小学奥数经典专题点拨：几何图形计数(学生版)

华杯赛计数专题：几何计数基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.方法铺垫：1）加法原理，乘法原理；2）容斥原理；3）排列数，组合数；4）对应法.例题：例1.如图，数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.例2.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个；包含4个正方形的正方形有3×3=9个；包含9个正方形的正方形有2×2=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线，共有4×条；竖线：5×，故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个，竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段，60个矩形【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图：因此共有个矩形.例12. 数一数，图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。

第二讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右中共有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），所以∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：中共有10 个角。

一：数一数右中共有多少个角？答案 :共有角：10+9+8+⋯ +4+3+2+1=55（个）例（ 2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段3 条基本线段，再看 BC、 MN、GH 这AB、AD、 AE、AF、 AC、上各有3 条线段上各有 3 个分点，各分红2 个分点，各分红4 条基本线段 .所以图中总合有线段是：（3+2+1）× 5+（ 4+3+2+1）× 3=30+30=60（条） .②要数有多少个三角形，先看在△ AGH中，在 GH上有 3 个分点，分红基本小三角形有 4 个. 所以在△ AGH中共有三角形 4+3+2+1=10（个） . 在△ AMN与△ ABC中，三角形有相同的个数，所以在△ ABC中三角形个数总合：（4+3+2+1）× 3=10× 3=30（个）解：：①在△ ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）× 3=10× 3=30（个）答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。

小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。

其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。

本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。

一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。

它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。

二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。

对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。

对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。

例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。

三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。

顶点是指图形的两条边交汇的点。

对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。

例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。

四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。

对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。

对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。

例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。

五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。

假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。

首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。

接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。

最后，我们观察图形的对称性。

五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。

六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。

几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。

在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。

年级四年级学科奥数版本通用版课程标题几何计数（一）在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等。

这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的。

通常采用一种简单原始的计数方法——枚举法。

具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总数。

我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点。

线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等图形最基本的元素。

因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。

数线段：如果一条线段上有n＋1个点（包括两个端点）（或含有n条“基本线段”），那么这n＋1个点把这条线段一共分成的线段总数为n＋（n－1）＋…＋2＋1条。

数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。

数三角形：可用数线段的方法（对应法）数如图所示的三角形，因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形。

同样一边在BC 上构成的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。

例1数出下图中有多少条线段。

A B CD分析与解：方法一：我们可以采用以线段左端点分类来数的方法。

以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。

所以，图中共有线段3＋2＋1＝6（条）。

方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。

所以，图中一共有3＋2＋1＝6（条）线段。

例2 数出下图中总共有多少个角。

分析与解：在∠AOB 内有三条角分线1OC 、2OC 、3OC ，∠AOB 被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB 内总共有多少个角呢？首先有OB C OC C OC C AOC 332211∠∠∠∠、、、这4个基本角，其次是由2个基本角组成的角有3个（即∠2AOC 、∠31OC C 、∠OB C 2），然后是由3个基本角组成的角有2个（即∠3AOC 、∠OB C 1），最后是由4个基本角组成的角有1个（即∠AOB ），所以∠AOB 内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）。

知识框架图7 计数综合 7-8 几何计数1.掌握计数常用方法；2。

熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n （n-1）+2;n 个三角形将平面最多分成3n （n-1)+2部分;n 个四边形将平面最多分成4n （n —1）+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．教学目标知识要点几何计数二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点（包括两个端点）(或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+（n-1）+…+2+1条数角:数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形，共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的,对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】下图的两个图形(实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍,那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？(4级）【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。

知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n 个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n 个小格，宽边上有m 个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n 等分，那么正方形的总数是n 2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

例题精讲几何计数一、分类数图形【例1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________个正方形。

【例3】右图中三角形共有个．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】数一数图中有_______个三角形．【例4】图中共有多少个三角形？【巩固】下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

【例5】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．教学目标例题精讲知识要点7-8-2.几何计数（二）模块二、复杂的几何计数【例 1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【巩固】如图，44的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。

几何图形计算如图 1 所示，我们取一个边长为lcm的正方形(当然你也可以选择边长为1mm、ldm、1m 甚至1km的正方形)，它的面积等于lcm2，这个正方形我们就叫单位正方形。

