向量的加减法实数与向量的乘积专题练习

卜人入州八九几市潮王学校高一数学向量、向量的加法与减法，实数与向量的积人【本讲教育信息】一.教学内容：向量、向量的加法与减法，实数与向量的积二.本周教学重、难点：1.重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示，向量加、减法，实数与向量积的定义，运算律，一共线向量的充要条件，平面向量根本定理。

2.难点：向量的概念，对向量加、减法定义的理解，对一共线向量，平面向量根本定理的理解。

【典型例题】[例1]〔1=那么b a =〔2〕假设A 、B 、C 、D 是不一共线的四点，那么DC AB =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件。

〔3〕假设b a =，c b =那么c a =〔4〕两向量a 、b相等的充要条件是⎪⎩=ba //〔5=是b a =的必要不充分条件〔6〕CD AB =的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合解：〔1〕不正确〔2〕正确〔3〕正确〔4〕不正确〔5〕正确〔6〕不正确[例2]设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：NM KL =。

证明：在ABC ∆中∵K 、L 分别是AB 、BC 的中点 ∴KL ∥AC 且AC KL 21=∴KL 与AC 同向，且AC KL 21= 同理可证：NM 与AC 同向且AC NM 21= ∴KL 与NM 同向，且NM KL =∴NM KL = [例3]如图，在ABC ∆中，O 为重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简以下三式。

〔1〕EA CE BC++ 〔2〕EA AB OE++ 〔3〕DC FE AB ++ 解：〔1〕BA EA BE EA CE BC =+=++〔2〕OB AB OA AB EA OE EA AB OE =+=++=++)(或者原式OB EB OE AB EA OE =+=++=)( 〔3〕AC DC AD DC BD AB DC FE AB =+=++=++ [例4]O 是ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，假设a AB =，b BC =，c OD =，证明：OB b a c =-+。

向量、向量的加法与减法、实数与向量的积高考试题考点一 向量的线性运算1.(2012年大纲全国卷，文9）△A BC 中,AB 边的高为CD,若CB =a ，CA =b,a ·b=0,｜a|=1，｜b ｜=2,则AD 等于（）(A ）13a —13b （B ）23a —23b(C)35a-35b （D ）45a-45b解析:∵a ·b=0，∴a ⊥b.又∵｜a ｜=1,｜b ｜=2,∴|AB ｜=5. ∴｜CD ｜=125⨯=255。

∴｜AD |=222525⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=455.∴AD =4555AB =45AB =45（a —b ）=45a —45b 。

答案：D2。

(2011年四川卷，文7）如图,正六边形ABCDEF 中， BA +CD +EF等于（ )(A)0 （B）BE(C）AD（D) CF解析: BA+CD+EF=DE+EF+CD=DF+CD=CD+DF=CF，故选D.答案:D3。

(2010年大纲全国卷Ⅱ，文10）△ABC中,点D在边AB上，CD 平分∠ACB，若CB=a, CA=b，|a｜=1,|b|=2，则CD等于( ）（A）13a+23b （B)23a+13b（C）35a+45b (D）45a+35b解析:∵CD平分∠ACB，∴CACB =ADDB=21。

∴AD=2DB=23AB=23（CB-CA）=23(a—b).∴CD=CA+AD=b+23(a—b)=23a+13b。

答案：B4.（2009年湖南卷，文4）如图,D,E，F分别是△ABC的边AB,BC，CA的中点,则( ）(A) AD+BE+CF=0(B）BD-CF+DF=0（C）AD+CE—CF=0（D) BD—BE-FC=0解析: AD+BE+CF=12AB+12BC+12CA=12（AB+BC+CA）=0.故选A.答案:A5。

（2013年四川卷，文12）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O, AB+AD=λAO，则λ= 。

