小学数学奥数解题技巧(44)几何图形的计数

四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。

练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。

几何中的计数问题
例1、数一数下列图形中各有多少条线段。

例2、数一数下图中共有多少个角。

例3、数一数下图中共有多少个角。

例4、下图中，各有多少个三角形。

例5、如下图中，数一数共有多少条线段，多少个三角形。

例6、如下图中，共有多少个角。

例7、如下图，数一数共有多少个长方形。

例8、数一数下图中长方形的个数。

例9、数一数下面各图中所有正方形的个数。

例10、数一数下图中有多少个正方形。

例11、数一数下图三角形的个数。

例12、数一数下图中三角形的个数。

例13、数一数下图中三角形的个数。

例14、数一数下图中三角形的个数。

练：1、数一数下面各图中有多少条线段。

2、数一数下面各图中有多少个角。

3、数一数下面各图中，各有多少条线段。

4、数一数下面各图中，各有多少条线段，各有多少个三角形。

5、下面图中有多少个正方形。

6、下图中有多少个长方形。

7、下图中有多少个三角形。

8、下图中有多少个长方形。

9、下图中各有多少个三角形。

小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。

其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。

本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。

一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。

它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。

二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。

对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。

对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。

例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。

三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。

顶点是指图形的两条边交汇的点。

对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。

例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。

四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。

对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。

对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。

例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。

五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。

假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。

首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。

接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。

最后，我们观察图形的对称性。

五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。

六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。

几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。

在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。

几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

图形的计数知识点总结图形的计数是数学中的一个重要内容，它涉及到几何形状的种类、性质以及应用，是数学学习的一个基础知识点。

在初中阶段，学生开始系统学习图形的知识，包括基本图形的性质、图形的分类、图形的计数等内容。

本文将对图形的计数知识点进行总结，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

1. 基本图形的性质在图形的计数中，首先要了解基本图形的性质。

基本图形包括点、线、线段、射线、角、三角形、四边形、多边形等。

这些图形有各自的定义、性质及特点，对于学生来说，需要对这些基本图形有一个清晰、完整的理解。

（1）点：点是几何中最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

点在几何图形中起到连接线段、构建图形等作用。

（2）线：线是由一组点按照一定规律排列而成，没有宽度和厚度。

线在几何图形中起到连接点、构成图形等作用。

（3）线段：线段是由两个端点和这两个端点之间的所有点组成的，有一定的长度，但没有宽度和厚度。

（4）射线：射线是由一个端点和这个端点上的一条直线上的所有点组成的，有一定的长度，但在一个方向上是无限长的。

（5）角：角是由两条射线的公共端点所确定的，角的度量单位通常是度。

角分为锐角、直角、钝角等。

（6）三角形：三角形是一个有三个顶点和三条边的几何图形，根据边长和角度的不同，可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等。

