菱形性质和判定

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

菱形的性质及判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，？还具有自己独特的性质:①边的性质：对边平行且四边相等.②角的性质：邻角互补，对角相等.③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形.菱形的面积等于底乘以咼，等于对角线乘积的一半.点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半. 3.菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定③：四边相等的四边形是菱形.4 .三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线.也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线.以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半.重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质， 同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条 件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措， 教师在教学过程 中 应给予足够重视。

在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 1 __________ 度.16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则【例4】 如图，在菱形 ABCD 中， A 60 , E 、 的边长是 __________________ •F 分别是AB 、AD 的中点，若 EF 2，则菱形ABCD【例5】 如图, 证明:E 是菱形ABCD 的边AD 的中点, AB 与EF 互相平分.EF AC 于H ，交CB 的延长线于 F ,交AB 于P ，【例6】 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O , H 为AD 边中点，菱形 ABCD 的周如图1 长为24，则OH 的长等于DAD图【例7】如图，已知菱形ABCD的对角线AC 8cm , BD 4cm , DE BC于点E，则DE的长为【例8】菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为 __________________【例9】菱形的周长为20cm ,两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为__________________________【例11】如图3，在菱形ABCD中, A 110，E、F分别是边AB和BC的中点, EP CD于点P，则【例10】如图2，在菱形ABCD 中，AC 6, BD 8，则菱形的边长为（）A . 5B . 10C . 6D . 8A __________________ DB 图2 CFPC （）C. 50D. 55PC 【例12】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A.15 或30 B . 30 或45 C . 45 或60 D . 30 或60菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ，AF CD ，那么 EAF 等于已知菱形的一个内角为 60，一条对角线的长为 2 3，则另一条对角线的长为已知菱形ABCD 的两条对角线 AC,BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的 大小是如图，菱形花坛 ABCD 的周长为20m , ABC 60 , ?沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积.如图，在菱形 ABCD 中，AB 4a ,E 在BC 上，BE 2a ， BAD 120 ,P 点在BD 上，则PE PC的最小值为 ___________【例13】 【例14】【例15】如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚 线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ 2A. 10cm 2B. 20cm)2C. 40cm【例16】 【例17】 【例18】 D. 80cmAOC图2B如图，在 ABC 中，BD 平分 ABC , BD 的中垂线交 AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形如图，在 ABC 中，AB AC , D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点 E ，连结BE , CE •当AE 与AD满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、 【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、 CEF 的度数.板块二、 【例21】 菱形的判定如图，如果要使平行四边形是 ____________ .F 分别是BC 、CD 上的点，若 AE AF EF AB ，求 C 的度数.F 分别是BC 、CD 上的点，且 B EAF 60 , BAE 18 .求:ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件【例22】 【例23】 DA【例24】已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F . 求证：四边形AFCE 是菱形•【例25】如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C E.求证：四边形CDC E是菱形.【例26】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于H，交CB的延长线于F,交AB于P，证明：AB与EF互相平分【例27】已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC •若 B 60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形?证明你的结论.【例28】如图，在ABC中，AB AC ,M是BC的中点.分别作MD AB于D , ME AC于E , DF AC 于F , EG AB于G .DF、EG相交于点P •求证：四边形DMEP是菱形.