向量、向量的加法与减法、实数与向量的积·典型例题精析例1判断下列命题的真假：(3)λ∈R，则|λa|＞|a|．(4)平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．【分析】本题涉及平行向量(共线向量)、向量的加法、平面向量基本定理、向量的模、实数与向量的积等重要概念、运算及定理．学习时，应注意这些定义、定理、法则的条件和结论．使用时，注意借用平面向量的几何表示，利用图形直观分析．【解】四个命题均是错误的．命题(1)涉及对平面向量与共线向量的理解．由于我们研究的向量是自由向量，故任何一组平行向量均可移到同一条直线．因此平行向量就是共线向量，这与平面几何中所研究的直线或线段的平行、共线有区别．平面几何中平行与共线是指两种不同的位置关系，故这里所说的与共线，不能保证A，B，C，D四个点在一条直线上．所以命题(1)是不正确的．命题(2)中的=0，有A，B，C三点共线与不共线两种情形．如图5－1－3和图5－1－4所示．因此，由=0不能保证A，B，C三点一定共线．故命题(2)不正确．但应提醒，命题(2)的逆命题是真命题，即若A，B，C三点共线，则=0．命题(3)是比较实数λ与向量a的乘积所得向量λa与a的模的大小．当a≠0时，|λ|≤1，|λa|≤|a|．当a=0时，不论λ为何实数，|λa|＝|a|=0．仅当|λ|＞1，且a≠0时，|λa|＞|a|．故命题(3)也不正确．命题(4)涉及平面向量基本定理，作为表示平面向量的一组基底必须是不共线的两个向量，才能保证平面内任何一个向量的线性组合形式存在而且唯一．忽略了不共线的条件，其结论可能不存在，或虽然存在但不唯一．如图5－1－5和图5－1－6所示，e1与e2是共线向量，而a与它们不共线，a无法用e1与e2的线性组合表示．若e1与e2是共线向量，a与它们也共线，则a关于e1与e2的线性组合形式不唯一．如图5－1－7，其中e2=－e1，=a=2e1．那么a=e1－e2，a=3e1＋e2，a=－2e2，…，形式不唯一，故命题(4)也是不正确的．正确的表述应为，平面内互不共线的三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．例2回答下列问题，并说明理由．(1)平行向量的方向一定相同吗？(2)共线向量一定相等吗？(3)相等向量一定共线吗？不相等的向量一定不共线吗？【解】(1)平行向量的方向不一定相同，就平行向量的概念来讲，它是就向量的方向这一要素来定义的，它有方向相同和相反两种不同的情况．因此，两个向量方向相同和相反均视为平行．从逻辑知识上考虑，方向相同是向量平行的充分而不必要条件．(2)不一定．共线向量就是平行向量，只要保证方向相同或相反，它们就共线，对向量模的大小没有要求．(3)相等必共线，共线未必相等，不相等的可以是不共线的，也可以是共线的．在判断向量是否相等时，应明确，不共线的肯定不相等，就是共线了，还要考虑它们的方向是否相同，模是否相等．例3 化简下列各式：【解】【说明】向量的加法、减法、实数与向量的积的运算并不困难．但运算的途径很多，十分灵活，正确使用运算律可以使运算大大简化．如果对向量的加、减法有更深刻的理解，那么可以创造许多巧妙的算法．前面提到平面内任何一个向量都可以写成两个或更多个向量的和，任何一个向量也可以写成两个向量的差，运用这些结论，上面题目又有新的解法．例4在正六边形ABCDEF中，=a，=b，求，，．【分析】由平面几何的知识可以知道，正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等，边长与其半径也相等．应用平行向量及相等向量的知识、向量的加法运算等，容易用a及b表示所求的向量．因为而，所以求是关键．【解法一】如图5－1－8，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均是平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有在平行四边形ABCO中，又由于据向量加法的三角形法则，可得由正六边形的知识，有【解法二】【说明】此题解法很多，关键是充分利用正六边形中线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的加、减运算及实数与向量的积运算，变形求解．例5在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，求，．【解法一】利用平行四边形对角线互相平分的性质，得【解法二】将，视为未知量，利用向量的加法、减法运算法则，建立联立方程组①＋②，得①－②，得例6如图5－1－10所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O 点，P为平面内任意一点．【分析】注意到O是AC，BD的中点，与，与互为相反向量．【证法一】∵ O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴①＋②＋③＋④，得【证法二】∵ O为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，∴ O为AC及BD的中点．【说明】后面将学习平面向量的坐标表示及平面向量的坐标运算，我们将可用计算向量坐标的方法，证明此结论．设 A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)，P(p1，p2)，O(o1，o2)，则∴＝(a1＋b1＋c1＋d1－4p1，a2＋b2＋c2＋d2－4p2)．∵ O为AC及BD的中点，∴=(4o1－4p1，4o2－4p2)＝(2o1＋2o1－4p1，2o2＋2o2－4p2)＝(a1＋b1＋c1＋d1－4p1，a2＋b2＋c2＋d2－4p2)．例7 已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是=α＋β，且α，β∈R，α＋β=1．【证明】 必要性．设A ，B ，C 三点共线，则与共线．于是存在实数λ，使=λ ．令λ＝β，1－λ=α，有α＋β＝(1－λ)＋λ=1，∴=α＋β，且α＋β=1．充分性．若=α＋β，且α＋β=1，则=(1－β) ＋β ，= ＋β( － )，－ =β( － )，∴ =β ，β∈R．∴ 与 共线．而A 为 与 的公共端点，∴ A ，B ，C 三点在一条直线上．【说明】在证明必要性时，A，B，C三点共线还可用=k，=k表示．本题的结论还可有更一般的形式：A，B，C三点在一条直线上的充要条件是存在实数h，k，l，使且h＋k＋l＝1，l，k，h中至少有一个不为0．例8 如图5－1－11，设平行四边形ABCD一边AB的四等分点中最靠近B 的一点为E，对角线BD的五等分点中靠近B的一点为F，求证E，F，C三点在一条直线上．【分析】据例7的结论，只要证得三个向量存在着关系式，α＋β=1即可．【证法一】∵四边形ABCD是平行四边形，∵ E为BA的靠近B的四等分点，F为BD的靠近B的五等分点，由例7的结论可知，E，F，C三点在一条直线上．【证法二】在ABCD中，已知E为BA的靠B的四等分点，F为BD的靠近B的五等分点，∴ E，F，C三点在一条直线上．例9 如图5－1－12，在平行四边形PQRS中，在PQ，QR，RS，SP上分别取点K，L，M，N，其中K与N分别为PQ与PS【分析】本题是求以q，s为一组基底的a的线性分解式．由于线性分解式(也含参数)．由于关于基底q，s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题得到解决．另一种思路是，据N，A，L三点共线，而K，A，M三点也共线，由例7的结论，也能得到两个关系式，然后求解．【解法一】连结PL，PM．∵=＋，而K为PQ中点，①同样，=λ 2 ，∴=＋=＋λ 2②∵向量以q，s为基底的线性分解式是唯一的．据式①，②，可得解得【解法二】由于N，A，L三点共线，故存在α∈R，使＝α＋(1－α)．①同理，由于K，A，M三点共线，故存在β∈R，使=β＋(1－β)．②由①，②式得由于q与s不共线，所以。

