二重积分计算中的积分限的确定

二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分1.X 型区域1) 定义：先把x 看做常数，f(x,y)只看做y 的函数，对f(x,y)计算从1ϕ(x)到2ϕ(x)的定积分，然后把所得结果（为x 的函数）再对x 从a 到b 计算定积分，称其为X 型积分。

2) 积分区域D={(x,y)|21,ϕϕ≤≤≤≤y b x a },称为X 型区域。

3) 记作：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(2)(1)(2)(1),(),(),(),(x x Db a Db a x x dy y x f dx d y x f dx dy y x f d y x f ϕϕϕϕσσ4) 例题1注意：积分限：由下向上作平行为y 轴的直线，先经过的为积分下限，后经过的为积分上限。

.2,1,所围闭区域及：由其中计算xy x y D xyd D===⎰⎰σ⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x D X 121:2211[]2xy x dx =⋅⎰89)22(213=-=⎰dx x x 211xDxyd dx xydyσ=⎰⎰⎰⎰解： 12 oxyy=xy=1Dx2.Y 型区域1）定义：先对x ，后对y 的二次积分，称之为Y 型积分。

2）积分区域D={})()(,),(21y x y d x c y x ϕϕ≤≤≤≤，称之为Y 型区域。

3）记作：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(2)(1)(2)(1),(),(),(),(y y Dd c Dd c y y dx y x f dy d y x f dy dx y x f d y x f ϕϕϕϕσσ4）例题2注意：积分限：由左向右做平行于x 轴的直线，先经过的为积分下限，后经过的为积分上限。

.2,1,所围闭区域及：由其中计算xy x y D xyd D===⎰⎰σ⎩⎨⎧≤≤≤≤221:x y y D Y 2221[]2y x y dy =⋅⎰89)22(213=-=⎰dy y y 221yDxyd dy xydxσ=⎰⎰⎰⎰解：12 o xy x = y x=2D y1 2例题3所围闭区域及：由其中计算2,2-==⎰⎰x y x y D xyd Dσ［法1］⎩⎨⎧+≤≤≤≤-221:2y x y y D Y 232511(44)2y y y y dy -=++-⎰46322114[2]2436y yy y -=++-13[12]24=-=2221y y D xyd dy xydx σ+-=⎰⎰⎰⎰22221[]2y y x y dy +-=⎰458［法2］⎩⎨⎧≤≤-≤≤x y x x D 10:1⎩⎨⎧≤≤-≤≤xy x x D 241:2⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21DD D xyd σ=+=⎰⎰⎰⎰--xx x x xydydx xydy dx 24110845例题四 计算()22Dxy dxdy +⎰⎰其中D 是以y x y x a y a ==+=，，和()30y a a =>为边的平行四边形区域。

直角坐标系下二重积分的计算二重积分是一个非常重要的数学概念，在多种实际的问题中都得到了广泛应用。

通过对直角坐标系下二重积分的计算，可以深入地理解这个概念的含义。

在本篇文章中，我们将对直角坐标系下二重积分的计算进行详细的讲解。

一、二重积分的定义在直角坐标系下，二重积分可以定义为：如果在平面上有一个区域D，在D中每一点(x,y)都有一个实数f(x,y)，那么二重积分可以表示为：∬Df（x,y）dxdy其中，dxdy是对x和y的区域积分。

从数学上来讲，二重积分可以看做是对一个多元函数在一个二维区域上的积分。

在物理学、工程学和经济学等领域中，二重积分可以用来计算物体的质量、电荷或利润等量。

二、二重积分的计算接下来，我们将具体介绍如何计算直角坐标系下的二重积分。

1、以矩形为例当区域D为矩形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫ab[∫cd f（x,y）dy]dx其中，a、b、c和d是矩形的四个顶点。

从右到左积分是对x的积分，从下到上积分是对y的积分。

这个公式建立在f（x,y）在矩形D内是连续函数的条件下。

如果f（x,y）不连续，那么需要将图形分割成多个子区域，再对每个子区域使用上述公式求解。

如果积分上下限为定值，则直接将定值带入公式中进行计算。

2、以圆形为例当区域D为圆形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫0R[∫0 2πf（rcosθ，rsinθ）rdθ]dr其中，R是圆的半径，r是极径。

θ是极角，取值从0到2π。

这个公式建立在f（x,y）在圆形D内是连续函数的条件下。

如果不连续，需要将圆形分割成多个区域，再对每个区域使用上述公式求解。

3、以三角形为例当区域D为三角形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫a b[∫c(x)(d(x)−c(x))/b a f(x,y)dy]dx 其中，a和b是三角形底边的两个端点。

c（x）是左侧斜线的端点函数，d（x）是右侧斜线的端点函数。

二重积分计算中积分限的确定摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.关键词:二重积分累次积分积分限积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。

