第17届中国东南地区数学奥林匹克高二试题及解答(浙江诸暨)

目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。

2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）1. 在多项式()()610321x x x 的展开式+-的系数为______.2. 已知()5log35log172+=-a a ，则实数a=_________.3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，则b a 22-的取值范围是___________.4. 设()1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x yx y x x x R y x 且，则=-y x _______. 5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，则实数a 的取值范围为____.6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S pq，定义函数,1p q p q f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则()32=x f 在S 中根的个数为___________.7. 已知动点P ,M,N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，则直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.9.已知平面向量0.10,321,,,=⋅<<===c b c b a ρρρρρ若λ()c b λλ---1所有取不到的值的集合为____________.10. 已知()()()0421212,0.1,0,2222=---+-+⎩⎨⎧≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，则实数a=_______.二. 解答题11. （本题满分20分）设()()()，⋯=+=+=+,2,1,316,322121n x f x x f x x f n n 对每个n ，求()x x f n 3=的实数解。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|11}P x x =-<<，{02}Q x =<<，那么P Q =U A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】A【解析】P Q U 取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ． 【考点】集合运算【点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2．椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】e =B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（第3题图）A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【答案】A【解析】 有三视图可知，直观图是有半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积()2111=13232S π⨯π⨯⨯=，棱锥体积211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以几何体体积1212S S S π=+=+． 故选A ．【考点】 三视图【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整． 4．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【考点】 简单线性规划【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】取0,0a b ==；得1M m -=；取0,1a b ==得1M m -=； 取1,0a b ==；得2M m -=； 故与a 有关；与b 无关.故选B ． 【考点】二次函数的最值【点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（第7题图）【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．【考点】 导函数的图象【点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．8．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【考点】 两点分布【点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量iξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】 设D 在底面ABC 内射影为O ，判断O 到PR ，PQ ，QR 的距离， 显然有,αβ,γ均为锐角．1P 为三等分点，O 到1PQR △三边距离相等．动态研究问题．1P P ®，所以O 到QR 距离不变，O 到PQ 距离减少，O 到PR 距离变大．所以αγβ<<．【考点】 空间角（二面角）【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则（第10题图）A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<【答案】C【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=o ，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos 0OB CA AOB ∠<u u u r u u u r，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即13I I >，∴312I I I <<，选C ．G FOD【考点】 平面向量的数量积运算【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>o ，由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，可求得OA OC <，OB OD <，进而得到312I I I <<．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

专题突破训练——递推数列高考真题：1、（2008年北京高考）已知数列{n a }对任意的p 、q ∈N*，满足a p+q =a p +a q ，且a 2=-6，则a 10等于__________。

2、（2016浙江高考）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .3、（2008年江西高考）在数列{n a }中，a 1=2，a n+1=⎪⎭⎫⎝⎛++n a n 11ln ，则a n =__________。

4、（2012全国）数列{n a }满足()1211-=-++n a a n nn ，则{n a }的前60项和为_________。

5、（2015浙江文科）设数列{n a }的前n 项和为S n 。

已知S 2=4，1+n a =2S n +1。

（1）求{n a }的通项公式；（2）求数列{}2--n a n 的前n 项和。

6、（2009全国高考）在数列{n a }中，11=a ，nn n n a n a 21111++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+。

（1）设na b nn =，求数列{n b }的通项公式； （2）求数列{n a }的前n 项和。

7、（2016四川）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11=a ，11+=+n n qS S ，其中0>q 。

（1）若22a ，3a ，22a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线1222=-na y x 的离心率为n e ，且352=e ，证明：121334-->+++n n n n e e e 。

8、（2015年浙江高考）已知数列{}n a 满足211=a ，且21n n n a a a -=+，*N n ∈。

（1）证明：211≤≤+n na a ； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：()()121221+≤<+n n S n n 。