高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH +D ．GH +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．B ．4C ．4D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．=+ B ．=-C ．=-D ．=-6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．==,B ．o ==μ,C ．o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。

精品题库试题文数1.(安徽省合肥市2014届高三第二次教学质量检测) 设，，则在上的投影的取值范围是（）A.B.C.D.[解析] 1.因为，所以，，又，则，所以，因为，所以.2.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）如图1，在ΔABC中，若则（）A.B. C. D.[解析] 2.因为，所以，因为.3.（山西省太原市2014届高三模拟考试）过双曲线的左焦点F（-c，0）(c＞0), 作圆的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若, 则双曲线的离心率为A．B． C．D．[解析] 3.因为，所以为的中点，令右焦点为，则为的中点，则，因为为切点，所以，，因为，所以，在中，，即，所以.4.(吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟考试) 在中，D是AB中点，E是AC 中点，CD与BE交于点F, 设，则为（）A.B.C.D.[解析] 4.由题意知为中线和的交点，所以为的重心，得，，又，所以．5.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 向量，若的夹角为钝角，则的取值范围为（）A BC D[解析] 5.因为的夹角为钝角，所以且，解得且.6.（河北省唐山市2014届高三第一次模拟考试）已知向量=(1, x ) ，=(x-1,2), 若∥, 则x=A．-1或2 B．-2或1C．1或2 D．-1或-2[解析] 6.因为，所以，解得或.7.(福建省福州市2014届高三毕业班质检) 在中,, 则下列等式成立的是 ( )A.B.C.D.[解析] 7.因为，所以，解得.8.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试) 已知向量, ,, 若为实数，，则的值为A．B．C．D．[解析] 8.，，又，所以，即，解得.9.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）在中, , ，为的中点 , 则=（）A．3 B． C．-3 D．[解析] 9.因为，所以10.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）已知，，，若与共线，则等于( )A．5 B．1C． D．[解析] 10.因为，所以，得11.(广东省中山市2013-2014学年第一学期高三期末考试) 已知平面向量，，若∥，则等于( )A．B．C．D．[解析] 11.因为，所以12.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（）A．B． C． D．[解析] 12.设，因为，所以可设，，则，整理得，所以的最小值为13.(河南省郑州市2014届高中毕业班第一次质量预测) 已知向量a是与单位向量夹角为的任意向量，则对任意的正实数t, 的最小值是A. 0B.C.D. 1[解析] 13.不妨设在上，如图所示，由的最小值为点到直线的距离，即14.(江西省七校2014届高三上学期第一次联考) 已知向量与垂直，则实数的值为（）A． B． C． D．[解析] 14.因为，，，所以，即15.（2014年陕西省宝鸡市高三数学质量检测）设为向量。

专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

向量、向量的加法与减法、实数与向量的积080618一、考题选析：例1、（08上海春）已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( ) A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、（07天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，- Ｂ、[48]， Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、（07全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A 、23B 、13C 、13-D 、23- 例4、（06全国Ⅰ）设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。

如果向量321,,b b b 满足||2||i i a b =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则( )A 、321=++-b b bB 、321=+-b b bC 、321=-+b b bD 、321=++b b b例5、（06安徽）在平行四边形ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

（用,表示）例6、（05全国Ⅲ）已知向量()12OA k =，，()45OB =，，()10OC k =-，，且C B A ，，三点共线，则k = ；例7、（05上海22）在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P ，33(3,2)P ，…，(,2)n n P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点。

（1）求向量02A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标。

2010年江苏东海高级中学高一数学暑假作业（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．下列各量中不是向量的是（ ）A BC ．位移D2．下列命题正确的是（ ）A ．向量与B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若=DC ,则A 、B 、C 、DD ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．B ．4C ．4D ．4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．与AC 共线B ．与CBC ．与相等D ．与相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3B ．－3C ．0D ．27．已知正方形ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b , AC =c ,则|a +b +c |等于 （ ）A ．0B ．3C ．2D ．22 8．下列各式计算正确的有（ ）(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b(3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b A ．1个 B ．2个 C ．3 D ．4个9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-10．下列各式叙述不正确的是（ ） A ．若a ≠λb ,则a 、b 不共线(λ∈R ) B ．b =3a (a 为非零向量),则a 、bC ．若m =3a +4b ,n =23a +2b ,则m ∥n D ．若a +b +c =0,则a +b =-c11．若2121,,PP P OP λ===，则等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．)1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①BC AB =②||||=③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．已知||=1,| |=2,若∠BAC =60°,则||= . 14．已知点A(－1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量－+的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．i 、j 是两个不共线的向量,已知=3i +2j ，=i +λj , =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的距离．参考答案一、选择题1．D 2．A3．C 4．C 5．B ．A 7．D 8．C9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题13．3 14．(5,4) 15．矩形 16．2 km/h 三、解答题17．解析: ∵-+=+(-)=+=又||=2 ∴|-+|=||=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴与共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴=+=+t =+t (-)= (1-t )+令λ=1-t ,μ=t∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵=-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量与BD 共线,因此存在实数μ,使得=μBD , 即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.21．解析：如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则||||21BC BC ==λλ，AP AE AD DP EP AC AB =+=+=+∴21λλ． 22．解析：（1）3000千米； （2）正东方向．。