原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。

本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。

1．高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。

(1)画出积分区域(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.(3)用公式化二重积分为累次积分.(4)计算累次积分的值.在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.2．教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限.3．例题解析例1 计算⎰⎰D xydxdy,其中D是由直线xyyx===,1,2所围成的区域.解:作出积分区域D的图形在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对先定下的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:811)81()212(2142212212=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydyxydxdy Dy若我们选择先对y 积分也是可以的。

二重积分定限口诀二重积分是数学中的重要概念，它在解决面积、体积、质量分布等问题中发挥着重要作用。

在进行二重积分计算时，我们需要确定积分的定限，即确定积分的范围。

为了帮助大家记忆和理解二重积分的定限规则，下面我将介绍一个简单易记的二重积分定限口诀。

我们需要了解二重积分的定限方式。

在二维平面上，我们可以用两个变量（通常用x和y表示）来确定一个点的位置。

而二重积分的定限就是在这个平面上确定一个区域，将该区域分割成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和。

在确定二重积分的定限时，我们需要考虑两个方向，即x轴方向和y轴方向。

根据这个思路，我们可以得出一个简单易记的二重积分定限口诀：右上左下。

右上左下是指在确定二重积分的定限时，首先从右侧开始，然后顺时针方向依次确定上限、左限和下限。

这样的定限方式可以确保我们在对每个小块进行积分时，能够正确地包含整个区域。

下面我将具体介绍一下右上左下的定限方式。

1. 右限：确定右限时，我们需要找到二重积分区域的最右边界。

可以根据题目的给定条件，或者通过观察图形的形状来确定右限的值。

右限一般用变量x来表示。

2. 上限：确定上限时，我们需要找到二重积分区域的最上边界。

同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定上限的值。

上限一般用变量y来表示。

3. 左限：确定左限时，我们需要找到二重积分区域的最左边界。

同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定左限的值。

左限一般用变量x来表示。

4. 下限：确定下限时，我们需要找到二重积分区域的最下边界。

同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定下限的值。

下限一般用变量y来表示。

通过以上四个步骤，我们就可以完整地确定二重积分的定限范围。

在进行具体计算时，可以利用定限口诀来帮助我们记忆和理解。

需要注意的是，定限范围的确定要符合数学规则，不能出现重叠、遗漏或者错误的情况。

在进行二重积分计算时，还需要根据具体题目的要求，选择合适的积分方法和变量代换等技巧。

考研数学中二重积分的计算方法与技巧顾 贞 洪 港 高恒嵩高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下：（1） 画出积分区域D 的草图；（2） 根据积分区域D 以及被积函数的特点确定合适的坐标系；（3） 在相应坐标系下确定积分次序，化为二次积分； （4） 确定二次积分的上、下限，做定积分运算.但是在历年考试题中，越来越多的题目注重解题技巧的考查，考题经常以下列几种情况出现：1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系min max,以及绝对值函数，则需要对二重积分进行分区域积分.例1：（2008年试题）计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),({≤≤≤≤=y x y x D .解：积分区域如图1所示：因为⎩⎨⎧>≤=111}1,max{xy xy xy xy ，所以有：max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰1122222111022x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2ln 419)ln 21(21ln 2ln 2212212+=-+-+⨯=x x2交换二重积分的次序交换积分次序的步骤如下： （1） 先验证二次积分是否是二重积分的二次积分（积分下限小于上限）（2） 由所给二次积分的上、下限写出积分区域D 的不等式组（3） 依据不等式组画出积分区域D 的草图（4） 根据积分区域D 的草图写出另一种积分次序下的二次积分。

例2：计算dy e dx xy ⎰⎰-222解：积分区域如图2所示：因为⎰-22xy dy e 不可积，所以交换二重积分次序，则有：)1(214022022222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy e dx e dy dy e dx yy yy xy图1 图2 图3 图43利用积分区域的对称性计算二重积分（1）利用积分区域的对称性，被积函数的奇偶性计算 设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于y 轴对称，1D 为D 中0≥x 的部分.则有：()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于x 轴对称，1D 为D 中0≥y 的部分.则有:()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ 例3：（2017年试题）已知平面区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1).Dx dxdy +⎰⎰解析：积分区域具有对称性如图3，首先考虑使用奇偶性，其次，因为积分区域为圆域，需要使用极坐标进行求解。