第二十六章反比例函数

第二十六章反比例函数本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界中存在各种函数，掌握如何应用函数知识解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础．本章的主要内容是反比例函数，教材中从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识．第一节的内容是反比例函数的概念以及反比例函数的图象和性质．反比例函数y＝k x(k为常数，k≠0)的图象分布在两个象限，当k>0时，图象分布在第一、三象限，y随x的增大(减小)而减小(增大)；当k<0时，图象分布在第二、四象限，y随x的增大(减小)而增大(减小)．第二节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界中的实际问题以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象．教学中要注重数学思想的渗透，注意做好与已学内容的衔接，还要加强反比例函数与正比例函数的对比．本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具．教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通．本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力．1．理解并掌握反比例函数的概念．2．掌握反比例函数的图象和性质．3．能灵活运用反比例函数知识解决实际问题．本章教学约需4课时，具体分配如下：26．1反比例函数3课时26．2实际问题与反比例函数1课时26．1反比例函数26．1.1反比例函数知识与技能1．使学生理解并掌握反比例函数的概念．2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式．过程与方法能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，体会数学学习的重要性，培养学生学习数学的兴趣．重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．难点理解反比例函数的概念．一、创设情境，讲授新课 活动1.问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1 463 km ，乘坐某次列车所用时间t(单位：h )随该列车平均速度v(单位：km /h )的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m 2的矩形草坪，草坪的长y 随宽x 的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化．解：(1)t ＝1463v ；(2)y ＝1000x； (3)S ＝1.68×104n.其中，v 是自变量，t 是v 的函数； x 是自变量，y 是x 的函数； n 是自变量，S 是n 的函数．上面的函数关系式，都具有y ＝kx的形式，其中k 是非零常数．活动2.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？ (1)一个游泳池的容积为2 000 m 3，注满游泳池所用的时间t 随注水速度v 的变化而变化； (2)某立方体的体积为1 000 cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化． 解：(1)t ＝2 000v ； (2)h ＝1 000S.概念：如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx 的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零．活动3.问题1：下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？ y ＝4x ，yx＝3，y ＝6x ＋1，xy ＝123.问题2：已知y 是x 的反比例函数，当x ＝2时，y ＝6.写出y 关于x 的函数关系式．求当x ＝4时，y 的值．师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导．1．解：只有xy ＝123是反比例函数．2．分析：因为y 是x 的反比例函数，所以可设y ＝kx ，再把x ＝2和y ＝6代入上式就可求出常数k 的值．所以有6＝k2，解得k ＝12， 因此y ＝12x ，把x ＝4代入y ＝12x ，得y ＝124＝3. 二、例题讲解例1 下列等式中，哪些是反比例函数？(1)y ＝x 3；(2)y ＝－2x ；(3)xy ＝21；(4)y ＝5x ＋2；(5)y ＝－32x ；(6)y ＝1x ＋3；(7)y ＝x －4.解：(2)(3)(5)是反比例函数．例2 函数y ＝－1x ＋2中，自变量x 的取值范围是________．解：x ≠－2.例3 当m 取什么值时，函数y ＝(m －2)x3－m 2是反比例函数？分析：反比例函数y ＝k x (k ≠0)的另一种表达式是y ＝kx －1(k ≠0)，这种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误．解：由题意可知⎩⎨⎧m －2≠0，3－m 2＝－1，解得m ＝－2. 三、巩固练习1．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝3时，y ＝－8. (1)写出y 与x 之间的函数关系式； (2)当y ＝2时，求x 的值． 答案 (1)y ＝－24x(2)x ＝－12 四、课堂小结反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量之间的关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识提升到理性认识，建立概念，摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义．通过举例、说理、讨论等活动用数学眼光审视某些实际现象．例题非常简单，在例题的处理上注重培养学生形成写出规范的解题步骤的能力，同时拓宽学生的思路．在题目的设计和教学设计上注重了由浅入深的梯度，同时充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用．26．1.2 反比例函数的图象和性质第1课时 反比例函数的图象和性质(1)知识与技能1．会用描点法画反比例函数的图象．2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质．过程与方法体会分类讨论思想、数形结合思想的运用．1．体会函数的表示方法，领会数形结合的思想方法．2．在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯．重点理解并掌握反比例函数的图象和性质． 难点正确画出图象，通过观察、分析归纳出反比例函数的性质．一、复习回顾，引入新课1．画出函数y ＝3x ＋1的图象．2．求函数y ＝3x ＋1的图象与x 轴、y 轴的交点的坐标．这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答，教师可与学生讨论交流，提问学生． 问：什么叫做反比例函数？