2017年浙江省绍兴市诸暨市高考数学二模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知复数z满足z（1+i）=2i，则z的共轭复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．“＞1”是“a＜1”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件3．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．14．二项式（x+）8展开式的常数项等于（）A．C B．C C．24C D．22C5．已知数列{a n}的前n项和是S n，则下列四个命题中，错误的是（）A．若数列{a n}是公差为d的等差数列，则数列{}的公差为的等差数列B．若数列{}是公差为d的等差数列，则数列{a n}是公差为2d的等差数列C．若数列{a n}是等差数列，则数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列D．若数列{a n}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n}是等差数列6．设双曲线﹣=1的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足∠PF2F1=2∠PF1F2=60°，则此双曲线的离心率等于（）A．2﹣2 B．C． +1 D．2+27．已知函数f（x）=sin（2x+），将其图象向右平移，则所得图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=8．已知f（x）=x2+3x，若|x﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（）A．|f（x）﹣f（a）|≤3|a|+3 B．|f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4 C．|f（x）﹣f（a）|≤|a|+5 D．|f（x）﹣f（a）|≤2（|a|+1）29．已知f（x）是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：①若f（x0）＞x0，则f[f （x0）]＞x0；②若f[f（x0）]＞x0，则f（x0）＞x0；③若f（x）是奇函数，则f[f（x）]也是奇函数；④若f（x）是奇函数，则f（x1）+f（x2）=0⇔x1+x2=0，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成角等于，则平面ACD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是（）A．[，] B．[，1] C．[﹣， +] D．[﹣，1]二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．已知A={x|﹣2≤x≤0}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B= ，（∁R A）∩B= ．12．已知函数f（x）=x3﹣3x，函数f（x）的图象在x=0处的切线方程是；函数f （x）在区间[0，2]内的值域是．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度= ，体积为．14．已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+8y﹣11=0，则的最大值= ，|3x+4y﹣28|的最小值= ．15．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率= ．16．已知△ABC的面积为8，cosA=，D为BC上一点， =+，过点D做AB，AC 的垂线，垂足分别为E，F，则•= ．17．已知函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M（a，b∈R，c＞0位常数）且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c= ．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且=（1）求A（2）求cosB+cosC的取值范围．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD=2，AB=4，BD=2（1）求证；PA⊥BD（2）求二面角D﹣BC﹣P的余弦值．20．已知函数f（x）=xe x﹣a（x﹣1）（a∈R）（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间（2）若存在实数x0∈（0，），使得f（x0）＜0，求实数a的取值范围．21．如图，P（x0，y0）是椭圆+y2=1的上的点，l是椭圆在点P处的切线，O是坐标原点，OQ∥l与椭圆的一个交点是Q，P，Q都在x轴上方（1）当P点坐标为（，）时，利用题后定理写出l的方程，并验证l确定是椭圆的切线；（2）当点P在第一象限运动时（可以直接应用定理）①求△OPQ的面积②求直线PQ在y轴上的截距的取值范围．定理：若点（x0，y0）在椭圆+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为+y0y=1．22．已知数列{a n}的各项都是正数，a1=1，a n+12=a n2+（n∈N*）（1）求证：≤a n＜2（n≥2）（2）求证：12（a2﹣a1）+22（a3﹣a2）+…+n2（a n+1﹣a n）＞﹣（n∈N*）2017年浙江省绍兴市诸暨市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知复数z满足z（1+i）=2i，则z的共轭复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z（1+i）=2i，得，则z的共轭复数=1﹣i．故选：B．2．“＞1”是“a＜1”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由＞1⇔a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1．即可判断出结论．【解答】解：由＞1⇔a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1．∴“＞1”是“a＜1”的充分不必要条件．故选：A．3．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【解答】解：由不等式组得到可行域如图：目标函数变形为y=x﹣z，当此直线经过图中B 时z最小，所以最小值为z=0﹣2=﹣2；故选：B．4．二项式（x+）8展开式的常数项等于（）A．C B．C C．24C D．22C【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求出通项公式，再令x的指数为零，即可求出答案【解答】解：二项式（x+）8展开式的通项公式为2r C8r x8﹣4r，令8﹣4r=0，解得r=2，则二项式（x+）8展开式的常数项等于22C82，故选：D5．已知数列{a n}的前n项和是S n，则下列四个命题中，错误的是（）A．若数列{a n}是公差为d的等差数列，则数列{}的公差为的等差数列B．若数列{}是公差为d的等差数列，则数列{a n}是公差为2d的等差数列C．