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沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。
实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。
三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。
2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。
2.实数与向量相乘的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。
例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。
4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。
实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。
2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，则1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。
精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、下列语句中，错误的是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，ACb =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。
《实数与向量相乘》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对实数与向量相乘概念的理解，熟练掌握向量与实数相乘的运算法则，并能解决简单的实际问题。
通过本作业的练习，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，同时提高他们的计算能力和数学逻辑思维能力。
二、作业内容本课时作业内容主要包括实数与向量相乘的基本概念、运算法则及简单应用。
具体包括：1. 理解实数与向量相乘的定义，掌握乘法运算的规则。
2. 掌握实数与向量相乘的几何意义，理解向量长度和方向的变化。
3. 运用实数与向量相乘的法则，解决有关向量模长、方向和坐标的简单计算问题。
4. 通过实际问题，让学生学会用实数与向量相乘的知识解决实际问题，如力的大小与方向等。
三、作业要求1. 要求学生熟练掌握实数与向量相乘的概念和运算法则，能够准确地进行计算。
2. 作业中应包含一定数量的基础练习题和拓展题，难度逐步提升，以适应不同层次的学生。
3. 学生在完成作业时，应注重理解题意，明确解题思路，规范书写过程。
4. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
5. 作业中应包含适量的实际问题，以培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰度、书写的规范性以及是否独立完成等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，应注重对学生的解题过程进行点评，指出学生的优点和不足，并给出改进建议。
同时，可采取互评、自评等方式，让学生参与评价过程，提高他们的自我反思和评价能力。
3. 评价反馈：教师应及时将评价结果反馈给学生，让学生了解自己的学习情况，同时鼓励学生在下次作业中改正错误，提高正确率。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的共性问题，教师应在课堂上进行讲解和示范，帮助学生掌握正确的解题方法。
2. 对于个别学生的问题，教师可通过个别辅导或课后辅导的方式，帮助学生解决问题，提高学习效果。
3. 教师应根据学生的作业情况，及时调整教学计划和方法，以满足学生的学习需求，提高教学质量。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
24.6实数与向量相乘（1）上海市金沙中学 方正2012年8月一、教学目标设计 1．理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法。
2、对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得到的向量。
3、在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比思想，增强概括能力。
二、教学重点及难点重点：实数与向量相乘的几何意义、相关概念难点：把一个向量用另一个向量和实数相乘的形式表示。
三、教学过程（一）温故知新复习：1、向量的定义（有大小有方向，和数量相对）；表示方法（有向线段，两个大写字母或一个小写字母）； 向量的模（向量的大小，表示方法）； 相反的向量；平行的向量；相等的向量。
什么是零向量？2．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？遵循什么法则（或公式）？3、已知：向量b a ,求作：（1）b a +（2） b a -a向量的加、减法满足什么法则？有口诀帮助记忆吗？加法：首尾相连，从始至终； 减法：首首相连，指向被减。
（二）探索新知1．思考：已知向量 a如图所示，如何作出（1）→→→++a a a（2）→→→-+-+-)()(a a aba（提示：根据向量的加法法则和相反向量的意义作图求解） 请两位学生分别上黑板作图。
2、观察：作出的向量与原向量 a 存在什么关系？（从向量的两要素：方向和大小都要考虑）因为→→→++a a a 的结果与a 方向相同，长度是a的3倍；而→→→-+-+-)()(a a a 的结果与a 方向相反，长度也是a的3倍，所以我们可以记→→→→→→→→3、归纳：我们规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：设k 使一个实数，→a 是向量，那么与→a 相乘所得的积是一个向量，记作→a k （1）→→⋅=a k a k（2）当0>k 时，→a k 与→a 同向；当0<k 时，→a k 与→a 反向；当0=k 或→→=0a 时，→→=0a k注：（1）中的符号“”何时表示向量的模？何时表示数量的绝对值？（1）（2）综合起来看，告诉了我们数量与向量相乘的意义是什么？——→a k 表示一个与→a 方向相同或相反的向量，它的长度是→a 的长度的k 的绝对值倍。
24.6实数与向量相乘意义（A)新会中学 孙宇教学目标：1、理解实数与向量相乘的意义。
2、知道实数与向量相乘的运算律。