学生：如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的形式，那么y 是x 的反比例函数．反比例函数的自变量x 不能为零．让学生猜想反比例函数的图象是什么样的，让学生自己尝试作反比例函数y ＝6x ，y ＝4x ，y ＝－6x ，y ＝－4x的图象．二、例题讲解例1 画出反比例函数y ＝6x 与y ＝－6x的图象．反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成的，我们从描出的点的变化趋势可以看出，切记不能用直线连接．师生共析：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连接起来，就可得到下图．问：观察画出的图象，思考y ＝6x 与y ＝－6x 的图象有什么共同的特征？它们之间有什么关系？(教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，各有两条对称轴，它们都不会经过原点)反比例函数y ＝kx 的图象是由两支曲线组成的，当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限．例2 已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－3的图象在第二、四象限，求m 的值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况．分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y ＝kx －1(k ≠0)中自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件．解：∵y ＝(m －1)xm 2－3是反比例函数，∴m 2－3＝－1，且m －1≠0. 又∵图象在第二、四象限，∴m －1＜0.解得m ＝±2，且m ＜1，则m ＝－ 2. 在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数y ＝kx 的图象，当k ＞0时，在每一个象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 的值随x 值的增大而增大．例3 如图，过反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接OA ，OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1，S 2，比较它们的大小，可得( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．大小关系不能确定分析：从反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上任一点P(x ，y)分别向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S ＝|xy|＝|k|，由此可得S 1＝S 2＝12|k|，故选B .三、巩固练习1．若函数y ＝(2m －1)x 与y ＝3－mx的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是________．答案 12＜m ＜32．反比例函数y ＝－2x ，当x ＝－2时，y ＝________；当x ＜－2时，y 的取值范围是________；当－2＜x ＜0时，y 的取值范围是________．答案 1 y ＜1 y ＞1 四、课堂小结师：你对本节知识有哪些认识？教师可让学生随意说出一个反比例函数，然后由一个学生说出它的性质． 在活动中，教师应重点关注：1．不同层次的学生对本节课知识的认识程度． 2．学生独立面对困难和克服困难的能力．“反比例函数的图象与性质”是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用．在本节课的教学中，有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比．借助计算机的动态演示比较两函数的图象，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别，从而使学生加深对两函数性质的理解．观察反比例函数的图象，获取函数相关性质的信息有较大空间，考查学生能否对信息做出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活运用知识有效地解决问题，关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化．第2课时 反比例函数的图象和性质(2)知识与技能1．使学生进一步理解并掌握反比例函数的图象与性质． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．过程与方法体会函数不同表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质．情感、态度与价值观体会分类讨论思想、数形结合思想的运用，在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯．重点理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题． 难点学会从图象上分析、解决问题．一、复习导入首先复习上节课所学的内容： 1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？ 3．作函数图象的步骤：列表、描点、连线． 4．反比例函数的图象和性质：(1)反比例函数的图象是由两支曲线组成的(通常称为双曲线)；(2)当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内；(3)反比例函数的图象与坐标轴不相交，它们都不过原点；(4)反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形，也是轴对称图形．(5)反比例函数y ＝kx 的图象，当k ＞0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而增大．二、例题讲解例1 已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？随自变量的增大如何变化？ (2)点B(3，4)，C(－212，－445)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：(1)设这个反比例函数的解析式为y ＝kx ，因为它经过点A ，把点A 的坐标(2，6)代入函数解析式，得6＝k2，解得k ＝12，即这个反比例函数的表达式为y ＝12x .因为k>0，所以这个函数的图象在第一、三象限内，y 随x 的增大而减小．(2)把点B ，C 和D 的坐标代入y ＝12x，可知点B 、点C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，所以点B 、点C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在该函数的图象上．例2 如图是反比例函数y ＝m －5x的图象的一支．根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在上图的图象上任取点A(a ，b)和点B(a ′，b ′)，如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？