第11章 反比例函数-2021年中考数学一轮复习(考点梳理+重难点讲解+过关演练)

第11讲反比例函数考纲要求命题趋势1．理解反比例函数的概念,能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．3．能用反比例函数解决简单实际问题。

反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定,也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题、解答题都有可能.一、反比例函数的概念一般地，形如y＝错误!（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．1．反比例函数y＝错误!中的错误!是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0),它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.二、反比例函数的图象与性质1．图象反比例函数的图象是双曲线．2．性质（1）当k＞0时,双曲线的两支分别在一、三象限,在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时,双曲线的两支分别在二、四象限,在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2）双曲线是轴对称图形，直线y＝x 或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形,对称中心是坐标原点．三、反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数解析式由于反比例函数y＝错误!中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x,y值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式．2．反比例函数的实际应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．1．关于x的函数y=k(x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是( ）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是（）A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣23．若点A（1，y1），B(2，y2）是双曲线y＝错误!上的点，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”）．4．如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0)的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x 轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=,则线段AB的长度= ．5．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象如图所示,当P在y=的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B，则四边形PAOB的面积为．6。

反比例函数知识点梳理与总结反比例函数的定义一般地,形如xky =（k 为常数,且0≠k k 为反比例系数. 说明（1）反比例函数的自变量的取值范围是0≠x . （2）反比例函数的函数值0≠y .（3）根据（1）和（2）,可以确定反比例函数的图象与两条坐标轴都不会产生交点. （4）因为xx 11=-,所以反比例函数的一般形式可以写为()01≠=-k kx y . （5）反比例函数的分子中不能出现自变量.（6）反比例函数的分母中自变量x 不能加上或减去一个非零常数,如函数21+=x y 就不是反比例函数. （7）因为x x y 2121==,故函数x y 21=也是反比例函数,其21=k . 根据反比例函数的定义确定参数的值对于含参的反比例函数,若给出的反比例函数的一般形式为xky =（0≠k ）,则参数的值既要保证系数0≠k ,还要保证分母中自变量的次数为1;若给出的反比例函数的一般形式为()01≠=-k kx y ,则参数的值既要保证系数0≠k ,还要保证自变量的次数为1-. 求反比例函数的关系式以及k 的代数意义求反比例函数xky =（0≠k ）的关系式,就是求出k k 的值,所以只需知其图象上一个点的坐标或函数关系式的一对对应值即可.使用的方法仍然是待定系数法.k 的代数意义若点()n m P ,在反比例函数xky =的图象上,则mn k =. 说明根据k 的代数意义,可以判断一个点是否在反比例函数xky =的图象上:若点的横坐标与纵坐标的乘积等于k 的值,则点在反比例函数的图象上.k 的几何意义过反比例函数xky =图象上一点P 作x PA ⊥轴,y PB ⊥轴,则矩形AOBP 的面积等于k ;若作x PA ⊥轴,则2kS AOP Rt =∆.图 1图 2图 3图 4特别强调 在利用面积求反比例函数的解析式时,求得的k 的符号要与函数图象经过的象限保持一致. 反比例函数解析式的确定1. 待定系数法:（1）设反比例函数的解析式为xk y =; （2）把图象上一点()b a P ,的坐标代入xky =,得ab k =; （3）把求得的k 代入解析式.2. 利用k 的几何意义求解,但要注意k 的符号和反比例函数的图象所在的象限要一致.反比例函数的图象的性质 对于反比例函数xky =（0≠k ）: （1）若0>k ,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是说,当0>x （或0<x ）时,y 随x 的增大而减小;（2）若0<k ,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是说,当0>x （或0<x ）时,y 随x 的增大而增大.注意:（1）注意与正比例函数的性质的区别:对于正比例函数来说,当0>k 时,函数的图象经过第一、三象限（过原点）,图象从左到右是上升的,y 随x 的增大而增大;当0<k 时,函数的图象经过第二、四象限（过原点）,图象从左到右是下降的,y 随x 的增大而减小.（2）当0>k 时,正比例函数的图象是经过第一、三象限（过原点）,而反比例函数的图象是分布在第一、三象限（不过原点）.（3）当k 的符号相同时,正比例函数和反比例函数的图象的升降性正好相反,函数值的变化规律也正好相反.（4）在理解反比例函数的性质时,应注意是在每个象限内.（5）由反比例函数的性质可知,双曲线的升降和所在的象限是由k 的符号决定的.（6）根据反比例函数的性质,我们可以确定字母的取值范围和在每个象限内比较函数值的大小. 反比例函数的图象的对称性反比例函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.反比例函数的图象关于原点中心对称.yx图（136）AO图（137）反比例函数的图象有两条对称轴,分别是直线x y =和直线x y -=. 结论 如果正比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点,则这两个交点关于原点对称,即两个交点同名坐标互为相反数. 根据反比例函数和一次函数的图象确定不等式的解集如图5所示,反比例函数xky =与一次函数n mx y +=的图象交于A 、B两点.图 5图 6（1）不等式n mx xk+<的解集为________________; （2）不等式n mx xk+>的解集为________________; （3）方程n mx xk+=的解为____________. 例题讲解例 1. 