若数列{a n}是等差数列，则数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列D．若数列{a n}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n}是等差数列【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式进行分析，并作出判断．【解答】解：A、若等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项的和为S n，则数列{}为等差数列，且通项为=a1+（n﹣1），即数列{}的公差为的等差数列，故说法正确；B、由题意得： =a1+（n﹣1）d，所以S n=na1+n（n﹣1）d，则a n=S n﹣S n﹣1=a1+2（n﹣1）d，即数列{a n}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C、若数列{a n}是等差数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；D、若数列{a n}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选：D．6．设双曲线﹣=1的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足∠PF2F1=2∠PF1F2=60°，则此双曲线的离心率等于（）A．2﹣2 B．C． +1 D．2+2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据点P为双曲线上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，可得|PF1|=c，|PF2|=c，利用双曲线的定义，可求双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的焦距长为2c，∵点P为双曲线上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，∴P在右支上，∠F2PF1=90°，即PF1⊥PF2，|PF1|=2csin60°=c，|PF2|=2ccos60°=c，∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）c=2a，∴e===+1．故选：C．7．已知函数f （x ）=sin （2x+），将其图象向右平移，则所得图象的一条对称轴是（ ）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】求出函数y=f （x ）图象向右平移后的函数的解析式，由正弦曲线的对称性，得函数的对称轴方程，通过k 去0，即得本题答案．【解答】解：设f （x ）=sin （2x+），得图象向右平移个单位后，得到的表达式为f （x ﹣）=sin[2（x ﹣）+]=sin （2x ﹣）对于函数y=sin （2x ﹣），令2x ﹣=+k π，得x=k π+，k ∈Z∴变换后的函数图象的对称轴方程为：x=k π+，k ∈Z取k=0，得x=，故选：C ．8．已知f （x ）=x 2+3x ，若|x ﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．|f （x ）﹣f （a ）|≤3|a|+3B ．|f （x ）﹣f （a ）|≤2|a|+4C ．|f （x ）﹣f （a ）|≤|a|+5D ．|f （x ）﹣f （a ）|≤2（|a|+1）2【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．【分析】结合二次函数的图象可知，当f （x ）在区间[a ﹣1，a+1]单调时，|f （x ）﹣f （a ）|的最大值为|f （a+1）﹣f （a ）|或|f （a ﹣1）﹣f （a ）|，从而得出结论． 【解答】解：∵|x ﹣a|≤1，∴a ﹣1≤x ≤a+1， ∵f （x ）是二次函数，∴f （x ）在区间[a ﹣1，a+1]上单调时，|f （x ）﹣f （a ）|取得最大值为|f （a+1）﹣f （a ）|或|f （a ﹣1）﹣f （a ）|，而|f （a+1）﹣f （a ）|=|（a+1）2+3（a+1）﹣a 2﹣3a ）|=|2a+4|≤2|a|+4，|f （a ﹣1）﹣f （a ）|=|（a ﹣1）2+3（a ﹣1）﹣a 2﹣3a|=|﹣2a ﹣2|=|2a+2|≤2|a|+2． ∴|f （x ）﹣f （a ）|≤2|a|+4， 故选B ．9．已知f（x）是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：①若f（x0）＞x0，则f[f （x0）]＞x0；②若f[f（x0）]＞x0，则f（x0）＞x0；③若f（x）是奇函数，则f[f（x）]也是奇函数；④若f（x）是奇函数，则f（x1）+f（x2）=0⇔x1+x2=0，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，由f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f （x0）＞x0，；②，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾；③，由奇函数的性质及判定得f[f（﹣x）]=f[﹣f（x）]=﹣f[f（﹣x）]，即可判定；④，若f（x1）+f（x2）=0，则f（x1）=﹣f（x2）⇒x1=﹣x2⇒x1+x2=0；若x1+x2=0⇒x1=﹣x2⇒f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2）⇒f（x1）+f（x2）=0【解答】解：对于①，∵f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，故①正确；对于②，当f[f（x0）]＞x0时，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾，故②正确；对于③，若f（x）是奇函数，则f[f（﹣x）]=f[﹣f（x）]=﹣f[f（﹣x）]，∴f[f（x）]也是奇函数，故③正确；对于④，当f（x）是奇函数，且是定义在R上的单调递增函数时，若f（x1）+f（x2）=0，则f（x1）=﹣f（x2）⇒x1=﹣x2⇒x1+x2=0；若x1+x2=0⇒x1=﹣x2⇒f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2）⇒f（x1）+f（x2）=0，故④正确；故选：A10．已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成角等于，则平面ACD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是（）A．[，] B．[，1] C．[﹣， +] D．[﹣，1] 【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由题意求出AB与平面ACD所成角的正弦值和余弦值，然后分类求出平面ACD与平面α所成角的正弦值的最小值与最大值得答案．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，∴三棱锥A﹣BCD为正四面体，如图：设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP，则∠BAP为AB与平面ADC所成角．AP=BP=，可得sin，cos∠BAP=．设∠BAP=θ．