一个图形的面积是用排满它的单位正方形的数目来测量的：上面图2的阴影部分面积刚好由12 个单位正方形组成，所以它的面积是12个平方单位；上面图3的阴影部分面积是14个平方单位，其中12个单位正方形被完整地嵌入这个图形，另有两个单位正方形被分割后又重新排列，占满了这个图形的其余部分(由此可以看出，在测量某些图形的面积时，当你用单位正方形去测量时，有些单位正方形必须隔开，然后再重新排列)。

度量图形的面积是数学中最主要的问题之一。

以前我们学过在方格纸中来度量图形面积的方法。

但度量面积是很困难的，只有一种本领是不够的，你必须知道很多自然规律、图形性质、数学公式。

在这里，你将学会运用几何公式来计算正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形以及它们的组合图形的面积的计算方法。

在解决面积问题时，我们会依据图形的某些性质来计算面积，而你可能在运用这些性质、享受这些性质带来的胜利果实时却没有意识到它的存在!这些性质不仅是对三角形、正方形是正确的，而且它们是任意图形的公共性质。

我们把它们表述如下：①每一平面图形都有形状和大小。

②大小相等、形状相同的图形具有相同的面积。

③如果两个不同的平面图形可以分割成同样的部分，那么这两个图形有相等的面积。

建大厦需要用许多材料，形状最简单的砖、石头、沙子用的最多。

简单的东西往往用处很大!正方形的面积是最容易测量的，所以在计算其他图形面积时，往往都是从正方形的面积公式出发开始推导。

你早就知道“正方形的面积等于边长×边长(或者说边长的平方)”。

有关面积的知识这一条最简单，但这个简单的公式就能帮你解决各式各样的面积计算问题! 下面这张图，以正方形的面积公式为出发点，把小学阶段我们将要学到的各种多边形的面积计算公式的来龙去脉做了一个梳理，你可以借助图中的提示尝试一下推导出各种图形的面积公式。