如图（136）所示,一次函数11+=x y 的图象与反比例函数xky =2()0≠k 的图象都经过点()2,m A . （1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式; （2）结合图象直接比较:当0>x 时,21,y y 的大小. 分析:（1）用一次函数的关系式求点A 的坐标.求反比例函数的关系式,需要知道其图象上一个点的坐标,点A 满足要求. （2）以交点为界,注意分类讨论.解:（1）∵点()2,m A 在一次函数11+=x y的图象上 ∴21=+m ∴1=m∴点A 的坐标为()2,1∵点A ()2,1在反比例函数xky =2∴2=k∴该反比例函数的表达式为xy 22=; （2）分为三种情况: ①当10<<x 时,12y y >;②当1=x 时,21y y =;③当1>x 时,21y y <. （参看图137）例2. 如图,反比例函数xky =的图象经过点()4,1A 、()m B ,4. （1）求反比例函数的解析式及点B 的坐标;（2）在x 轴上找一点P ,使PB PA +的值最小,求满足条件的点P 的坐标. 解:（1）把()4,1A 代入xk y =得: 441=⨯=k∴反比例函数的解析式为xy 4=把()m B ,4代入xy 4=得:44=m ,∴1=m ∴()1,4B ;（2）作出点B 关于x 轴的对称点'B ,连结'AB ,与x 轴交于点P ,此时PB PA +的值最小.∵()1,4B ,∴()1,4'-B设直线'AB 的解析式为b ax y +=把()4,1A ,()1,4'-B 分别代入ax y =得:⎩⎨⎧-=+=+144b a b a 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=31735b a∴直线'AB 的解析式为31735+-=x y 令0=y ,则031735=+-x 解之得:517=x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,517P .。

2024年中考数学一轮复习考点精析及真题精讲—反比例函数反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点.→➊考点精析←一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数kyx=交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．→➋真题精讲←考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为1．1．（山东滨州·中考真题）下列函数：①y =2x ﹣1；②5y=x -；③y =x 2+8x ﹣2；④22y=x；⑤1y=2x ；⑥ay=x中，y 是x 的反比例函数的有▲（填序号）【答案】②⑤．【解析】反比例函数的定义．【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x ﹣1是一次函数，不是反比例函数；②5y=x -是反比例函数；③y=x 2+8x ﹣2是二次函数，不是反比例函数；④22y=x不是反比例函数；⑤1y=2x 是反比例函数；⑥ay=x中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．2．（2023·山西·统考中考真题）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】B【分析】先根据反比例函数中0k >判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数4y x=中0k >，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10,-<-<∴(2,),(1,)A a B b --位于第三象限，∴0,0,a b <<∵210,-<-<∴0.a b >>∵30,>∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c >∴.b a c <<故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点()2,M a 在反比例函数ky x=的图象上，其中a ，k 为常数，且0k >﹐则点M 一定在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据反比例函数中的0k >，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M 点的横坐标判断点M 所在的象限，即可解答【详解】解：0k > ，∴反比例函数ky x=的图象经过第一、三象限，故点M 可能在第一象限或者第三象限，()2,M a 的横坐标大于0，()2,M a ∴一定在第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k 值的关系是解题的关键．考向二反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．4．（2020·山东威海·中考真题）一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．【解析】当0a >时，0a -<，则一次函数y ax a =-经过一、三、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过一、三象限，故排除A ，C 选项；当0a <时，0a ->，则一次函数y ax a =-经过一、二、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过二、四象限，故排除B 选项，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数2y x=-的图像上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（）A ．120y y +<B ．120y y +>C ．120y y -<D ．120y y ->【答案】D【分析】把点A 和点B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出1y 、2y 的大小关系．【详解】解：∵点()11,A x y ，()22,B x y ）是反比例函数2y x=-的图像上的两点，∴11222x y x y ==-，∵120x x <<，∴210y y <<，即120y y ->，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．6.（2023·山西·统考中考真题）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】B【分析】先根据反比例函数中0k >判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数4y x=中0k >，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10,-<-<∴(2,),(1,)A a B b --位于第三象限，∴0,0,a b <<∵210,-<-<∴0.a b >>∵30,>∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c >∴.b a c <<故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．（2020·湖北武汉·中考真题）若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（）A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >【答案】B【分析】由反比例函数(0)ky k x=<，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，由此分三种情况①若点A 、点B 在同在第二或第四象限；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限；③若点A 在第四象限且点B 在第二象限讨论即可．