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《弹性力学问题的有限单元法》弹性力学问题的有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）是一种经典的多学科跨领域的计算方法，它用于估算连续体结构中非线性材料力学性能，如强度、刚度和破坏。
有限单元法已成为工程和材料科学中最重要的数值计算方法，可用于解决各种复杂多学科优化和设计问题。
有限单元法的基本思想是把复杂的连续体结构划分成许多小的、较容易处理的有限元素，而不是像一般的解析方法那样求取整体的解析解。
基于有限元素重要的性质，即小元素经过一系列的连接后就可以构成整个结构的模型，有限单元法的本质是数值分析，也就是根据模型的物理知识，选择有效的数值化方法，用数值计算的方法求解所要求的结果，从而使这些数值计算结果符合实际结构物理知识。
有限单元法是一种有效计算弹性力学问题的方法，它可以用来求解任意形状的结构问题，无论是有边界条件还是无边界条件，无论是线性或者非线性的形状变化，有限单元法都能够有效地应用。
其优势在于以节省计算时间和消耗的成本，在特殊的材料条件下，它可以比较快速地获得弹性力学问题的有效精确解。
其精度依赖于计算模型元素的类型、形状和几何尺寸等，因此通常需要调节元素的类型、形状和尺寸，以满足计算需要。
在计算机技术的发展下，有限单元法的计算能力越来越强大，可以对更多的复杂问题进行分析，可以更有效地解决工程设计中的实际问题。
由于计算机可以模拟各种变形和应力的变化，因此有限单元法可以为工程设计和材料研究提供更可靠的结果。
有限单元法在工程应用中的实际作用是显而易见的。
它不仅可以用来计算弹性结构中的材料力学特性，还可以分析复杂结构的动态响应。
此外，有限单元法还可以用来计算弹性结构中的表面张力、刚度，以及各种材料的裂缝扩展。
通过有限单元法的应用，可以获得有效的数值结果，从而提高设计效果和工程安全性。
因此，有限单元法对于材料科学和工程设计都具有重要价值，今后还将发挥更多的功能。
有限单元法是多学科跨学科的计算方法，它可以用来有效地分析复杂形状结构的力学特性，计算出精确的结果，从而提高工程设计的效果和安全性。
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场及热传导等领域中。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法，并阐述其在工程实践中的应用。
2. 基本原理有限单元法的基本原理是将复杂的连续体问题离散化为若干简单的子域，即有限单元。
每个有限单元由一个或多个节点组成，通过将子域内的导数方程或平衡方程转化为代数方程，再通过求解这些代数方程得到全局解。
有限单元法的基本步骤如下： - 确定问题的几何形状和边界条件； - 将几何形状分割为有限个单元，并为每个单元定义适当的数学模型； - 根据单元的数学模型建立刚度矩阵、质量矩阵等，并通过组装成全局矩阵； - 应用合适的边界条件，并求解线性或非线性代数方程组； - 根据代数方程组的解，计算各个单元内部的物理量。
3. 数值方法有限单元法中常用的数值方法包括： - 剖分方法：将连续域剖分为若干简单的有限单元，常用的有三角形剖分和四边形剖分。
- 元素类型：根据问题的特性选择合适的单元类型，如线性元、三角元、四边形元等。
- 积分方法：采用高斯积分等方法对每个单元内的积分方程进行数值求解。
- 方程求解：对线性方程组采用直接法（如高斯消元法）或迭代法（如共轭梯度法）进行求解。
- 后处理：根据问题的要求，进行应力、位移、应变等物理量的计算和显示。
4. 应用实例有限单元法广泛用于工程实践中，以下为其常见应用实例：- 结构力学：用于模拟建筑物、桥梁、飞机等结构的应力和变形。
- 流体力学：用于模拟流体在管道、水槽、风洞等中的流动。
- 电磁场：用于模拟电磁场在电路、电机、天线等中的分布。
- 热传导：用于模拟热传导在导热管、散热器、热交换器等中的传热情况。
5. 结论有限单元法作为一种数值计算方法，在工程实践中得到了广泛应用。
通过将连续问题离散化为有限单元，再通过数值方法求解代数方程组，可以获得连续问题的近似解。
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域中结构力学、流体力学、热传导等问题的数值求解。
