上一點，並且AM＝BM我們稱點M是線段AB的中點．②怎樣找出一條線段AB的中點M？③線段的三等分點、線段的四等分點．（觀察P131圖4.2－12）6．（1）P131思考．（2）有些人要過馬路到對面，為什麼不願走人行橫道呢？（3）從A 地架設輸電線路到B地，怎樣架設可以使輸電線路最短？7．（1）線段的性質：（2）兩點間的距離：8．畫線段的和與差：a如圖，已知兩條線段a、b（a＞b）（1）畫線段a＋b畫法：①畫射線AM；②在射線AN上順次截取線段AB＝a，BC＝b．線段AC就是所要求作的線段a＋b．記作AC＝a＋b.（2）畫線段a－b三、學習小結：四、作業：1．P132練習第2題．2．P126習題3.2第5、6、7、8、9、10題．。
1.1正数和负数(1)正数: 大于0的数;负数: 小于0的数；(2)0既不是正数, 也不是负数；(3)在同一个问题中, 分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;(4) — a不一定是负数, +a也不一定是正数；(5)自然数: 0和正整数统称为自然数;(6) a>0 a是正数；a>0 a是正数或0 a是非负数；a< 0 a是负数；a< 0 a是负数或0 a是非正数.1.2有理数(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式, 这样的数称为有理数;(2)正整数、0、负整数统称为整数;(3)有理数的分类:第一章有理数正有理数正整数正整数整数有理数零有理数负有理数负整数分数负整数正分数(4)数轴: 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；(即数轴的三要素)(5) 一般地, 当a是正数时, 则数轴上表示数 a的点在原点的右边, 距离原点点在原点的左边, 距离原点 a个单位长度;(6)两点关于原点对称: 一般地, 设 a是正数, 则在数轴上与原点的距离为a的点有两个, 它们分别在原点的左右, 表示-a和a,我们称这两个点关于原点对称；(7)相反数: 只有符号不同的两个数称为互为相反数；(8) 一般地, a的相反数是一a；特别地, 0的相反数是0;(9)相反数的几何意义: 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；(10)a、b互为相反数a+b=0 ;(即相反数之和为0)a ,b ,(11)a、b互为相反数一1或一1;(即相反数之商为—1)b a(12)a、b互为相反数|a|=|b| ;(即相反数的绝对值相等)(13)绝对值: 一般地, 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做 a的绝对值；([a|R)(14)一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0;a (a 0)(15)绝对值可表示为: a 0 (a 0)a (a 0)(16) —1 a 0 ；— 1 a 0;a a(17)有理数的比较: 在数轴上表示有理数, 它们从左到右的顺序, 就是从小到大的顺序。
七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。
在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。
2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。
假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。
- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。
- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。
- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。
三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。
例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。
分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。
2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。
3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。
4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。
四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。
七年级数学线段中点专题摘要：一、线段中点概念解析1.线段中点的定义2.线段中点与线段长度关系二、线段中点问题类型及解题方法1.已知线段长度求中点坐标2.已知中点坐标求线段长度3.线段中点与线段长度关系的应用题三、线段中点专题训练1.基础题型训练2.进阶题型训练3.综合题型训练四、线段中点在实际问题中的应用1.求解距离问题2.求解角度问题3.求解面积问题正文：一、线段中点概念解析1.线段中点的定义：线段中点是指在线段上，将线段分成两个相等部分的一个点。
用数学符号表示为：M=(A+B)/2，其中A、B为线段两个端点的坐标，M为线段中点的坐标。
2.线段中点与线段长度关系：已知线段CD的长度，若CD是线段BC的一半，则BC长度可求出。
根据3AB=BC，即可求出AB的长度，进而可求出AC 的长度。