【解析】解：∵反比例函数(0)ky k x=<，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x 的增大而增大，①若点A 、点B 同在第二或第四象限，∵12y y >，∴a-1＞a+1，此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限，∵12y y >，∴1010a a -⎧⎨+⎩＜＞，解得：11a -<<；③由y 1＞y 2，可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能．综上，a 的取值范围是11a -<<．故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．8.已知点A(m ，2)、B(2，n )都在反比例函数xm y 3+=的图象上．(1)求m 、n 的值；(2)若直线y mx n =-与x 轴交于点C ，求C 关于y 轴对称点C′的坐标．【解析】解：（1）将点A(m ，2)、B(2，n )的坐标代入xm y 3+=得：32m m +=，解得3m =；333322m n ++===，所以3m n ==.（2）直线为33y x =-，令01y x ==，，所以该直线与x 轴的交点坐标为C （1,0），C 关于y 轴对称点C′的坐标为(－1，0)．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入ky x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．9．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A （﹣2，1），B （3，2），C （﹣6，m ）分别在三个不同的象限．若反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象经过其中两点，则m 的值为_____．【答案】-1．【分析】根据已知条件得到点(2,1)A -在第二象限，求得点(6,)C m -一定在第三象限，由于反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过其中两点，于是得到反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，于是得到结论．【解析】解： 点(2,1)A -，(3,2)B ，(6,)C m -分别在三个不同的象限，点(2,1)A -在第二象限，∴点(6,)C m -一定在第三象限，(3,2)B 在第一象限，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过其中两点，∴反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，326m ∴⨯=-，1m ∴=-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．10.当k 为何值时22(1)k y k x-=-是反比例函数？【点拨】根据反比例函数解析式(0)ky k x=≠，也可以写成1(0)y kx k -=≠的形式，后一种表达方法中x 的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为221k -=-且10k -≠，二者必须同时满足，缺一不可．【解析】解：令221,10,k k ⎧-=-⎨-≠⎩①②由①得，k ＝±1，由②得，k ≠1．综上，k ＝－1，即k ＝－1时，22(1)k y k x-=-是反比例函数．【总结】反比例函数解析式的三种形式：①k y x=；②1y kx -=；③.(0)xy k k =≠．11.已知2(3)m y m x -=-的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴1m =.(2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-．∵(－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴120y y <<．而(1，3y )在第四象限，30y <．∴312y y y <<考向四反比例函数中k 的几何意义三角形的面积与k 的关系：（1）因为反比例函数ky x=中的k 有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k |，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图像上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】A【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答．【详解】解：AM x ⊥ 轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2，2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k 是解题的关键．13．（2023·广西·统考中考真题）如图，过(0)k y x x=>的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交1y x=-的图象于B ，D 两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若23452S S S ++=，则k 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】设(),A a b ，则1,B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,C b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据坐标求得1S ab k ==，241S S ==，推得31211S b a ⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝=⎭，即可求得．【详解】设(),A a b ，则1,B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,C b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∵点A 在(0)k y x x=>的图象上则1S ab k ==，同理∵B ，D 两点在1y x=-的图象上，则241S S ==故3511122S --==，又∵31211S b a ⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝=⎭，即112ab =，故2ab =，∴2k =，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．14．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),O A B OAB '△与OAB 关于直线OB 对称，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与A B '交于点C ．若A C BC '=，则k 的值为（）A ．