当CD与α平行且AB在面ACD外时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最小，为sin（）=sin=；当CD与α平行且AB在面ACD内时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最大，为sin（）=sin cos=．∴平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是[，]．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．已知A={x|﹣2≤x≤0}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B= [﹣2，2] ，（∁R A）∩B= （0，2] ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】运用二次不等式的解法可得集合B，求出A的补集，运用交集和并集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：A={x|﹣2≤x≤0}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，∁R A={x|x＞0或x＜﹣2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]；（∁R A）∩B={x|0＜x≤2}=（0，2]．故答案为：[﹣2，2]，（0，2]．12．已知函数f（x）=x3﹣3x，函数f（x）的图象在x=0处的切线方程是y=﹣3x ；函数f（x）在区间[0，2]内的值域是[﹣2，2] ．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，求解切线方程，判断函数的单调性，然后求解在闭区间上的最值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x，切点坐标（0，0），导数为：y′=3x2﹣3，切线的斜率为：﹣3，所以切线方程为：y=﹣3x；3x2﹣3=0，可得x=±1，x∈（﹣1，1），y′＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞），y′＞0函数是增函数，f（0）=0，f（1）=﹣2，f（2）=8﹣6=2，函数f（x）在区间[0，2]内的值域是：[﹣2，2]．故答案为：y=﹣3x；[﹣2，2]．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度= 2，体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中PA⊥底面ABC，PA=2，底面△ABC是边长为2的等边三角形．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中PA⊥底面ABC，PA=2，底面△ABC是边长为2的等边三角形．该几何体最长的一条棱的长度为PA或PC==2，体积V==．故答案为：2，．14．已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+8y﹣11=0，则的最大值= 11 ，|3x+4y﹣28|的最小值= 5 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系；QK：圆的参数方程．【分析】化圆的一般方程为标准方程，可得x﹣3=6cosθ，y+4=6sinθ，分别代入与|3x+4y﹣28|，然后利用辅助角公式化简求最值．【解答】解：化方程x2+y2﹣6x+8y﹣11=0为（x﹣3）2+（y+4）2=36．令x﹣3=6cosθ，y+4=6sinθ，则x=3+6cosθ，y=﹣4+6sinθ，∴==（tanα=）．∴的最大值为；|3x+4y﹣28|=|9+18cosθ﹣16+24sinθ﹣28|=|24sinθ+18cosθ﹣35|=|30sin（θ+β）﹣35|（tanβ=）．∴|3x+4y﹣28|的最小值为|30﹣35|=5．故答案为：11，5．15．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率= ．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再利用列举法求出千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件的个数，由此能求出千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率．【解答】解：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，基本事件总数n=，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有：1352，1425，1524，3142，3524，3514，3152，5241，5314，5142，共10个，∴千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率：p==．故答案为：．16．已知△ABC的面积为8，cosA=，D为BC上一点， =+，过点D做AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，则•= ﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用△ABC的面积求出||•||的值，再利用=+求出D 是BC的四等分点，计算S△ABD和S△ACD的值，求||•||•||•||的值，从而求出| |•||的值，计算数量积•的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，cosA=，∴sinA==；∴S△ABC=||•||sinA=||•||•=8，即||•||=20；设=λ，λ∈（0，1），则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ，又=+，∴λ=；∴====3，∴S△ABD=||•||=×8=6，∴||•||=12；又S△ACD=||•||=2，∴||•||=4；∴||•||•||•||=48，∴||•||==，∴•=||•||•cos=×（﹣）=﹣．故答案为：﹣．17．已知函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M（a，b∈R，c＞0位常数）且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c= 2 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】函数y=x2+ax+b是二次函数，可得函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值在端点处或x=﹣处取得．分别讨论即可得到a+c=0，b=2，可得a+b+c=2．【解答】解：函数y=x2+ax+b是二次函数，∴函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M在端点处或x=﹣处取得．若在x=0处取得，则b=±2，若在x=﹣处取得，则，若在x=c处取得，则|c2+ac+b|=2．若b=2，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合要求，若b=﹣2则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．