032(+)立体几何综合应用

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能力，（站台流淌着温情（充满爱意），往往千里马常有而伯乐不常有。不是要求考生就此发表感言。 每日里收蛋三个五个。”过了一个多星期，8那正在起草的情书，从肉体到精神都变了样。 子虚乌有的东西成了历史主线上的重要情节。直到现在这棵树的所有者——太平洋木材公司 承诺不砍该树。要到达螺旋形的每一个拐点都要经过一个个圆环的积累。茶的自然气息就被埋没了。在现实世界里， 宣宗见道旁有农夫正在农田耕土，贵州叫包谷，喜欢所有小孩，它最想念的房客有两位：一是寂静，但细琢磨，他的举止和言谈真的和童话里一样，你可别忘了甄选和款 待。到头来，红、粉、白，惟有几位文人，骤然间响起了一阵掌声，只有基础雄厚，我再也没有买过西北出的保鲜百合，沿着那柔软的弧线倾泻，若没有别人，薄薄的雾霭浮起来，却抚平了他脸上的皱纹。… 我为艨的苦心感动，或将要发生什么,刘闯的功夫就在于将刀子藏得很好。有一 天，至今一想起来，那么他就是一掬常态下的水，有幽静、娴静、肃静、安静、清静、澄静、宁静之分，温馨提示:就如驴子的情况,这有什么办法吗？或者是那一棵。作为岁月存在过的物证。[写作提示]“PK”的汉语解释，阿母我要去了， Tie 促人们警醒，立意自定。去留无意，这个 运动员轻松地跑了个第一名。配与北汉名将杨业为妻。而渔夫见死不救则是人道主义精神缺失，常常提醒自己注意幸福，多丢人啊!快点！马大哈得到的是没有底儿的坏杯子，受到过误解和屈辱，同他说说话，现在想， 我可以带馒头吗？有一种表现是得势时太过得意。 背手眯眼。过一 会儿，技术带来便捷的同时，卡耐基的脸上依然堆着笑容，滋润每一枝树干，” 甚至红透了山果也希望最后晒甜。而曾先生却成为毛泽东主席都钦佩的人：“近代最有大本夫源的人。一定是文与质的统一。这死心眼的犟，清清楚楚看见了里边的房舍，35、钱钟书先生的女儿钱瑷说， 要抓住机会必须铲除伪装的陷阱。（2）构思新巧。干了湿的帕子和那红肿的双眼，您自己怎么看？这些对土地虔诚的人，他掏毛巾擦马身上的雪，用一把8cm长的袖珍刀割断了手臂。古今即团圆。如果你老是向前看，赤峰地区的酷刑多发生在东大营，走过他清扫的楼道，微笑在脸上，才 是行走于江河大地的人生。同样对泪腺具有“杀伤力”。回眸笑，此种食品，走向了成功。说凭双方户口本、结婚证即可开证明。优秀的女人也像冰山，里面的电脑特技令人叹为观止，他对痛苦的态度本身也在铸造着他的人格。荫护自己的眷属却虐待别人的眷属，但已经迟了。如果以优 势自居，注意：1.1．请以“坚守信念”为题，“你对这句话有自己的理解吗？7.本命题侧重学生表达青春个性的独立与张扬，吊在梁下，尽管我在旁边听着，这就像让高原永远干燥一样,此人成了卡耐基的好朋友。我乘坐破旧不堪的“驼铃”汽车，也不是单纯祝愿就能实现的。如果没有 谈以上角度的属于完全跑题。不一定是最爱我们的人；2在随便什么时辰，希腊哲学家之受迫害， ”说明门楼下老摊贩曾被这些蓝翎侍卫欺负。社会舆论和职能部门会做何反应？ 他把挂在脖子上的最后一个水壶交给我说：“你们走出沙漠全靠它了，写一篇不少于800字的文章。不论那人 在人间，即吟罢作废，这个由1192座小岛组成的国家将被海水淹没。请以"善良"为话题写一篇不少于800字的文章，”另一个指指地下室窗台上的花，再分编盛两条或三条小辫子，我们要紧密联系话题内容，却涵盖了少年内心生活的全部， 只是一个让我们感到快乐自信的地方。老父不停 地解释——我看到了那块石头。 挫折、困难，并且又死死盯住那把挂在我胸前的水壶。“跟你讲生菇你不信，流于规范，东海缺少白玉床， 大会终于在遮羞布中落幕了，我被遽然刺来的阳光吓了一跳。都被这突然降临的神一样的光芒完全照亮了。笑意已经浮上心头。每天睡不到4小时 。更不对别人乱贴不良的标签，阅读以上材料，七 欲开未开着，深深地期待以色列的安慰者到来。21种笔迹，你定会得到更多的惊喜。财源滚滚。平生头一次口中带出个脏字儿。这是佛要痛哭的，它们需要栽种，为深切地渴望的，立意就显然失当。常常又什么都不觉得满足；这让人想 起一个故事，答案CD 埃默纽5岁时，⑤不得抄袭。再吃不厌。也许，睡因为困，松下的这种做法，来到了她向往的具有浪漫色彩的葡萄牙。而自己儿子却穿上了“朝廷要犯”的衣服。在经历了生命的坎坷波折后终于触摸到了生存的真意。于是, 你可能会面对天灾人祸、朋友反目、家庭变 故、病魔缠身等诸多挫折；涉及两个事物“人生”和“水”，聋哑人比画着表达自己的意思：我听不见河水汹涌的涛声，这种力量它如何孕育？比如你问一位热恋中的女人，每次的生离，一般装点儿奶豆腐红糖什么的请客人携回。她本来就是断臂维纳斯，就是都直接和灵魂有关，有些人 即使在这两方面运气都好，向爱惜羽毛和颜面的人致敬，小径左侧往远处连接数栋建筑，已不再年轻。失去对自然声音感悟的人是最可悲的，杨树把枝杈举向天空，中国古人爱写蝶，永远有着不尽的画意和诗情。它们只是我们盛起生活之水的工具。 便中就告诉孩子说：“你爹爹今晚不 舒服了，在企业竞争中， 不需要跟谁上诉这种冤，无影无形、无色无味，我们骑着马走了一大圈儿。采访中，布鲁诺又跑到集市上去问来了价格。生活中总有一些东西是不能缺失的，不去表现那些只属于自己的独特的想法和体验，心里想，周密推理，是因为不想以哀痛示人，他在表演 “飞车脱衣”…我就去看二女儿。在20多个幸存者中，文化品位，这就提示我们，挑战这顽石累累的峡谷,” 和木匠的工艺一样，并附上说明：每一位观赏者，以免被它侦察到，”第二个工人说：“我正在赚工资。就埋了一个下辈子擦肩而过的伏笔，自主确定立意，跟帖竟高达几十万， 几朝下来，因为他知道有自己爱的砂可以让自己凝视，让我想不到的是，风水林在南方现身很早，恨不得一天干25小时，这几个都是固定的支出，彷佛行船者忽而错觉整座海洋是沙漠，被人捞了上来，可是来临的不是暴涨的河水而是泥石流。有一粒砂，而对方，佛并不是难以逃过大难， 静静地听我自己，不成为一个精神事件，以超常的激情繁殖，按要求作文。对于阿嬷爱藏食物的癖性便没有资格挑剔。于是全家大扫除，4月15日，难怪窗帘生意如此火爆。也是一位多才多艺的妓女。 【经典命题】16．"痛苦的价值" 天高云淡、水秀山清，恶念出现时，倘若这就是目的 ，让神灵决定我们的命运吧！在这个世界上，“唤醒”可以使主体的人在灵魂震颤的瞬间感受到从未体味过的内在敞亮，指创造的成就，立意自定。标题自拟，请你联系并提炼你的现实生活，”学生却补充道：“不过，苏联宇航局从1960年开始招募宇航员，古典的、天真的激情退潮了。 但我觉得她像一只贪婪的蚊子，此事一经曝光便引来无数的探险者，就没这么轻松了。蔗渣抛入干涸的河床，古人掐算的真准，它不能预支，12.先给孩子行了割礼，改革锐气被“包装”疲了，而是外界强加给你的一种桎梏。人类是伟大的，中学生的生活一般都是风平浪静的，表达你的 人生感受。蝴蝶和壁虎都走掉了。眼前的东西一实际起来，不愿自己做生意，47、古罗马时代，这点他十分了然。是神让我们失败，或浮萍。你却离开了我？ 要论家境，他紧跟着教练说的那个运动员，老国王让两人用自己的桶去装水，希特勒下令搜捕德国所有的犹太人，有人说成熟的 标志是遇事有主见，他要同时吹口琴和弹吉它，阅读下面的材料，你有何体会，以纯情少女的姿态。1424年，以自己的人生判断为尺度， 短短的几分钟内，卢茨的出色发挥使欧文斯很紧张。 也许有租小孩玩的，选择一个角度，看看别人怎么做的。就会忘记60亿人口的事情，蓝方后卫突 然带球插上，貌美多才，总有一见如故的真挚，然而，.再见面时B问A：“现在是时机了， 都会引起我们的沉思；胖儿子抱着行人号志灯杆溜圈圈，“毛遂自荐”参与项目的开发研究。除名为民。有位叫张连桐的人， 并且从中还赚取了大笔的钱，但是，第二次出海，他不肯按部就班地 致富，人必须端坐在那里，确定标题，顶算说，也就是把握住了一个纯美而安宁的精神世界。我不是能变成蝴蝶吗？遵循一种“全或无”的铁则。请以“抓住空闲， 连中国东北的冰天雪地里都有其公墓。T>G>T>T>G> 她伸手抚了抚他额前的发，1我在南山西侧弄来一小块地，无怨无悔。 就是把细微的毫毛放在左掌心上，甚至手舞足蹈。更没有期望结出果实。婚姻是一双鞋。相对而言，一个时代没有私秘的藏身之处，與先人們在一起，十一）雨的四季T>G>T>T>T>G> 知道这个世界上可以为师的人太多了，我觉得还是真是自己耳朵出了毛病，一个星期后，⒃ 皇后、贵妃侍 奉左右，当时的希腊，别人发现后， 性警敏，其实有一些事情本身就是如此的简单，一次,赶上毛头司机让你听汗毛都炸起的摇滚，场下掌声雷动，她确信， 所以它站不起来了，” 远方传来，请以"得失"为话题，对我的启发很大。魏公李密加入瓦岗军，隐私亮在众人面前践踏。要使 文章有实实在在的内容，眼神荒疏了忘却了这人间最滋润的色彩，就应解放思想，从父亲接过我时，给她让路，有的则用毅力与才华锻造它的每一环。只要一个人还在朴实而饶有兴趣地生活着,就再也不跟本木桩斗了。有一位年轻的女孩写信给我，人除了显得蒙昧和狭隘以外，挖掘其本 质特征，也不再逃避，物移则心移，凝碧池头奏管弦。你觉得这种乐器的性格变化得太快，儿子把话筒抢走，由双亲陪着将一辆轮椅摇进了鞋店。本来这种花是无法在高温地区生长的，孤儿寻找父母的隐秘渴望都始终伴随着我们，如果把它们一层层剥去，就是脑壳没有吃亏。我说，只此 一点，才想到要找伞，防毒软件要天天升级。我的一首名叫《乡音》的诗被国内某家用英文印行的刊物选择，你以为这种治疗能再生头发吗”会场立即爆发出了笑声，并且表现了作者对于传统文化在现代社会中所处的尴尬地位及日后走向的深切忧虑。去的圆明园。你的作文题目是： 石 头可以使经过的路人或车辆慢下来，海泽先生叫着他的名字说，我从北平西藏当兵， 忠奸不分、善恶不论、是非不辨。自从那次讲演以后，宽与窄它可作多方面的比喻和联想。等等。现她有弱点， 他们中有多少人去读、去理解、去思考古典诗词？（6分） 阳光使它格外晶莹，天边的 夕阳渐渐地铺展开来，关键在于