BC D 【答案】A【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,BD OD ==腰三角形的判定和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，O 三点共线，结合图形确定)2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD ==，tan BD BOA OD ∠==∴2OB AB ===，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒，∵OA B ' 与OAB 关于直线OB 对称，∴120OBA '∠=︒，∴180OBA OBD '∠+∠=︒，∴A '，B ，O 三点共线，∴2A B AB '==，∵A C BC '=，∴1BC =，∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)k y k x x=>>得：k =，故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A -，(),2B m -两点，过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，则ABP 的面积是___________．【答案】152【分析】把()2,3A -代入到22k y x=可求得2k 的值，再把(),2B m -代入双曲线函数的表达式中，可求得m 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】∵直线11y k x b =+与双曲线22k y x=（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A -，(),2B m -两点，∴2232k m =-⨯=-∴263k m =-=，，∴双曲线的表达式为：26y x=-，()3,2B -，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，∴3BP =，∴1153(32)22ABP S =⨯⨯+= ，故答案为：152．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k 值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点()2,2A 在双曲线(0)ky x x=>上，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，交双曲线于点C ．若2BC =，则点C 的坐标是___________．【答案】【分析】求出反比例函数解析式4(0)y x x=>，证明45DOA ∠=︒，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，通过平行线的性质得到45DBC ∠=︒，解直角三角形求点C 的横坐标，结合反比例函数解析式求出C 的坐标，即可解答．【详解】解：把()2,2A 代入(0)k y x x=>，可得22k=，解得4k =，∴反比例函数解析式4(0)y x x=>，如图，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，()2,2A ，AE OE ∴=，45AOE ∴∠=︒，9045AOD AOE ∴∠=︒-∠=︒，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，45CBD ∴∠=︒,在Rt CBD △中，sin 452CD CB =︒=，2CD ∴==即点C把x =4(0)y x x=>，可得y =，C∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点C 的横坐标是解题的关键．17．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数1y x m =-+与反比例函数2ky x=相交于点A 和点()3,1B -．(1)求m 的值和反比例函数解析式；(2)当12y y >时，求x 的取值范围．【答案】(1)2m =，3y x=-；(2)1x <-或03x <<【分析】（1）根据一次函数1y x m =-+的图象与反比例函数2ky x=的图象交于()3,1A -、B 两点可得m 的值，进而可求反比例函数的表达式；（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）将点()3,1B -代入1y x m =-+得：31m -+=-解得：2m =将()3,1B -代入2ky x=得：()313k =⨯-=-∴23y x=-（2）由12y y =得：32x x--+=，解得121,3x x =-=所以,A B 的坐标分别为()()1,3,3,1A B --由图形可得：当1x <-或03x <<时，12y y >【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．18．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知120k k ≠，设函数11k y x=与函数()2225y k x =-+的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4-．(1)求12,k k 的值．(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．【答案】(1)110k =，22k =；(2)见解析【分析】（1）首先将点A 的横坐标代入()2225y k x =-+求出点A 的坐标，然后代入11k y x=求出110k =，然后将点B 的纵坐标代入110y x =求出5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后代入()2225y k x =-+即可求出22k =；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C 和点D 的坐标，然后利用待定系数法求出CD 所在直线的表达式，进而求解即可．【详解】（1）∵点A 的横坐标是2，∴将2x =代入()22255y k x =-+=∴()2,5A ，∴将()2,5A 代入11k y x=得，110k =，∴110y x =，∵点B 的纵坐标是4-，∴将4y =-代入110y x =得，52x =-，∴5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴将5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()2225y k x =-+得，254252k ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，∴解得22k =，∴()222521y x x =-+=+；（2）如图所示，由题意可得，5,52C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,4D -，∴设CD 所在直线的表达式为y kx b =+，∴55224k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩，解得20k b =-⎧⎨=⎩，∴2y x =-，∴当0x =时，0y =，∴直线CD 经过原点．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．19.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【解析】解：（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x+20，把B （10，40）代入得，k 1=2，∴y 1=2x+20．设C 、D 所在双曲线的解析式为y 2=x k 2，把C （25，40）代入得，k 2=1000，∴xy 10002=当x 1=5时，y 1=2×5+20=30，当31003010003022===y x 时，，∴y 1＜y 2∴第30分钟注意力更集中．