师生活动：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题．教师应给学生提供充分的交流时间和空间．解：(1)反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限或者分布在第二、四象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m －5>0，解得m>5.(2)由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y 随x 的增大而减小，因为a>a ′，所以b ＜b ′.三、巩固练习A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第三、四象限D ．第一、二象限答案 B2．已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(π，y 3)在双曲线y ＝－k 2＋1x 上，则下列关系式正确的是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 2答案 B四、课堂小结1．进一步掌握了反比例函数的作图方法．2．学会了利用反比例函数的性质画出反比例函数的图象．26．2 实际问题与反比例函数知识与技能1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题． 过程与方法会用反比例函数知识分析、解决实际问题． 情感、态度与价值观渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．重点会用反比例函数知识分析、解决实际问题． 难点分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．一、复习导入，教授新课问题：市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m 3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m 2)与其深度d(单位：m )有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S 定为500 m 2，施工队施工时应该向下挖进多深？(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15 m 时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15 m ，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要？(保留两位小数)我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为104 m 3，所以S ·d ＝104.变形就可得到底面积S 与其深度d 的函数关系式，即S ＝104d ，所以储存室的底面积S是其深度d 的反比例函数．根据函数S ＝104d ，我们知道给出一个d 的值就有唯一的S 的值和它相对应，反过来，知道S 的一个值，也可求出d 的值．根据S ＝104d ，得500＝104d ，解得d ＝20，即施工队施工时应该向下挖进20米．根据S ＝104d ，把d ＝15代入此式，得S ＝10415≈666.67(m 2)．当储存室的深为15 m 时，储存室的底面积应改为666. 67 m 2才能满足需要．二、例题讲解例1 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t 之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？解：(1)设轮船上的货物总量为k 吨，根据已知条件得k ＝30×8＝240，所以v 关于t 的函数解析式为v ＝240t. (2)把t ＝5代入v ＝240t，得v ＝2405＝48(吨)． 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数v ＝240t，当t>0时，t 越小，v 越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．例2 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N 和0.5 m .(1)动力F 与动力臂l 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l 至少要加长多少？ 解：(1)根据“杠杆原理”，得Fl ＝1 200×0.5，所以F 关于l 的函数解析式为F ＝600l. 当l ＝1.5 m 时，F ＝6001.5＝400(N )． 对于函数F ＝600l，当l ＝1.5 m 时，F ＝400 N ，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需要400 N 的力．(2)对于函数F ＝600l，F 随l 的增大而减小．因此，只要求出F ＝200 N 时对应的l 的值，就能确定动力臂l 至少应加长的量．当F ＝400×12＝200时，由200＝600l得l ＝600200＝3(m )， 3－1.5＝1.5(m )． 对于函数F ＝600l，当l>0时，l 越大，F 越小．因此，若想用力不超过400 N 的一半，则动力臂至少要加长1.5 m .例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110 Ω～220 Ω.已知电压为220 V ，这个用电器的电路图如图所示．(1)功率P 与电阻R 有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？解：(1)根据电学知识，当U ＝220时，得P ＝2202R. ①(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值R ＝110代入①式，得到功率的最大值P ＝2202110＝440(W )；把电阻的最大值R ＝220代入①式，得到功率的最小值P ＝2202220＝220(W )．因此用电器功率的范围为220W ～440W . 三、巩固练习1．京沈高速公路全长658 km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需的时间t(h )与行驶的平均速度v(km /h )之间的函数关系式为________．答案 t ＝658v2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg /m 3)是它的体积V(m 3)的反比例函数．当V ＝10 m 3时，ρ＝1.43 kg /m 3.(1)求ρ与V 的函数关系式；(2)求当V ＝2 m 3时氧气的密度ρ.答案 (1)ρ＝mV ，当V ＝10 m 3时，ρ＝1.43 kg /m 3，所以m ＝ρV ＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝14.3v ；(2)当V ＝2 m 3时，ρ＝14.32＝7.15(kg /m 3)．四、课堂小结本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分激发学生的潜能．。