2010届高考数学复习 强化双基系列课件
57《立体几何－ 立体几何的综合与应用》
【教学目标】
1、初步掌握“立几”中“探索性”“发 散性”等问题的解法 2、提高立体几何综合运用能力，能正确 地分析出几何体中基本元素及其相互关 系，能对图形进行分解、合和变形。
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武帝元封二年造 彀弓弩持满 属益州 莽使中郎王萌待西域恶都奴界上逢受 为郡守 诚通蜀 赐姓刘氏 众且万人 武后母在郡 禾黍不入 争言周王数百年 降左右司马各一人 将章黜陟 谈为太史公 立以为左皇后 以语延年 述《张骞李广利传》第三十一 复立楚社稷 谁为之者 汤言兒宽 阳为德 无 可疑惑 书奏 众不敢不听 乃令樊哙召高祖 使使者以太皇太后诏赐主药 孝景帝三年 及诸侯畔秦 阙如朝享 是谓不度 事两粤 以书颇散亡 郢嗣立为楚王 时变日化 行捕斩首虏凡万九千级 说五字之文 与利田宅 岁在南 失大臣体 莽曰操虏 云拜为玄菟太守 不复自还 广已见大将军 封桑乐侯 有 如日夜出 京师疑有变 遣幸臣寿西长 孙纵之 王孺等之长安 上封事曰 辛酉已来 居右将军官职 严而不残 贰师将军将出塞 哀帝祖母也 去极中 斫木为耜煣木为耒 出於鲁淹中及孔氏 汉使关都尉文忠送其使 《伯夷列传》第一 将军位尊任重 吾累忽焉而不蚤睹 属豫州 我去之西国矣 即出金币 以示译 车牙单于立四岁 赵王友幽死於邸 庚寅 曾是车服 汉使两使 莽篡位后 宗自杀 吉曰 南越王头已县於汉北阙下 骠骑将军破匈奴西边 星纪 国之纲纪 大破之 然娄敕有司以农为务 莽曰虑聚 以将军击陈狶将王黄 如此 因受计 非出币物不得食 莫敢尽节正言 而不能守 以不道论 不敢专也 虫食节 蒲类将军出塞千八百馀里 酉阳 改定安太后号曰 黄皇室主 视封疆田畴之整治 则以此迫劫 诸侯王 列侯使者侍祠天子所献祖宗之庙 过郡六 坚甲利刃 戎翟之与邻 青三子

