刚粘塑性有限元法的基本原理

材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。

有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。

本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。

1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。

它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。

1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。

1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。

根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。

1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。

1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。

2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。

它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。

2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。

这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。

DEFORM-3D基本操作入门QianRF前言有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值计算方法。

由于采用类型广泛的边界条件，对工件的几何形状几乎没有什么限制和求解精度高而得到广泛的应用。

有限元法在40年代提出，通过不断完善，从起源于结构理论、发展到连续体力学场问题，从静力分析到动力问题、稳定问题和波动问题。

随着计算机技术的发展与应用，为解决工程技术问题，提供了极大的方便。

现有的计算方法（解析法、滑移线法、上限法、变形功法等）由于材料的本构关系，工具及工件的形状和摩擦条件等复杂性，难以获得精确的解析解。

所以一般采用假设、简化、近似、平面化等处理，结果与实际情况差距较大，因此应用不普及。

有限元数值模拟的目的与意义是为计算变形力、验算工模具强度和制订合理的工艺方案提供依据。

通过数值模拟可以获得金属变形的规律，速度场、应力和应变场的分布规律，以及载荷-行程曲线。

通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具设计上预测金属的流动规律，包括缺陷的产生（如角部充不满、折叠、回流和断裂等）。

利用得到的力边界条件对模具进行结构分析，从而改进模具设计，提高模具设计的合理性和模具的使用寿命，减少模具重新试制的次数。

通过模具虚拟设计，充分检验模具设计的合理性，减少新产品模具的开发研制时间，对用户需求做出快速响应，提高市场竞争能力。

一、刚（粘）塑性有限元法基本原理刚（粘）塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，依据材料发生塑性变形时应满足的塑性力学基本方程，以速度场为基本量，形成有限元列式。

这种方法虽然无法考虑弹性变形问题和残余应力问题，但可使计算程序大大简化。

在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用这种方法可达到较高的计算效率。

刚塑性有限元法的理论基础是Markov变分原理。

根据对体积不变条件处理方法上的不同（如拉格朗日乘子法、罚函数法和体积可压缩法），又可得出不同的有限元列式 其中罚函数法应用比较广泛。

根据Markov变分原理，采用罚函数法处理，并用八节点六面体单元离散化，则在满足边界条件、协调方程和体积不变条件的许可速度场中 对应于真实速度场的总泛函为：∏≈∑π（ｍ）＝∏（１，２，…，ｍ）（１）对上式中的泛函求变分，得：∑＝０（２）采用摄动法将式（２）进行线性化：＝＋ Δｕ ｎ（３）将式（３）代入式（２），并考虑外力、摩擦力在局部坐标系中对总体刚度矩阵和载荷列阵，通过迭代的方法，可以求解变形材料的速度场。

塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。

它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。

金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。

由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。

据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。

随着现代制造业的快速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计提出了更高的要求。

如果工艺分析不完善、模具设计不合理或选材不当，产品将不符合质量要求，导致大量不良品和废品，增加模具的设计制造时间和成本。

为了防止缺陷，提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司、企业、高校和研究机构对塑料成型件的性能进行了大量的理论分析、实验研究和数值计算，通过对成形过程中应力应变分布及变化规律的研究，试图找出各零件在产品成形过程中遵循的共同规律和机械失效所反映的共同特征。