（7）四边形：四边形是一个有四个顶点和四条边的几何图形，根据边长和角度的不同，可分为矩形、正方形、平行四边形、菱形、梯形等。

（8）多边形：多边形是一个有多个顶点和边的几何图形，根据边的个数和边长的不同，可分为五边形、六边形、七边形等。

以上是基本图形的性质和特点，这些知识是图形计数的基础，学生需要通过实际操作和练习，充分理解和掌握这些内容。

2. 图形的分类图形的分类是图形计数中的重要内容之一，它涉及到几何图形的形状、性质和特点，对于学生来说，需要对各种分类有一个清晰、准确的认识。

（1）按形状分类：常见的图形按照形状可以分为圆形、三角形、四边形、多边形等。

小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。

在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。

例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。

可以采用数数的方法，按顺序数。

也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。

解：方法一：一个一个地数出8个正方体。

方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。

例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。

问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。

只有“粘在一起的”面没有涂色。

中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。

解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。

（2）4面涂成红色的小正方体有4个。

（3）5面涂成红色的小正方体有4个。

例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。

应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。

解：10+10+1=21（个）答：共写21个。

例5：27个小方块堆成一个正方体。

如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。

3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。

几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。

有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。

如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。

例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。

线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段;分析与解：对于基础图形,用最小线段为单位,按序递增;单拼：3段,双拼：2段,三拼：1段通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决;最小线段基础线段的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6段或者,线段个数=基础线段数×端点÷2高阶基础线段要求：手拉手,肩并肩对于相交的线段,分别计算各个方向,然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数;分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;最小线段的数量为火车头;或者,角的个数=最小角个数×最小角个数+1÷2又,角的个数=射线的个数×射线个数-1÷2例3、下列各图形中,三角形的个数各是多少分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决,最小线段的数量为火车头;所以,三角形个数=底边线段个数每个底边基础线段构成一个基础三角形或者,三角形的个数=最小三角形个数×最小三角形个数+1÷2高阶以上的内容基本是单层规整图形：数线段数角,数三角形,解决方法：开小火车对于多层规整的图形,应该以单层规整图形为基础,运用技术,算出多层规整图形的数量;例4、下列图形中各有多少个三角形分析与解：方法1使用分层计数法：方法2公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形小TIPS：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形例7、右图中有多少个三角形分析与解：对于不规则的图形,数之前,先将每个图形编号,编好后,先数单拼三角形1、4、3号,共3个;再数两个图形合成的双拼三角形,1+2号,2+3号,3+4号,4+1号,按顺序两个两个合并,共4个三角形;最后数由1+2+3+4号组成的四拼大三角形,有1个;所以3+4+1=8,共8个三角形;例8、下列各图形中,长方形的个数各是多少分析与解：对于单层基础图形,可以使用开小火车的方式解决;每个长方形相当于最小线段;所以数单层的基础长方形,就是数基础线段数;对于多层的长方形的个数=单层长方形的数量×层数个单层长方形的数量=长边上的线段数个,层数=宽边上线段的个数层例9、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;单层长方形的数量=长边线段数=4+3+2+1=10个,层数=宽边线段数=3+2+1=6层总数=4+3+2+1×3+2+1=60个例10、下列图形中,长方形的个数是多少个分析,先将<格1>与<格2>隐去,剩下的格3,就是一个多层规整长方形=10×6=60个格1带来的长方形=4个吹泡泡法格2带来的长方形=5个总数=60+4+5=69个例11、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：了解正方形的构成特点：四边相等;方法1数格子：一格,四格,九格,十六格……方法2开小火车法：最小正方形的个数为“火车头”,后面的“车厢”中的每个乘数都减-1,直至出现1为止0乘任何数都等于0解：3×3+2×2+1×1=14个例12、下列图形中,正方形的个数是多少个分析与解：利用开小火车法：火车头为最小9正方形数量：6×5正方形个数=6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70个例13、数下列图形中共有21个三角形,一共需要多少个小棒：例10、在下图中,包含“”号的长方形和正方形共有多少个分析与解：对于不规整的图形,进行分类讨论;左图中,应先进行分类：正正方形与斜正方形正正方形=5+5=10个斜正方形= 5个总数=10+5=15个例11、如下图是由小立方体构成的塔,数一数有多少个小立方体分析与解：数立方体时,先从顶层数起;公式：本层可见数+上层数本题：1+3+1+5+4+7+9=30个例12、数一数,下列图形中有多少个长方形方法1：小讨厌法：不包含小讨厌的多层规整图形：10×6=60个小讨厌错误!+错误!+错误!：4+4+4=12,共：60+12=72个方法2：重叠法三年级：横：10×6=60个,竖：3×10=30个中重叠：3×6=18个,共：60+30-18=72个例13、数一数,第10个图形应该有多少圆圈组成通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 (10)2 2+4+2 2+4+6+4+2 ……2+4+…+20…+4+22 8 18 (200)例13、数一数,第10个图形应该有多少条线段通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 4 (10)1×2+2 3×2+3 6×2+4 10×2+5 55×2+1122=4 32=9 42=16 52=25 112=121 例14、数一数,下列图形中包含★长方形有多少个方法1勾对角线法：将★的左上角的点和右下角的点相连：通过加标字母A、B和a、b、c、d、e、f,帮助我们数图形：Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、方法2公式法：经过★划十字线,左侧、右侧、上面、下面焦点数相乘：2×2×1×3=12个例15、数一数,下列图形中有多少条线段有多少个三角形1数线段：分方向：共：6×5+5=35条2数三角形：分方向中间五角星不用①③③④⑤：共10个三角形;仅使用①③③④⑤中一条：每一条有4个三角形,共4×5=20条使用①③③④⑤中的两条：共4个三角形;共：10+20+5=35个。