（2）令y 1=36，∴36=2x+20，∴x 1=8令y 2=36，∴x 100036≈，∴8.273610002≈=x ∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【总结】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．20.如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y （微克/毫升）用药后的时间x （小时）变化的图象（图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成）．并测得当y=a 时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？【点拨】利用待定系数法分别求出直线OA 与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出方程，解方程即可求解．【解析】解：设直线OA 的解析式为y=kx ，把（4，a ）代入，得a=4k ，解得k=4a ，即直线OA 的解析式为y=4a x ．根据题意，（9，a ）在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为y=xa 9．当4a x=x a 9时，解得x=±6（负值舍去），故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度．【总结】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求出关系式是解题的关键．考向七反比例函数与平面几何综合类型一最值问题21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x =，142y x =-+；(2)在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =-得到点A 的坐标是()3,3m -，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上得到()336m m -=，解得1m =，得到点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '-，则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90AEC CDB ∠=∠=︒，∵点()30C ，，()6B m ，，∴3,6,OC OD ==BD m =，∴3CD OD OC =-=，∵ABC 是等腰直角三角形，∴90,ACB AC BC ∠=︒=，∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACE CBD ∠=∠，∴()AAS ACE CBD ≌，∴3,CD AE BD EC m ====，∴3OE OC EC m =-=-，∴点A 的坐标是()3,3m -，∵A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上．∴()336m m -=，解得1m =，∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，∴66k m ==，∴反比例函数的解析式是6y x =，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为142y x =-+，（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP，∴点A 与点A '关于x 轴对称，∴AP A P '=，()2,3A '-，∵AP PB A P PB A B ''+=+=，∴AP PB +的最小值是A B '的长度，∵AB =AB 是定值，∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，设直线A B '的解析式是y nx t =+，则2361n t n t +=-⎧⎨+=⎩，解得15n t =⎧⎨=-⎩，∴直线A B '的解析式是5y x =-，当0y =时，05x =-，解得5x =，即点P 的坐标是()5,0，此时AP PB AB AB A B '++=+==+，综上可知，在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小，最小值是【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．类型二存在性22．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，与反比例函数m y x =在第四象限内的图象交于点()6,C a ．(1)求反比例函数的表达式：(2)当m kx b x+>时，直接写出x 的取值范围；(3)在双曲线m y x =上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x=-；(2)<2x -或06x <<；(3)()32-，或()16-，【分析】（1）将()4,0A ，()0,2B 代入y kx b =+,求得一次函数表达式，进而可得点C 的坐标，再将点C 的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A 作AP BC ⊥交y 轴于点M ，勾股定理得出点M 的坐标，在求出直线AP 的表达。

教学主题 一轮复习反比例函数教学目标掌握反比例函数题型重 要 知识点 1.反比例函数 2. 3. 易错点教学过程反比例函数考点1：反比例函数的图象和性质 1、一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，其图象是叫双曲线。

2、当k >0时，图象的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

当k <0时，图象的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

3、对于双曲线上的点A 、B ，有两种三角形的面积(S △AOB)要会求(会表示)，如图所示．考点1、反比例函数图像与性质1、函数2y x =与函数1y x-=在同一坐标系中的大致图像是 （ ）【答案】B2、如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 （ ）【答案】 BA ．2y x =B ．4y x=C ．3y x=-D ．12y x =3、若点12(1,),(2,)A y B y 是双曲线3y x=上的点，则1y 2y （填“>”,“<”“=”）. 【答案】> 4、如图，反比例函数ky x=的图象经过点A (－1,－2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）A.y ＞1B.0＜y ＜1C. y ＞2D.0＜ y ＜2【答案】D6.如图，已知直线12y x =-经过点P （2-，a ），点P 关于y 轴的对称点P ′在反比例函数2ky x=（0≠k ）的图象上． （1）求点P ′的坐标；（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y 2<2时自变量x 的取值范围．【答案】（1）∴P ′（2，4）．(2) k =8，自变量x 的取值范围x <0或x >4． 考点3：反比例函数解析式中k 的几何意义 相关知识：设()P x y ，是反比例函数ky x=图象上任一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A ，则（1）△OPA 的面积111222OA PA xy k ===g ．（2）矩形OAPB 的面积OA PA xy k ===g 。