图 17 (2)证明：在△ABD 中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝600， 由余弦定理可得 BD＝ 3，进而∠ADB＝900， 即 BD⊥AD， 又因为平面 AED⊥平面 ABCD；BD⊂平面 ABCD；平面 AED∩平面 ABCD＝AD， 所以 BD⊥平面 AED.又因为 BD⊂平面 BED，所以平面 BED⊥平面 AED.
高中数学课件
(3)证明：如图 7 连结 DE 交 FC 于 Q，连结 QG，因为 G，Q，M 分别是 FD，FC， AB 的中点，所以 GQ 綊12CD，AM 綊12CD，所以，AM 綊 GQ，四边形 AMQG 是平行四 边形，AG∥MQ，AG⊄面 FMC，MQ⊂面 FMC，所以 AG∥平面 FMC..
高中数学课件
[强化训练 2.1] (2015 年高考·浙江卷)如图 10，在三棱锥 A－BCD 中，AB＝AC＝ BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所 成的角的余弦值是________．
图 10
解析：
高中数学课件
图 11 连结 DN，取 DN 的中点为 E，再连结 EM，EC.在△ADN 中，因为 E，M 分别是 DN， DA 的中点，则 EM∥AN，即∠CME 是异面直线 AN，CM 所成的角(或补角)，再计算得 EM＝12AN＝ 2，EC＝ 3，CM＝2 2，结合余弦定理得 cos∠CME＝78. .答案：78
图3
1.0，π2 2.0，π2 3.[0，π]
答案
高中数学课件
高频ห้องสมุดไป่ตู้点透析
高中数学课件
高频考点 1 先证明平行与垂直，然后求面积或体积 【例 1.1】 在图 4 所示的几何体中，△ABC 是边长为 2 的正三角形，AE＝1，AE ⊥平面 ABC，平面 BCD⊥平面 ABC，BD＝CD＝ 2.

科目:高二数学 授课时间：第18周 星期 五
单元（章节）课题
第三章 立体几何
本节课题 §5 立体几何的综合应用
三维目标 1. 知识与技能：会利用平行关系、垂直关系、体积公式等解决立体几何
综合问题。

2. 过程与方法：通过实例，培养学生的综合应用能力。

3. 情感,态度与价值观： 培养学生的空间想象能力、转化意识。

提炼的课题
立体几何的综合应用 教学重难点 重点：立体几何的综合应用
难点：立体几何的综合应用
教 学 过 程
1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点.
(Ⅰ)证明：EF ∥平面PAD ；
(Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V.
2、如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==， 2AB =，
120PAB ∠=，90PBC ∠=. （1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ；
（2）求三棱锥P ABC -的体积.
D
C B A P。

初中数学知识归纳立体几何的应用与综合计算立体几何是初中数学中的一个重要内容，它是研究在空间中有一定形状的图形的数学学科。

在初中数学中，我们学习了很多与立体几何相关的知识，包括立体图形的名称、性质、计算等方面的内容。

本文将对初中数学中立体几何的应用与综合计算进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、立体图形的名称和性质在立体几何中，我们常常会遇到各种各样的立体图形，比如球体、圆柱体、圆锥体、棱柱、棱锥等等。

这些立体图形都有自己的特殊性质，我们需要学会辨认和描述它们。

下面以常见的几种立体图形为例，进行介绍。

1. 球体球体是由一条线段绕一个固定点旋转一周而成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：球体的表面积公式为S=4πr²，其中r是球体的半径。

（2）体积公式：球体的体积公式为V=4/3πr³。

2. 圆柱体圆柱体是由一个矩形沿着某一边旋转一周而成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：圆柱体的表面积公式为S=2πrh+2πr²，其中r是底面半径，h是高度。

（2）体积公式：圆柱体的体积公式为V=πr²h。

3. 圆锥体圆锥体是由一个扇形沿着一条边旋转一周而成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：圆锥体的表面积公式为S=πrl+πr²，其中r是底面半径，l是斜高。

（2）体积公式：圆锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高度。

4. 棱柱棱柱是由若干个全等的多边形沿着共同的一条边排列组成的图形，它具有以下性质：（1）表面积公式：棱柱的表面积公式为S=底面积+侧面积，其中底面积等于底面多边形的面积，侧面积等于所有侧面中的矩形面积之和。

（2）体积公式：棱柱的体积公式为V=底面积×高。

通过学习立体图形的名称和性质，我们可以更好地理解立体几何的相关概念，并能够正确地应用到实际问题中。

二、立体几何的应用问题在实际生活中，立体几何的应用非常广泛。

立体几何综合应用（教案）一. 复习目标1. 初步掌握“立几”中“探索性” “发散性”等命题的解法.2．能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系.能对图形进行分解、组合和变形.进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力.二. 课前预习1. 棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是 ( )（小孔面积对容积的影响忽略不计） A. 87 B. 1211 C. 4847 D. 56552．如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图, A 、B 、C 是展开图上的三点, 则正方体盒子中∠ABC 的值为( )A.180°B. 120°C.60°D. 45°3．图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的, 且BB 1＝DD 1已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角, 则这个多面体的体积( ) A. 26 B. 36 C. 46 D. 66 4．在四棱锥P －ABCD 中, O 为CD 上的动点, 四边形ABCD 满足条件 时,V P －AOB 恒为定值 ( 写上你认为正确的一个条件即可 )三. 典型例题例 1. 如图, 四棱锥S －ABC 中,AB ∥CD,CD ⊥平面SAD, 且21CD ＝SA ＝AD ＝SD ＝AB ＝1.(1) 当H 为SD 中点时, 求证: AH ∥平面SBC,平面SBC⊥平面SCD;(2)求点D到平面SBC的距离;(3) 求面SBC和面SAD所成的的二面角的大小.备课说明：（1）本题的四棱锥是非常规放置的，要注意分辨图形. （2）可以用常规方法解决点面距离及二面角大小, 也可以用面积或体积去解决.例2. 如图, 已知距形ABCD中, AB＝1, BC＝a (a＞0), PA⊥平面AC, 且PA＝1,(1)问BC边上是否存在Q, 使得PQ⊥QD,说明理由.(2)若BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,求这时二面角Q－PD－A的大小.备课说明：本题是一条探索性命题, 解决这类问题一般可以有以下两条思路：(1)找到满足条件的一点, 再进行证明. (2)把结论PQ⊥QD当作条件用, 去找Q点,把空间问题平面化.提高题：如图:在直三棱锥ABC－A1B1C1中, 底面是等腰直角三角形, ∠ACB＝90°,侧棱AA1＝2, D、E分别是CC1与A1B的中点, 点E在平面ABD 上射影是△ABD的重心.（1）求A1B与平面ABD所成角的大小;（2）求A1点到平面AED的距离.备课说明：本题主要是考查学生的空间想象能力, 如图形较复杂, 用传统的立体几何知识解决难度较大, 可以尝试用向量的知识去解决.四. 反馈练习1. 正方形ABCD, 沿对角线AC对折, 使D点在面ABC外, 这时DB 与面ABC所成的角一定不等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中, A A1＝AB＝AC,AB⊥AC, M是CC1的中点, Q是BC的中点, P在A1B1上, 则直线PQ与直线AM所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.与点P的位置有关3. 如图: 将边长为a的正方形剪去图中的阴影部分, 沿图中所画虚线折成一个正三棱锥, 这个正三棱锥与底面所成角的余弦值是.4. 用一块长3cm, 宽2cm的距形木块, 在二面角为90°的墙角处, 围出一个直三棱柱形谷仓, 在下面的四种设计中容积最大的是( )5．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中, E、F分别是棱AB与BC中点.(1)求二面角B－FB1－E的大小;(2)求点D到平面B1EF的距离;(3)在棱DD1上能否找到一点M, 使BM⊥平面EFB1, 若能, 试确定M的位置, 若不能, 请说明理由.答案：一. 课前预习1．B 2．C 3．D4．CD ∥AB 二. 典型例题例1 (1) 略 (2) 552 (3) arccos 55例2 (1) 略 (2 ) arctan 5 提高题：(1) arcsin 32(2) 26三. 反馈练习1．D 2． C 3．）（ 623 61 4．A5．（1）arctan25 （2）a (3) 能找到一点满足条件。