由此推断b=，即有b=2，则a+c=0，可得a+b+c=2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且=（1）求A（2）求cosB+cosC的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理可求cosA，结合A∈（0，π），可得A的值．（2）由（1）得：C=﹣B，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosB+cosC=sin（B+），由B∈（0，），可得：B+∈（，），由正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵=，∴由正弦定理可得： =，可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===﹣，∴由A∈（0，π），可得：A=…6分（2）∵A=，可得：C=﹣B，∴cosB+cosC=cosB+cos（﹣B）=cosB+sinB=sin（B+），∵B∈（0，），可得：B+∈（，），∴cosB+cosC=sin（B+）∈（，]…14分19．如图，四棱锥P﹣ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD=2，AB=4，BD=2（1）求证；PA⊥BD（2）求二面角D﹣BC﹣P的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由面面垂直的性质得BD⊥面PAD，即可证得DB⊥PA．（2）二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值，作PO⊥AD于O，则PO⊥面ABCD．过O作OE⊥BC于E，连接PE，则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角，在△PEO中，求得cos∠PEO=，即可得二面角D﹣BC﹣P的余弦值【解答】解：（1）在△ABD中，AD⊥DB，由平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥面PAD，∴DB⊥PA．（2）二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值，作PO⊥AD于O，则PO⊥面ABCD．过O作OE⊥BC于E，连接PE，则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角．又△PEO中，PO=，OE=DB=2，故PE=，cos∠PEO=，∴二面角D﹣BC﹣P的余弦值为．20．已知函数f（x）=xe x﹣a（x﹣1）（a∈R）（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间（2）若存在实数x0∈（0，），使得f（x0）＜0，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a＜在x∈（0，）上有解，设h（x）=，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）e x﹣a，由f′（0）=0，解得：a=1，故f′（x）=（x+1）e x﹣1，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（2）若f（x）＜0在x∈（0，）上有解，即xe x＜a（x﹣1），a＜在x∈（0，）上有解，设h（x）=，x∈（0，），则h′（x）=＜0，故h（x）在（0，）递减，h（x）在（0，）的值域是（﹣，0），故a＜h（0）=0．21．如图，P（x0，y0）是椭圆+y2=1的上的点，l是椭圆在点P处的切线，O是坐标原点，OQ∥l与椭圆的一个交点是Q，P，Q都在x轴上方（1）当P点坐标为（，）时，利用题后定理写出l的方程，并验证l确定是椭圆的切线；（2）当点P在第一象限运动时（可以直接应用定理）①求△OPQ的面积②求直线PQ在y轴上的截距的取值范围．定理：若点（x0，y0）在椭圆+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为+y0y=1．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由定理求得切线方程，代入椭圆方程，由△=0，则直线l：x+y=2是在P点的椭圆的切线；（2）①由定理求得P点的切线方程，即可求得OQ的方程，代入椭圆方程，即可求得Q点坐标，即可求得丨OQ丨，则l与直线OQ之间的距离d，即可求得△OPQ的面积；②由k PQ=k PM，即可求得m，由3=x02+3y02＜（x0+y0）2≤2（x02+3y02）=6，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）由点（x0，y0）在椭圆+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为+y0y=1．若P（，），则，整理得：直线l：x+y=2，由，整理得：4x2﹣12x+9=0，△=（12）2﹣4×4×9=0，∴直线l ：x+y=2是椭圆的切线；（2）①设P （x 0，y 0），则x 02+3y 02=1，且切线l ：+y 0y=1．则OQ ：x 0x+3y 0y=0，，解得：，由Q 在x 轴上方，则Q （﹣y 0， x 0），则丨OQ 丨==，由l 与直线OQ 之间的距离d=，由△OPQ 的面积S=×丨OQ 丨×d=，②设直线PQ 交y 轴点M （0，m ），由P （x 0，y 0），Q （﹣y 0，x 0），x 0x+3y 0y=0，由k PQ =k PM ，则=，则m=y 0﹣=，3=x 02+3y 02＜（x 0+y 0）2≤2（x 02+3y 02）=6，故m=∈[，1）．22．已知数列{a n }的各项都是正数，a 1=1，a n+12=a n 2+（n ∈N *）（1）求证：≤a n ＜2（n ≥2）（2）求证：12（a 2﹣a 1）+22（a 3﹣a 2）+…+n 2（a n+1﹣a n ）＞﹣（n ∈N *） 【考点】R6：不等式的证明；8E ：数列的求和．【分析】（1）由条件得a n 2﹣a n ﹣12≥，a n ﹣12﹣a n ﹣22≥，…，a 32﹣a 22≥，各式累加后放缩得出结论；（2）由条件得n 2（a n+1﹣a n ）==﹣＞﹣﹣，各式累加后放缩得出结论．【解答】证明：（1）∵a n ＞0，a n+12=a n 2+，∴a n+1＞a n ，∴{a n }是递增数列．由a 1=1，得a 2=，当n ≥2时，a n+12﹣a n 2=≥，∴a n 2﹣a n ﹣12≥，a n ﹣12﹣a n ﹣22≥，…，a 32﹣a 22≥，以上各式相加得：a n 2﹣a 22≥（++…+），而++…+≥++…+=（++…﹣）=，∴a n 2﹣2≥，即a n 2≥2+，∴a n ≥，又a n+12=a n 2+=（a n +）2﹣＜（a n +）2，∴a n+1＜a n +，即a n+1﹣a n ＜，∴a n ﹣a n ﹣1＜，a n ﹣1﹣a n ﹣2＜，…，a 3﹣a 2＜，a 2﹣a 1＜，以上各式相加得：a n ﹣a 1＜（++…+）＜（1+++…+）=（2﹣）＜1，∴a n ＜a 1+1=2．（2）∵a n+12=a n 2+，21 ∴n 2（a n+12﹣a n 2）=a n ，∴n 2（a n+1﹣a n ）==﹣，又a n+1﹣a n =＜，∴n 2（a n+1﹣a n ）=﹣＞﹣﹣， ∴12（a 2﹣a 1）+22（a 3﹣a 2）+…+n 2（a n+1﹣a n ）＞﹣（+++…+）＞﹣（1+++…+）=﹣（1+1﹣）＞﹣．。