3、在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想。
教师活动学生活动教学设计意图一．实数与向量相乘的定义：同学们请回答： 1 2+2+2表示什么? 2 a+a+a 表示什么？3 已知非零向量a ，则aa a++=？)()()(a a a-+-+-=？几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？学生回答1. 表示4个2相乘2. 表示3个a 相乘3.学生在思考中可能回答：和实数的乘法运算一样就是3a。
或者是不一样，或是不知道。
教师可以预设多种可能性，通过以上两个问题，引导学生可以类比数的乘法的运算，来进行向量的乘法运算。
不管学生做何回答，把学生引入一种思考。
那就是：是否可以运用实数的运算方法来探讨数与向量的运算我们曾经学习过向量的加法法则，同学们，还记得向量加法的多边形法则吗？ 学生回答：一般的，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。
这就是向量加法的多边形法则。
对于法则的内容，学生可能已经遗忘，教师可在学生大致的回答中，帮助学生回忆起法则的内容。
首先请看：在平面内取一点O ，作向量A O =a，=B A a C B =a .则C O =a a a++O A B C请问：C O的方向与长度？同学们，你能确定出)()()(a a a -+-+-的方向)()()(a a a-+-+-的长度是a的长度的3倍，方向与a 的方向相反。
教师在黑板上画图，帮助学生进行分析 通过讨论和归纳，为引进实数与向量相乘的运算确立认知基础。
与长度吗？请问：向量B O与向量CO 的 方向相同吗？长度是C O的多少呢？在前面的认知基础上，师生可以进行共同总结： 设P 为一个正数，P a 就是将a的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反。
第四节 平面向量的线性运算§24.6实数与向量相乘教学目标(1)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。
(2)知道实数与向量相乘的运算律，会根据运算律对向量算式进行计算、化简。
(3)知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。
(4)在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想；在实数与向量相乘和平行向量定理的学习中体会代数与几何的联系。
教学重点引进实数与向量相乘的运算，使学生掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法。
引进实数与向量相乘的运算律，并用于化简关于向量的算式。
引进平行向量定理和单位向量，并让学生了解利用向量关系式判断两个向量平行的方法。
知识精要1.实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。
又当m 为正整数时，n a m 表示与a 同向且长度为na m的向量。
2.实数与向量相乘的运算规定：设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向。
如果0k =或0a ≠，那么0ka =。
根据实数与向量相乘的意义，可知//ka a 。
ka 实际上将a 的长度进行放缩，方向与a 相同或相反。
ka 表示实数k 与a 相乘的运算，规定应把实数写在向量的前面并省略乘号；注意不要将表示向量的箭头写在数字上面。
3.同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差正；相反向量的和向量为零向量。
4.一般地，如果m n 、是非零实数，a 是非零向量，那么 ()m n a ma na +=+。
这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律。
5.一般来说，对任意实数0k ≠和非零向量a b 、，总有 ()k a b ka kb +=+。
这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律。
6.对于任意非零实数m n 、和非零向量a ，总有 ()()m na mn a =。
这是实数与向量相乘的结合律。
7.平行向量定理 如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
8.长度为1的向量叫做单位向量。
设e 为单位向量，则1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量相乘，可知 0a a a =， 01a a a=。
经典题型解析(一)实数与向量相乘的意义例1.已知非零向量a ，求作：(1)53a ； (2)5a -。
a随堂练习：已知非零向量a ，求作向量84,3,53a a a -。
a例2.如右图，已知点D E 、分别在ABC ∆的边AB AC 、上，//DE BC ，23AE EC =，试用向量BC 表示向量ED 。
随堂练习：如图，在ABC ∆中，点D 在边AC 上，2AD CD =，如果BA a =，BD b =，那么BC =________。
例3.如图，已知//AB CD ，2CD AB =，AD BC 、相交于点E ，设AE a =，CE b =，那么向量CD用向量a b 、表示为__________。
随堂练习：在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在BC 上，设BC a =，AD b =，那么向量AC 用向量a b 、表示为( ) A .12a b + B .12a b - C .12a b -+ D .12a b --(二)实数与向量相乘的运算律例4.计算：(1)27(2)3(4)3a b a b +--； (2)111(23)(232)(85)326a b c a b c a b +-+-+--。
随堂练习：计算下列各式：(1)(23)2(32)a b c a b c +---+； (2)1(23)(6)3a b b a +--。
例5.已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，且22AD AB CD ==，060B ∠=。
(1)若AD kBC =，求k 的值； (2)若0x AB BC yDC ++=，求实数x y 、的值。
随堂练习：如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，点F E 、分别在边AD BC 、上，//FE DC ，已知 53AB CD =，2CE BE =，试用向量DC 表示向量FE 。
例6.如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，4DC =，过点C 作//CE AB 交BD 的延长线于点E ， AB a =，BC b =。