它的基本思想是将一个复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对单元的力学行为进行建模，最终得到整个系统的数值解。
本文将围绕有限单元法的原理及其在工程领域中的应用进行详细介绍。
有限单元法的原理。
有限单元法的原理基于力学原理和数学方法，其基本步骤包括，建立数学模型、离散化、单元划分、建立单元刚度矩阵和载荷向量、组装和求解方程、计算结果后处理等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题选择合适的数学方程和边界条件，将问题转化为求解一组代数方程。
离散化是指将连续的物理问题划分成若干个小单元，每个单元内的物理行为可以用简单的数学方程描述。
单元划分是将整个结构或领域划分成若干个有限单元，通常采用三角形、四边形、四面体、六面体等几何形状。
建立单元刚度矩阵和载荷向量是对每个单元进行力学行为的建模，根据材料性质和几何形状计算单元的刚度矩阵和载荷向量。
组装和求解方程是将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量，然后通过数值方法求解代数方程组。
最后，计算结果后处理是对数值解进行分析和可视化，评估结构的性能和稳定性。
有限单元法的应用。
有限单元法在工程领域中有着广泛的应用，包括结构力学、流体力学、热传导等方面。
在结构力学中，有限单元法可以用于分析和设计各种结构，如桥梁、建筑、机械零件等。
通过对结构的受力分析，可以评估结构的安全性和稳定性，指导工程设计和施工。
在流体力学中，有限单元法可以用于模拟流体的流动行为，如水力学、空气动力学等问题的数值模拟。
在热传导中，有限单元法可以用于分析材料的热传导性能，评估材料的热稳定性和散热效果。
总结。
有限单元法作为一种数值分析方法，在工程领域中有着重要的应用价值。
通过对结构、流体、热传导等问题的数值模拟，可以为工程设计和科学研究提供重要的参考和支持。
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
有限单元法学习报告在对力学问题分析求解过程中，方法可以概括为两种方法，一种为解析法，对具体问题具体分析，通过一定的推导用具体的表达式获得解答，由于实际工程中结构物的复杂性，此方法在处理工程问题是十分困难的；另一种是数值法，有限元法是其中一种方法，其数学逻辑严谨，物理概念清晰，又采用矩阵形式表达基本公式，便于计算机编程，因此在工程问题中获得广泛的应用。
有限元法基本原理是，将复杂的连续体划分为简单的单元体；将无限自由度问题化为有限自由度问题，因为单元体个数是有限的；将偏微分方程求解问题化为有限个代数方程组的求解问题。
通常以位移为基本未知量，通过虚功原理和最小势能原理来求解。
基本思想是先化整为零，即离散化整体结构，把整体结构看作是由若干个通过结点相连的单元体组成的整体；再积零为整，通过结点的平衡来建立代数方程组，最后计算出结果。
我将采用最简单的三结点三角形为基本单元体，解决弹性力学中的平面问题为例，解释有限单元法的基本原理、演示数值计算过程和一般性应用结论。
一、离散化解决平面问题时，主要单元类型包括三角形单元（三结点、六结点）和四边形单元（四结点矩形、四结点四边形、八结点四边形）等。
选用不同的单元会有不同的精度，划分的单元数越多，精度越高，但计算量也会越大。
因此在边界曲折，应力集中处单元的尺寸要小些，但最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。
在集中力作用点及分布力突变的点宜选为结点，不同厚度，不同材料不能划分在同一单元中。
三角形单元以内角接近60°为最好。
充分利用对称性与反对称性。
二、单元分析将一个单元上的所有未知量用结点位移表示，并将分布在单元上的外力等效到结点上。
1、位移函数选取：根据有限元法的基本思路，将连续体离散为有限的单元集合后，此时单元体满足连续性、均匀性、各向同性、完全线弹性假设。
单元与单元之间通过结点连接并传递力，位移法（应用最广）以结点位移8 i= （U i V i）T为基本未知量，以离散位移场代替连续位移场。
有限单元法学习报告在对力学问题分析求解过程中，方法可以概括为两种方法，一种为解析法，对具体问题具体分析，通过一定的推导用具体的表达式获得解答，由于实际工程中结构物的复杂性，此方法在处理工程问题是十分困难的；另一种是数值法，有限元法是其中一种方法，其数学逻辑严谨，物理概念清晰，又采用矩阵形式表达基本公式，便于计算机编程，因此在工程问题中获得广泛的应用。