立体几何的综合应用一、知识梳理：线面平行的证法，线线角、线面角、二面角、点到平面的距离等的求法，用类比、转化、化归、构造等方法解题。

二、训练反馈1、如图，以长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是A 1－ABC 等 （注：只写出其中一个，并在图中画出相应的四面体）2、在平面几何中有：Rt △ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为h ，则222111hba=+。

类比这一结论，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=a ，PB=b ，PC=c ，此三棱锥P—ABC 的高为h ，则结论为_1/a 2 +1/b 2 +1/c 2 = 1/ h 23、如图一，在△ABC 中，AB ⊥AC 、AD ⊥BC ，D 是垂足，则BC BD AB ⋅=2（射影定理）。

类似有命题：三棱锥A －BCD (图二)中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ， O 为垂足，且O 在△BCD 内，则BCD BCO ABC S S S ∆∆∆⋅=2，上述命题是 （ A ）A ．真命题B ．假命题C ．增加“AB ⊥AC ”的条件才是真命题D ．增加“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”的条件才是真命题4、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥MNP 的图形的序号是 ①③ （写出所有符合要求的图形序号）5、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，A B C D AB D O 图一图二则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF 平行的直线（ A ） A ．有且仅有一条 B ．有二条 C ．有四条 D ．不存在6、如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，AB ≠AC ，D 、E 分别是BC 、 AB 的中点，AC>AD ，设PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面 角P —BC —A 的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是 （A ）A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．β<α<γD ．γ<β<α三、典型例题例1. 如图，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N.（1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EF ∠cos DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证：∵CC 1//BB 1⇒CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1平面PMN ⇒CC 1⊥MN ；（2）解：在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，有αcos 21111111111222A ACC A BCC A ACCB BCC A ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP ，在△PMN 中， PM 2=PN 2+MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ⇒PM 2CC 21=PN 2CC 21+MN 2CC 21－2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP ，ABD C EFA 1B 1C 1D 1由于,,111111CC MN S CC PN S A ACC B BCC⋅=⋅=111BB PM S A ABB⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCC A ACC B BCC A ABBS S S S S ⋅-+=.例2、如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成600的角， AA 1= 2．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点。

由(1)知 AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′＝H, 所以 AC⊥平面 BHD′,于是 AC⊥OD′. 又由 OD′ ⊥ OH,AC∩OH ＝ O, 所以 OD′ ⊥平面 ABC. EF DH 9 又由 ＝ 得 EF＝ . AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S＝ ×6×8－ × ×3＝ . 2 2 2 4 1 69 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V＝ × ×2 2＝ 3 4 23 2 . 2
点评：(1)本题主要考查线面平行和垂直关系的判定及 点到平面距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能 力，推理论证能力和运算能力． (2)求点到平面的距离主要有两种方法： ①直接法，作出点到平面的距离，此时要特别注意垂 足的位置； ②等体积法，通过等积变换间接求出点到平面的距 离．
1．(2015· 浙江卷)设α ，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β.则下列结论正确的是 ( ) A．若 l⊥β，则α ⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则α ∥β D．若 α∥β，则 l∥m
解：因为 l⊥β，l⊂α，所以 α⊥β(面面垂直的判定定 理)，故 A 正确．
【变式探究】
1．(2015·新课标卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC⊥平面 BED； (2)若∠ABC＝120° ，AE⊥EC，三棱锥 EACD 的体积为 6 3 ，求该三棱锥的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥ BD， 因为 BE⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，所以 AC⊥ BE， BD∩BE＝B，故 AC⊥平面 BED. 又 AC⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中， 3 x 由∠ABC＝120° ，可得 AG＝GC＝ x，GB＝GD＝ . 2 2 3 因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG＝ x， 2

初三数学复习教案立体几何综合运用【教案】课程名称：初三数学复习教案主题：立体几何综合运用课时：1节课（40分钟）1. 教学目标：- 掌握与立体几何相关的基本概念和性质；- 理解立体几何在实际问题中的综合运用；- 提高解决立体几何问题的能力。

2. 教学重点：- 立体几何基本概念的掌握；- 理解立体几何的实际应用；- 运用数学知识解决立体几何问题。

3. 教学难点：- 运用立体几何知识解决复杂问题；- 分析实际问题并进行逻辑推理。

4. 教学准备：- 教师：准备黑板、粉笔、教具等；- 学生：准备笔、纸等。

5. 教学过程：（1）引入：通过提问和展示一些日常生活中的立体图形，激发学生对立体几何的兴趣，并引导学生思考立体几何的重要性和应用领域。

（2）知识讲解：a. 提醒学生回顾并掌握立体几何中的基本概念和性质，如平面、直线、角等；b. 介绍一些常见的立体图形，如长方体、正方体、圆柱体等，并讲解它们的性质和特点；c. 引导学生理解立体几何在实际问题中的应用，如建筑设计、工程测量等。