二、线段中点问题类型及解题方法1.已知线段长度求中点坐标：设线段AB的两个端点坐标为A(x1, y1)和B(x2, y2)，线段长度为AB=|x2-x1|。
根据中点公式，可求出线段中点M的坐标为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
2.已知中点坐标求线段长度：已知线段中点M的坐标为(Mx, My)，求线段AB的长度。
根据中点公式，可得线段AB的两个端点坐标为A(2Mx-x, 2My-y)和B(2Mx+x, 2My+y)，进而求出线段AB的长度为AB=|2Mx+x-2Mx+x|=|x|。
3.线段中点与线段长度关系的应用题：已知线段AB的长度为6，中点M 的坐标为(2, 3)，求线段AM和MB的长度。
根据中点公式，可求出线段AM 和MB的长度分别为AM=MB=3。
三、线段中点专题训练1.基础题型训练：求解已知线段长度求中点坐标的问题。
例如，线段AB 的长度为10，端点A的坐标为(1, 2)，求线段中点M的坐标。
2.进阶题型训练：求解已知中点坐标求线段长度的问题。
例如，线段中点M的坐标为(3, 4)，求线段AB的长度。
线段中点知识点总结一、线段中点的定义线段中点是指线段的两个端点之间的中间位置的点，具体来说，一个线段上的点M被称为线段AB的中点，即AM = MB。
二、线段中点的性质1. 线段中点的坐标假设线段AB的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的中点M的坐标为M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)。
2. 线段中点的判定如果一个点M(x, y)满足AM = MB，则M是线段AB的中点。
3. 线段中点的作图若要画出线段AB的中点M，只需连接AB的两个端点，并画出中垂线，中垂线与AB的交点即为M。
4. 线段中点定理线段中点定理是指：如果一个三角形的一个边平行于另一个边的一半，则这个边上的中点与三角形的第三个顶点连线平行于另一个边。
具体来说，设AB//CD，M为AB的中点，N为CD的中点，则MN//AD，并且MN = 1/2 * AD。
5. 线段中点与平行线如果有线段的两个端点与所在直线的两个点分别构成的两个三角形的底边上的等角相同（或对顶角相等），那么这个线段的中点同时也是这个线段中线的中点。
6. 线段中点与距离假设二维空间中有一个点O及其两个不同的点A和B。
则对于点C，若AC = BC，则C在AB中点上或者与AB垂直。
稍广义地说当AC = BC时只有一个点C，在AB的中垂线上，且AC = BC。
三、线段中点的应用1. 几何证明在几何证明中，线段中点定理、线段中点与平行线的性质常常被用于推导各种结论。
2. 动态几何在动态几何学软件中，线段中点的坐标性质被广泛应用，可以通过拖动线段的两个端点来改变线段中点的位置验证性质。
3. 数学建模在线段中点的坐标计算中，线段的中点坐标性质可以应用于数学建模中，比如在平面直角坐标系中，通过线段中点的坐标计算可以简化一些数学模型的复杂度。
4. 计算机图形学计算机图形学中，线段的中点与平行线性质及计算中点坐标等知识对图形的坐标变换、画直线、画圆等操作有一定的指导作用。
初中数学线段的比较与中点
精讲精练
1. 线段的比较
（1）叠合法（图形的比较），把要比较的两条线段的一个端点重合，然后把两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系。
（2）度量法（数量的比较），用刻度尺测量出线段的长度（单位相同），再根据长度的大小判断线段的长短关系。
2. 线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，如图所示，如果M是线段AB 的中点，则有AM=BM=AB。
3. 等分线段
（1）把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点，如图，M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB=AB。
（2）把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点，如图，M、N、P是线段AB的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB。
4. 线段的性质
两点的所有连线中，线段最短。
简单说成：两点之间，线段最短。
例题1 平原上有A、E、C、D四个村庄，如图所示，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池。
不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。
思路分析：由“两点之间，线段最短”可知，到A、D两点的距离之和最小的点在线段AD上，到E、C两点的距离之和最小的点在线段EC上，所以AD、CE的公共点就是到四点的距离之和最小的点。
答案：
例题2 （1）如图所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，小明据此很轻松地求得CD=2.你知道小明是怎样求出来的吗？
（2）小明在反思过程中突发奇想：当点O运动到AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”是否仍然成立？
思路分析：（1）把线段CD看成OC+OD，把线段AB看成OA+OB，再根据线段的中点定义可知OC=OA，OD=OB，可得CD=AB。
（2）与（1）的思路类似，只不过（1）中把CD看成OC+OD，而（2）中把CD看成OC-OD。
答案：（1）因为点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA，OB的中点，