奥数知识点第7课・几何中的计数问题（1）笫七讲几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等•通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点•线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素•因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1数一数下列图形中各有多少条线段.A B C A B C p A B C DE（1）（2）（3）例2数出右图中总共有多少个角•ClC2C3例3数一数右图中总共有多少个角?三、数三角形例4如右图中，各个图形内各有多少个三角形?A例5如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形?例6如右图中，共有多少个角?习题七1 •数一数下图中，各有多少条线段?2.数一数下图中各有多少角?3•数一数下图中，各有多少条线段?4•数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形?(1) (2)课后作业:(1) (2)CB答案：第七讲几何中的计数问题（一）形、曙麟「專湃羯蟲聽辟思考问题的良好习惯, 逐歩学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点•线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素•因此，观察图形中的线敲犧評之间' 线段煮他图形之间的联系’对于了解图形' 分析例1数一数下列图形中各有多少条线段.B C A B C D A B C DE（1）（2）（3）分析要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数•这样才不至于杂乱无章、毫无头绪•我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A,即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC—条，所以上图（1）中共有线段2 +1 = 3条•同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点曲线段有CD—条・E斤以上页图〔2）中共有殳腰为3 +2 +1 = 6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数•所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n+1条小线段，这每条小线段称为基本线段•如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C,这时分点B、C把AD 分成AB、BC^ CD三条基本线巖，那么线段AD总箕有参少条线段？首宪有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条•所以线段AD上总共有线段3+2 + 1 = 6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D,这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE 上总共有线段是4 + 3 + 2 + 1 = 10条.解：①2 + 1 = 3 （条）・②3 + 2+1 = 6 （条）・第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A,即以A 为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC—条，所以上图（1）中共有线段2 +1 = 3条•同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点商线段有CD—条•所以上页图⑵ 申共有妄腰为3 +2 +1 = 6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数•所谓基本线段是指一条大线段中若有门个分点，则这条大线段就被这n个分点分成门+1条小线段，这每条小线段称为基本线段•如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C,这时分点B、C把AD 分成AB、BC、CD三条基本线農，邮么线段AD总唉有参少条线段？音晁有三条基本殘段，其次是包备有二条基本殁段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基未线段0勺是AD这样一秦•所以线腰AD丄总共有线段3 + 2 + 1 = 6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D,这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：音先有4素量本线段，箕次是包•备有二累盘未殳陵馬有3氯然后是包鸟有三条基车塚凌6勺有2条，最后是窃含有4条基未线段的有一条，紡以冬段AE 上总共有线段是4丄3 + 2丄1 = 10条.解：①2 + 1 = 3 （条）・②3 + 2 + 1 = 6〔条）・③ 4+3+2+1=10（条）・小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1 •也就是基本线段的条数•例如右图中线段AF上麻有点数（包岳两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和申最大的加数是6-1 = 5,或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）•所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4 + 1 = 5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5•所以线段AF上总共有线段的条数是5+4 +3 +2 + 1 =15 （条）・二数角例2数出右图中总共有多少个角.分析在ZAOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3, ZAOB被这三条角分线分成4 个基本角，那么ZAOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个〔即ZAOC2. ZC1OC3、ZC2OB）,然后是包含有3 个基本角组成的角有2个（即ZAOC3、ZC1OB）,最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即ZAOB）,所以ZAOB内总共有角：4+3+2+1=10（个）・解：4+3+2+1=10（个）・小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1 开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1,也就是基本角的个数.例3数一数右图中总共有多少个角？W：因为ZAOB内角分线0C1、OC2-OC9共有9条，即9+1二10个基本角.所以总共有角:10+9+8+…+4+3+2+1=55 （个）.三.数三角形例4如右图中，各个图形内各有多少个三角形?分析可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）:第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、ZXABE、Z\ABF、ZXABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、ZXADF、ZXADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、ZXAEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有AAFC—个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、ZXADE、Z\AEF、ZXAFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、AADF. ZXAEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有： △ABF 、ZXADC 二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有AABC —个. 所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10 （个）・ 解：①3+2+1 二6 （个） ② 4+3+2+1=10 （个）・答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大例5如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形?分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题•数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条 数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个 自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB 、AD 、AE 、AF 、AC 、上各有2个分点，各分 成3条基本线段，再看BC 、MN 、GH 这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线 最・0T 以鹵中总共有第段是:（3+2+1） X5+（4+3+2+1） X 3二30+30=60 （条）.②要数有多少个三角形，先看在AAGH 中，在GH 上有3个分点，分成基本小 三的加数就是三角形一边上的分点数加1,也就是三角形这边上分成的基本线段的 条数.角形有4个•所以在ZXAGH中共有三角形4+3+2+1=10 （个）•在ZXAMN与ZXABC 中，三角形有同样的个数，所以在ZXABC中三角形个数总共：〔4+3+2+1） X 3=10X3=30 （个）・解：①在△ ABC中共有线段是：〔3+2+1） X5+（4+3+2+1） X 3二30+30二60〔条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1） X 3=10X3=30〔个）・例6如右图中，共有多少个角？分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.Zl、Z2、Z3、Z4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：Z1与Z2、Z2与Z3、Z3与Z4、Z4与Z1,共4个角•由3个基本角组成的角有：Z 1、上2与Z3； Z2. Z3与上4； Z3、上4与Z1；上4、Z1与上2,共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4X3+1二13 （个）・解：所以图中共有角是：4X3+1二13 （个）・小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总薮是n （n-1） +1.课后作业答案：习题七解答1 •①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1二15 （条）・②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为：4+3+2+1=10 （条）・在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15 （条）・・・・整个图（2）共有线段10+15二25 （条）・③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为:44-34-2+1=10 （条）・在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为:占。

经典小学奥数题型(几何图形)经典小学奥数题型（几何图形）在小学奥数竞赛中，几何图形是一个常见的考点。

通过熟悉和掌握一些经典的几何题型，学生能够提高解题能力，增强空间想象力，并且培养逻辑思维。

一、平面图形的边、角和面积计算1. 边和角计算设某个多边形的边数为 n，则它的内角和为 (n-2) × 180 度。

如果该多边形是正多边形，则每个内角都相等，即每个内角为 [(n-2) ×180]/n 度。

2. 正多边形的面积计算设正多边形的边长为 a，边数为 n，则正多边形的面积 S = (n ×a^2)/(4 × tan(π/n)) 平方单位。

3. 三角形的面积计算设三角形的底边长为 a，高为 h，则三角形的面积 S = (a × h) /2 平方单位。

二、相似三角形的性质当两个三角形的相应角相等时，我们可以推论他们是相似三角形。

相似三角形之间存在以下几个性质：1. 边长的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例应该相等： AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。