几何计数的四种常用方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何计数的四种常用方法。

你看啊，几何计数就像是在一个奇妙的图形世界里数星星，得有窍门才行。

第一种方法呢，就像按图索骥，我们直接去数那些明显的图形。

这多直接呀，就好比你在一堆糖果里找红色的那颗，一眼就能瞧见。

可别小瞧这方法，有时候简单直接最管用呢！再来说说第二种方法，就像是顺藤摸瓜。

我们找到一些规律，顺着这些规律去计数。

比如说一个图形是按规律排列的，那我们就跟着这个规律走，一个一个地数清楚。

这就好像你知道每天上学的路上会经过几个红绿灯，心里有数得很呐！第三种方法呢，有点像拼图游戏。

我们把复杂的图形拆分成几个简单的部分，分别去计数，然后再合起来。

哎呀呀，这就像把一个大拼图分成小块，数完了再拼回去，多有意思！还有第四种方法，像是走迷宫找出口。

我们通过一些巧妙的计算或者推理，找到计数的方法。

这可得动点小脑筋啦，就像你在迷宫里找路，得仔细琢磨琢磨呢！比如说那个三角形，一个大三角形里又有好多小三角形，你要是没点方法，那不得数得眼花缭乱呀！可要是用对了方法，就像找到了打开宝库的钥匙，一下子就清楚啦。

几何计数可不只是在纸上随便画画数数，它就像生活中的小智慧。

你想想，你收拾房间的时候，是不是得知道有多少东西要放呀；或者你去超市买东西，得清楚自己买了几种不同的商品吧。

几何计数也是一样，让我们更清楚地了解图形的奥秘。

所以啊，大家可别小看这几何计数的四种常用方法，它们就像是我们探索图形世界的秘密武器。

只要我们用心去学，去用，就能在这个图形的海洋里畅游无阻。

好好掌握它们吧，朋友们！让我们一起在几何的世界里玩得开心，数得精彩！。

几何计数知识框架一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

一、 分类数图形【例 1】 下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】 图中有______个正方形．例题精讲【巩固】 数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

CBA【例 5】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

经典小学奥数题型(几何图形)经典小学奥数题型（几何图形）在小学奥数竞赛中，几何图形是一个常见的考点。

通过熟悉和掌握一些经典的几何题型，学生能够提高解题能力，增强空间想象力，并且培养逻辑思维。

一、平面图形的边、角和面积计算1. 边和角计算设某个多边形的边数为 n，则它的内角和为 (n-2) × 180 度。

如果该多边形是正多边形，则每个内角都相等，即每个内角为 [(n-2) ×180]/n 度。

2. 正多边形的面积计算设正多边形的边长为 a，边数为 n，则正多边形的面积 S = (n ×a^2)/(4 × tan(π/n)) 平方单位。

3. 三角形的面积计算设三角形的底边长为 a，高为 h，则三角形的面积 S = (a × h) /2 平方单位。

二、相似三角形的性质当两个三角形的相应角相等时，我们可以推论他们是相似三角形。

相似三角形之间存在以下几个性质：1. 边长的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例应该相等： AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。

2. 面积的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例的平方等于对应面积之间的比例：(AB/XY)^2 = (BC/YZ)^2 =(AC/XZ)^2 = S(ABC)/S(XYZ)。

三、三角形的周长和面积计算1. 三角形的周长计算将三角形的三条边长相加，即可得到三角形的周长。

2. 海伦公式设三角形的三条边长为 a、b、c，令 p = (a+b+c)/2 为半周长，则三角形的面积S = √( p × (p-a) × (p-b) × (p-c) ) 平方单位。

四、平行四边形和矩形的性质1. 平行四边形的性质平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相等分，并且对角线相交的点将对角线份平分。

