(五)——在立体几何中综合应用
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C
y
{ nAF=2y+4z=0
{
n=（0，-2，1）
显然有m n=0，即，mn
面AEF面ACF
练习2 已知ABCD是矩形，PD⊥平面 ABCD，PD＝DC＝a，AD＝ 2a M、N分别是AD、PB的中点。
P
，
求证：平面MNC⊥平面PBC；
N C
D M A B
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是 近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明” 转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几 何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们 以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)， 大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系 及写出有关点的坐标。
A ' F (1,1, 2), DB (2, 2,0), DE (0, 2,1) F A ' F DB (1,1, 2) (2, 2,0) 0 A ' F DE (1,1, 2) (0, 2,1) 0 X A ' F DB, A ' F DE , 又DB DE D. A ' F 平面BDE
E
Y
练习1
已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面, M、 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 PA AD ,求证: MN 平面 PDC
分析:坐标系容易建立, 应考虑用坐标法,解题思路 水到渠成.
P
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN
C
A
M
B
PA AD AB, 且PA 平面AC , AD AB z 证明: P N 可设 DA i , AB j , AP k , PA 1 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系A xyz D
y
A x
则显然有 n m 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1
同理可得平面 CB1D 1的法向量为m (1,1,1)
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具
(一)平行与垂直的判断
(二)夹角与距离的计算
一、 用空间向量处理“平行”问 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 题
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ； 线面平行 l ∥ a u a u 0 ； 面面平行 ∥ u ∥ v u kv .
线面垂直
面面垂直
l ⊥m a ⊥b ab 0； l ⊥ a ∥ u a ku ；
⊥ u ⊥ v u v 0.
二、 用空间向量处理“垂直”问 题
m m
↑
n m
n
n
nm 0
又 PD DC D MN 平面PDC
A(0,0,0), B(0,1,0), C (1,1,0), D(1,0,0), P (0,0,1) M (0, 1 ,0), N ( 1 , 1 , 1 ) A 2 2 2 2 x 1 1
M
B
例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上 的点，且BE=a，CF=2a 。 求证: 面AEF面ACF。 z
例 例4 5 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A ' F 平面BDE. 证明:如图取DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴
Z
建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2) E(0,2,1),F(1,1,0)
z
D1
C1 B1
A 设平面 BDA 的法向量 1 B x 为 n ( x, y, z ) 则有 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 故平面BDA1的法向量为 n (1,1,1)
DB (1,1,0)
oD
C
y
z
D1 B1
C1
A1
oD
C B
M D
N Q R C
B
MN∥RQ
MN∥平面AC
法（２） 作PP1⊥AB于P1， 作MM1 ⊥AB于M1，A1 连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1， 连结M1N1 NN1∥PP1 A MM1∥AA1
D1
C1
P
B1
M D P1 M1
N
N1
B
Q
C
又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1
A1 C1
F B1
A
E
C y
x
B
证明：如图，建立空间直角 坐标系A-xyz ，
A1
z
C1
F
不防设 a =2，则A（0，0，0）， B1 B（3 ，1，0）C（0，2，0）， E（ 3，1，2） F（0，2，4）， AE=（ 3，1，2）AF=（0， 2， E A 4），因为，x轴面ACF 所以 可 x1，0， 取面ACF的法向量为m=（ B 0），设n=（x,y,z)是面AEF的法 向量，则 令z=1得, x=0 nAE=3x+y+2z=0 y= -2z
y
例2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1 (1)平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1 B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
(2)证明：建立如图所示 的空间直角坐标系o-xyz A1 设正方形边长为1， 则向量 DA1 (1,0,1)
用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展 趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主 要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体 几何的基础。
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
例1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， A1 P P、Q分别是A1B1和 BC上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： A MN∥平面AC. （１）M是中点，N是中点
D1
C1 B1
. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面, M、 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 PA AD ,求证: MN 平面 PDC
C
y
MN ( , 0, ) PD (1,0, 1) 2 2 DC (0,1,0) 1 1 MN PD ( , 0, ) ( 1, 0, 1) 0 MN PD 2 2 1 1 MN DC ( , 0, ) (0,1, 0) 0 MN DC 2 2
H C1 B1
求得平面 BDGH的法向 A 量为 m (2,2,1) x 显然有
oD
B
C
y
mn
故 平面AEH∥平面BDGF
二、 用空间向量处理“垂直”问 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 题
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
D1 H A1
E
G F
B1
C1
D A B
C
AD∥GF，AD=GF 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF 故得平面AEH∥平面BDGF
略证：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 AEF的法向 量为 n (2,2,1)
z
F
D1 E
G
空间向量 在立体几何中的应用5
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)
今天我来研究如何利用空间向量来 解决立体几何中的有关证明及计算问 题。
复习空间向量(一)
一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广, 有关运算方法几 乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
MN∥平面AC
z 证明：建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 P 设正方形边长为2， 又A1P=BQ=2x N 则P(2，2x，2)、 M o Q(2-2x，2，0) C D Q 故N(2-x, 1+x, 1),而A B M(2, 1, 1) x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN n 0 ∴MN n 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