2. 面积的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例的平方等于对应面积之间的比例：(AB/XY)^2 = (BC/YZ)^2 =(AC/XZ)^2 = S(ABC)/S(XYZ)。

三、三角形的周长和面积计算1. 三角形的周长计算将三角形的三条边长相加，即可得到三角形的周长。

2. 海伦公式设三角形的三条边长为 a、b、c，令 p = (a+b+c)/2 为半周长，则三角形的面积S = √( p × (p-a) × (p-b) × (p-c) ) 平方单位。

四、平行四边形和矩形的性质1. 平行四边形的性质平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相等分，并且对角线相交的点将对角线份平分。

2. 矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它的对边相等且互相平行，且所有角都是直角。

7-8-1几何计数（一）教课目的掌握数常用方法；熟一些数公式及其推方法；依据不一样目灵巧运用数方法行数．本主要介了数的常用方法枚法、数法、形法、插板法、法等，并渗透分数和用容斥原理的数思想．知识重点一、几何计数在几何形中，有多风趣的数，如算段的条数，足某种条件的三角形的个数，若干个分平面所成的地区数等等．看起来仿佛没有什么律可循，可是通真分析，是能够找到一些理方法的．常用的方法有枚法、加法原理和乘法原理法以及推法等．n条直最多将平面分红223⋯⋯n(n2n2)个部分；n个2最多分平面的部分数n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分红3n(n-1)+2部分；n个四形将平面最多分红4n(n-1)+2部分⋯⋯在其余数中，也常用到枚法、加法原理和乘法原理法以及推法等．解需要仔、合所学知点逐渐求解．摆列不与参加摆列的事物相关，并且与各事物所在的先后序相关；合与各事物所在的先后序没关，只与两个合中的元素相关．二、几何计数分类数段：假如一条段上有n+1个点(包含两个端点)（或含有n个“基本段”），那么n+1个点把条段一共分红的段数n+(n-1)+⋯+2+1条数角：数角与数段相像，段形中的点似于角形中的．数三角形：可用数段的方法数如右所示的三角形（法），因DE上有15条段，每条段的两头点与点A相，可构成一个三角形，共有15个三角形，同一在BC上的三角形也有15个，所以中共有30个三角形．数方形、平行四形和正方形：一般的，于随意方形（平行四形），若其横上共有n 条段，上共有条段，中共有方形（平行四形）个．m mn例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同的如右搁置，它有_______条称．7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page1of10【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【重点词】迎春杯，六年级，初赛，试题【分析】如图：6条．【答案】6条【例2】下边的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A）3(B)4(C)5(D)6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【重点词】华杯赛，初赛，第1题【分析】经过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其余的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。

学科培优数学“几何计数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在数学竞赛试题中,经常出现一些几何计数问题,所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,我们所使用的所有计数方法都离不开分类．知识梳理一、数线段如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”）,那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条二、数角数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边。

以OA为一条边的角有： E D∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C同样还有：∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个 B∠COD ,∠COE共2个 A ∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）三、数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形。

四、B M C线段AM与AE对应着长方形AMPE,AM与AG对应着长方形AMQG,AM与AB对应着长方形AMNBAM与EG对应着长方形EPQG,AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形,共6个长方形AD边上共有3条线段,其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形,所以共有3×6=18个长方形一般的,类似于这样的长方形（平行四边形）,若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个五、染色问题在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论,对所研究的对象进行“染色”,“染色”实质上是分类的一种形象化的表示,利用“染色”,可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来,从而使问题得到简明的解答。

华杯赛计数专题：几何计数基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.方法铺垫：1）加法原理，乘法原理；2）容斥原理；3）排列数，组合数；4）对应法.例题：例1.如图，数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.例2.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个；包含4个正方形的正方形有3×3=9个；包含9个正方形的正方形有2×2=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线，共有4×条；竖线：5×，故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个，竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段，60个矩形【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图：因此共有个矩形.例12. 数一数，图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。