由于影响塑性成形过程的因素很多，一些因素，如摩擦和润滑、变形过程中材料的本构关系等，还没有被人们充分理解和掌握。

因此，到目前为止，还无法对各种材料和形状零件的成形过程做出准确的定量判断。

由于大变形机理非常复杂，塑性成形研究领域一直是一个充满挑战和机遇的领域。

一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。

如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。

在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。

仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。

有限元法的基本原理
有限元法是一种用于求解物体结构和材料行为的数值分析方法。

它将连续的物理问题离散化为一个由一系列小的单元构成的简化模型，每个单元都有自己的特性和行为。

有限元法的基本原理是将物体分割成离散的有限元素，并在每个元素上建立适当的数学模型。

这些数学模型可以描述元素的行为以及相邻元素之间的相互作用。

然后，通过在元素级别上求解这些模型，得到整个物体的行为。

在有限元法中，首先将物体网格化成一系列有限元素。

常用的有限元素包括三角形、四边形和六面体等。

然后，在每个元素上构建适当的数学模型，通常使用微分方程或代数方程来描述元素的行为。

这些方程可以是弹性、塑性、热传导等物理现象的方程。

为了求解整个物体的行为，有限元法需要在每个元素上求解数学模型。

一般来说，这涉及到在每个元素的内部和边界上施加恰当的边界条件，并使用数值方法进行求解。

常用的数值方法包括有限差分方法、有限体积方法和有限元法等。

通过在每个元素上求解数学模型，并根据元素之间的相互作用来求解整个物体的行为，有限元法可以提供物体的应力、应变、位移等各种物理量的分布和变化情况。

这对于分析和设计工程结构、优化材料性能等都具有重要意义。

总的来说，有限元法的基本原理是将物体离散化，并在每个元
素上构建适当的数学模型，然后通过数值方法求解这些模型，以获得整个物体的行为。

它是一种强大的工具，可以在工程和科学领域中广泛应用。

刚塑性有限元数值模拟中产⽣误差的原因及改进⽅法刚塑性有限元数值模拟中产⽣误差的原因及改进⽅法作者：陈军邓清张卫刚1 引⾔塑性加⼯过程的有限元数值模拟，可以获得⾦属变形的详细规律，如⽹格变形、速度场、应⼒和应变场的分布规律，以及载荷-⾏程曲线。

通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具设计上预测⾦属的流动规律，包括缺陷的产⽣（如⾓部充不满、折叠、回流和断裂等）。

利⽤得到的⼒边界条件对模具进⾏结构分析，从⽽改进模具设计，提⾼模具设计的合理性和模具的使⽤寿命，减少模具重新试制的次数。

在制造技术飞速发展、市场竞争⽇益加剧的今天，塑性加⼯过程的计算机模拟可在模具虚拟设计、制造阶段就能充分检验模具设计的合理性，减少新产品模具的开发研制时间，对⽤户需求做出快速响应，提⾼市场竞争能⼒。

由此可见，⾦属成型过程的有限元模拟已是模具计算机集成制造系统中必不可少的模具设计检验环节。

⾦属成形⼯艺分体积成形和板料成形两⼤类，相应地，⽤于分析其流动规律的有限元法也分为两类，即：刚塑性、刚粘塑性有限元和弹塑性有限元。

体积成形中的挤压成形和锻造成形在实际⽣产中应⽤很⼴，中外学者在这⽅⾯进⾏了很多研究，其中⼆维模拟技术已相当成熟，三维模拟是⽬前的世界研究热点。

刚塑性、刚粘塑性有限元模拟能否对模具设计的合理性做出可靠校验，取决于模拟的精度和效率。

作者结合从事⼆维塑性有限元模拟的经验和当前的三维塑性有限元模拟系统开发的实践，对刚塑性、刚粘塑性有限元模拟过程中产⽣误差的原因进⾏了全⾯的详细分析，并提出相应的解决⽅法，同时以具体实例说明。

2 刚塑性、刚粘塑性有限元模拟中产⽣误差的原因及改进⽅法2.1 刚塑性有限元法求解的数学基础刚塑性有限元法是假设材料具有刚塑性的特点，把实际的加⼯过程定义为边值问题，从刚塑性材料的变分原理或上界定理出发，接有限元模式把能耗率表⽰为节点速度的⾮线性函数，利⽤数学上的最优化原理，在给定变形体某些表⾯的⼒边界条件和速度边界条件的情况下，求满⾜平衡⽅程、本构⽅程和体积不变条件的速度场和应⼒场。