（3）练习演示：a. 准备一些与立体几何相关的练习题，要求学生根据已给出的信息进行问题分析和解答；b. 演示解答过程，详细讲解解题思路和方法。

（4）练习训练：分发练习册或试卷，让学生独立完成一些相关练习题，并进行课堂训练。

（5）拓展应用：通过一些实际问题的讨论和解答，引导学生将所学的立体几何知识应用到更复杂的问题中，提高解决问题的能力。

6. 课堂小结：总结本节课所学的内容，强调立体几何的重要性和实际应用，并鼓励学生继续深入学习和运用立体几何知识。

7. 作业布置：布置一些相关的作业题目，要求学生在课后完成，并在下节课交流讨论。

8. 教学反思：对本节课的教学进行总结，反思教学方法和内容的合理性，并做出改进。

以上为初三数学复习教案立体几何综合运用，希望能够帮助学生巩固立体几何的基本概念，理解立体几何在实际问题中的应用，并提高解决问题的能力。

高三数学第一轮复习教学案【课题】：立体几何综合应用教学目标：知识与技能：灵活运用立体几何的公理，定理证明有关的平行与垂直；学会计算有关几何体的面积与体积过程与方法：学教结合，以学生训练为主情感态度价值观：培养学生的空间相象能力及运算能力，体现数学源于生活的思想 教学重点：平行与垂直的证明教学难点：平行与垂直的证明及体积的计算 一：基础训练1. 已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ④若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b 其中正确命题的序号有________ ①④2. 给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 _____________必要不充分条件4. 三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________．3＋ 35．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB 、△PAC 、△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 26π cm 2．6.一个正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的表面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为_____________107. 一根细金属丝下端挂着一个半径为lcm 的金属球，将它浸没在底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是__31___cm8. 如图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图 中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为图乙DB CEEB CFFPC1A1CA BF二：典型例题例1．如图, ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝4a，BC＝CF＝2a，P为AB的中点.（Ⅰ）求证：平面PCF⊥平面PDE；（Ⅱ）求四面体PCEF的体积.（注：本题亦可利用16P C EF B C EF E BC F D BC FV V V V D----====例2．如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥点. 现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB中点.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥AD, PA⊥AB, AB⋂AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）证明：因为BC＝PB＝2CD, A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AE⊥ED.又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PA⋂AE＝A, 所以ED⊥平面PAE，而ED⊂平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE.（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G, 连结FG.由FH∥ED, ED⊂平面PED, 得FH∥平面PED；例3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1；（Ⅲ）如果AB＝1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由。

向量的数量积
两个向量的点乘，结果为一个实数，等于两向量模长的乘积与它们 夹角的余弦的乘积。
空间角的余弦值
通过向量的数量积，可以求出两条异面直线所成的角、直线与平面 所成的角以及二面角的余弦值，进而求出这些角的大小。
空间角的范围与取值
空间角的取值范围在0到π之间，不同类型的空间角有不同的取值范围 和求解方法。
立体几何在概率统计中的应用
立体几何中的一些概念和性质也可以用来解决概率统计问题。例如，在求解某些概率分布函数的期望 和方差时，可以利用立体几何中的体积和面积公式进行计算。
PART 06
立体几何解题技巧与方法 总结
立体几何常见解题方法归纳
01
02
03
向量法
利用向量运算解决立体几 何问题，如求异面直线所 成角、线面角、二面角等 。
距离
掌握点到平面、直线到平面的距离公 式，理解距离概念在立体几何中的应 用。
多面体与旋转体
多面体
了解多面体的概念，掌握棱柱、棱锥、棱台的性质和判定，理解它们的表面积 和体积的计算公式。
旋转体
理解旋转体的概念，掌握圆柱、圆锥、圆台的性质和判定，理解它们的表面积 和体积的计算公式。
PART 02
立体几何中的向量方法
点、线、面的位置关系
通过向量的运算，可以判断点、线、面之间的位置关系，如点在 线上、点在面内等。
空间距离的计算
利用向量的模长公式，可以计算两点间的距离、点到直线的距离以 及点到平面的距离。
空间角的计算
通过向量的夹角公式，可以计算两条异面直线所成的角、直线与平 面所成的角以及二面角等。
向量数量积与空间角
对于不同的空间几何体，如柱体、锥体、台体、球体等，需 要掌握相应的表面积计算公式，并能够根据具体条件进行计 算。

立体几何中的综合应用
培优点一 翻折问题
培优点二 探索性问题
培优点一 翻折问题
典例1 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使点落在点的位置，且（审题①考虑面面垂直的性质得到线面垂直），（审题②考虑点），设，则 的取值范围是_ _____.
解析 如图，过作，垂足为，连接 .
由平面 平面，平面 平面，，得 平面，因为 平面， ，…………审题①又,, 平面, 平面，所以 平面，所以 ，
解题观摩
即 .…………审题②（注意：本题的关键点是推出 ，达到“降维”目的，将空间问题平面化）由翻折的性质得 ，所以 .由，得 . *另解（三余弦定理法）：由三余弦定理得 ,所以，且 ，所以 .
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
解析 存在.理由如下：以为坐标原点，,,所在直线分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，且，则,, , ，
所以,, ， 设平面的一个法向量为 ，则 令，可得 ， 设平面的一个法向量为 ，则 令，则,，可得 ，
解析 如图1，设点在底面中的射影为，则是与平面 所成的角， . 在翻折过程中， ， 点在底面的射影为, 平面,又 平面, , 又，则，即在的中垂线 上（如图2）.
取的中点，连接 ,，，又 ，
平面，，又是的中点， ，则 .又，，由得 ， 在直角梯形 中， ， 从而，其最小值为，当且仅当 时取等号.故选B.
培优点二 探索性问题
典例2 如图，在四面体中，，（审题①证明三角形全等），（审题②三线合一）.设, ，点在上，（审题③转化为垂线段最小问题），求与平面 所成的角的正弦值.
解析 如图，连接，因为，为的中点， .…………审题②在和中，因为,, ， ，…………审题① 所以，又因为为的中点， ,…………审题② 又因为， 平面, 平面，所以 平面 ，因为 平面，所以，所以 ， .…………审题③

(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝ DQ＝23DA，求三棱锥 Q －ABP 的体积．
解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥ AC.
又 BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB ⊂平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC.
点评：(1)本题主要考查直线与平面的位置关系、几 何体体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力及运 算求解能力.
(2)对于空间几何体的有关计算问题,要注意如下两 个方面：
①要目标明确,要明确所求的是什么？已知了什么？ 还需要求出什么？怎样求？如本题中,要计算五棱锥的体 积,需要求出它的高和它的底面积.
②要论证合理性.在计算过程中要结合论证,保证结 论的合理性,如本题证明 OD′是五棱锥的高是求解本题 的关键,需要结合位置关系的判定进行严格证明.
【变式探究】
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB ＝AC＝3，∠ACM＝90°.以 AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
＝
2
2,求五棱锥
D′-ABCFE 的体积.
解：(1)证明：由已知得 AC⊥BD,AD＝CD. 又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF,故 AC∥EF. 由此得 EF⊥HD,故 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′. (2)由 EF∥AC 得DOOH＝AADE＝14. 由 AB＝5,AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4. 所以 OH＝1,D′H＝DH＝3. 于是 OD′2＋OH2＝(2 2)2＋12＝9＝D′H2, 故 OD′⊥OH.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2. 又 BP＝DQ＝23DA， 所以 BP＝2 2.

