032(+)立体几何综合应用

科目:高二数学 授课时间：第18周 星期 五
单元（章节）课题
第三章 立体几何
本节课题 §5 立体几何的综合应用
三维目标 1. 知识与技能：会利用平行关系、垂直关系、体积公式等解决立体几何
综合问题。

2. 过程与方法：通过实例，培养学生的综合应用能力。

3. 情感,态度与价值观： 培养学生的空间想象能力、转化意识。

提炼的课题
立体几何的综合应用 教学重难点 重点：立体几何的综合应用
难点：立体几何的综合应用
教 学 过 程
1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点.
(Ⅰ)证明：EF ∥平面PAD ；
(Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V.
2、如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==， 2AB =，
120PAB ∠=，90PBC ∠=. （1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ；
（2）求三棱锥P ABC -的体积.
D
C B A P。

初中数学知识归纳立体几何的应用与综合计算立体几何是初中数学中的一个重要内容，它是研究在空间中有一定形状的图形的数学学科。

在初中数学中，我们学习了很多与立体几何相关的知识，包括立体图形的名称、性质、计算等方面的内容。

本文将对初中数学中立体几何的应用与综合计算进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、立体图形的名称和性质在立体几何中，我们常常会遇到各种各样的立体图形，比如球体、圆柱体、圆锥体、棱柱、棱锥等等。

这些立体图形都有自己的特殊性质，我们需要学会辨认和描述它们。

下面以常见的几种立体图形为例，进行介绍。

1. 球体球体是由一条线段绕一个固定点旋转一周而成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：球体的表面积公式为S=4πr²，其中r是球体的半径。

（2）体积公式：球体的体积公式为V=4/3πr³。

2. 圆柱体圆柱体是由一个矩形沿着某一边旋转一周而成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：圆柱体的表面积公式为S=2πrh+2πr²，其中r是底面半径，h是高度。

（2）体积公式：圆柱体的体积公式为V=πr²h。

3. 圆锥体圆锥体是由一个扇形沿着一条边旋转一周而成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：圆锥体的表面积公式为S=πrl+πr²，其中r是底面半径，l是斜高。

（2）体积公式：圆锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高度。

4. 棱柱棱柱是由若干个全等的多边形沿着共同的一条边排列组成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：棱柱的表面积公式为S=底面积+侧面积，其中底面积等于底面多边形的面积，侧面积等于所有侧面中的矩形面积之和。