2. 矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它的对边相等且互相平行，且所有角都是直角。

图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。

学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。

过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。

在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。

情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。

在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。

教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。

难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。

再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。

下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。

如何数几何图形的个数杭 远数几何图形的个数不仅是本章的一个重点内容，也是本章的一个难点内容.数几何图形的个数必须做到不重不漏，可按一定的顺序去数，也可以总结规律，运用规律进行计算，下面举例说明.一、数直线、射线、线段的条数例1 如图1所示，A ，B ，C ，D 为平面内每三点都不在一条直线上的四个点，过其中的任意两点，可画出6条直线，若A ，B ，C ，D ，E 为平面内每三点都不在一条直线上的五点，过其中任意两点，可画出____________条直线. 解析：对于已知四点，A 点与其他三点B ，C ，D 各确定一条直线，共3条直线，同理，分别过B ，C ，D 三点也各有3条直线,这样共有12条直线,但每条都要重复一次,所以应该有234⨯=6条直线.因此若已知五点，可类似地得到245⨯=10条直线.故应填10.点评：有不在同一条直线上的n 点，过其中的任意两点一共可画2)1(-n n 条直线.二、数角的个数例2 图2中小于平角的角有( )A.5个B.7个C.9个D.10个 解析：显然图中以点F 为顶点的角有1个，以点C 为顶点且小于平角的角有∠ACF 、∠ACD 、∠ACE 、∠FCD 、∠FCE 、∠FCB 、∠DCE 、∠DCB 、∠ECB 共9个，一共有10个.故选D.点评:在统计以点C 为顶点的角的个数时，观察要有条理，可先从一边（CA 或CB 边）按（顺时针或逆时针）方向数，既要防止重复，又要防止遗漏.三、数多边形的个数例3 仔细观察国旗上的五角星，在每个五角星中（如图3），其中五边形和三角形的个数分别为( )A.1，5B.1，10C.0，5D.0，10 解析：根据五边形的特征可知，五边形只有中间的1个.数三角形时，除了明显的5个小三角形外，还有隐藏的5个大三角形，所以图中三角形共有10个.故选B.点评：数三角形的个数时要按顺序不重不漏地数.A CB 图2 DE GF 图3 A C B 图1 D。

数几何图形的个数时，很容易错数。

如何才能避免重复数或者漏数图形呢?首先要仔细分析图形的组成，比如，要看清图形中有多少个点、多少条线，然后根据图形的组成，或者分类计算、或者分步计算。

通常所给的图形比较复杂，但是只要求数出所给图形中所含的线段、射线、角、长方形、正方形、长方体、正方体等。

要想解答这类问题首先要明确:线段是由两个端点确定的，射线是直线的一部分，需要一个点，简要理解角的始边与终边，三角形是由不在一条直线上的三个点确定的，长方形和正方形都是由两组互相垂直的平行线得到的。

这些基础知识就是数几何图形的有力根据。

[例1】由四个边长为1的正方形拼成如图1a所示的左右对称的图形，以图中正方形的14个顶点为顶点可得到许多不同的三角形，那么，在这些三角形中，面积为1的三角形共有几个(面积为1的三角形的三条边中至少有一条边是水平或垂直的)分析与解答见图1b，要使三角形面积为l，要么底是l，高是2。

或底是2，高是1，由此可知，水平的以AB为底的有2个，以EG为底的有2个，以DF为底的有5个，以CG为底边的有7个，以CE为底边的有2个，共有5+2+2+7+2=18(个)。

根据对称性下方也有18个，再看垂直的，以CH、GM为底的和前面计重合，以A为底，除去△ABI。

△AIK，另有△AFI、△AOI 2个，同理，DN、BK、FO为底的各有2个，所以共计18×2+2×4=44(个)[例2】图2中有多少条线段?解答解法一线段是两个端点确定的，要数有多少条线段，就可以根据端点来数，如果用左端点来分类，左端点相同的是一类，左端点分别可以是A、B、C、D、E。

在每一类中，由于左端点一样，因此线段的条数就是右端点的个数。

根据左端点分5类。

(1)以A为左端点，右端点可以是B、C、D、E、F 5个中的任一个，于是得到5条线段:AB、AC、AD、AE、AF。

(2)以B为左端点，此时A在B的左边不能是右端点，因此右端点只能是C、D、E、F4个中的任意一个，于是又得4条线段:BC、BD、BE、BF。