(1)求BE (用向量a b 、的式子表示)； (2)求作向量12BD AC +(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)。
随堂练习：如图，两个不平行的向量a b 、。
先化简，再求作：11(3)(2)22a b a b +--。
(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)a b(三)平行向量定理与单位向量例7.已知c 是非零向量，如果22a b c +=-，352a b c -=，那么a 与b 向量是否是平行向量?随堂练习：已知向量a 、b 、c ，且23a b c +=，2023b c a +=，用消去a 的方法判断向量b 与c 是否例8.如图，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，090ABC ∠=，已知3AD =，6BC =，4AB =，设AD a =，用a 表示向量CB EF 、。
如果AB b =，用a b 、表示DC 。
例9.(1)0a 为单位向量，a 与0a 平行，且长度为5，用0a 表示a 为_______。
(2)设e 为单位向量，a 与e 方向相同，且长度是8，则a =_____e 。
巩固提升一、填空题1.已知k 是任一向量，2a k =-，5b k =，用a 表示b ，其结果是__________．2.已知向量AB 的方向是东南方向，且4AB =，则向量2AB -的方向是________，2BA -=_______．3.若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a =________b ．4.计算：2()3a b b -+=_________；(3)5a -⨯=_________；7()4()3a b a b a +--+=_________．5.计算：13(7)a =________，这是实数与向量相乘的________律．6.计算：8()a b +=_________，这是实数与向量相乘对于向量加法的_________律．7.计算：57(3)a -+=_________，这是向量加减运算中的_________律．8.已知233m a b =-，1124n b a =+，则4m n -=_________。
9.已知向量a 、b 、c ，且2a b c +=，3a b c -=，则向量a 与是b ______平行(填“同向”或“反向”)。
10.若向量a 和单位向量e 是平行向量，且模为5，则a =______。
二、选择题11.点O 是等边三角形ABC 的中心，则向量OA OB OC 、、是( ) A .相等向量 B .三个起点不同的向量 C .平行向量 D .模相等的向量12.下列说法中正确的是 ( )A .一个向量与零相等，乘积为0B .向量不能与无理数相乘C .非零向量与一个负数相乘所得向量比原向量短D .非零向量与一个负数相乘所得向量与原向量方向相反 13.下列说法中错误的是( )A .m 个c 连加，结果是mcB .当0k >，0a =时，ka 与a 是同方向的C .如果ka 和a 平行，那么两个向量方向相同D .当0k >时，ka k a = 14.下列式子中，错误的是( )A .330a a -=B .3412a a ⨯=C .336a a a +=D .4()44a b a b +=+ 15.下列各个判断中，结论正确的是( )A .非零向量a 、b 、c ，如果//a c ，//b c ，那么//a bB .已知e 为单位向量，则1e =C .任意非零向量a ，与a 同方向的单位向量0a ，则0a a =D .在向量中，特殊的向量是指零向量16.已知点C 是线段AB 的中点，设AB a =，那么下列结论中，正确的是( )A .12BC a =B .12AC a = C .AC BC = D .0AC BC +=三、解答题17.如图，线段,AB CD 相交于O ，//AC DB ，且43AO BO =， 设AC a =，试用向量a 表示BD 。
18.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，AO a =，BO b =，试用a 、b 表示AB AD 、。
19.(1)已知如图①，在AECF 中，B D 、分别为AF EC 、的中点，联结AD BC 、，AC BD 、相交于点O ，设AB a =，AE b =，用向量a 、b 表示向量EC FA 、、 OD OB 、。
(2)已知：如图②，点D E 、分别在ABC ∆的两边AC BC 、的延长线上，//DE AB ，32AC CD =，设 AB a =，CD b =，用向量a 、b 表示向量AC AD 、和DE 。
① ②20.已知向量a 、b 、x 满足关系式23(32)0b a b x ---=，试用向量a b 、表示x 。
21.M N 、是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点(点M 靠近点B ，点N 靠近点C )，若AB a =，AC b =，用a 、b 表示MN 。
22.计算：7(22)4(3)8(2)a c b a b c a c -++-+--。
23.已知非零实数()m n m n ≠、和非零向量a 、b 、x ，且满足向量关系式()(23)4m n a x b --=，用向量a 、b 和实数m n 、表示向量x 。
24.如果a b c -=，23a b c +=，其中向量c 是非零向量，那么a 与b 是平行向量吗?请说明理由。
25.如图，矩形窗框有八块大小完全相同的长方形玻璃，已知长方形玻璃ATQH ，30AH cm =，20AT cm =，AT a =，AH b =。
(1)把向量AB 、DC 、BC 用a 和b 表示出来； (2)化简AB BC DC DA ++-(结果用a 和b 表示)； (3)连结HE EF 、，并用a 、b 表示HE 和EF 。
参考答案：1.52b a =-2.西北方向；83.35- 4.2;a b +15;a -611a b + 5.91a , 结合 6.88a b +, 分配7.5318a , 结合 8.823ab - 9.反向10.5a e =± 11.D 12.D 13.C 14. A 15.A 16. B17.43a - 18.ab -, a b + 19.(1)112,2,,22EC a FA a OD b OB b ==-==- (2)35,,22AC b AD b ==23DE a =- 20.11126x a b =+ 21.1133MN b a =- 22.326a b c ++ 23.2433()x a b m n =-- 24.//a b , 52,33a c b c == 25.(1)4AB DC a ==,2BC b = (2)84a b + (3)2HE a b =-, 2EF a b =+。