有限元法基本原理是，将复杂的连续体划分为简单的单元体；将无限自由度问题化为有限自由度问题，因为单元体个数是有限的；将偏微分方程求解问题化为有限个代数方程组的求解问题。
通常以位移为基本未知量，通过虚功原理和最小势能原理来求解。
基本思想是先化整为零，即离散化整体结构，把整体结构看作是由若干个通过结点相连的单元体组成的整体；再积零为整，通过结点的平衡来建立代数方程组，最后计算出结果。
我将采用最简单的三结点三角形为基本单元体，解决弹性力学中的平面问题为例，解释有限单元法的基本原理、演示数值计算过程和一般性应用结论。
一、离散化解决平面问题时，主要单元类型包括三角形单元（三结点、六结点）和四边形单元（四结点矩形、四结点四边形、八结点四边形）等。
选用不同的单元会有不同的精度，划分的单元数越多，精度越高，但计算量也会越大。
因此在边界曲折，应力集中处单元的尺寸要小些，但最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。
在集中力作用点及分布力突变的点宜选为结点，不同厚度，不同材料不能划分在同一单元中。
三角形单元以内角接近60°为最好。
充分利用对称性与反对称性。
二、单元分析将一个单元上的所有未知量用结点位移表示，并将分布在单元上的外力等效到结点上。
1、位移函数选取：根据有限元法的基本思路，将连续体离散为有限的单元集合后，此时单元体满足连续性、均匀性、各向同性、完全线弹性假设。
单元与单元之间通过结点连接并传递力，位移法（应用最广）以结点位移8 i= （U i V i）T为基本未知量，以离散位移场代替连续位移场。
有限单元法基础
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算
方法，常用于求解连续介质力学问题。
它将连续的物理域划分为有限数量的离散单元（finite elements），通过在每个单元内构建近似函数来描述物理场，再根据物理方程建立离散方程组，通过求解离散方程组来得到物理场的近似解。
有限单元法的基本思路是将连续域离散化为有限数量的小单元，每个小单元内使用适当的数学函数进行插值，将大问题分解为很多个小问题，并利用变量之间的连续性建立全局的离散方程组。
然后通过求解离散方程组得到近似解。
有限单元法的基本步骤包括：
1. 网格划分：将要求解的区域划分为多个离散单元，并在每个单元内选择适当的形状函数。
2. 形函数构造：在每个单元内选择适当的形状函数，用于描述物理场的分布。
3. 整体方程组：根据物理方程在每个单元上的积分，建立整个问题的离散方程组。
4. 边界条件：根据边界条件，将边界上的节点处的值固定为已知值。
5. 求解方程组：利用数值方法求解离散方程组，得到物理场的
近似解。
6. 后处理：根据求解结果，计算所需的物理量并进行分析和验证。
有限单元法具有广泛的应用，适用于各种连续介质力学问题的数值求解，如结构力学、固体力学、流体力学、热传导等。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，且精度和收敛性能较高。
有限单元法学习报告在对力学问题分析求解过程中，方法可以概括为两种方法，一种为解析法，对具体问题具体分析，通过一定的推导用具体的表达式获得解答，由于实际工程中结构物的复杂性，此方法在处理工程问题是十分困难的；另一种是数值法，有限元法是其中一种方法，其数学逻辑严谨，物理概念清晰，又采用矩阵形式表达基本公式，便于计算机编程，因此在工程问题中获得广泛的应用。
有限元法基本原理是，将复杂的连续体划分为简单的单元体；将无限自由度问题化为有限自由度问题，因为单元体个数是有限的；将偏微分方程求解问题化为有限个代数方程组的求解问题。
通常以位移为基本未知量，通过虚功原理和最小势能原理来求解。
基本思想是先化整为零，即离散化整体结构，把整体结构看作是由若干个通过结点相连的单元体组成的整体；再积零为整，通过结点的平衡来建立代数方程组，最后计算出结果。
我将采用最简单的三结点三角形为基本单元体，解决弹性力学中的平面问题为例，解释有限单元法的基本原理、演示数值计算过程和一般性应用结论。
一、离散化解决平面问题时，主要单元类型包括三角形单元（三结点、六结点）和四边形单元（四结点矩形、四结点四边形、八结点四边形）等。