2021年浙江省绍兴市诸暨大唐镇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：平均环数方差从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁参考答案：C2. 若直线与直线互相垂直，那么a的值等于( )A．1 B． C．D．参考答案：D试题分析：由得，故选D.考点：平面内两直线垂直与平行的判定.3. 直线与圆交于A,B两点，则|AB|=A. B. C. D.参考答案：A略4. 已知向量的夹角为，且，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. （5分）（2013?兰州一模）下列命题中的真命题是（）．不等式的解集是{x|x＜1}．a，β∈R，tan（α+β）=成立参考答案：D略6. 若数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣n，则（）A．S n=2n+1﹣1 B．a n=2n﹣1 C．S n=2n+1﹣2 D．a n=2n+1﹣3参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】由S n=2a n﹣n，得a1=2a1﹣1，即a1=1；再根据数列的递推公式得到数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，问题得以解决．【解答】解：由S n=2a n﹣n，得a1=2a1﹣1，即a1=1；当n≥2时，有S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1），则a n=2a n﹣2a n﹣1﹣1，即a n=2a n﹣1+1，则a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2；∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1，故选：B【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．7. 设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h （x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（）A．h（x）关于（1，0）对称 B．h（x）关于（﹣1，0）对称C．h（x）关于x=1对称D．h（x）关于x=﹣1对称参考答案：C【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51 ：函数的性质及应用．【分析】运用奇偶性的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），由h（x）=|f （x﹣1）|+g（x﹣1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），将x换成﹣x，结合对称性结论，即可判断．【解答】解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），由h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），即有h（﹣x+1）=|f（﹣x）|+g（﹣x）=|f（x）|+g（x）=h（x+1），即为h（1﹣x）=h（1+x），则h（x）的图象关于直线x=1对称．故选C．8. 若实数x，y满足不等式组则3x+4y的最小值是A．13 B．15 C．20 D．28参考答案：A题主要考查了简单的线性规划问题以及目标函数的最值等，难度中等。