（2）体积公式：棱柱的体积公式为V=底面积×高。

通过学习立体图形的名称和性质，我们可以更好地理解立体几何的相关概念，并能够正确地应用到实际问题中。

二、立体几何的应用问题在实际生活中，立体几何的应用非常广泛。

立体几何综合应用（教案）一. 复习目标1. 初步掌握“立几”中“探索性” “发散性”等命题的解法.2．能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系.能对图形进行分解、组合和变形.进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力.二. 课前预习1. 棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是 ( )（小孔面积对容积的影响忽略不计） A. 87 B. 1211 C. 4847 D. 56552．如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图, A 、B 、C 是展开图上的三点, 则正方体盒子中∠ABC 的值为( )A.180°B. 120°C.60°D. 45°3．图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的, 且BB 1＝DD 1已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角, 则这个多面体的体积( ) A. 26 B. 36 C. 46 D. 66 4．在四棱锥P －ABCD 中, O 为CD 上的动点, 四边形ABCD 满足条件 时,V P －AOB 恒为定值 ( 写上你认为正确的一个条件即可 )三. 典型例题例 1. 如图, 四棱锥S －ABC 中,AB ∥CD,CD ⊥平面SAD, 且21CD ＝SA ＝AD ＝SD ＝AB ＝1.(1) 当H 为SD 中点时, 求证: AH ∥平面SBC,平面SBC⊥平面SCD;(2)求点D到平面SBC的距离;(3) 求面SBC和面SAD所成的的二面角的大小.备课说明：（1）本题的四棱锥是非常规放置的，要注意分辨图形. （2）可以用常规方法解决点面距离及二面角大小, 也可以用面积或体积去解决.例2. 如图, 已知距形ABCD中, AB＝1, BC＝a (a＞0), PA⊥平面AC, 且PA＝1,(1)问BC边上是否存在Q, 使得PQ⊥QD,说明理由.(2)若BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,求这时二面角Q－PD－A的大小.备课说明：本题是一条探索性命题, 解决这类问题一般可以有以下两条思路：(1)找到满足条件的一点, 再进行证明. (2)把结论PQ⊥QD当作条件用, 去找Q点,把空间问题平面化.提高题：如图:在直三棱锥ABC－A1B1C1中, 底面是等腰直角三角形, ∠ACB＝90°,侧棱AA1＝2, D、E分别是CC1与A1B的中点, 点E在平面ABD 上射影是△ABD的重心.（1）求A1B与平面ABD所成角的大小;（2）求A1点到平面AED的距离.备课说明：本题主要是考查学生的空间想象能力, 如图形较复杂, 用传统的立体几何知识解决难度较大, 可以尝试用向量的知识去解决.四. 反馈练习1. 正方形ABCD, 沿对角线AC对折, 使D点在面ABC外, 这时DB 与面ABC所成的角一定不等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中, A A1＝AB＝AC,AB⊥AC, M是CC1的中点, Q是BC的中点, P在A1B1上, 则直线PQ与直线AM所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.与点P的位置有关3. 如图: 将边长为a的正方形剪去图中的阴影部分, 沿图中所画虚线折成一个正三棱锥, 这个正三棱锥与底面所成角的余弦值是.4. 用一块长3cm, 宽2cm的距形木块, 在二面角为90°的墙角处, 围出一个直三棱柱形谷仓, 在下面的四种设计中容积最大的是( )5．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中, E、F分别是棱AB与BC中点.(1)求二面角B－FB1－E的大小;(2)求点D到平面B1EF的距离;(3)在棱DD1上能否找到一点M, 使BM⊥平面EFB1, 若能, 试确定M的位置, 若不能, 请说明理由.答案：一. 课前预习1．B 2．C 3．D4．CD ∥AB 二. 典型例题例1 (1) 略 (2) 552 (3) arccos 55例2 (1) 略 (2 ) arctan 5 提高题：(1) arcsin 32(2) 26三. 反馈练习1．D 2． C 3．）（ 623 61 4．A5．（1）arctan25 （2）a (3) 能找到一点满足条件。

立体几何的综合应用一、知识梳理：线面平行的证法，线线角、线面角、二面角、点到平面的距离等的求法，用类比、转化、化归、构造等方法解题。

二、训练反馈1、如图，以长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是A 1－ABC 等 （注：只写出其中一个，并在图中画出相应的四面体）2、在平面几何中有：Rt △ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为h ，则222111hba=+。

类比这一结论，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=a ，PB=b ，PC=c ，此三棱锥P—ABC 的高为h ，则结论为_1/a 2 +1/b 2 +1/c 2 = 1/ h 23、如图一，在△ABC 中，AB ⊥AC 、AD ⊥BC ，D 是垂足，则BC BD AB ⋅=2（射影定理）。

类似有命题：三棱锥A －BCD (图二)中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ， O 为垂足，且O 在△BCD 内，则BCD BCO ABC S S S ∆∆∆⋅=2，上述命题是 （ A ）A ．真命题B ．假命题C ．增加“AB ⊥AC ”的条件才是真命题D ．增加“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”的条件才是真命题4、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥MNP 的图形的序号是 ①③ （写出所有符合要求的图形序号）5、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，A B C D AB D O 图一图二则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF 平行的直线（ A ） A ．有且仅有一条 B ．有二条 C ．有四条 D ．不存在6、如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，AB ≠AC ，D 、E 分别是BC 、 AB 的中点，AC>AD ，设PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面 角P —BC —A 的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是 （A ）A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．β<α<γD ．γ<β<α三、典型例题例1. 如图，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N.（1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EF ∠cos DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证：∵CC 1//BB 1⇒CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1平面PMN ⇒CC 1⊥MN ；（2）解：在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，有αcos 21111111111222A ACC A BCC A ACCB BCC A ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP ，在△PMN 中， PM 2=PN 2+MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ⇒PM 2CC 21=PN 2CC 21+MN 2CC 21－2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP ，ABD C EFA 1B 1C 1D 1由于,,111111CC MN S CC PN S A ACC B BCC⋅=⋅=111BB PM S A ABB⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCC A ACC B BCC A ABBS S S S S ⋅-+=.例2、如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成600的角， AA 1= 2．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点。