向量的加减法、实数与向量的乘积测试题MA MB - MC 等于B . 4MDC . 4MFD . 4ME已知向量a与b 反向，下列等式中成立的是5.在 =ABCD 中，设AB 二a, AD 二b,AC 二c, BD 二d ，则下列等式中不正确的是B . a 「b 二 dC . b -a =d1 一 一6.下列各量中是向量的是 A .质量 B .距离C .速度D .电流强度7.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若 BC =5e,DC p 则OC =1. 、选择题（每小题 5分，共60分，请将所选答案填在括号内）如图，已知四边形 ABCD是梯形，AB // CD , E 、F 、G 、H 分别是 AD 、BC 、AB 与 CD2. 3. 的中点，贝U EF 等于A . AD BC C . AG DH AB DC BG GH下列说法正确的是A. 方向相同或相反的向量是平行向量B. 零向量的长度为 0 C .长度相等的向量叫相等向量 D .共线向量是在同一条直线上的向量在厶ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点 M 是厶ABC 的重心,A . |a|-|b 冃a-b|B . | a b |=|a - b |C . |a| |b|=|a -b|D . | a | | b hl a b |1 ■ - 1 -C . —(3^-5©)D . —(5e 2 一斜)2 2A . (5e1 3e2)21 —一B . —(5© -3e2)2&若a, b不共线，’a= o,(',「R),则-1-A . a=o,b=oB . a=o,」=oC . ■ =o,b=o 1 1 — — I —9.化简—[ — (2a - 8b) -(4a -2b)]的结果是3 2—► —►—► —►—► —A . 2a —bB . 2b — aC . b — a10 .下列三种说法：① 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底② 一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③ 零向量不可作为基底中的向量.其中正确的是11.若 OR =a,0F 2 =b,RP = APF 2，则 0P 等于A . a bB . ■ a b12 .对于菱形 ABCD ，给出下列各式：② I AB 冃BC|其中正确的个数为A . 1个B . 2个C . 3个、填空题（每小题 4分，共16分，答案填在横线上）13 . 0,62 不共线，当 k= ______________ 时，a = k0 • e 2,b =0 • ke 2 共线.14 .非零向量 a, b 满足|a F |b|=|a b |,贝U a,b 的夹角为 ____________________ 15 .在四边形ABCD 中，若AB 二a,AD 二b,且|a ，b|=|a-b|,则四边形ABCD 的形状是16 .已知a,b,c 的模分别为1、2、3，则|a • b • c|的最大值为 __________________________ 三、解答题（本大题共 74分，17— 21题每题12分，22题14分）■i”*■■,J8.6ili■.,IB17 .设 e,e 2 是两个不共线的向量， AB =2© - ke 2,C^e 1 - 3e 2,CD =2e -e 2，若 A 、B 、D 三点共线，求k 的值.()D . 4个D . ' = 0, = 0( )D. a - bA .①②B .②③C .①③D .①②③① AB = BC③ | AB -CD 冃 AD BC|④ | AC|2| BD |2 = 4| AB|218.已知△ ABC及一点0,求证：O为厶ABC的重心的充要条件是OA • OB • OC = O.19•已知向量a=2u -处山=2^ 其中与e2,不共线向量c = 2©-9e2,，问是否存在这样的实数■,〜使向量d = ■ a亠匚b与c共线？20.试证：以三角形三边上的中线为边可以作一个三角形22.一架飞机从A地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向地恰在A地的北偏东30 °，并且A、C两地相距3000千米，求飞机从的方向和B、C两地的距离.高一数学同步测试（9）参考答案1 . C 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D 9. B 10.13. -1 14. 120°15.菱形16. 6-4- C地飞行，设C B地向C地飞行B 11. D12. C17. k= —&18. 设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，则1 2 OA CBBA,OB故亠4 -故 OA OB OC = BA AC CB 0., 反之,设0。