选用不同的单元会有不同的精度，划分的单元数越多，精度越高，但计算量也会越大。
因此在边界曲折，应力集中处单元的尺寸要小些，但最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。
在集中力作用点及分布力突变的点宜选为结点，不同厚度，不同材料不能划分在同一单元中。
三角形单元以内角接近60°为最好。
充分利用对称性与反对称性。
二、单元分析将一个单元上的所有未知量用结点位移表示，并将分布在单元上的外力等效到结点上。
1、位移函数选取：根据有限元法的基本思路，将连续体离散为有限的单元集合后，此时单元体满足连续性、均匀性、各向同性、完全线弹性假设。
单元与单元之间通过结点连接并传递力，位移法（应用最广）以结点位移δi=(u i v i)T为基本未知量，以离散位移场代替连续位移场。
单元体内的位移变化可以用位移函数（位移模式）来表示，因为有限元分析所得结果是近似结果，为了保证计算精度和收敛性，x位移函数应尽可能反应物体中的真实位移，即满足完备性和连续性的要求：①位移模式必须能反映单元的刚体位移。
②位移模式必须能反映单元的常量应变。
③位移模式应尽可能反应位移的连续性。
设三角形单元三个结点编号为i 、j 、m 。
平面三角形单元位移函数选取为u=α1+α2x+α3y v=α4+α5x+α6y可以写成00u u yv v yωω=-⎧⎨=+⎩的形式，00u v 、反映了单元的刚体平动，ω反映了单元的刚体转动，满足完备性和连续性的要求①。
采用插值法由单元结点位移列阵δe=()ii j j mm u v u v u v T 计算α1、α2、α3、α4、α5、α 6.，求出位移d=[u （x ，y), v （x ，y ）]。
6个未知量,6个代数方程,得d e =N δed e =u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0000i j m ijm N N N N N N ⎛⎫⎪⎝⎭()i i j j mm u v u v u v T式中N i =(a i +b i x+c i y)/2A ，a i =jjm mx y x y b i = -11i m y y c i =11j m x x （i 、j 、m 轮换）A 为三角形面积，为避免A<0，i 、j 、m 按逆时针排列。
N 为形函数矩阵，形函数Ni 的性质有： ①N i （x i ，y i ）=1 N i （x j ，y j ）=0 Ni （xm ，ym ）=0②N i （x ，y ）+N j （x ，y ）+N m （x ，y ）=1可推出三个形函数中，两个是独立的，反映了刚体平移。
令z=Ni ，在直接坐标系中画出Ni 、Nj 、Nm 的函数图形是以Ni （xi ，yi ）=1为高的四面体，所以结点位移影响单元的位移场，单元的位移场是线性分布的，相邻单元在公共边上的位移是连续的，单元相邻边的位移只取决于单元相邻公共边上的结点而与其他结点无关，无论以哪个单元计算相邻边的位移，结果一定相同。
形函数N i e 决定了单元内的位移模式，反映了i 结点位移对单元内任意点位移的贡献率。
2、根据几何方程用单元结点位移表示单元应变：()0010002ijmi jmii j j mmi i j jm m u x B b b v c c c u v u v u vy A cb c bc b u v y x ε⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪⎛⎫ ⎪∂ ⎪== ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭Te e B εδ= B 为几何矩阵B 可写为分块矩阵B =（B i B j B m ）T ,B i =00i i i i b c c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B 内所有元素与x ，y 无关，所以该单元内应变是常量，反映单元的常量应变，满足完备性和连续性的要求 ，这是一种常应变单元。
3、根据物理方程用单元结点位移表示单元应力：e e D σε= 2101011002E D μμμμ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭D 为弹性矩阵 e e e e D DB S σεδδ=== S 为应力矩阵S=DB 中，每一个元素都是常数，所以eσ的每一个分量与单元内x ，y 位置无关，这是一种常应力单元。