所以OC=OA，OD=OB。
因为OA+OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。
（2）当点O运动到线段AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”仍然成立。
因为C、D分别是线段OA、OB的中点，所以OC=OA，OD=OB。
因为CD=OC-OD，所以OC=OA-OB=（OA-OB）。
因为OA-OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。
例题3 在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学分别住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、C三点共线，且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆车去上学。
由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？
思路分析：车的停靠点有5种可能情况，①停靠点设在A住宅区；②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间；③停靠点设在B住宅区；④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间；
⑤停靠点设在C住宅区。
要求出符合要求的停靠点的位置，我们需要分情况讨论。
答案：①停靠点设在A住宅区，则他们的路程总和为220米；
②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于220米；
③停靠点设在B住宅区，则他们的路程总和为160米；
④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于260米；
⑤停靠点设在C住宅区，则他们的路程总和为260米。
综上所述，停靠点应设在B住宅区。
分类讨论法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
同步练习
（答题时间：20分钟）
1. 如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米。
为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）
A. 点A
B. 点B
C. A，B之间
D. B，C之间
2. 线段AB=5cm，BC=4cm，那么A、C两点的距离是（）
A. 1cm
B. 9cm
C. 1cm或9cm
D. 以上答案都不对
3. D点在线段EF上，在等式①DE=DF，②DE=EF，③EF=2DF，④DF=DE中，能表示D 点是线段EF的中点的有（）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 景区大楼AB段上有四处居民小区A，B，C，D，且有AC=CD=DB，为改善居民购物的环境，要在AB路建一家超市，每个小区的居民各执一词，难以确定超市的位置，如果由你出任超市负责人，以便民、获利的角度考虑，你将把超市建在哪儿？
5. 如图，已知定长线段AD=m，B、C为线段AD上的两个动点，B在C点的左侧，当B、C运动到某一位置时，AC+BD=11，AB+CD=5，求AD的长。
6. 如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小。
答案
1. A 解析：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100-m）+10（300-m）=4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200-n）=5000+35n＞4500。
∴该停靠点的位置应设在点A，故选A。
2. D 解析：（1）当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论。
①点B在A、C之间时，AC=AB+BC=5+4=9cm；②点C在A、B之间时，AC=AB-BC=5-4=1cm，所以A、C两点间的距离是9cm或1cm。
（2）当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，故选D。
3. B 解析：假设点D是线段EF的中点，则DE=DF，故①正确；
当DE=EF时，DE=2DF，故此时点D不是线段EF的中点；
当EF=2DF时，因为EF=DE+DF，所以，DE=DF，故此时点D是EF的中点。
当DE=DF时，点D才是EF的中点，所以当DF=DE时，D不是线段EF的中点。
综上所述，在①③条件下点D是EF的中点，故选B。
4. 建在线段CD上的任意一点。
解析：在线段CD上任取一点M，在线段AC上任取一点N，
∵AC=CD=BD，
∴当超市的位置在M点时，各居民区到超市的路程和
=AM+CM+DM+BM=AB+CD=4CD，
当超市的位置在N点时，各居民区到超市的路程和
=AN+CN+DN+BN=AB+CD+2CN=4CD+ 2CN，
∵4CD＜4CD+2CN，
∴以便民、获利的角度考虑，将把超市的位置建在线段CD上的任意一点。
5. 8 解析：∵AC+BD=AD+BC=11，AB+CD=5，
∴AD+BC+AB+CD=16，
∴2AD=16，
∴AD=8。
6. 解析：∵两点之间线段最短，
∴所求的点与M、N两点同线时，它到点M、N的距离最小，
∴连接MN，MN与a的交点O即为所求。