精选题库试题理数1.(2014 安徽 ,10,5 分 )在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a b=0,点·Q 知足=(a+b).曲线 C={P|=acosθ +bsinθ ,0≤θ地区<2Ωπ={P|0<r},≤||≤ R,r<R}若. C∩Ω为两段分别的曲线,则 ()A.1<r<R<3B.1<r<3 ≤ RC.r ≤ 1<R<3D.1<r<3<R1.A1.依据题意不如设a=(1,0),b=(0,1),∴=(a+b)=(,),=acos θ +bsinθ =(cosθ ,sinθ ),∴ ||=|(-cos θ, -sinθ)|==(0 ≤θ <2π ).∴1≤| | ≤3,易知曲线 C 为单位圆 ,又∵地区Ω={P|0<r ≤| | ≤R,r<R},且 C∩Ω为两段分别的曲线,联合图形可知,? 且端点不重合,∴ 1<r<R<3. 应选 A.2.（ 2014 重庆一中高三放学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且知足，，，，.则（）（A）（B）（C）（D）2. D2.由于＝，∴；又由于，可得, 因此DE ⊥ AC;，则可得, 所以可得.3. (2014福州高中毕业班质量检测, 6)如图 ,设向量,, 若＝λ()＋μ, 且, 则用暗影表示点全部可能的地点地区正确的选项是3. D3.设，由于，因此，解得，由于，因此，应选 D.4. (2014 广东广州高三调研测试，3) 已知向量，，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.4.A4.由已知，由于，因此，即，解得.5.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，3) 已知向量,,, 若为实数，，则的值为（）A．B．C．D．5.5.，，又，∴，即，解得，应选6.(2014 周宁、政和一中第四次联考，3) 如图，、、分别是的边、、的中点，则（）A．B．C．D．6. D6. 依题意，.7. (2014 重庆七校结盟 , 6) 向量，，且，则锐角α的余弦值为（）A.B.C.D.7. D7.依题意，当，则，即，为锐角，.8. (2014 天津七校高三联考, 3) 已知向量，，若与垂直，则的值为（）（A）（B）（C）（D）18. C8. 依题意，，与垂直，则，解得.9. (2014 江西七校高三上学期第一次联考,6) 设，向量，，，且，，则（）A.B.C.D.109. B9.，，即，又，，即，，，，故.10.(2014 广州高三调研测试, 3) 已知向量，，，若，则实数的值为（）A．B．C．D．10.A10.依题意，，又，，即.11. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，知足，，，且，则的值为（）A.B.C.D.11. C11.，而，，，又，即，在径，作的角均分线上，由此得的内切圆，如图，分别切是的心里，过、于、作，于，为圆心，，为半，，在中，，..12. (2014 北京东城高三12 月教课质量调研) 设向量，，则“” 是“”的（）（ A ）充足但不用要条件（B）必需但不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足也不用要条件12.A12.当，，，，；由，，即，解得，故向量，，则“” 是“” 的充足但不用要条件.13.(2014 北京 ,10,5 分)已知向量a,b 知足 |a|=1,b=(2,1), 且λ a+b=0(∈λR),则 | λ |=________.13.13.∵ λ a+b=0,即λ a=-b,∴ | λ ||a|=|b|.∵ |a|=1,|b|=,∴ | λ|=.14.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，15) 设向量 a， b 的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5， 4），则 sin θ=14.14.设，则由题意可得，解得. 因此，又由于，联合平方关系式可得sin θ=. 15. (2014 山西太原高三模拟考试（一），15)已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且∠ A=，若，则实数m=. (用表示)15.15.设外接圆半径为R，则：可化为：（*）.易知与的夹角为 2∠ C，与的夹角为 2∠ B，与的夹角为0，||=||=||=R. 则对（ *）式左右分别与作数目积，可得：.即R2（cos2C－1）+?R2（cos2B－ 1） =－ 2mR2 .∴－ 2sinCcosB+ （－ 2sinBcosC ）=－ 2m，∴ sinCcosB+sinBcosC=m ，即sin（ B+C ） =m.由于 sinA=sin=sin （ B+C ）且∠ A=θ，因此， m=sinA =sin θ.16. (2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 11) 已知向量，，若，则实数______.16. 216.依题意，，因此.17. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测，11) 设向量，，则向量在向量上的投影为.17.17.向量在向量上的投影为.18.(2014 湖北八市高三放学期 3 月联考， 14) 如图，己知, ∠ AOB 为锐角，OM 均分∠ AOB ，点 N 为线段 AB 的中点，，若点P在暗影部分（含界限）内，则在以下给出的对于x、 y 的式子中，知足题设条件的为（写出全部正确式子的序号）．① x≥0， y≥0；② x－y≥0；③ x－y≤0；④ x－ 2y≥0；⑤ 2x－y≥0．18.①③⑤18.当点在射线上时,则当点在射线上时,因此，由于点 P 在暗影部分（含界限）内，因此故应选①③⑤.19. (2014 天津七校高三联考, 10) 在中，已知是边上一点，若，则______．19.19.如下图，，，又，.20. (2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 16) 已知向量，，.（Ⅰ）求函数的单一递减区间；（Ⅱ）在中,分别是角的对边,,,若，求的大小.20.查察分析20.（Ⅰ），因此递减区间是. （ 5 分）（Ⅱ）由和得:,若，而又, 因此由于，因此若，同理可得：，明显不切合题意，舍去. （ 9 分）因此，由正弦定理得 :. （12 分）21. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 17) 已知向量,,函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知分别为内角、、的对边，此中为锐角，，,且求的面积.21.查察分析21.解：（Ⅰ），由于，因此.（6分）（Ⅱ），由于，因此，，则，因此，即，则，进而. (12 分）22. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 15) 已知向量，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，，求的值.22.查察分析22.分析（Ⅰ）由可知，，因此，因此. （6分）（Ⅱ）由可得，，即，①（10分）又，且②，由①②可解得，，因此. （14 分）23. (2014 重庆七校结盟 , 20) 在中,三个内角所对边的长分别为,已知.（Ⅰ）判断的形状 ;（Ⅱ）设向量,若,求.23.查察分析23. （Ⅰ）在中,为等腰三角形 .（6分）（Ⅱ）由, 得，, 又为等腰三角形，.（12分）24. (2014 成都高中毕业班第一次诊疗性检测，16) 已知向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，求的大小.24.查察分析24.分析（Ⅰ），，又，.（5分）（Ⅱ）由正弦定理，可得，即，，，又（8 分)，，，由题意知识锐角，25. （ 2014 陕西宝鸡高三质量检测(一 )， 17.）在(12 分）中，角所对的边分别为，且∥（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求三角函数式的取值范围.25.查察分析25. (Ⅰ) ∵，且∥，∴，由正弦定理得，又，∴，，∴，又∵，∴，∴.（6分）（Ⅱ）原式，∵，∴，∴，∴，即三角函数式的取值范围为.（12分）26. (2014 湖北黄冈高三期末考试)设向量，，，函数（ 1）求函数的最小正周期；（ 2）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，，，，求的值.26.查察分析26.（ 1）,因此，函数的.(5分)（2）,，,,。