【例30】如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将 MAB 沿AD 方向平移，使 AB 与DC 重合，点M 移动 到点M '的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结MD , MC , MM '，试说明四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直，且长度分别等于 AB, AD 的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形 MDM 'C 是菱形？为什么？【例31】如图， ACD 、 ABE 、 BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形•已知 AB AC .⑴顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件. ⑵ 当 BAC 为 ___________ 度时，四边形 ADFE 为正方形.三、与菱形相关的几何综合题【例32】已知等腰△ ABC 中，AB AC , AD 平分 BAC 交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （ A 点 除外），过 P 点作EF II AB ，分别交 AC 、BC 于E 、F 点，作PM II AC ，交AB 于M 点，连【例29】如图， 于F ,ABC 中， ACB 90 , AD 是 DE AB 于E ，求证：四边形BAC 的平分线，交BC 于D , CH 是AB 边上的高，交AD CDEF 是菱形.M'A结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形 AEPM 的面积为四边形 EFBM 面积的一半?【例33】问题：如图1在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上， P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC •若 ABC BEF 60，探究PG 与PC 的位置关系及匹的值. PC小聪同学的思路是：延长 GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴ 写出上面问题中线段 PG 与PC 的位置关系及 空的值；PC⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）.你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. ⑶若图1中 ABC BEF 20 90,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度， 原问四、中位线与平行四边形【例34】顺次连结面积为 20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一 个 ，其面积为 .【例35】如图，在四边形 ABCD 中，AB CD , E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还满足的一个条件是 ___________________________________ ，并说明理由.题中的其他条件不变，求匹的值（用含的式子表示）PCFD【例36】在四边形ABCD中，AB CD , P , Q分别是AD、BC的中点,M , N分别是对角线AC , BD 中点，证明：PQ与MN互相垂直.【例37】四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD 上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关【例38】如图，ABC中，AD是BAC的平分线，CE AD于E , M为BC的中点，AB 14cm ,AC 10cm，贝U ME的长为 ________________ .【例39】如图，四边形ABCD中，AB CD , E, F分别是BC, AD的中点，连结EF并延长，分别交BA, CD 的延长线于点G, H，求证：BGE CHEH【例40】如图，已知BE 、CF 分别为 ABC 中 B 、 证：MN // BC .【例41】如图，四边形ABCD 中，E ,F 分别是边 AB , CD 的中点，贝U AD , BC 和EF 的关系是（)A. AD BC 2EF B . AD BC > 2EF C. AD BC 2EFD. AD BC < 2EFF C.【例42】已知如图所示，行四边形.E 、F 、G 、H 分别是四边形 ABCD 的四边的中点，求证：四边形 EFGH 是平DC 厶FAEB【例43】如图，在四边形 ABCD 中，E 为AB 上一点， ADE 和 BCE 都是等边三角形， AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且 PQ PN .C 的平分线，AMBE 于 M , AN CF 于 N ，求AD【例44】如图，四边形 ABCD 中，AB CD ,E ,F ,G ,H 分别是 AD , BC , BD , AC 的中点，求证：EF , GH相互垂直平分1【例46】在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使BE -DE ，连接AE 并延长与DC 的延长线交3于 F ，贝V CF 2AB .【例45】 ABC 的三条中线分别为AD II EH .AD 、BE 、CF , H 为BC 边外一点，且 BHCF 为平行四边形，求证:CQC图D【例47】如图，ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，连结并延长EG、ADFH 交于点D •求证：四边形 ABCD 是平行四边形.【例49】如图，线段AB, CD 相交于点0，且AB CD ，连结AD , BC , E , F 分别是AD , BC 的中点，EF分别交AB ,CD 于M ,N ，求证：OM ON如图，梯形ABCD 中，AD // BC, AB CD ,对角线AC , BD 相交于点 分别是OA,OB, CD 的中点，求证： EFG是等边三角形【例51】如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点.【例48】如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点,BD AC , BD 和AC 相交于点0 ,MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF .【例50】BCBL D【例52】如图，0是平行四边形ABCD内任意一点，E, F, G, H分别是OA, OB, OC, OD的中点.若DE , CF 交于P , DG , AF 交于 Q , AH , BG 交于R, BE , CH 交于S，求证：PQ SR.AENO FH。