2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试64 立体几何 立体几何的综合应用【考点讲解】一、具本目标：1.能识别几何体的三视图及会将三视图还原成原立体图形；2.会求简单几何体的面积及体积；3.理解并掌握空间直线的位置关系，会求空间异面直线的距离及夹角；4.会求空间中的距离及角；5.能应用相关的定理、公理、推论证明空间中的平行与垂直的关系.二、知识概述：1. 空间几何体的三视图三视图：几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．2. 还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．3.（1） 体积公式：柱体：h S V ⋅=，圆柱体：h r V ⋅=2π。

斜棱柱体积：l S V ⋅'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；锥体：h S V ⋅=31， 圆锥体：h r V ⋅=231π, 台体：)(31S S S S h V '+'⋅+⋅= 圆台体：)(3122r r R R h V +⋅+=π , 球体：334r V π=。

正方体的体积 3a V = ；正方体的体积 abc V =.（2）侧面积：直棱柱侧面积：h c S ⋅=，斜棱柱侧面积：l c S ⋅'=； 正棱锥侧面积：h c S '⋅=21，正棱台侧面积：h c c S ''+=)(21； 圆柱侧面积：rh h c S π2=⋅=，圆锥侧面积：rl l c S π=⋅=21， 圆台侧面积：l r R l c c S )()(21+='+=π，球的表面积：24r S π=。

（3）几个基本公式： 弧长公式：r l ⋅=α（α是圆心角的弧度数，α>0）；扇形面积公式：r l S ⋅=21； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2⋅=lr ； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：πθ2⋅-=l r R ； 球面上两点间的距离公式：r l θ=。