向量的加减和数乘一、单选题（共19题；共38分）1.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则（）A. B. C. D.2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则（）A. B. C. D.3.在三棱柱中，若，，，则A. B. C. D.4.空间四边形中，, , ,点在上，且，为中点，则=（）A. B. C. D.5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，M是AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.6.在直三棱柱中，若，，，则（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（）A. 3B. 1C. -1D. -38.已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，，=c，用a，b，c 表示向量为（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A. B. C. D.10.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A. + ﹣B. ﹣+C. ﹣+ +D. ﹣+ ﹣12..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（）A. B.C. D.13.已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A. B.C. D.14.在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{ ，，}可表示为（）A. B. C. D.15.已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c 表示，则等于（）A. B. C. D.16.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣17.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若= ，= ，= ，则=（）A. （+ ﹣）B. （+ ﹣）C. （﹣）D. （﹣）18.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A. ﹣=B. + =C. + + =D. + = +19.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则+(+)等于（）A. B. C. D.二、填空题（共2题；共2分）20.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=________．21.如图，三棱锥P﹣ABC中，M是AC的中点，Q是BM的中点，若实数x，y，z满足，则x﹣y+z=________答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，∴α= ，β=﹣1，故答案为：A．【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习第五章平面向量向量、向量的加法与减法、实数与向量的积理（含2014试题）理数1.(2014安徽,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足=(a+b).曲线C={P|=acos θ+bsin θ,0≤θ<2π},区域Ω={P|0<r≤||≤R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则()A.1<r<R<3B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3D.1<r<3<R[答案] 1.A[解析] 1.根据题意不妨设a=(1,0),b=(0,1),∴=(a+b)=(,),=acos θ+bsin θ=(cos θ,sin θ),∴||=|(-cos θ,-sin θ)|==(0≤θ<2π).∴1≤||≤3,易知曲线C为单位圆,又∵区域Ω={P|0<r≤||≤R,r<R},且C∩Ω为两段分离的曲线,结合图形可知,[r,R]⫋[1,3]且端点不重合,∴1<r<R<3.故选A.2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且满足，，，，. 则（）（A）（B）（C）（D）[答案] 2. D[解析] 2. 因为＝，∴；又因为，可得, 所以DE⊥AC;，则可得, 所以可得.3. (2014福州高中毕业班质量检测, 6) 如图, 设向量, , 若＝λ＋μ, 且, 则用阴影表示点所有可能的位置区域正确的是( )[答案] 3. D[解析] 3.设，因为，所以，解得，因为，所以，故选D.4. (2014广东广州高三调研测试，3) 已知向量，，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.[答案] 4.A[解析] 4. 由已知，因为，所以，即，解得.5.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，3) 已知向量, ,, 若为实数，，则的值为（）A．B． C．D．[答案] 5.[解析] 5. ，，又，∴，即，解得，故选6.(2014周宁、政和一中第四次联考，3) 如图，、、分别是的边、、的中点，则（）A．B． C． D．[答案] 6. D[解析] 6. 依题意，.7. (2014重庆七校联盟, 6) 向量，，且，则锐角α的余弦值为（）A.B.C.D.[答案] 7. D[解析] 7. 依题意，当，则，即，为锐角，.8. (2014天津七校高三联考, 3) 已知向量，，若与垂直，则的值为（）（A）（B）（C）（D）1[答案] 8. C[解析] 8. 依题意，，与垂直，则，解得.9. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 6) 设，向量，，，且，，则（）A.B.C.D. 10[答案] 9. B[解析] 9. ，，即，又，，即，，，，故.10.(2014广州高三调研测试, 3) 已知向量，，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．[答案] 10. A[解析] 10. 依题意，，又，，即.11. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为（）A.B.C.D.[答案] 11. C[解析] 11. ，而，，，又，即，在的角平分线上，由此得是的内心，过作于，为圆心，为半径，作的内切圆，如图，分别切、于、，，，，在中，，..12. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 设向量，，则“” 是“” 的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件[答案] 12. A[解析] 12. 当，，，，；由，，即，解得，故向量，，则“” 是“” 的充分但不必要条件.13.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________.[答案] 13.[解析] 13.∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=,∴|λ|=.14.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，15) 设向量a，b的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sinθ=[答案]14.[解析] 14. 设，则由题意可得，解得. 所以，又因为，结合平方关系式可得sinθ= .15. (2014山西太原高三模拟考试（一），15) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若，则实数m= . (用表示)[答案] 15.[解析] 15. 设外接圆半径为R，则：可化为：（*）.易知与的夹角为2∠C，与的夹角为2∠B，与的夹角为0，||=||=||=R. 则对（*）式左右分别与作数量积，可得：.即R2 （cos2C－1）+•R2（cos2B－1）=－2mR2.∴－2sinCcosB+（－2sinBcosC）=－2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即sin（B+C）=m.因为sinA=sin[π－（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，所以，m=sinA=sinθ.16. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 11) 已知向量，，若，则实数______.[答案] 16. 2[解析] 16. 依题意，，所以.17.(2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，11) 设向量，，则向量在向量上的投影为.[答案] 17.[解析] 17. 向量在向量上的投影为.18.(2014湖北八市高三下学期3月联考，14) 如图，己知, ∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，满足题设条件的为（写出所有正确式子的序号）．①x≥0，y≥0；②x－y≥0；③x－y≤0；④x－2y≥0；⑤2x－y≥0．[答案] 18. ①③⑤[解析] 18. 当点在射线上时,则当点在射线上时, 所以，因为点P在阴影部分（含边界）内，所以故应选① ③ ⑤ .19. (2014天津七校高三联考, 10) 在中，已知是边上一点，若，则______．[答案] 19.[解析] 19. 如图所示，，，又，.20. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 16) 已知向量，，.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中, 分别是角的对边, , ,若，求的大小.[答案] 20.查看解析[解析] 20.（Ⅰ），所以递减区间是. （5分）（Ⅱ）由和得: ,若，而又, 所以因为，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去. （9分）所以，由正弦定理得: . （12分）21. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 17) 已知向量,, 函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且求的面积.[答案] 21.查看解析[解析] 21.解：（Ⅰ），因为，所以. （6分）（Ⅱ），因为，所以，，则，所以，即，则，从而. (12分）22. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 15) 已知向量，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，，求的值.[答案] 22.查看解析[解析] 22. 解析（Ⅰ）由可知，，所以，所以. （6分）（Ⅱ）由可得，，即，①（10分）又，且②，由①②可解得，，所以. （14分）23. (2014重庆七校联盟, 20) 在中, 三个内角所对边的长分别为,已知.（Ⅰ）判断的形状;（Ⅱ）设向量, 若, 求.[答案] 23.查看解析[解析] 23. （Ⅰ）在中,为等腰三角形.（6分）（Ⅱ）由, 得，, 又为等腰三角形，. （12分）24. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，16) 已知向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，求的大小.[答案] 24.查看解析[解析] 24. 解析（Ⅰ），，又，. （5分）（Ⅱ），，（8分)由正弦定理，可得，即，又，，，由题意知识锐角，. (12分）25. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，17 ）在中，角所对的边分别为，且∥（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求三角函数式的取值范围.[答案] 25.查看解析[解析] 25. (Ⅰ) ∵，且∥，∴，由正弦定理得，又，∴，，∴，又∵，∴，∴. （6分）（Ⅱ）原式，∵，∴，∴，∴，即三角函数式的取值范围为. （12分）26. (2014湖北黄冈高三期末考试)设向量，，，函数（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，，，，求的值.[答案] 26.查看解析[解析] 26.（1）,所以，函数的. (5分) （2）,，,,。