因为在三结点三角形单元中，位移函数中含有坐标的一次项，其误差为()2o x ∆，而应力、应变是常量，其误差为()o x ∆，比位移精度低。
4、根据虚功原理用单元结点位移表示单元结点力单元在结点处受力，单元会发生变形，因此单元在结点处所受到的力与单元结点位移肯定有关系。
单元间通过结点的相互作用成为整体，因此每一单元的受力——位移关系找出来，整体的受力——位移关系也就出来了。
记单元节点力为()ei jm F F F F =T ，单元结点虚位移为()*e ***ij m =Tδδδδ单元内应力为()exy xy σσστ=T ， 单元内虚应变()****x y xy εεεγ=T 根据虚功原理，()()**TTe ee AF dxdy t δεσ=∙⎰⎰，可得e T e AF B DBdxdy t δ=⋅⋅⎰⎰因为B 、D 中元素都是常数，eTeeF B DBtA K δδ==，K=B T DB tA 为单元刚度矩阵。
K 为6行6列矩阵可写为()T i T j ijm T m B K tA B D B B B B ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ii ij im jij j jm mimjmm k k k k k k k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，xxxy ij ij ij i j yxyy ijij k k k B DB At At k k ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，xyij k 表示j 结点处发生y 方向的单位位移时所引起的i 结点处x 方向的结点力。
不同类型不同形式的单元，只有弹性矩阵D 和几何矩阵B 不同，计算子块矩阵的公式相同，平面问题中，影响刚度矩阵K 的只有几何矩阵B 。
K 的性质有：①K 中每个元素表示个单元结点沿坐标方向发生单位位移时所引起的结点力。
②K 为对称矩阵。
③单元做刚体位移时，单元内不产生应变应力，结点力为0，所以K 中每行每列元素之和为0，所以0K =，所以只根据eeF K δ=无法求得唯一解。
5、根据虚功等效原则计算等效结点力根据有限元的基本方法，单元内任意点的位移、应变、应力等最终都要用结点位移来表示，所以作用在物体上的外力也要用结点位移表示。
为了计算等效结点力，在任意的虚位移上，使原载荷与等效载荷虚功相等。
设外力为p f ，结点虚位移为*eδ，则任意点虚位移为**ee dN δ=，等效节点载荷为e L F ,有*eT *eT e p L d f t F δ= e T L p F N f t =（集中力）同理得eT L SF N f ds t =⋅⎰（面力），eL AF Nfdxdy t =⋅⎰⎰（体力）。
三、整体分析将结构的所有单元通过结点连接起来，形成一个整体的离散结构以代替实际的连续体，以形成以结点位移为未知量的整体结构的有限元代数方程组，最后求得结点位移。
对结点受力分析：结点受到与之相关的单元给它的反作用力和外载荷的等效结点力，这两组力坐标轴方向相反，所以应该相等，即i LieeF F=∑∑，设有n 个结点，每个结点建立两个方向的方程，不考虑外界约束时，共2n 个方程，2n 个未知量（,,...ix iy jx δδδ），为了建立这个代数方程组，建立整个弹性体的结点力和结点位移的关系式L K F δ=，K （2n ×2n ）为整理刚度矩阵，δ为整体结点位移列阵，F L 整体结点载荷列阵。
为了求整体刚度矩阵，要找到它与已求得的单元刚度矩阵的关系，在整体中对结点编码，设整体刚度矩阵中某元素为Kij ，意为j 个结点在x 或y 方向发生位移引起i 个结点x 或y 方向的结点力，找到同时用到i 与j 结点的单元，并用与之对应的单元刚度矩阵中的元素ksm 相加得到Kij ，整体刚度矩阵也是奇异矩阵，必须考虑边界约束条件，消除K 的奇异性，才能求解结点位移。
再由单位结点等效载荷得到整体结点载荷列阵F L 。
这样K 、F L 已知，求解代数方程，解出整体结点位移列阵δ，得到相应的单元结点位移δe。
δe得到了，相应的d e 、σe 、εe等就得到了。