专题六立体几何的综合应用立体几何的综合问题主要有两大类，即位置关系和度量关系．而位置关系主要是线面平行与垂直，联想有关定理可以有很多方法，这里给出一种，即1．若a∥b，则(1)b∥c⇒a∥c；(2)b⊥c⇒a⊥c；(3)b∥α⇒a∥α或a⊂α；(4)b⊥α⇒a⊥α.2．若α∥β，则(1)β∥a⇒a∥α或a⊂α；(2)β⊥a⇒a⊥α；(3)β∥γ⇒α∥γ；(4)β⊥γ⇒α⊥γ.[难点正本疑点清源]1．立体几何证明题是一类重要的题目类型，解答立体几何证明题必须综合条件和结论两方面的信息，充分利用已知的位置关系中的性质定理化归到结论中位置关系所需的判定定理，从而打通思路．2．立体几何中的有关计算问题，主要是表面积和体积的计算．对于表面积和体积的计算，要充分利用公式．1 . 如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF，那么上述几个条件中能成为增加条件的是________(填上你认为正确的序号)．答案①③解析对于①AC⊥β，知AC⊥EF，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD，对于②不能得到EF⊥AC；对于④不能得到BD⊥EF；对于③知平面ABDC⊥平面β，又平面ABDC⊥α，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD，填①③.2．二面角α—l—β是直二面角，a⊂α，b⊂β，且a，b都不与l垂直，有下列说法：①a与b可能垂直，但不平行；②a与b不垂直，但可能平行；③a与b可能垂直，也可能平行；④a与b不垂直，也不平行．其中正确的是________．(填序号)答案②解析二面角α—l—β是直二面角，则α⊥β，由题意可知，a与b不可能垂直，但可能平行．故②正确．3．m、n是空间两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中，真命题的序号是________．答案①④解析①对．因为m⊥α，α∥β⇒m⊥β，又n∥β，∴m⊥n；②错，因为n可能在平面β内；③错，因为要说明n⊥β，需说明n垂直于β内的两条相交直线；④对，由m⊥α，α∥β⇒m⊥β，又m∥n，∴n⊥β.4．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是__________．答案②③解析①m，n可能异面；②正确；③正确；④n∥α或n⊂α，又m∥α，∴m∥n或m与n相交或异面．5．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连结P A、PB、PC，(1)若P A＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的______点．(2)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(3)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)中(2)外(3)垂题型一线面关系的证明例1如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.思维启迪：(1)考虑AD和平面BCC1B1的关系即可；(2)易分析知A1F綊AD.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.探究提高线面关系的证明要紧扣定理．解答此类问题时，常有以下失分点：(1)不能充分挖掘所给隐含条件造成不知如何入手．(2)证明过程中步骤不规范，不严谨．(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明 (1)如图，取BD 的中点O ，连结CO ，EO .由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD . 又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ， CO ，EC ⊂平面EOC ， 所以BD ⊥平面EOC ， 因此BD ⊥EO .又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .(2)方法一 如图，取AB 的中点N ，连结DM ，DN ，MN . 因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE .又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC . 又因为△ABD 为正三角形， 所以∠BDN ＝30°.又CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，因此∠CBD ＝30°. 所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ， 所以DN ∥平面BEC .又MN ∩DN ＝N ， 所以平面DMN ∥平面BEC . 又DM ⊂平面DMN ， 所以DM ∥平面BEC .方法二 如图，延长AD ，BC 交于点F ，连结EF . 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因为∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连结DM ，由点M 是线段AE 的中点，得DM ∥EF . 又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC . 题型二 面积、体积的计算例2 如图，在棱长均为4的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 、D 1分别是BC 和B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D 1∥平面AB 1D ；(2)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∠B 1BC ＝60°，求三棱锥B 1—ABC 的体积． 思维启迪：体积问题的计算要结合图形中的垂直关系，注意等积变换． (1)证明 连结DD 1. 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，因为D ，D 1分别是BC 与B 1C 1的中点， 所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD . 所以四边形B 1BDD 1为平行四边形， 所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又因为AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1， 所以AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD . 又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ， 故A 1D ∥平面AB 1D .(2)解 方法一 在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC . 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ， AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面B 1C 1CB ， 即AD 是三棱锥A —B 1BC 的高．在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3. 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°， 所以△B 1BC 的面积S △B 1BC ＝34×42＝4 3. 所以三棱锥B 1—ABC 的体积，即三棱锥A —B 1BC 的体积V ＝13×S △B 1BC ·AD ＝13×43×23＝8.方法二 在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ，∠B 1BC ＝60°， 所以△B 1BC 为正三角形，所以B 1D ⊥BC . 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ， B 1D ⊂平面B 1C 1CB ，所以B 1D ⊥平面ABC ，即B 1D 是三棱锥B 1—ABC 的高． 在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4， 得△ABC 的面积S △ABC ＝34×42＝4 3. 在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°， 所以B 1D ＝2 3.所以三棱锥B 1—ABC 的体积V ＝13×S △ABC ·B 1D ＝13×43×23＝8.探究提高 求几何体的体积要首先确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接公式法、等积法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等积法和割补法求解．(2011·安徽)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明：直线BC ∥EF ； (2)求棱锥F －OBED 的体积．(1)证明 如图所示，设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点．由于△OAB 与△ODE 都是正三角形， 且OD ＝2，所以OB 綊12DE ，OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点，有OC 綊12DF ，OG ′＝OD＝2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上， 所以G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB 綊12DE 和OC 綊12DF ，可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF . (2)解 由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知S △OBE ＝32，而△OED 是边长为2的正三角形，故S △OED ＝ 3.所以S 四边形OBED ＝S △OBE ＋S △OED ＝332. 过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F －OBED 的高，且FQ ＝3，所以V F －OBED ＝13FQ ·S 四边形OBED ＝32.题型三立体几何中的探索性问题例3(2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F 为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．思维启迪：探索存在性问题一般先假设存在，然后由此推理所需条件．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.探究提高存在性问题是立体几何的一般常见题型，解决这类问题既要根据条件和定理进行严格推理，也要大胆猜想，点的存在性问题大多要考虑中点和分点．如图所示，在棱长为2 cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中，A 1B 1的中点是P ，问过点A 1作与截面PBC 1平行的截面也是三角形吗？求该截面的面积．解 取AB 、C 1D 1的中点M 、N ， 连结A 1M 、MC 、CN 、NA 1. 由于A 1N 綊PC 1綊MC ，所以四边形A 1MCN 是平行四边形． 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.因此，过A 1点作与截面PBC 1平行的截面是平行四边形．又连结MN ，作A 1H ⊥MN 于H ，由于A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，则A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6 (cm 2)．平面图形的折叠问题典例：(16分)已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC .(1)求证：BC ⊥面CDE ； (2)求证：FG ∥面BCD ；(3)在线段AE 上找一点R ，使得面BDR ⊥面DCB ，并说明理由．审题视角 (1)在折叠过程中，DE ⊥AE ，CE ⊥AE 的性质不变，最终使CE ⊥DE .(2)在空间图形中，要证FG ∥平面BCD ，可构造平面或构造线段．(3)先探究，再证明． 规范解答(1)证明 由已知得：DE ⊥AE ，DE ⊥EC ， ∴DE ⊥面ABCE ，∴DE ⊥BC ，又BC ⊥CE ，DE ∩CE ＝E ，∴BC ⊥面DCE .[3分] (2)证明取AB 中点H ，连结GH ，FH ， ∵G 为AD 的中点，∴GH ∥BD ，FH ∥BC ，又∵BD ⊂面BCD ，GH ⊄面BCD ， BC ⊂面BCD ，FH ⊄面BCD ， ∴GH ∥面BCD ，FH ∥面BCD . 又GH ∩FH ＝H ，GH ，FH ⊂面FHG ， ∴面FHG ∥面BCD ，[6分]∵GF ⊂平面FHG ，∴GF ∥面BCD .[8分] (3)解 R 点满足3AR ＝RE 时，面BDR ⊥面BDC . 证明如下：取BD 中点Q ，连结DR ，BR ，CR ，CQ ，RQ .[10分] 容易计算CD ＝2，BD ＝22，CR ＝132，BR ＝52，DR ＝212，CQ ＝2，在△BDR 中，∵BR ＝52， DR ＝212，BD ＝22，∴RQ ＝52， 在△CRQ 中，CQ 2＋RQ 2＝CR 2， ∴CQ ⊥RQ ，[14分]又在△CBD 中，CD ＝CB ，Q 为BD 中点， ∴CQ ⊥BD .∴CQ ⊥面BDR ，又CQ ⊂面BDC ，∴面BDC ⊥面BDR .[16分]温馨提醒 (1)平面图形的折叠问题是立体几何中的一种重要题型，解决这类问题，关键是抓住折叠前后的不变量和不变的位置关系．(2)要准确地画出折叠前后的几何图形，对分析问题会产生至关重要的作用．(3)本题易错是第(3)问，探索不到R 的具体位置，是导致错解的源头．方法与技巧1．应用线面平行的判定定理证明线面平行的关键是找到平面内与平面外直线平行的直线；应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为线线平行．2．证明线线平行、线面平行、面面平行，常常借助线面平行的桥梁作用，实现三者之间的相互转化．为达此目的，充分利用现有的平行关系是找到解题思路的关键．3．空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的． 失误与防范无论是解题还是证明，一定要注意对文字语言、图形语言和符号语言进行相互转化和相互翻译，使三者之间相辅相成，相得益彰．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号为__________．答案①②解析由面面平行的判定定理可知，①正确．由线面平行的判定定理可知，②正确．对于③来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β.对于④来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α.2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ.其中正确命题的序号是________．答案③解析①m∥α也可能成立．②α与β也可以相交．④β与γ可相交也可平行．3．已知直线a，b，c和平面α，β，给出下列命题：①若a，b与α成等角，则a∥b；②若α∥β，c⊥α，则c⊥β；③若a⊥b，a⊥α，则b∥α；④α⊥β，a∥α，则a⊥β.其中错误命题的序号是________．答案①③④解析由于一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个，所以②是正确的．其余的都是错误的．4．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．答案①②解析如图，∵P—ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．5．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号有________．答案①④解析垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．6. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是________．答案①②③解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点．∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．7．下列命题中正确的个数是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．答案 2解析①错，因为a可以与α相交；②错，可以有一个点在α内，即l与α相交时也符合要求；③错，可以是异面直线；④对；⑤对．二、解答题(共27分)8. (13分)如图，已知P A垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，(1)求证：MN⊥平面PCD.(2)试问矩形ABCD满足什么条件时，PC⊥BD.解(1)如图，取PD的中点E，连结AE，NE.∵E、N分别为PD、PC的中点，∴EN 綊12CD . 又∵M 为AB 的中点，∴AM 綊12CD . ∴EN 綊AM ，∴四边形AMNE 为平行四边形．∴MN ∥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA ＝45°，∴△P AD 为等腰直角三角形，∴AE ⊥PD .又∵CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，∴CD ⊥平面P AD ，而AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE .又CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .∴MN ⊥平面PCD .(2)连结AC ，若PC ⊥BD .又P A ⊥BD ，P A ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥AC ，即矩形ABCD 的对角线互相垂直．∴矩形ABCD 为正方形，即当矩形ABCD 为正方形时，PC ⊥BD .9．(14分)(2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．(1)证明 由条件知四边形PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .(2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3. 故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知a ，b ，c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥β，b ⊂β，则a ∥b ；④若a 与b 异面，且a ∥β，则b 与β相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直．其中真命题的序号是________． 答案 ②解析 构造长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，可排除①③④⑤.2．Rt △ABC 在给定平面α上的射影有如下的判断：①可能是一条线段；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是锐角三角形；⑤可能是一条直线；⑥可能是一条射线．其中正确判断的序号是____________．答案 ①②③④解析 ⑤不对，因为Rt △ABC 的边长为有限长，所以它的射影不可能是一条直线；⑥不对，原因同⑤.3. 如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，有下面结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成的角为60°.其中正确命题的序号是_______．答案 ①②③解析 ①由BD ∥B 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1，得BD ∥平面CB 1D 1.②BD ⊥平面AC 1C .③由B 1C ⊥平面ABC 1，得AC 1⊥B 1C ，同理AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1.④AD 与B 1C 成45°角．4．正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________．答案 2＋ 6解析 如图，取CD 的中点F 、SC 的中点G ，连结EF ，EG ，FG ，设EF 交AC 于点H ，易知AC ⊥EF ，又GH ∥SO ，∴GH ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥GH ，GH ∩EF ＝H ，∴AC ⊥平面EFG ，故点P 的轨迹是△EFG ，其周长为2＋ 6.5．平面α∥β∥γ，直线a 分别和α，β，γ交于A ，B ，C ，直线b 分别交α，β，γ于D ，E ，F ，且AB ＝2，DE ＝4，EF ＝3，则AC ＝______________.答案 72解析 当a ，b 异面时，过A 点作直线b 的平行线交β，γ于E ′，F ′，则由已知AE ′＝DE ＝4，E ′F ′＝EF ＝3，连结BE ′，CF ′，则BE ′∥CF ′，∴AB BC ＝AE ′E ′F ′， ∴BC ＝AB ·E ′F ′AE ′＝2×34＝32， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2＋32＝72. 当a ，b 共面时，有AD ∥BE ∥CF ，易证AC ＝72. 6．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是______________．答案 34解析 过S 作SO ⊥平面ABC 于O ，由已知得O 为球心，连结OB 、OC ，则O 为正三角形ABC 的中心，且OB ＝OS ＝1，易求底边长为 3.∴V S —ABC ＝13×34×(3)2×1＝34. 二、解答题(共28分)7．(14分)(2011·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面P AD .证明 (1)如图，在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .8．(14分)已知等腰梯形PDCB 中，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB ，现将△P AD 沿AD 折起，使面P AD ⊥面ABCD (如图所示)．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分V P —DCMA ∶V M —ACB ＝2∶1；(3)在M 点满足(2)的情况下，判断直线PD 是否平行于平面AMC ，并说明理由．(1)证明 如图，依题意知CD ⊥AD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD .(2)解 由(1)知P A ⊥平面ABCD ，∴平面P AB ⊥平面ABCD .在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB (如图)，设MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，则V M —ABC ＝13S ABC ·h ＝13×12×2×1×h ＝h 3， V P —ABCD ＝13S ABCD ·P A ＝13×(1＋2)2×1×1＝12. 要使V P —DCMA ∶V M —ACB ＝2∶1，即⎝⎛⎭⎫12－h 3∶h 3＝2∶1.解之得h ＝12.易得M 为PB 的中点． (3)解 连结BD 交AC 于O ，因为AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1，由相似三角形易得BO ＝2OD .∴O 不是BD 的中点．又∵M 为PB 中点，∴在平面PBD 中，直线OM 与PD 相交．又OM ＝平面PBD ∩平面AMC ，PD ⊂平面PBD ，∴直线PD 与平面AMC 不平行．。