实数与向量相乘及向量的线性运算（提高） 巩固练习【巩固练习】一、选择题1.如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -=( )A.FDB.FCC.FED.BE2.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++=（）A.FEB.ACC.DCD.FC3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP =( )A ．(),(0,1)AB AD λλ+∈ B ．(),AB BC λλ+∈C ．(),(0,1)AB AD λλ-∈D ．(),AB BC λλ-∈ 4. 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．55.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若AC a =, BD b =,则AF =( ) A ．AC =b B. 2133a b +C. 2133+b cD. 1233a b +6.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=( )A.23B.13C.13-D.23-二、填空题7．已知向量,a b ，且AB →＝2a b +，BC →＝56a b -+，CD →＝72a b -，共线的三点是__________． 8. 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若 AC →＝λAE →＋μAF → ，其中λ、μ均为实数，则λ＋μ＝________.9.已知正方形ABCD 边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++的模等于 10.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量为123 r r r 、、，则OD =_______________.11. 如图，已知四边形ABCD ，点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点，设,BC a DA b ==，则向量PQ 关于向量,a b 的分解式为 .12.平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，则 AE,CF 的位置关系是 ，大小关系是 . 三、解答题13. 如右图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知 AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示 AB →，AD →.14. 已知O 、A 、B 是不共线的三点，且 OP →＝mOA →＋nOB →(m 、n 均为实数)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A 、P 、B 三点共线； (2)若A 、P 、B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.15. 若,a b 是两个不共线的非零向量，t 为实数，若a 与b 起点相同，t 为何值时，,a tb ，1()3a b +三向量的终点在同一条直线上？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D【解析】∵,DB AD AF DB AF AD DF =-=-=则，由三角形中位线定理DF BE =. 2.【答案】B【解析】,FA BO AB ED OC =-==2BO AB BO OC AB BO OC AO OC AC ∴-+++=++=+=原式=.3.【答案】A4.【答案】B【解析】由 MA →＋MB →＋MC →＝0得： MB →＋MC →＝－MA →①由向量的减法的三角形法则得： 2MB MA ABMB MC MA AB AC MC MA AC⎧-=⎪⇒+-=+⎨-=⎪⎩ ②将②代入①得：1()3AM AB AC =+ ∴M 为△ABC 的重心设BC 的中点为D ，得，AB →＋AC →＝2AD →，又AM →＝23AD →，故m ＝3.5.【答案】B【解析】因为DFE ∆∽BAE ∆，所以13EF AE =又1124AE AO OE a b =+=+421333AF AE a b ==+ 6．【答案】A【解析】在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，13CD CA CB λ=+，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-1233CA CB =+，∴23λ=.二、填空题7.【答案】A 、B 、D 【解析】AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝36a b +， ∵AD →＝3AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 8．【答案】43【解析】设AB →＝a ，AD →＝b ， 那么AE →＝12a b +，AF →＝12a b +.又∵AC →＝a b +， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9.【答案】C【解析】正方形ABCD 边长为1, 1,1,2,a b c c a b ====+又∴222a b c c ++==.10.【答案】132r r r +-【解析】∵132OD OA AD OA BC OA OC OB r r r =+=+=+-=+-. 11.【答案】1122a b -- 【解析】∵点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点 ∴1122PR BC a =-=-，1122RQ DA b =-=- 又∵PQ PR RQ =+ ∴1122PQ a b =-- 12.【答案】平行，相等 【解析】解：设AB a =，AD b =∵E 、F 分别是DC 和AB 的中点,∴12AE AD DE b a =+=+，12CF CB BF b a =+=--∴ AE CF =-∴ AE CF 与共线，又无公共点∴AE,CF 平行，且AE CF =三、解答题： 13．【解析】解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12b )①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23c ，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .即AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b .因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，1212c b ad a b⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得：2(2)3a d c =-，2(2)3b c d =- 即AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d ．14. 【解析】证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m)OB →＝OB →＋m(OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m(OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线, 又因为BP 与BA 有公共点B ， ∴A 、P 、B 三点共线．(2)若A 、P 、B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)，由条件得：mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. 因O 、A 、B 不共线，∴OA →、OB →不共线，由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0∴m ＋n ＝1. 15. 【解析】解：设OA →＝a ，OB →＝tb ，OC →＝13(a b +)，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，则AC →＝λAB →， 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ13＝λt⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23t ＝12，∴当t ＝12时，三向量的终点在同一条直线上．。