浙江省嵊州市2017-2018学年高二下学期期末考试教学质量检测理数试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x x ==∈<<Z ，则A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意可以求得集合{}2,3N =，所以有N M ⊆，所以A 错，显然两集合是不相等的，所以B 错，根据集合并集的定义，可知{}1,2,3M N = ,故D 错，根据集合的交集的定义，可知{}2,3M N = ,故C 对，所以选C. 考点：集合的运算.2.已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,3--D ．()1,3【答案】A 【解析】试题分析：根据向量的加法运算法则，可知(23,14)(1,5)a b +=-+=-，故选A.考点：向量的加法运算. 3.若0a b >>，则 A ． 2ab b < B ． 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ． 1122log log a b >D ． 22a b >【答案】D 【解析】试题分析：结合二次函数的性质，可知函数2y x =在区间(0,)+∞上是增函数，故有22a b >，所以D 正确，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个大于零的数或式子，不等号的方向不改变，所以有2ab b >，所以A 不正确，根据底数是大于零小于一的指数函数是减函数，有11()()22ab<，所以B 不正确，根据底数是大于零小于一的对数函数是减函数，所以1122log log a b <，所以C 不正确，故选D.考点：不等式的性质.4.命题 “(),x f x ∀∈>0R ”的否定为 A ．()00,0x f x ∃∈>R B ．()00,0x f x ∃∈≤RC ．()00,0x f x ∀∈≤RD ．()00,0x f x ∀∈>R【答案】B 【解析】试题分析：根据全程命题的否定形式，可知 “(),x f x ∀∈>0R ”的否定为()00,0x f x ∃∈≤R ，故选B. 考点：全称命题的否定.5.若数列{}n a 是首项为1，公比为4a 等于A ．8-B ．-C ．D ．8【答案】B 【解析】试题分析：根据等比数列的通项公式，可知33411(a a q =⋅=⋅=-，故选B. 考点：等比数列的通项公式.6.已知()2,4P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线上，则该双曲线的离心率为A ． 2 C ．．【答案】A 【解析】试题分析：根据点()2,4P 在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为2y x =，所以有2ba=，即2b a =，根据双曲线中,,a b c 的关系，可以得c =，所以有e = A. 考点：双曲线的渐近线，双曲线的离心率.7.已知,,,a b c d 为非零向量，且+=a b c ， -=a b d ，则下列命题正确．．的个数为（1）若=a b ，则0⋅=c d （2）若0⋅=c d ，则=a b （3）若=c d ，则0⋅=a b （4）若0⋅=a b ，则=c d A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，有22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- ，从而可以得到a b = 是0c d ⋅= 的充要条件，故（1）（2）正确，根据c d = 的等价条件为22()()a b a b +=- ，整理可得0a b ⋅= ，所以c d = 成了的充要条件为0a b ⋅=，故（3）（4）正确，所以正确的命题的个数为4个，故选D.考点：向量的模，向量垂直的条件.8.如图，四边形OABC ，ODEF ，OGHI 是三个全等的菱形，60COD FOG AOI ∠=∠=∠= ，P 为各菱形边上的动点，设OP xOD yOH =+，则x y +的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】试题分析：根据图形的特点，可知x y +取最大值时，应该 在菱形的顶点处，经过检验，可以发现当点P 落在点E 处时取到最大值，此时OP xOD yOH xOD yOG yOI =+=++()x y OD yOG =-+，根据向量的运算，可知2OH OD OG =+ ，所以有2,1x y y -==，所以3,1x y ==，故4x y +=. 考点：向量的运算.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分，将答案填在答题纸上）9.已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，()2f a =，则()()1ff -= ，a = ．【答案】9,1- 【解析】试题分析：根据题意可知，(1)112f -=--=，2(2)39f ==，所以有()()1f f -=9，根据题意，只能是12a -=，解得3a =（舍去）或1a =-，故有1a =-. 考点：函数值求值问题，已知函数值求自变量，分段函数.10.已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，且a ⊥b ，则||=a ，y = ．【解析】试题分析：根据向量的模的坐标公式，可知a == 根据向量垂直，得1(2)20a b y ⋅=⋅-+= ，解得1y =.考点：向量的模，向量垂直的条件.11.已知实数,x y 满足50,0,3.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y -的最小值为 ，该不等式组所围成的区域的面积为 ．【答案】12113,4- 【解析】试题分析：画出约束条件对应的可行域，可知2x y -的最小值在直线3x =与直线50x y -+=的交点(3,8)处取得，所以其最小值为31613-=-，该不等式组所围成的区域为一个直角三角形，直角顶点为55(,)22-，底边长为11，直角顶点到底边的距离为511322+=，所以所求的面积为11112111224S =⋅⋅=. 考点：线性规划.12.若直线l ：30x +=与圆C ：()22200x ax y a -+=>相切，则直线l 的斜率为 ，实数a 的值为 ．,3 【解析】=，根据直线与圆的位置关系，可知圆心到直线的距离等于半径，所以有32a d a +==，结合0a >的条件，解得3a =. 考点：直线与圆的位置关系.13.设O 为原点，P 是抛物线24x y =上一点，F 为焦点， 5PF =，则OP = ．【答案】考点：抛物线的几何性质.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足36S =，63S =．则9S = ． 【答案】9- 【解析】试题分析：根据等差数列的性质36396,,S S S S S --成等差数列，即96,36,3S --成等差数列，解得99S =-.考点：等差数列的性质.15.定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程{}()min 2x m m -=∈R 恰有二个不同的实根，则m的值为 ．【答案】)21或0【解析】试题分析：根据题意可知{}44min 22,44x x x x ⎧≤≤-≥+⎪-=⎨--<+⎪⎩y={}44min 22,44x x x x ⎧≤≤-≥+⎪-=⎨--+⎪⎩y m =有两个交点，当0m =时满足条件，当4x =-21)m ==，所以结合着函数图像得到m的值为)21或0.考点：分段函数，数形结合.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.等差数列{}n a 中，13a =，422a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13n n n b a n-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）3n a n =（Ⅱ）()3312nn S =⋅-考点：等差数列的通项公式，等比数列的求和公式. 17.（本小题满分15分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p 的焦点为()1,0F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于),(11y x A ，),(22y x B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）求OAB ∆的面积．