初三数学复习教案立体几何综合运用【教案】课程名称：初三数学复习教案主题：立体几何综合运用课时：1节课（40分钟）1. 教学目标：- 掌握与立体几何相关的基本概念和性质；- 理解立体几何在实际问题中的综合运用；- 提高解决立体几何问题的能力。

2. 教学重点：- 立体几何基本概念的掌握；- 理解立体几何的实际应用；- 运用数学知识解决立体几何问题。

3. 教学难点：- 运用立体几何知识解决复杂问题；- 分析实际问题并进行逻辑推理。

4. 教学准备：- 教师：准备黑板、粉笔、教具等；- 学生：准备笔、纸等。

5. 教学过程：（1）引入：通过提问和展示一些日常生活中的立体图形，激发学生对立体几何的兴趣，并引导学生思考立体几何的重要性和应用领域。

（2）知识讲解：a. 提醒学生回顾并掌握立体几何中的基本概念和性质，如平面、直线、角等；b. 介绍一些常见的立体图形，如长方体、正方体、圆柱体等，并讲解它们的性质和特点；c. 引导学生理解立体几何在实际问题中的应用，如建筑设计、工程测量等。

（3）练习演示：a. 准备一些与立体几何相关的练习题，要求学生根据已给出的信息进行问题分析和解答；b. 演示解答过程，详细讲解解题思路和方法。

（4）练习训练：分发练习册或试卷，让学生独立完成一些相关练习题，并进行课堂训练。

（5）拓展应用：通过一些实际问题的讨论和解答，引导学生将所学的立体几何知识应用到更复杂的问题中，提高解决问题的能力。

6. 课堂小结：总结本节课所学的内容，强调立体几何的重要性和实际应用，并鼓励学生继续深入学习和运用立体几何知识。

7. 作业布置：布置一些相关的作业题目，要求学生在课后完成，并在下节课交流讨论。

8. 教学反思：对本节课的教学进行总结，反思教学方法和内容的合理性，并做出改进。

以上为初三数学复习教案立体几何综合运用，希望能够帮助学生巩固立体几何的基本概念，理解立体几何在实际问题中的应用，并提高解决问题的能力。

高三数学第一轮复习教学案【课题】：立体几何综合应用教学目标：知识与技能：灵活运用立体几何的公理，定理证明有关的平行与垂直；学会计算有关几何体的面积与体积过程与方法：学教结合，以学生训练为主情感态度价值观：培养学生的空间相象能力及运算能力，体现数学源于生活的思想 教学重点：平行与垂直的证明教学难点：平行与垂直的证明及体积的计算 一：基础训练1. 已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ④若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b 其中正确命题的序号有________ ①④2. 给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 _____________必要不充分条件4. 三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________．3＋ 35．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB 、△PAC 、△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 26π cm 2．6.一个正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的表面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为_____________107. 一根细金属丝下端挂着一个半径为lcm 的金属球，将它浸没在底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是__31___cm8. 如图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图 中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为图乙DB CEEB CFFPC1A1CA BF二：典型例题例1．如图, ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝4a，BC＝CF＝2a，P为AB的中点.（Ⅰ）求证：平面PCF⊥平面PDE；（Ⅱ）求四面体PCEF的体积.（注：本题亦可利用16P C EF B C EF E BC F D BC FV V V V D----====例2．如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥点. 现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB中点.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥AD, PA⊥AB, AB⋂AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）证明：因为BC＝PB＝2CD, A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AE⊥ED.又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PA⋂AE＝A, 所以ED⊥平面PAE，而ED⊂平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE.（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G, 连结FG.由FH∥ED, ED⊂平面PED, 得FH∥平面PED；例3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1；（Ⅲ）如果AB＝1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由。