教学目的
• 掌握实数与向量之积的运用方法，培养 学生运算分析能力
• 教学重点与难点： • 运用实数与向量之积解决一些问题 • 教学方法：尝试、启发 • 教学工具：电脑辅助
练习课
诊断练习
(1)AB BC ___A_C______,OA OB _B_A________;
(2)AC CD DA ___0_______,
AB BC AD __D_C____; (3) 3 5a ____1_5a____; (4)2(a b) 7(a b) _____5_a__9_b______; (5)(a 3b c) (4a 3b 5c) _3_a___6_b__6_c___;
O
B
2
D
G
(3)OG 3OA 2OB.
A
O
B
C
Ex3.如 图 ， 平 行 四 边 形ABCD B
C
中 ， 对 角 线 交 于O点 ， 且AB a
a, AD b,用a、b来 表 示:
(1)BC ___b___，CD ____a__；A
(6)已 知 平 行 四 边 形ABCD中 ，AC a, BD b则 AB ___12_a___12_b___，AD ___12_a___12_b___.
解题引导
例1 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ： (1)向 量a // b的 充 要 条 件 是 ： 有 且 只有 一 个 实 数, 使b a;( ) (2)对 于 实 数, 若a与b不 共 线,则a与b也 不 共 线.( )
• 已知e1,e2是两个不共线的向量, a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数 c,d

【高一】高一下册数学《向量与实数相乘》练习题及答案[1]一、向量的数乘运算计算以下公式：(1)4(a+b)-3(a-b);（2） 3（a-2b+c）-（2a+b-3c）；(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).思路分析：利用向量的线性运算规律进行计算解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.（2） 3（a-2b+c）-（2a+b-3c）=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.（3）（a-b）-（2a+4b）+（2a+13b）=a-b-a-b+a+b=a+b=0a+0b=0+0=0.计算：（1）3（6a+b）-9；(2)-2;（3） 2（5a-4b+c）-3（a-3b+c）-7a。

解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.（2）原始公式=-a-b=a+b-a-b=0.（3）原始公式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并.二、向量共线条件的应用已知向量e1和e2不共线.（1）如果=E1+E2，=2E1+8e2，=3（E1-E2），验证点a、B和D是否共线(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.思路分析：（1）有必要证明a、B、D三点是共线的，可以证明和共线（或与等共线）；（2）当Ke1+E2与E1+Ke2共线时，必须从向量共线性=λ（E1+Ke2）的条件中知道Ke1+E2，才能得到K的值(1)证明：∵=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，∴∥. ∵ ab∩ BD=B，∴a，b，d三点共线.（2）解决方案：∵ Ke1+E2与E1+Ke2共线，∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，然后（k）-λ）e1=（λk-1）e2。

由于e1与e2不共线，只有则k=±1.给定向量a=2e1-3e2，B=2e1+3e2，其中E1和E2不共线，向量C=2e1-9e2，询问是否存在这样一个实数λ，μ，使D=λa+μB和C共线？解：∵d=λa+μb=λ（2e1-3e2）+μ（2e1+3e2）=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，要使D与C共线，应该有一个实数k，这样D=KC，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2，∴∴ λ=-2μ。