要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。

菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。

点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。

菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。

判定③:四边相等得四边形就是菱形。

重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。

菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。

菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。

由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。

如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。

例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。

菱形的性质及判断中考要求知识点 A 要求B要求Ｃ要求菱形会鉴别菱形掌握菱形的看法、性质和判断，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决相关判断解决简单问题问题知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特其他平行四边形，它拥有平行四边形的所有性质，?还拥有自己独到的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直均分且每条对角线均分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．议论：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判断判断① ：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判断② ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判断③ ：四边相等的四边形是菱形．重、难点重点是菱形的性质和判判定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，第一她是平行四边形，但它是特其他平行四边形，特别之处就是“有一组邻边相等”，所以就增加了一些特其他性质和不同样于平行四的基础。

难点是菱形性质的灵便应用。

由于菱形是特其他平行四边形，所以它不仅拥有平行四边形的性质，同时还拥有自己独到的性质。

若是获取一个平行四边形是菱形，就可以获取好多关于边、角、对角线的条件，在本质解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让好多学生慌张失措，教师在授课过程中应恩赐足够重视。

例题精讲板块一、菱形的性质【例 1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度最少是【例 2】⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则1 度．A B C1图2⑵如图，在菱形ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD的边长是 ______．AE FB DC【例 3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ，交 AB 于 P ，证明： AB 与 EF 互相均分．DEHA CPBF【例 4】☆如图 1 所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 24，则 OH 的长等于．AHB DOC图1【牢固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线AC8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点E，则DE的长为【例 5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【牢固】如图 2，在菱形ABCD 中， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6 D ．8A DBC图 2【牢固】如图 3，在菱形ABCD中， A 110 ， E 、 F 分别是边 AB 和 BC 的中点， EP CD 于点 P ，则FPC （）A．35 B ．45 C．50 D．55DAE PCB F图3【例 6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，尔后剪下一个角，为了获取一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A．15或30 B ．30 或 45 C ．45或60 D．30或60【牢固】菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ，那么EAF 等于．【牢固】如图，将一个长为10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，获取的菱形的面积为（）A． 10cm 2 B ． 20cm 2C． 40cm2D． 80cm 2DA CB图1【例 7】☆已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例 8】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，ABC 60，?沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．AOB DC图2【例 9】已知，菱形ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，若AE AF EF AB ，求 C 的度数．AB DE FC板块二、菱形的判断【例 10】如图，若是要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要增加一个条件，那么你增加的条件是．A DB C【例 11】☆如图，在ABC 中， BD 均分ABC ， BD 的中垂线交AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，求证：四边形BEDF 是菱形AE DB FC 【牢固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 的垂直均分线与边AD 、 BC 分别订交于E 、F .求证：四边形 AFCE 是菱形.A EDOBF C【例 12】如图，在梯形纸片ABCD中，AD / / BC，AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连结 C E .求证：四边形 CDC E 是菱形．A C' DB EC 【例 13】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ，交 AB 于 P ，证明： AB 与 EF 互相均分A E D A E DP PF B C F B C【牢固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将ABE 沿 BC 方向平移，使点 E 与点 C 重合，得GFC ．若 B 60 ，当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．A G DB E FC【例 14】如图，在ABC中，AB AC，M是BC的中点．分别作MD AB 于 D ，ME AC 于 E ，DF AC 于 F ， EG AB 于 G ． DF 、EG 订交于点 P ．求证：四边形DMEP 是菱形．AG P FD EB MC 【例 15】如图，ABC中，ACB 90，AD是BAC 的均分线，交 BC 于D ，CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB于 E ，求证：四边形CDEF 是菱形．CDFAH E B【牢固】☆如图， M 是矩形 ABCD 内的任意一点，将MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M ' 的地址⑴画出平移后的三角形；⑵连结 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形MDM 'C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么地址时，在上述变换下，四边形MDM 'C 是菱形？为什么？A DMM'B C三、与菱形相关的几何综合题【例16】已知等腰△ABC中，AB AC ，AD 均分BAC 交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过 P 点作 EF ∥ AB ，分别交 AC 、 BC 于 E 、 F 点，作 PM ∥ AC ，交 AB 于 M 点，连结 ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当 P 点在哪处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？CDE PFABM课后练习1. 菱形周长为 52cm ，一条对角线长为 10cm ，则其面积为．2. 如图，在菱形 ABCD 中，AB 4a ，E 在BC上， BE 2a ， BAD 120 ，P 点在BD上，则PE PC的最小值为A DPB E C3. 已知菱形的一个内角为60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为________．4. 已知，菱形 ABCD中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，且 BEAF 60 ， BAE 18 ．求：A DFBE C5.如图，在ABC 中， AB AC ，D 是 BC 的中点，连结 AD ，在 AD 的延长线上取一点 E ，连结 BE ，CE ．当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明原由．BADE C6.如图，ACD 、ABE 、BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知AB AC ．⑴按次连结 A 、 D 、 F 、 E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的种类和相应的条件．⑵当BAC 为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDAB C7.如图，已知BE、CF分别为ABC 中B、 C 的均分线， AM BE 于 M ， AN CF 于 N ，求证： MN ∥ BC ．AFENMB C。

菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。

在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。

本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。

一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。

这是菱形的最基本特征。

2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。

换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。

3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。

4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。

二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。

2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。

如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。

3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。

以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。

在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。

值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。

必须满足菱形的所有性质才能确定。

三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。

2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。

菱形的性质和判定
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们得到：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。

菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。

菱形
A B
D C。

第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定一、什么是菱形菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。

也就是他的两条对角线互相垂直。

五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。

六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形课后练习：1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。

解答：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=3452222=-=-AO AB∴BD=2BO=2×3=6.2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。

解答：在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180∘.又∵∠BAD=2∠B ，∴∠B=60∘.∴△ABC 是等边三角形。

3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。

解答：在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，∴OA=21AC=4,OB=21BD=3，AC ⊥BD ，∴AB=5342222=+=+OB OA∴菱形的周长为：4×5=20.4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.解答：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，∠ADC=∠ABC ，在△ADC 和△ABC 中，∵AD=DC∠ADC=∠ABCAB=BC ，∴△ADC≌△ABC，∴AC平分∠BAD和∠BCD，同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？解答：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=DC∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，∵AC⊥BD∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。

菱形，菱形的性质，菱形的判定
•菱形的定义:
在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

•菱形的性质:
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形的四条边都相等；
④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心
对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；
⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的
对角线的根号3倍。

•菱形的判定:
在同一平面内，
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。

菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。

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