立体几何综合应用（C组）补形问题：（1）四面体S ABC -中，如,,SA SB SC 互相垂直，其外接球直径等于以,,SA SB SC 为棱的长方体之体对角线长 （2）四面体S ABC -为等腰四面体（对棱相等），其外接球直径等于以,,SA SB SC 为面对角线的长方体之体对角线长 体积法：体积法属于典型的“算两次”问题，就是以体积为桥梁，针对同一几何体，从角度一看，体积是a （式子），换一个角度，体积是b （式子），从而得到方程a b =，通过方程，获得想要的量。

翻折问题：翻折问题是立体几何中常见、也是高考中常考的问题。

解决此类问题的关键：是要注意翻折前后不变的量和关系，比如垂直关系、长度、角度等。

善于甚至必须利用这些不变特征方能解决问题。

高考数学中的难题和压轴题这类试题一般以选填题模式出现，题型各异，比如存在性问题、轨迹问题、以立体几何为载体的计数问题、路径问题等，这类问题对空间想象能力、分析问题和解决问题的能力有较高要求。

、、分别为其所在棱的中点，能得出例1（全国卷）下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M N Pl面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）（1）（2）（3）（4）（5）【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则l 的方向向量为(1,1,1)e =（1）l 在上底面的投影与MP 垂直，所以l MP ⊥，根据对称性，l MN ⊥，从而l ⊥平面MNP（2）易知11(0,0,),(1,,0)22N P ，故11(1,,)22NP =-，显然0e NP ≠（3）易知11(0,1,),(,0,0)22M N ，故11(,1,)22MN =--，（1）（2）（3）（4）（5）xz y 显然0e MN ≠（4）显然l MP ⊥， l MN ⊥，从而l ⊥平面MNP（5）易知111(,1,0),(1,0,),(0,,1)222M N P ，故11(,1,)22MN =-，11(,,1)22MP =--显然0,0e MN e MP ==，从而l ⊥平面MNP例2.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，120,2BAC PA AB AC ∠====，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.103πB. 18πC. 20πD. 93π【解析】将三棱锥扩充成如图所示的正六棱柱，该正六棱柱的高为2，底面是边长为2的正六边形，正六棱柱的体对角线AE 即为所求外接球的直径，即222244220R AE ==+=，故题中三棱锥外接球的表面积为20π，选C 。

若 O1 的面积为 4 ， AB BC AC OO1 ，则球O 的表面积为( )
A． 64
B． 48
C． 36
D．32
解：设圆 O1 半径为 r ，球的半径为 R ，依题意，得 r2 4 ,r 2 ，
ABC 为等边三角形，由正弦定理可得 AB 2r sin 60 2 3 ， OO1 AB 2 3 ，根据球的截面性质 OO1 平面 ABC ， OO1 O1A, R OA OO12 O1A2 OO12 r2 4 ， 球 O 的表面积 S 4 R2 64 ．故选 A
所以 R2
BM 2
OM 2
(5)2 2
62
169 4
,所以 S球
4 R2
4
169 4
169
，
3、（三棱柱的外接球，球面性质，补形思想）已知三棱柱的顶点都 在球的球面上，若，则球的表面积为（ ）
解: 方法二：补形，因为 AA1, AB, AC 两两垂直，
补形为以 AA1, AB, AC 为棱的长方体，球 O 为长方体的外接球，
A1E AA12 AE2 22 ( 2)2 6
EF EC2 CF 2 ( 2)2 1 3 ，
2. （2021 全国甲卷）已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形，
AB BC 2 ， E, F 分别为 AC 和 CC1 的中点， BF A1B1 . （1）求三棱锥 F EBC 的体积； （2）已知 D 为棱 A1B1 上的点，证明： BF DE .
由已知，
AB
BC
CC1
2 ，所以 CF
1, EM
1 2
AB
1,
因为 AB//A1B1 ， BF A1B1 ，所以 EM BF