【答案】（Ⅰ）24y x =【解析】试题分析：第一问根据抛物线的焦点坐标可以确定12p=，从而得到2p =，进一步得到抛物线的标准方程，第二问根据直线的斜率为1，过抛物线的焦点，从而确定出直线的方程，将直线方程和抛物线方程联立，应用弦长公式，求得弦AB 的长，应用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形的面积公式求得结果. 试题解析：（Ⅰ）2p =． ………………3分 抛物线方程为24y x =． ………………5分 （Ⅱ）直线方程为1y x =-， ………………7分 联立抛物线得2610x x -+=， 故12126,1x x x x +==，12AB x =-= ………………10分又原点到直线距离为2d =． ………………13分故OAB ∆ ………………15分考点：抛物线的方程，直线与抛物线的综合问题. 18.（本小题满分15分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a）的一个焦点为)，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线y x m =+与椭圆Γ交于不同两点,A B ，若点()0,1P 满足=PA PB ，求实数m 的值．【答案】（Ⅰ）2214x y += （Ⅱ）53m =- 【解析】试题分析：第一问根据椭圆的定义可知24a =，c =,,a b c 的关系，从而求得1b =，进一步求得椭圆的方程，第二问利用直线与椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，求得弦的中点，根据=PA PB 可以确定出点P 在线段AB 的中垂线上，利用斜率乘积等于1-，确定出m 的值.试题解析：（Ⅰ）c =2a =． ………………2分 故1b = ………………4分故椭圆方程为2214x y +=． ………………5分 （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由22,440y x m x y =+⎧⎨+-=⎩得()2258410x mx m ++-=， 由0∆>得(m ∈． ………………7分1285m x x +=-，得1225m y y +=， 故AB 的中点4,55m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭． ………………10分 因为PM AB ⊥，所以15145mm -=--， ………………13分得53m =-满足条件． ………………15分 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题. 19.（本小题满分15分）设数列{}n a 满足21*123222,2n n na a a a n -+++⋅⋅⋅+=∈N ．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设1lgn nb a =，1122n n n T a b a b a b =+++ ，求证：数列{}n T 中1T 最小． 【答案】（Ⅰ）12n n a = （Ⅱ）证明略. 【解析】试题分析：第一问根据题中所给的式子是一个和式，所以类比着写出将n 写成1n -时对应的式子，将两式子相减，得到当2n ≥时n a 关于n 的关系式，令1n =，求出1a 的值，验证上式成立，从而求得12n n a =，第二问根据1lgn n b a =，得出lg2lg2n n b n ==，从而得出1()lg 22n n n a b n ⋅=⋅，利用错位相减法对数列求和，证明是递增的，从而求得数列{}n T 中1T 最小，也可以应用数列{}n n a b ⋅中的项都是正的，也可以证明. 试题解析：（Ⅰ）当1n =时，112a =． ………………2分 当2n ≥时，22123112222n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=，相减得1112222n n n n a --=-=． 所以，当2≥n 时，12n na =． ……………………4分 当1n =时，211=a 也满足上式，所求通项公式12n n a =……………5分．（Ⅱ）lg 2n b n =， ………………7分21122111lg 212222nn n n T a b a b a b n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⋅+⋅++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2311111lg 2122222n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………9分相减得2111111lg 222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以122lg 212n n n T ++⎛⎫=-⎪⎝⎭． ………………11分 设()122n n f n ++=，则()2312n n f n +++=，显然()()13124f n n f n n ++=<+，………………13分 即()f n 为减，从而n T 随着n 的增大而增大，故1T 最小． ………………15分 考点：数列的通项公式，错位相减法求和. 20.（本小题满分14分）对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的一个不动点． 设函数1)(2++=bx ax x f （0>a ）．（Ⅰ）当2=a ，2-=b 时，求)(x f 的不动点； （Ⅱ）若)(x f 有两个相异的不动点21,x x ．（i ）当211x x <<时，设)(x f 的对称轴为直线m x =，求证：21>m ； （ii ）若2||1<x ，且2||21=-x x ，求实数b 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）21和1 （Ⅱ）（ⅰ）证明略，(ⅱ）14b <或74b >解得21=x 或1，即)(x f 的不动点为21和1． ………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由()f x 表达式得2bm a=-，∵()()()211,0g x f x x ax b x a =-=+-+>． 由211x x <<得()10g < ， ………………6分 得1b a->，即证21>m ． ………………8分 (ⅱ）△()2140b a =-->，121211,b x x x x a a -+==， 又2124x x -=，∴ ()22144b a a -=+． ………………10分 又1x ，2x 到()g x 对称轴12b x a-=的距离都为1， 要使()0g x =有一根属于)2,2(-，则()g x 对称轴12b x a -=)3,3(-， ∴ 16b a ->． ………………12分 故()()222111139b b b ->-+-，解得14b <或74b >．………………14分 考点：函数的零点，一元二次方程根的分布，韦达定理.。

2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数． （10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分） 三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑． 证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑． （10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−， （30分） 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=． （50分） 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =． （30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+． （40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种． （50分）。